आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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{\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | {\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | |||
== प्रवणता == | == प्रवणता == | ||
{{Main|प्रवणता}} | {{Main|प्रवणता}} | ||
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यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे [[आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक|आंशिक अवकलज प्रतीक]] कहा जाता है, इसे d अक्षर से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी आंशिक उच्चारित किया जाता है। | यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे [[आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक|आंशिक अवकलज प्रतीक]] कहा जाता है, इसे d अक्षर से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी आंशिक उच्चारित किया जाता है। | ||
== | == उच्चतर कोटि आंशिक अवकलज == | ||
दूसरे और | दूसरे और उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज को एकचर फलनो के उच्चतर कोटि के अवकलज के अनुरूप परिभाषित किया गया है। फलन <math>f(x, y, ...)</math> के लिए x के संबंध में स्वयं का दूसरा आंशिक अवकलज केवल आंशिक अवकलज (दोनों x के संबंध में) का आंशिक अवकलज है,<ref>[[Alpha Chiang|Chiang, Alpha C.]] ''Fundamental Methods of Mathematical Economics'', McGraw-Hill, third edition, 1984.</ref>{{rp|316–318}} | ||
:<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math> | :<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math> | ||
x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f | x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज लेकर प्राप्त किया जाता है, और फिर | ||
:<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial y} \equiv \frac{\partial f_x}{\partial y} \equiv f_{xy}.</math> | :<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial y} \equiv \frac{\partial f_x}{\partial y} \equiv f_{xy}.</math> | ||
प्राप्त करने के लिए y के संबंध में परिणाम का आंशिक अवकलज लिया जाता है। [[श्वार्ज की प्रमेय]] में कहा गया है कि यदि दूसरा अवकलज निरंतर है, तो क्रॉस आंशिक अवकलज के लिए व्यंजक इस बात से अप्रभावित रहता है कि किस चर के संबंध में आंशिक अवकलज को पहले लिया गया है और किसको दूसरे के संबंध में लिया गया है। अर्थात, | |||
:<math>\frac {\partial ^2 f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x}</math> | :<math>\frac {\partial ^2 f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x}</math> | ||
या समकक्ष <math>f_{yx} = f_{xy}.</math> | या समकक्ष <math>f_{yx} = f_{xy}.</math> | ||
[[हेसियन मैट्रिक्स]] में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं | |||
[[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं जिसका उपयोग[[अनुकूलन]] समस्याओं में [[दूसरे क्रम की स्थिति|दूसरे क्रम की स्थितियों]] में उपयोग किया जाता है। उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज क्रमिक अवकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं | |||
== [[antiderivative]] एनालॉग == | == [[antiderivative]] एनालॉग == | ||
Revision as of 06:38, 27 July 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
,, , , , , or .
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,