हॉसडॉर्फ़ आयाम

गैर-पूर्णांक आयामों का उदाहरण. कोच बर्फ के टुकड़े के पसमाधाने चार पुनरावृत्तियाँ, जहाँ प्रत्येक पुनरावृत्ति के पश्चात, सभी मूल रेखा खंडों को चार से बदल दिया जाता है, प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि है जो मूल की लंबाई का 1/3 है। हॉसडॉर्फ आयाम की औपचारिकता आयाम, डी की गणना करने के लिए स्केल फैक्टर (एस = 3) और स्व-समान वस्तुओं की संख्या (एन = 4) का उपयोग करती है, पसमाधाने पुनरावृत्ति के पश्चात डी = (लॉग एन)/(लॉग एस) = (लॉग 4)/(लॉग 3) ≈ 1.26।

गणित में, हॉसडॉर्फ़ आयाम रफ़नेस, या अधिक विशेष रूप से, फ्रैक्टल आयाम का माप है, जिसे 1918 में गणितज्ञ फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था। उदाहरण के लिए, बिंदु (ज्यामिति) का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, रेखा खंड का 1 है, वर्ग का 2 है, और घन का 3 है। अर्थात, बिंदुओं के समुच्चय के लिए स्मूथ आकृति को परिभाषित करते हैं जिसमें कोनों की छोटी संख्या होती है- पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार- हॉसडॉर्फ आयाम पूर्णांक है जो आयाम की सामान्य भावना से सहमत होता है, जिसे आगमनात्मक आयाम के रूप में भी जाना जाता है। चूँकि, ऐसे सूत्र भी विकसित किए गए हैं जो अन्य कम सरल वस्तुओं के आयाम की गणना की अनुमति देते हैं, जहां, केवल स्केलिंग (ज्यामिति) और आत्म-समानता के उनके गुणों के आधार पर, किसी को इस निष्कर्ष पर पहुंचाया जाता है कि विशेष वस्तुएं- जिनमें फ्रैक्टल भी सम्मिलित हैं- पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम में कोई अंतर नहीं है। अत्यधिक अनियमित या "रफ" समुच्चयों के लिए आयामों की गणना की अनुमति देने वाले अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच द्वारा की गई महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति के कारण, इस आयाम को सामान्यतः हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम के रूप में भी जाना जाता है।

अधिक विशेष रूप से, हॉसडॉर्फ़ आयाम मीट्रिक स्थान से जुड़ी आयामी संख्या है, अर्थात समुच्चय जहां सभी सदस्यों के मध्य की दूरी परिभाषित की जाती है। आयाम विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से लिया गया है, ${\overline {\mathbb {R} }}$, आयाम की अधिक सहज धारणा के विपरीत, जो सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान से संबद्ध नहीं है, और केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक में मान लेता है।

गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ़ आयाम वास्तविक सदिश स्थान के आयाम की धारणा को सामान्यीकृत करता है। अर्थात्, n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान का हॉसडॉर्फ आयाम n के समान है। यह पसमाधाने के कथन को रेखांकित करता है कि बिंदु का हॉसडॉर्फ़ आयाम शून्य है, रेखा का एक है, आदि, और अनियमित समुच्चय में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ़ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया कोच स्नोफ्लेक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को इकाई लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता है, नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर प्रदर्शित करता है, और इस आधार खंड को अंतिम वस्तु को छोड़ने के लिए विस्थापित कर दिया जाता है। 4 की इकाई लंबाई की पुनरावृत्ति अर्थात्, पसमाधाने पुनरावृत्ति के पश्चात, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से परिवर्तित कर दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल जितनी लंबी 1/S = 1/3 है।दूसरी विधि से कहें तो, हमने यूक्लिडियन आयाम, D के साथ वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, जिससे इसकी लंबाई N=S^D तक बढ़ जाए। इस समीकरण को D के लिए सरलता से समाधान किया जा सकता है, जिससे आंकड़ों में दिखने वाले लघुगणक (या प्राकृतिक लघुगणक) का अनुपात प्राप्त होता है, कोच और अन्य फ्रैक्टल स्तिथि में- इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम मिलते हैं।

हॉसडॉर्फ़ आयाम सरल, किंतु सामान्यतः समतुल्य, बॉक्स-गिनती या मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम का उत्तराधिकारी है।

अंतर्ज्ञान

ज्यामितीय वस्तु के आयाम की सहज अवधारणा चूँकि, दो पैरामीटर्स द्वारा निर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि वास्तविक तल की प्रमुखता वास्तविक रेखा की कार्डिनैलिटी के समान होती है (इसे एकल प्राप्त करने के लिए दो संख्याओं के अंकों को आपस में जोड़ने वाले तर्क द्वारा देखा जा सकता है) समान जानकारी को एन्कोड करने वाला एकल नंबर)स्थान-भरण वक्र के उदाहरण से ज्ञात होता है कि कोई वास्तविक रेखा को वास्तविक तल पर विशेष रूप से मानचित्रित कर सकता है (वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस प्रकार से लेना कि संख्याओं के सभी जोड़े कवर हो जाएं) और निरन्तर, जिससे आयामी वस्तु उच्च-आयामी वस्तु को पूर्ण रूप से भर देती है।

प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं पर कई बार टकराता है और इसमें निरंतर व्युत्क्रम नहीं होता है। दो आयामों को पर इस प्रकार से मानचित्रित करना असंभव है जो निरंतर विपरीत हो। टोपोलॉजिकल आयाम, जिसे लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है, जैसे कि छोटी संवृत गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम बिंदु होता है जहां n + 1 गेंदें ओवरलैप होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे संवृत अंतराल के साथ रेखा को कवर करता है, तो कुछ बिंदुओं को दो बार कवर किया जाना चाहिए, जिससे आयाम n = 1 मिलता है।

किंतु टोपोलॉजिकल आयाम किसी स्थान के स्थानीय आकार (बिंदु के निकट का आकार) का अधिक ही अपरिष्कृत माप है। वक्र जो लगभग स्थान भरता है, उसमें अभी भी टोपोलॉजिकल आयाम हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। फ्रैक्टल में पूर्णांक टोपोलॉजिकल आयाम होता है, किंतु इसके द्वारा घेरने वाली स्थान की मात्रा के संदर्भ में, यह उच्च-आयामी स्थान के जैसे व्यवहार करता है।

हॉसडॉर्फ़ आयाम बिंदुओं, मीट्रिक स्थान के मध्य की दूरी को ध्यान में रखते हुए किसी स्थान के स्थानीय आकार को मापता है। X को पूर्ण रूप से कवर करने के लिए आवश्यक अधिकतम आर त्रिज्या की गेंदों (गणित) की संख्या N(r) पर विचार करें। जब r अधिक छोटा होता है, तो N(r) 1/r के साथ बहुपद रूप से बढ़ता है। पर्याप्त रूप से उत्तम व्यवहार वाले X के लिए, हॉसडॉर्फ़ आयाम अद्वितीय संख्या d है जैसे कि N(r) 1/r^d के रूप में बढ़ता है अधिक त्रुटिहीन रूप से, यह बॉक्स-गिनती आयाम को परिभाषित करता है, जो हॉसडॉर्फ आयाम के समान होता है जब मान d विकास दर के मध्य महत्वपूर्ण सीमा है जो स्थान को कवर करने के लिए अपर्याप्त है, और विकास दर जो अत्यधिक प्रचुर मात्रा में हैं।

उन आकृतियों के लिए जो स्मूथ हैं, या कम संख्या में कोने वाली आकृतियाँ हैं, पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान की आकृतियाँ, हॉसडॉर्फ आयाम टोपोलॉजिकल आयाम से सहमत पूर्णांक है। किंतु बेनोइट मैंडेलब्रोट ने देखा कि फ्रैक्टल, गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम वाले समुच्चय, प्रकृति में सभी स्थान में पाए जाते हैं। उन्होंने देखा कि आपके निकट दिखाई देने वाली अधिकांश रफ़नेस आकृतियों का उचित आदर्शीकरण स्मूथ आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में नहीं है, अन्यथा फ्रैक्टल आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में है:

बादल गोल नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, और छाल स्मूथ नहीं है, न ही विद्युत् सीधी रेखा में प्रवाहित होती है।

प्रकृति में होने वाले फ्रैक्टल्स के लिए, हॉसडॉर्फ और बॉक्स-गिनती आयाम युग्मित होते हैं। पैकिंग आयाम समान धारणा है जो कई आकृतियों के लिए समान मान देती है, किंतु उत्तम प्रकार से प्रलेखित अपवाद हैं जहां ये सभी आयाम भिन्न होते हैं।

औपचारिक परिभाषा

Main article: हॉसडॉर्फ माप

हॉसडॉर्फ़ आयाम की औपचारिक परिभाषा पसमाधाने हॉसडॉर्फ़ माप को परिभाषित करके प्राप्त की जाती है, जो लेब्सग्यू माप का आंशिक-आयाम एनालॉग है। सबसे पसमाधाने, बाहरी माप का निर्माण किया जाता है: मान लीजिये $X$ स्थान हो, यदि $S\subset X$ और $d\in [0,\infty )$ है,

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

जहां सभी गणनीय कवरों पर अनंत लिया जाता है $U$ का $S$ हॉसडॉर्फ़ बाहरी माप को तब परिभाषित किया गया है, जब ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$, मापने योग्य पर मैपिंग का प्रतिबंध समुच्चयइसे माप के रूप में उचित माना जाता है, जिसे $d$-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है ।

हौसडॉर्फ़ आयाम

हॉसडॉर्फ़ आयाम $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ का $X$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.$

यह समुच्चय $d\in [0,\infty )$ के सर्वोच्च के समान है ऐसे कि $d$-आयामी हॉसडॉर्फ माप $X$ अनंत है (अतिरिक्त इसके कि जब संख्याओं का यह पश्चात वाला समुच्चय हो तो $d$ रिक्त है हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है)।

\हॉसडॉर्फ़ सामग्री

$d$ आयामी असीमित हॉसडॉर्फ सामग्री $S$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}$

दूसरे शब्दों में, $C_{H}^{d}(S)$ में हॉसडॉर्फ माप का निर्माण किया गया है जहां कवरिंग समुच्चय को रूप से बड़े आकार की अनुमति है (यहां, हम मानक $\inf \varnothing =\infty$ सम्मेलन का उपयोग करते हैं) हॉसडॉर्फ़ माप और हॉसडॉर्फ़ सामग्री दोनों का उपयोग किसी समुच्चय के आयाम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, किंतु यदि समुच्चय का माप अशून्य है, तो उनके वास्तविक मान भिन्न हो सकते हैं।

उदाहरण

और भग्न उदाहरण का आयाम. सिएरपिंस्की त्रिकोण, लॉग(3)/लॉग(2)≈1.58 के हॉसडॉर्फ आयाम वाली वस्तु।

* गणनीय समुच्चयों का हॉसडॉर्फ आयाम 0 है।

• यूक्लिडियन स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ हॉसडॉर्फ आयाम है $n$, और वृत्त $S^{1}$ हॉसडॉर्फ़ आयाम 1 है।
• फ्रैक्टल प्रायः ऐसे स्थान होते हैं जिनका हॉसडॉर्फ आयाम जटिलता से टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है।उदाहरण के लिए, कैंटर समुच्चय, शून्य-आयामी टोपोलॉजिकल स्थान, स्वयं की दो प्रतियों का संघ है, प्रत्येक प्रतिलिपि कारक 1/3 द्वारा संकुचित हुई है; इसलिए, यह दिखाया जा सकता है कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम ln(2)/ln(3) ≈ 0.63 है। सिएरपिंस्की त्रिकोण स्वयं की तीन प्रतियों का संघ है, प्रत्येक प्रति 1/2 के कारक से संकुचित है; इससे ln(3)/ln(2) ≈ 1.58 का हॉसडॉर्फ आयाम प्राप्त होता है।ये हॉसडॉर्फ आयाम एल्गोरिदम के विश्लेषण में पुनरावृत्ति संबंध को समाधान करने के लिए मास्टर प्रमेय (एल्गोरिदम का विश्लेषण) के महत्वपूर्ण प्रतिपादक से संबंधित हैं।
• पीनो वक्र जैसे अंतरिक्ष-भरने वाले वक्रों का हौसडॉर्फ़ आयाम उनके द्वारा भरे जाने वाले स्थान के समान ही होता है।
• आयाम 2 और उससे ऊपर में ब्राउनियन गति का प्रक्षेपवक्र हॉसडॉर्फ आयाम 2 होने का अनुमान लगाया गया है।
• लुईस फ्राई रिचर्डसन ने विभिन्न समुद्र तटों के लिए अनुमानित हॉसडॉर्फ आयाम को मापने के लिए विस्तृत प्रयोग किए हैं। उनके परिणाम दक्षिण अफ्रीका के समुद्र तट के लिए 1.02 से लेकर ग्रेट ब्रिटेन के पश्चिमी तट के लिए 1.25 तक भिन्न हैं।

हौसडॉर्फ़ आयाम के गुण

हॉसडॉर्फ आयाम और आगमनात्मक आयाम

मान लीजिए कि X मनमाना वियोज्य स्थान मीट्रिक स्थान है। ्स के लिए आगमनात्मक आयाम की टोपोलॉजी धारणा है जिसे पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। यह हमेशा पूर्णांक (या +∞) होता है और इसे मंद दर्शाया जाता है_ind(्स)।

'प्रमेय'. मान लीजिए कि X गैर-रिक्त है। तब

$\dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).$

इसके अतिरिक्त,

$\inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),$

जहां Y मीट्रिक रिक्त स्थान से लेकर X तक होम्योमॉर्फिक है। दूसरे शब्दों में, X और Y में बिंदुओं का अंतर्निहित समुच्चय और मीट्रिक d समान है।_Y Y का स्थलाकृतिक रूप से d के समतुल्य है_X.

ये परिणाम मूल रूप से एडवर्ड स्ज़पिलराजन (1907-1976) द्वारा स्थापित किए गए थे, उदाहरण के लिए, ह्यूरेविक्ज़ और वॉलमैन, अध्याय VII देखें।

हॉसडॉर्फ आयाम और मिन्कोव्स्की आयाम

मिन्कोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम के समान है, और कम से कम उतना ही बड़ा है, और वे कई स्थितियों में समान हैं। चूँकि, [0, 1] में परिमेय संख्या बिंदुओं के समुच्चय में हॉसडॉर्फ आयाम शून्य और मिन्कोव्स्की आयाम है। ऐसे कॉम्पैक्ट समुच्चय भी हैं जिनके लिए मिन्कोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम से सख्ती से बड़ा है।

हॉसडॉर्फ आयाम और फ्रॉस्टमैन माप

यदि कोई माप (गणित) है तो μ को बोरेल माप परिभाषित किया गया है, जो मीट्रिक स्पेस^s कुछ स्थिरांक s > 0 और प्रत्येक गेंद B(x, r) के लिए X में रखता है, फिर मंद_Haus(्स) ≥ एस. फ्रॉस्टमैन के लेम्मा द्वारा आंशिक बातचीत प्रदान की जाती है।

यूनियनों और उत्पादों के अंतर्गत व्यवहार

यदि $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ तो, यह परिमित या गणनीय संघ है

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).$

इसे सीधे परिभाषा से सत्यापित किया जा सकता है।

यदि X और Y गैर-रिक्त मीट्रिक स्थान हैं, तो उनके उत्पाद का हॉसडॉर्फ आयाम संतुष्ट करता है

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).$

यह असमानता सख्त हो सकती है. आयाम 0 के दो समुच्चय ढूंढना संभव है जिनके उत्पाद का आयाम 1 है। विपरीत दिशा में, यह ज्ञात होता है कि जब X और Y 'R' के बोरेल उपसमुच्चय हैंⁿ, X × Y का हॉसडॉर्फ़ आयाम ऊपर से X के हॉसडॉर्फ़ आयाम और Y के पैकिंग आयाम से घिरा है। इन तथ्यों पर मटिला (1995) में चर्चा की गई है।

स्वयं-समान समुच्चय

स्व-समानता स्थिति द्वारा परिभाषित कई समुच्चयों में आयाम होते हैं जिन्हें स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। मोटे तौर पर, समुच्चय ई स्व-समान है यदि यह समुच्चय-मान परिवर्तन ψ का निश्चित बिंदु है, अर्थात ψ (ई) = ई, हालांकि त्रुटिहीन परिभाषा नीचे दी गई है।

<ब्लॉककोट>'प्रमेय'। कल्पना करना

$\psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m$

आर पर संकुचन मानचित्रण मैपिंग हैंⁿसंकुचन स्थिरांक r के साथ_j< 1. फिर अद्वितीय गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट समुच्चय ए है जैसे कि

$A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).$

</ब्लॉककोट>

यह प्रमेय स्टीफ़न बानाच के संविदात्मक मानचित्रण प्रमेय से अनुसरण करता है जो आर के गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूर्ण मीट्रिक स्थान पर लागू होता है।ⁿहौसडॉर्फ़ दूरी के साथ।

खुले समुच्चय की स्थिति

Main article: Open set condition

स्व-समान समुच्चय ए (कुछ स्तिथि में) के आयाम को निर्धारित करने के लिए, हमें संकुचन के अनुक्रम पर ओपन समुच्चय कंडीशन (ओएससी) नामक तकनीकी स्थिति की आवश्यकता होती है।_i.

अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट ओपन समुच्चय V ऐसा है

$\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,$

जहां बायीं ओर संयुक्त समुच्चय जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चय हैं।

ओपन समुच्चय स्थिति पृथक्करण स्थिति है जो छवियों को सुनिश्चित करती है_i(V) अधिक अधिक ओवरलैप न करें।

'प्रमेय'. मान लीजिए कि ओपन समुच्चय की स्थिति कायम है और प्रत्येक ψ_i समानता है, जो किसी बिंदु के चारों ओर आइसोमेट्री और फैलाव (मीट्रिक स्थान) की संरचना है। फिर ψ का अद्वितीय निश्चित बिंदु समुच्चय है जिसका हॉसडॉर्फ आयाम s है जहां s का अद्वितीय समाधान है

$\sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.$

समरूपता का संकुचन गुणांक फैलाव का परिमाण है।

सामान्य तौर पर, समुच्चय ई जो मैपिंग का निश्चित बिंदु है

$A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)$

स्व-समान है यदि और केवल यदि प्रतिच्छेदन

$H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,$

जहां s, E और H का हॉसडॉर्फ आयाम है^sहॉसडॉर्फ माप को दर्शाता है। यह सीरपिंस्की गैसकेट के मामले में स्पष्ट है (चौराहे सिर्फ बिंदु हैं), किंतु यह आम तौर पर भी सच है:

'प्रमेय'. पिछले प्रमेय की समान शर्तों के तहत, ψ का अद्वितीय निश्चित बिंदु स्व-समान है।

यह भी देखें

• हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा फ्रैक्टल्स की सूची नियतात्मक फ्रैक्टल्स, यादृच्छिक और प्राकृतिक फ्रैक्टल्स के उदाहरण।
• असौद आयाम, फ्रैक्टल आयाम का और रूपांतर, जो हॉसडॉर्फ आयाम की तरह, गेंदों द्वारा कवरिंग का उपयोग करके परिभाषित किया गया है
• आंतरिक आयाम
• पैकिंग आयाम
• भग्न आयाम

अग्रिम पठन

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (June 12, 2003). "Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation". Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 72. pp. 305–347. arXiv:math/0305399. Bibcode:2003math......5399D. doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378. S2CID 119613948.
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1948). Dimension Theory. Princeton University Press.
• E. Szpilrajn (1937). "La dimension et la mesure". Fundamenta Mathematicae. 28: 81–9. doi:10.4064/fm-28-1-81-89.
• Marstrand, J. M. (1954). "The dimension of cartesian product sets". Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236. S2CID 122475292.
• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8.
• A. S. Besicovitch (1929). "On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions". Mathematische Annalen. 101 (1): 161–193. doi:10.1007/BF01454831. S2CID 125368661.
• A. S. Besicovitch; H. D. Ursell (1937). "Sets of Fractional Dimensions". Journal of the London Mathematical Society. 12 (1): 18–25. doi:10.1112/jlms/s1-12.45.18.
  Several selections from this volume are reprinted in Edgar, Gerald A. (1993). Classics on fractals. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7. See chapters 9,10,11
• F. Hausdorff (March 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF). Mathematische Annalen. 79 (1–2): 157–179. doi:10.1007/BF01457179. hdl:10338.dmlcz/100363. S2CID 122001234.
• Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity". Indiana Univ. Math. J. 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.
• Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). John Wiley and Sons.

बाहरी संबंध

• Hausdorff dimension at Encyclopedia of Mathematics
• Hausdorff measure at Encyclopedia of Mathematics