बाहरी माप

माप सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक बाहरी माप या बाह्य माप कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यों के साथ दिए गए समुच्चय (गणित) के सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फलन है। मापने योग्य समुच्चय और गणनीय योगात्मक माप के सिद्धांत के लिए एक अमूर्त आधार प्रदान करने के लिए बाहरी माप के सिद्धांत को पहली बार कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी द्वारा प्रस्तावित किया गया था। बाहरी मापों पर कैराथोडोरी के काम को माप-सैद्धांतिक समुच्चय सिद्धांत में कई अनुप्रयोग मिले (उदाहरण के लिए बाहरी मापों का उपयोग मौलिक कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है), और हॉसडॉर्फ द्वारा एक आवश्यक प्रकार से उपयोग किये गए ताकि एक आयाम-जैसे मीट्रिक अपरिवर्तनीय को परिभाषित किया जा सके जिसे हॉसडॉर्फ़ आयाम कहा जाता है। बाहरी माप सामान्यतः ज्यामितीय माप सिद्धांत के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं।

माप लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन का सामान्यीकरण हैं, लेकिन $\mathbb {R}$ में अंतराल या $\mathbb {R} ^{3}$में गेंदों की तुलना में बहुत अधिक अमूर्त और अनियमित समुच्चयों के लिए उपयोगी होते हैं। कोई $\mathbb {R}$ पर एक सामान्यीकृत मापन फलन $\varphi$ को परिभाषित करने की अपेक्षा कर सकता है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:

1. वास्तविकता के किसी भी अंतराल $[a,b]$ का माप $b-a$ होता हैं।
2. मापने का फलन $\varphi$ एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्य वाला फलन है जो $\mathbb {R}$ के सभी उपससमुच्चय के लिए परिभाषित हैं।
3. अनुवाद अपरिवर्तनीयता: किसी भी समुच्चय $A$ और किसी वास्तविक $x$ के लिए, समुच्चय $A$ और $A+x=\{a+x:a\in A\}$ का माप समान हैं।
4. गणनीय योज्यता: $\mathbb {R}$ के युग्‍मानूसार असंयुक्त उपसमुच्चय के किसी अनुक्रम $(A_{j})$ के लिए हैं।

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).$

यह पता चला है कि ये आवश्यकताएँ असंगत स्थितियाँ हैं; गैर-मापने योग्य समुच्चय देखें। $X$ के सभी उपसमुच्चय पर एक बाहरी माप के निर्माण का उद्देश्य उपसमुच्चय के एक वर्ग का चयन करना है (जिसे मापने योग्य कहा जा सकता है) ताकि गणनीय योगात्मकता गुण को संतुष्ट किया जा सके।

बाहरी माप

एक समुच्चय $X$ को देखते हुए, मान लीजिए कि $2^{X}$ रिक्त समुच्चय $\varnothing$ सहित, $X$ के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह को दर्शाता है। $X$ पर एक बाहरी माप एक समुच्चय फलन है।

$$\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$$

ऐसा है कि

• शून्य रिक्त समुच्चय: $\mu (\varnothing )=0$
• गणनीय रूप से उपयोगात्मक: $X$ के स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय $A,B_{1},B_{2},\ldots$ के लिए है।
  $${\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ तब }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$$

ध्यान दें कि इस परिभाषा में अनंत योग के बारे में कोई सूक्ष्मता नहीं है। सभी सारांशों को गैर-ऋणात्मक माना जाता है, आंशिक योगों का क्रम केवल बिना किसी सीमा के बढ़ते हुए ही भिन्न हो सकता है। अतः परिभाषा में दिखाई देने वाला अनंत योग हमेशा $[0,\infty ]$ का एक अच्छी तरह से परिभाषित अवयव होता है। यदि, इसके बदले, किसी बाहरी माप को नकारात्मक मान लेने की अनुमति दी जाती है, तो गैर-अभिसरण अनंत योग की संभावना को ध्यान में रखते हुए इसकी परिभाषा को संशोधित किया जाता है।

एक वैकल्पिक और समकक्ष परिभाषा: कुछ पाठ्यपुस्तकें, जैसे हेल्मोस (1950), इसके बदले $X$ पर एक बाहरी माप को एक फलन $\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$ के रूप में परिभाषित करता हैं जैसे कि

• शून्य रिक्त समुच्चय: $\mu (\varnothing )=0$
• एकदिष्ट: अगर $A$ और $B$, $A\subseteq B$ के साथ $X$ के उपसमुच्चय हैं, तो $\mu (A)\leq \mu (B)$
• $X$ के स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय $B_{1},B_{2},\ldots$ के लिए
  $$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$$

Proof of equivalence. Suppose that $\mu$ is an outer measure in sense originally given above. If $A$ and $B$ are subsets of $X$ with $A\subseteq B,$ then by appealing to the definition with $B_1=$