बोरेल माप

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, एक सांस्थितिक समष्टि पर एक बोरेल माप एक माप होती है जो सभी विवृत समुच्चयों पर (और इसलिए सभी बोरेल समुच्चयों पर) परिभाषित होती है। कुछ लेखकों को माप पर अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $X$ एक स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ समष्टि है, और ${\mathfrak {B}}(X)$सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें $X$ के विवृत समुच्चय सम्मिलित हैं, तथा इसे बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। बोरेल माप बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर परिभाषित कोई भी माप $\mu$ होती है। कुछ लेखकों की अतिरिक्त आवश्यकता है कि $\mu$ स्थानीय रूप से परिमित है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक सघन समुच्चय $C$ के लिए $\mu (C)<\infty$ होता है।. यदि एक बोरेल माप $\mu$ आंतरिक नियमित और बाहरी नियमित दोनों है, तो इसे नियमित बोरेल माप कहा जाता है। अगर $\mu$ आंतरिक नियमित और बाहरी नियमित व स्थानीय रूप से परिमित माप दोनों है तो इसे रेडॉन माप कहा जाता है।

वास्तविक रेखा पर

अपनी सामान्य सांस्थिति के साथ वास्तविक पंक्ति $\mathbb {R}$ एक स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि है, इसलिए हम इस पर बोरेल माप को परिभाषित कर सकते हैं। इस स्थिति में ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें $\mathbb {R}$ के विवृत अंतराल सम्मिलित हैं। जबकि कई बोरेल माप μ हो सकते हैं, उस बोरेल माप के विकल्प को जो प्रत्येक अर्ध विवृत अंतराल $(a,b]$ के लिए $\mu ((a,b])=b-a$ निर्दिष्ट करता है ,कभी-कभी $\mathbb {R}$ पर "वही" बोरेल माप कहलाता है। यह माप लेब्सेग माप $\lambda$ के बोरेल σ-बीजगणित के लिए प्रतिबंध प्रमाणित होता है, जो एक पूर्ण माप है और लेब्सग्यू σ-बीजगणित पर परिभाषित किया गया है। लेब्सग्यू σ-बीजगणित वास्तव में बोरेल σ-बीजगणित का समापन है जिसका अर्थ है कि यह सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी बोरेल समुच्चय सम्मिलित हैं और इसे पूर्ण माप से सुसज्जित किया जा सकता है। इसको अलावा, बोरेल माप और लेबेस्ग माप बोरेल समुच्चय (अर्थात, प्रत्येक बोरेल मापने योग्य समुच्चय के लिए $\lambda (E)=\mu (E)$, जहां $\mu$ ऊपर वर्णित बोरेल माप है)

उत्पाद समष्टि

यदि X और Y द्वितीय-गणनीय हॉसडॉर्फ़ संस्थितिक समष्टि हैं, तो उनके उत्पाद के बोरेल उपसमुच्चय $B(X\times Y)$ का समुच्चय X और Y के बोरेल उपसमुच्चय के समुच्चय$B(X)\times B(Y)$ के उत्पाद के समान होता है। अर्थात् बोरेल प्रकार्यक

$\mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas}$ द्वितीय-गणनीय हॉसडॉर्फ समष्टि की श्रेणी से लेकर मापने योग्य समष्टि की श्रेणी तक परिमित उत्पादों को संरक्षित करता है।

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन

Main article: लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस समाकलन एक सामान्य लेब्सग समाकलन है जो एक अवकल के संबंध में होता है जिसे लेबेस्ग-स्टील्ट्ज माप के रूप में जाना जाता है, जो वास्तविक रेखा पर परिबद्ध भिन्नता के किसी भी फलन से जुड़ा हो सकता है। लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप एक नियमित बोरेल माप है जो इसके विपरीत वास्तविक रेखा पर प्रत्येक नियमित बोरेल माप के प्रकार की होती है।

लाप्लास परिवर्तन

Main article: लाप्लास परिवर्तन

एक परिमित बोरेल माप μ के लाप्लास परिवर्तन को वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग अवकल

$({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$

के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति वह है जहां μ एक प्रायिकता माप है और अधिक विशेष रूप से, डिराक डेल्टा फलन है। परिचालन कलन में किसी माप के लाप्लास परिवर्तन को ऐसे माना जाता है जैसे मानो माप किसी वितरण फलन f से आया हो। उस स्थिति में संभावित भ्रम से बचने के लिए व्यक्ति प्राय:

$({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

लिखता है जहां 0− की निचली सीमा

$\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$

के लिए आशुलिपि (शॉर्टहैंड) अंकन है। यह सीमा बताती है कि 0 पर स्थित कोई भी बिंदु द्रव्यमान पूर्ण प्रकार से लाप्लास रूपांतरण द्वारा अधिकृत किया जाता है। हालाँकि लेबेस्ग समाकलन के साथ ऐसी सीमा आवश्यक नहीं है कि यह लाप्लास-स्टिल्टजेस परिवर्तन के संबंध में अधिक स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है।

हॉसडॉर्फ आयाम और फ्रॉस्टमैन्स लेम्मा

Main articles: हॉसडॉर्फ आयाम and फ्रॉस्टमैन्स लेम्मा

एक बोरेल माप μ को एक मापीय समष्टि X पर इस प्रकार दिया गया है कि μ(X) > 0 और μ(B(x, r)) ≤ r^s कुछ स्थिरांक s > 0 के लिए और X में प्रत्येक बॉल B(x, r) के लिए धारण करते हैं, जिससे हॉसडॉर्फ आयाम डिम_हॉस(X) ≥ s प्राप्त होता है। फ्रॉस्टमैन लेम्मा द्वारा एक आंशिक प्रतिक्रिया प्रदान की गई है,

लेम्मा, मान लीजिए A Rⁿ का एक बोरेल उपसमुच्चय है और मान लीजिए s > 0 है। तो निम्नलिखित समतुल्य हैं-

• H^s(A) > 0, जहां H^s,s-आयामी हॉसडॉर्फ माप को दर्शाता है
• एक (अहस्ताक्षरित) बोरेल माप μ है जो μ(A) > 0 को संतुष्ट करता है और इस प्रकार

$\mu (B(x,r))\leq r^{s}$ सभी x ∈ Rⁿ और r > 0 के लिए मान्य है।

क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय

Main article: क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय

माप सिद्धांत में क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय का कथन है कि ${\mathbb{R}}^{}$