परिबद्ध भिन्नता

गणितीय विश्लेषण में, परिबद्ध भिन्नता का कार्य, जिसे के रूप में भी जाना जाता हैBV फलन', एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन (गणित) है, जिसकी कुल भिन्नता परिमित (परिमित) है: इस गुण वाले फलन का ग्राफ एक स्पष्ट अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है। एकल चर (गणित) के निरंतर कार्य के लिए, परिबद्ध भिन्नता होने का अर्थ है कि y-अक्ष की दिशा (ज्यामिति, भूगोल) के साथ दूरी|y-अक्ष, एक्स-अक्ष के साथ गति के योगदान की उपेक्षा करना |x-अक्ष, ग्राफ के साथ चलते हुए एक बिंदु (गणित) द्वारा यात्रा की जाती है, इसका एक परिमित मान होता है। कई चरों के एक सतत कार्य के लिए, परिभाषा का अर्थ समान है, इस तथ्य को छोड़कर कि माना जाने वाला निरंतर पथ दिए गए फलन का संपूर्ण ग्राफ़ नहीं हो सकता है (जो अंतर ज्यामिति और टोपोलॉजी #H की शब्दावली है) इस स्थिति में), किन्तु एक अतिपरवलय (दो चर के कार्यों के स्थिति में, एक प्लेन (गणित)) के साथ ग्राफ का प्रत्येक प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) एक निश्चित के समानांतर हो सकता है x-अक्ष और को y-एक्सिस।

परिबद्ध भिन्नता के कार्य स्पष्ट रूप से वे हैं | जिनके संबंध में सभी निरंतर कार्यों के रिमेंन-स्टील्टजेस इंटीग्रल मिल सकते हैं।

एक अन्य लक्षण वर्णन में कहा गया है कि कॉम्पैक्ट अंतराल पर परिबद्ध भिन्नता के कार्य ठीक वही हैं | f जिसे अंतर g − h के रूप में लिखा जा सकता है | जहां दोनों g और h बंधे हुए मोनोटोनिक फलन हैं। विशेष रूप से, BV फलन में असंतोष हो सकता है, किन्तु अधिकतर गिनती में नहीं हो सकता है ।

कई चर के स्थिति में, फलन f खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित Ω का $\mathbb {R} ^{n}$ कहा जाता है कि यदि इसका वितरण (गणित) सदिश-मूल्यवान कार्य परिमित रेडॉन माप है, तो परिमित भिन्नता है।

परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक यह है कि वे निरंतर कार्य के साहचर्य बीजगणित का निर्माण करते हैं | जिसका पहला व्युत्पन्न लगभग प्रत्येक स्थान उपस्थित है | इस तथ्य के कारण, वे कार्यात्मक (गणित) से जुड़ी गैर-रैखिक समस्याओं के सामान्यीकृत समाधान को परिभाषित करने के लिए और अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं। गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में साधारण अंतर समीकरण और आंशिक अंतर समीकरण है।

हमारे पास वास्तविक रेखा के बंद, परिबद्ध अंतराल पर निरंतर कार्यों के लिए समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखलाएं हैं |

निरंतर अवकलनीय ⊆ लिपशित्ज़ निरंतर ⊆ निरंतर ⊆ निरंतर और परिबद्ध भिन्नता ⊆ भिन्न कार्य लगभग प्रत्येक स्थान में होता है |

इतिहास

बोरिस गोलूबोव के अनुसार, चर के BV कार्यों को पहली बार केमिली जॉर्डन द्वारा पेपर में प्रस्तुत किया गया था | (जॉर्डन 1881) फूरियर श्रृंखला के अभिसरण से निपटना इस अवधारणा के सामान्यीकरण में कई चर के कार्यों के लिए पहला सफल कदम लियोनिडा टोनेली के कारण था |, जिन्होंने 1926 में निरंतर BV कार्यों का वर्ग प्रस्तुत किया (सेसरी 1986, pp. 47–48), एक से अधिक चर में विविधताओं की गणना में समस्याओं के समाधान खोजने के लिए विविधताओं की गणना में अपनी प्रत्यक्ष पद्धति का विस्तार करने के लिए। दस साल बाद, में (सेसरी 1936), लैम्बर्टो केसरी ने टोनेली की परिभाषा में निरंतरता की आवश्यकता को कम प्रतिबंधात्मक अभिन्न आवश्यकता में बदल दिया, पहली बार इसकी पूर्ण व्यापकता में कई चरों के परिबद्ध भिन्नता के कार्यों का वर्ग प्राप्त किया था | जैसा कि जॉर्डन ने उससे पहले किया था, उन्होंने हल करने के लिए अवधारणा को प्रयुक्त किया फूरियर श्रृंखला के अभिसरण से संबंधित समस्या, किन्तु दो चर के कार्यों के लिए। उसके बाद, कई लेखकों ने कई चर, ज्यामितीय माप सिद्धांत, विविधताओं की कलन, और गणितीय भौतिकी में फूरियर श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए BV कार्यों को प्रयुक्त किया। रेनाटो कैसियोपोली और एन्नियो डी जियोर्गी ने उन्हें समुच्चय (गणित) के सुचारू कार्य सीमा (टोपोलॉजी) के माप सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया (अधिक जानकारी के लिए प्रविष्टि कैसीओपोली समुच्चय देखें)। ओल्गा आर्सेनिवना ओलेनिक ने कागज में अंतरिक्ष BV से कार्यों के रूप में गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के सामान्यीकृत समाधानों के बारे में अपना विचार प्रस्तुत किया। (ओलेनिक 1957), और पेपर में प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण के परिबद्ध भिन्नता के सामान्यीकृत समाधान का निर्माण करने में सक्षम था (ओलेनिक 1959): कुछ साल बाद, एडवर्ड डी. कॉनवे और जोएल ए. स्मोलर ने पेपर में पहले क्रम के एकल अतिपरवलयिक समीकरण के अध्ययन के लिए BV-फलन प्रयुक्त किए (कोनवे & स्मोलर 1966), यह सिद्ध करते हुए कि इस तरह के समीकरणों के लिए कॉची समस्या का समाधान परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य है | परंतु कॉची सीमा की स्थिति एक ही वर्ग की हो। आइज़िक इसाकोविच वोलपर्ट ने बड़े मापदंड पर BV कार्यों के लिए कलन विकसित किया: पेपर में (वोल्पर्ट 1967) उन्होंने BV फलन और पुस्तक में बाउंडेड वेरिएशन चेन रूल सिद्ध किया (हुद्जाएव & वोल्पर्ट 1985) उन्होंने अपने शिष्य सर्गेई इवानोविच हुडजाएव के साथ संयुक्त रूप से BV कार्यों और उनके आवेदन के गुणों का व्यापक रूप से पता लगाया। उनके चेन रूल फॉर्मूले को बाद में पेपर में लुइगी एम्ब्रोसियो और ज्ञानी दल मासो द्वारा विस्तारित किया गया था |(एम्ब्रोसियो & दाल मसो 1990).

औपचारिक परिभाषा

चर के B.V.. कार्य करता है |

परिभाषा 1.1. अंतराल (गणित) [a, b] ⊂ ℝ पर परिभाषित निरंतर वास्तविक संख्या-मूल्यवान (या अधिक सामान्य रूप से जटिल संख्या-मूल्यवान) फलन (गणित) f, की कुल भिन्नता मात्रा है |

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,$

जहां समुच्चय ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$ पर सुप्रीमम को ले लिया जाता है | अंतराल के सभी विभाजनों पर विचार किया गया था।

यदि f व्युत्पन्न है और इसका व्युत्पन्न रीमैन-इंटीग्रेबल है, तो इसकी कुल भिन्नता इसके ग्राफ की चाप लंबाई का ऊर्ध्वाधर घटक है | जिसका कहना है |

$V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.$

परिभाषा 1.2. निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य $f$ वास्तविक रेखा पर चुने हुए अंतराल (गणित) [a, b] ⊂ ℝ पर परिमित भिन्नता (BV फलन) का होना कहा जाता है | यदि इसकी कुल भिन्नता परिमित है |

$f\in {\text{BV}}([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty$

यह सिद्ध किया जा सकता है कि वास्तविक फलन ƒ में परिबद्ध $[a,b]$ भिन्नता है | यदि और केवल यदि इसे अंतर ƒ = ƒ₁- ƒ₂ के रूप में लिखा जा सकता है | दो गैर-घटते कार्यों पर $[a,b]$: इस परिणाम को फलन के जॉर्डन अपघटन के रूप में जाना जाता है और यह हैन अपघटन प्रमेय से संबंधित है |

स्टिल्ट्स अभिन्न के माध्यम से, बंद अंतराल $[a,b]$ पर परिबद्ध भिन्नता का कोई भी कार्य सी $[a,b]$ पर परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है। इस विशेष स्थिति में, रिज़्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक परिबद्ध रैखिक प्रकार्य इस तरह से विशिष्ट रूप से उत्पन्न होता है। सामान्यीकृत सकारात्मक कार्य या संभाव्यता उपाय सकारात्मक गैर-घटते निचले अर्ध-सतत कार्यों के अनुरूप हैं। में यह दृष्टिकोण महत्वपूर्ण रहा है |

वर्णक्रमीय सिद्धांत, विशेष रूप से साधारण अंतर समीकरणों के वर्णक्रमीय सिद्धांत के लिए इसके अनुप्रयोग में उपयोग होता है।

कई चर के B.V.. कार्य

परिबद्ध भिन्नता के कार्य, B.V.. फलन (गणित), ऐसे फलन हैं | जिनका वितरणात्मक व्युत्पन्न विक्त: परिमित है | रेडॉन माप

परिभाषा 2.1. माना $\Omega$ का खुला उपसमुच्चय हो $\mathbb {R} ^{n}$. फलन $u$ एलपी स्पेस से संबंधित $L^{1}(\Omega )$ परिबद्ध भिन्नता (BV फलन) के बारे में कहा जाता है, और लिखा जाता है |

$u\in BV(\Omega )$

यदि कोई परिमित माप सदिश-मूल्यवान फलन रेडॉन माप उपस्थित है | $Du\in <!--\; \in \; -->\mathcal{M}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},$