गणितीय प्रमाण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:12, 27 December 2022

पी. ऑक्सी। 29, यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों के सबसे पुराने जीवित अंशों में से एक, प्रूफ-राइटिंग तकनीक सिखाने के लिए सहस्राब्दियों से इस्तेमाल की जाने वाली पाठ्यपुस्तक। आरेख पुस्तक II, प्रस्ताव 5 के साथ आता है।^[1]

एक गणितीय प्रमाण एक गणितीय कथन के लिए एक आनुमानिक तर्क है, जो दर्शाता कि बताई गई मान्यताएँ तार्किक रूप से निष्कर्ष की प्रत्याभुति देती हैं। तर्क पहले से स्थापित अन्य कथनों का उपयोग कर सकता है, जैसे कि प्रमेय, लेकिन हर प्रमाण, सिद्धांत रूप में, केवल कुछ बुनियादी या मूल मान्यताओं का उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है,^[2]^[3]^[4] अनुमान के स्वीकृत नियमों के साथ। प्रमाण कटौतीत्मक तर्क के उदाहरण हैं जो तार्किक निश्चितता स्थापित करते हैं, अनुभवजन्य साक्ष्य तर्कों या गैर-संपूर्ण आगमनात्मक तर्क से अलग होने के लिए जो उचित अपेक्षा स्थापित करते हैं। ऐसे कई सदर्भ को प्रस्तुत करना जिनमें कथन मान्य है, एक प्रमाण के लिए पर्याप्त नहीं है, जो यह प्रदर्शित करे कि कथन सभी संभावित सदर्भ में सत्य है। एक प्रस्ताव जिसे सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन माना जाता है कि यह सच है, एक अनुमान के रूप में जाना जाता है, या एक परिकल्पना के रूप में जाना जाता है, जिसे आगे के गणितीय कार्यों के लिए प्रायः एक धारणा के रूप में उपयोग किया जाता है।

प्रमाण प्राकृतिक भाषा के साथ-साथ गणितीय प्रतीकों में व्यक्त तर्क को नियोजित करते हैं जो सामान्यतः कुछ अस्पष्टता को स्वीकार करते हैं। अधिकांश गणितीय साहित्य में, प्रमाणों को कठोरता विषियों में अनौपचारिक तर्कशास्त्र के संदर्भ में लिखा जाता है। प्राकृतिक भाषा की भागीदारी के बिना पूरी तरह से प्रतीकात्मक भाषा (गणित) में लिखे गए विशुद्ध रूप से औपचारिक प्रमाण को प्रमाण सिद्धांत में माना जाता है। प्रमाण सिद्धांत # औपचारिक और अनौपचारिक प्रमाण के बीच अंतर ने वर्तमान और ऐतिहासिक गणितीय अभ्यास, गणित में अर्ध-अनुभववाद, और तथाकथित गणितीय लोककथाओं, मुख्यधारा के गणितीय समुदाय या अन्य संस्कृतियों में मौखिक परंपराओं की बहुत अधिक जांच की है। गणित का दर्शन प्रमाणों में भाषा और तर्क की भूमिका से संबंधित, गणित एक भाषा के रूप में है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

शब्द प्रमाण लैटिन संभावित (परीक्षण करने के लिए) से आता है। संबंधित आधुनिक शब्द अंग्रेजी "जांच", "परिवीक्षा" और "संभाव्यता", स्पेनिश प्रोबार (सूंघने या स्वाद के लिए, या कभी-कभी स्पर्श या परीक्षण करने के लिए),^[5] इतालवी प्रोवारे (प्रयास करने के लिए), और जर्मन प्रोबिरेन (प्रयास करने के लिए हैं)। कानूनी शब्द "सत्यनिष्ठा" का अर्थ, अधिकार या विश्वसनीयता, प्रतिष्ठा या स्थिति के व्यक्तियों द्वारा दिए जाने पर तथ्यों को प्रमाणित करने की गवाही की शक्ति है।^[6]

चित्रों और उपमाओं जैसे अनुमानी उपकरणों का उपयोग करते हुए संभाव्यता तर्क सख्त गणितीय प्रमाण से पहले थे।^[7]यह संभव है कि किसी निष्कर्ष को प्रदर्शित करने का विचार सबसे पहले ज्यामिति के संबंध में उत्पन्न हुआ, जिसकी उत्पत्ति भूमि मापन की व्यावहारिक समस्याओं से हुई।^[8] गणितीय प्रमाण का विकास मुख्य रूप से ग्रीक गणित का उत्पाद है, और इसकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है।^[9] थेल्स (624-546 ईसा पूर्व) और चिओस के हिप्पोक्रेट्स (सी. 470-410 ईसा पूर्व) ने ज्यामिति में प्रमेयों के कुछ पहले ज्ञात प्रमाण दिए। कनिडस के यूडोक्सस (408-355 ईसा पूर्व) और थेएटेटस (गणितज्ञ) (417-369 ईसा पूर्व) ने प्रमेय तैयार किए लेकिन उन्हें सिद्ध नहीं किया। अरस्तू (384-322 ई.पू.) ने कहा कि परिभाषाओं को पहले से ज्ञात अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणा का वर्णन करना चाहिए।

यूक्लिड (300 ईसा पूर्व) द्वारा गणितीय प्रमाण में क्रांति ला दी गई थी, जिसने आज भी उपयोग में आने वाली स्वयंसिद्ध पद्धति की शुरुआत की। यह अपरिभाषित शर्तों और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू होता है, अपरिभाषित शब्द से संबंधित प्रस्ताव जो स्वयं-स्पष्ट रूप से सत्य (ग्रीक "अक्ष" से, कुछ योग्य) माना जाता है। इस आधार से, विधि निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करती है। यूक्लिड की पुस्तक, यूक्लिड के तत्व, 20वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में शिक्षित माने जाने वाले किसी भी व्यक्ति द्वारा पढ़ी गई थी।^[10] ज्यामिति के प्रमेयों के अलावा, जैसे पाइथागोरस प्रमेय, तत्वों में संख्या सिद्धांत भी सम्मिलित है, जिसमें एक प्रमाण सम्मिलित है कि दो का वर्गमूल अपरिमेय संख्या है और एक प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

मध्यकालीन इस्लाम में गणित के क्षेत्र में और प्रगति हुई। जबकि पहले ग्रीक प्रमाण बड़े पैमाने पर ज्यामितीय प्रदर्शन थे, इस्लामी गणितज्ञों द्वारा अंकगणित और बीजगणित के विकास ने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भरता के बिना अधिक सामान्य प्रमाणों की अनुमति दी थी। 10 वीं शताब्दी सीई में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशमी ने संख्या के साथ काम किया, जिसे "रेखाएं" कहा जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसे ज्यामितीय वस्तुओं के माप के रूप में माना जाए, ताकि अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व सहित गुणन, विभाजन आदि से संबंधित बीजगणितीय प्रस्तावों को प्रमाणित किया जा सके। ^[11] गैराज द्वारा अल-फखरी (1000) में अंकगणितीय प्रगति के लिए एक गणितीय आगमन पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग द्विपद प्रमेय और पास्कल के त्रिकोण के गुणों को प्रमाणित करने के लिए किया था। यूक्लिडियन ज्यामिति समानांतर अभिधारणा को प्रमाणित करने के पहले प्रयास के रूप में, अल्हज़ेन ने विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि भी विकसित की।^[12]

आधुनिक प्रमाण सिद्धांत प्रमाणों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित डेटा संरचनाओं के रूप में मानता है, इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि स्वयंसिद्ध किसी भी अर्थ में सत्य हैं। यह समानांतर गणितीय सिद्धांतों को दी गई सहज अवधारणा के औपचारिक प्रतिरूप के रूप में अनुमति देता है, जो स्वयंसिद्धों के वैकल्पिक सेटों पर आधारित है, उदाहरण के लिए स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति।

प्रकृति और उद्देश्य

जैसा कि अभ्यास किया जाता है, एक प्रमाण प्राकृतिक भाषा में व्यक्त किया जाता है और एक कठोर तर्क है जिसका उद्देश्य दर्शकों को किसी कथन की सच्चाई को समझाना है। कठोरता का मानक पूर्ण नहीं है और पूरे इतिहास में भिन्न है। इच्छित दर्शकों के आधार पर एक प्रमाण को अलग-अलग तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है। स्वीकृति प्राप्त करने के लिए, एक प्रमाण को कठोरता के सांप्रदायिक मानकों को पूरा करना होता है; अस्पष्ट या अपूर्ण माने जाने वाले तर्क को अस्वीकार किया जा सकता है।

प्रमाण की अवधारणा को गणितीय तर्क के क्षेत्र में औपचारिक रूप दिया गया है।^[13] एक औपचारिक प्रमाण प्राकृतिक भाषा के बजाय औपचारिक भाषा में लिखा जाता है। एक औपचारिक प्रमाण एक औपचारिक भाषा में अच्छी तरह से गठित सूत्र का एक क्रम है, जो एक धारणा से शुरू होता है, और प्रत्येक बाद के सूत्र के साथ पूर्ववर्ती का एक तार्किक परिणाम होता है। यह परिभाषा अध्ययन के लिए प्रमाण की अवधारणा को उत्तरदायी बनाती है। वास्तव में, प्रमाण सिद्धांत का क्षेत्र औपचारिक प्रमाणों और उनके गुणों का अध्ययन करता है, सबसे प्रसिद्ध और आश्चर्यजनक यह है कि लगभग सभी स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ कुछ स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) उत्पन्न कर सकती हैं जो प्रणाली के भीतर सिद्ध नहीं हो सकती हैं।

एक औपचारिक प्रमाण की परिभाषा का उद्देश्य गणित के अभ्यास में लिखी गई प्रमाणों की अवधारणा को ग्रहण करना है। इस परिभाषा की मजबूती इस विश्वास के बराबर है कि एक प्रकाशित प्रमाण, सिद्धांत रूप में, एक औपचारिक प्रमाण में परिवर्तित हो सकता है। हालांकि, स्वचालित प्रूफ सहायकों के क्षेत्र के बाहर, व्यवहार में ऐसा अनुमानतः ही कभी किया जाता है। दर्शनशास्त्र में एक उत्कृष्ट प्रश्न पूछता है कि क्या गणितीय प्रमाण विश्लेषणात्मक तर्कवाक्य हैं या संश्लिष्ट तर्कवाक्य। इम्मैनुएल कांत, जिन्होंने विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक भेद पेश किया, का मानना था कि गणितीय प्रमाण सिंथेटिक हैं, जबकि विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन ने अपने 1951 के अनुभववाद के दो हठधर्मिता में तर्क दिया कि ऐसा भेद अस्थिर है।^[14]

उनके गणितीय सौंदर्य के लिए प्रमाणों की प्रशंसा की जा सकती है। गणितज्ञ पॉल एर्डोस उन प्रमाणों का वर्णन करने के लिए जाने जाते थे जिन्हें उन्होंने "द बुक" से आने के रूप में विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण पाया, प्रत्येक प्रमेय को प्रमाणित करने के लिए सबसे सुंदर विधि (ओं) से युक्त एक काल्पनिक ग्रंथ। 2003 में प्रकाशित पुस्तक पुस्तक से प्रमाण, 32 प्रमाणों को प्रस्तुत करने के लिए समर्पित है, जो इसके संपादकों को विशेष रूप से भाते हैं।

प्रमाण के तरीके

प्रत्यक्ष प्रमाण

प्रत्यक्ष प्रमाण में, निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पहले के प्रमेयों को जोड़कर स्थापित किया जाता है।^[15] उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग यह प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है कि दो सम (गणित) पूर्णांकों का योग हमेशा सम होता है:

दो सम पूर्णांकों x और y पर विचार कीजिए। चूँकि वे सम हैं, उन्हें कुछ पूर्णांक a और b के लिए क्रमशः x = 2a और y = 2b के रूप में लिखा जा सकता है। फिर योग x + y = 2a + 2b = 2(a+b) है। इसलिए x+y में कारक के रूप में 2 है और, परिभाषा के अनुसार, सम है। अतः किन्हीं भी दो सम पूर्णांकों का योग सम होता है।

यह प्रमाण सम पूर्णांकों की परिभाषा, योग और गुणन के अंतर्गत संवरण के पूर्णांक गुणों और वितरण गुण का उपयोग करता है।

गणितीय आगमन द्वारा उत्पत्ति

अपने नाम के बावजूद, गणितीय आगमन निगमन का एक तरीका है, आगमनात्मक तर्क का एक रूप नहीं। गणितीय आगमन के प्रमाण में, एक एकल "आधार मामला" सिद्ध होता है, और एक "प्रेरण नियम" सिद्ध होता है जो यह स्थापित करता है कि कोई भी मनमाना मामला अगले मामले में दर्शाता है। चूंकि सिद्धांत रूप में आगमन नियम को बार-बार लागू किया जा सकता है (प्रमाणित आधार मामले से शुरू करके), यह इस प्रकार है कि सभी (सामान्यतः असीम रूप से) मामले सिद्ध होते हैं।^[16] यह प्रत्येक मामले को अलग-अलग प्रमाणित करने से बचा जाता है। गणितीय प्रेरण का एक प्रकार अनंत वंश द्वारा प्रमाण है, जिसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दो के वर्गमूल की तर्कहीनता को प्रमाणित करने के लिए।

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह प्रमाणित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है: [17] मान लीजिए N = {1, 2, 3, 4, ...} प्राकृतिक का समुच्चय है संख्याएँ, और P(n) एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n सम्मिलित है ।

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह प्रमाणित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है:^[17] मान लीजिए $N = {1, 2, 3, 4, ...$ } प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो, और $P (n)$ एक गणितीय कथन बनें $n$ $N$ एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n सम्मिलित है कि

(i) $P (1)$ सत्य है, अर्थात् $P (n)$ के लिए सत्य है $n = 1$ .
(ii) $P (n +1)$ सच है जब भी $P (n)$ सत्य है, अर्थात् $P (n)$ सत्य है का तात्पर्य है $P (n +1)$ सच हैं।
फिर $P (n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है $n$ .

उदाहरण के लिए, हम आगमन द्वारा सिद्ध कर सकते हैं कि 2n − 1 के रूप के सभी धनात्मक पूर्णांक विषम हैं। मान लीजिए कि P(n) "2n - 1 विषम है" को निरूपित करता है:

(i) n = 1 के लिए, 2n - 1 = 2(1) - 1 = 1, और 1 विषम है, क्योंकि यह 2 से विभाजित करने पर 1 शेष छोड़ता है। इस प्रकार P(1) सत्य है। (ii) किसी भी n के लिए, यदि 2n - 1 विषम (P(n)) है, तो (2n - 1) + 2 भी विषम होना चाहिए, क्योंकि किसी विषम संख्या में 2 जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती है। लेकिन (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, इसलिए 2(n+1) − 1 विषम है (P(n+1))। अतः P(n) का तात्पर्य P(n+1) से है। इस प्रकार सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 2n − 1 विषम है।

छोटा वाक्यांश "प्रेरण द्वारा प्रमाण" प्रायः "गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण" के बजाय प्रयोग किया जाता है^[18]

विक्षेपण द्वारा प्रमाण

विरोधाभास द्वारा प्रमाण "यदि P तो q" तार्किक रूप से समतुल्य विरोधाभासी बयान की स्थापना करके "यदि q नहीं तो P नहीं " कथन का अनुमान लगाता है।

उदाहरण के लिए, गर्भनिरोधक का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जा सकता है कि एक पूर्णांक $x$ , यदि $x^{2}$ सम है, तो $x$ सम है:

मान लीजिए

x

सम नहीं है। फिर

x

विषम है। अतः दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है

x^{2}=x\cdot x

विषम है। इस प्रकार

x^{2}

सम नहीं है। इस प्रकार, यदि

x^{2}

सम है, तो अनुमान झूठा होना चाहिए, इसलिए

x

सम होना चाहिए।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण

विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, जिसे लैटिन वाक्यांश रिडक्टियो एड बेतुका (बेतुके को कम करके) के रूप में भी जाना जाता है, यह दिखाया गया है कि यदि कुछ कथन को सत्य मान लिया जाता है, तो एक तार्किक विरोधाभास होता है, इसलिए कथन गलत होना चाहिए। एक प्रसिद्ध उदाहरण में यह प्रमाण सम्मिलित है कि ${\sqrt {2}}$ एक अपरिमेय संख्या है:

मान लो कि

{\sqrt {2}}

एक परिमेय संख्या थी। तब इसे निम्नतम शब्दों

{\sqrt {2}}={a \over b}

में लिखा जा सकता है जहाँ a और b सहअभाज्य के साथ गैर-शून्य पूर्णांक हैं। इस प्रकार,

b{\sqrt {2}}=a

. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2b = a² प्राप्त होता है । चूँकि 2 बायीं ओर के व्यंजक को विभाजित करता है, 2 को दायीं ओर के समान व्यंजक को भी विभाजित करना होगा। वह² सम है, जिसका अर्थ है कि a को भी सम होना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिए गए प्रस्ताव में देखा गया है (#विरोधाभास द्वारा प्रमाण)। अतः हम a = 2c लिख सकते हैं, जहाँ c भी एक पूर्णांक है। मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से 2b प्राप्त होता है² = (2सी)² = 4सी²। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर b प्राप्त होता है² = 2सी²। लेकिन फिर, पहले की तरह उसी तर्क से, 2 b को विभाजित करता है², इसलिए b सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि a और b दोनों सम हैं, तो उनके पास 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारे पिछले बयान का खंडन करता है कि ए और बी में कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए

{\sqrt {2}}

एक अपरिमेय संख्या है।

व्याख्या करना: यदि कोई लिख सकता है ${\sqrt {2}}$ भिन्न के रूप में, इस भिन्न को कभी भी निम्नतम शब्दों में नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि 2 को अंश और हर से हमेशा गुणनखंडित किया जा सकता है।

निर्माण द्वारा प्रमाण

निर्माण द्वारा प्रमाण, या उदाहरण के द्वारा प्रमाण, एक संपत्ति के साथ एक ठोस उदाहरण का निर्माण है, यह दिखाने के लिए कि उस संपत्ति में कुछ मौजूद है। उदाहरण के लिए, जोसेफ लिउविल ने ने एक स्पष्ट उदाहरण बनाकर पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध किया। इसका उपयोग एक प्रस्ताव का खंडन करने के लिए एक विरोध उदाहरण बनाने के लिए भी किया जा सकता है कि सभी तत्वों की एक निश्चित संपत्ति होती है।

थकावट से प्रमाण

थकावट द्वारा प्रमाण में, निष्कर्ष को सीमित संख्या में सदर्भ में विभाजित करके और प्रत्येक को अलग-अलग प्रमाणित करके स्थापित किया जाता है। सदर्भ की संख्या कभी-कभी बहुत बड़ी हो सकती है। उदाहरण के लिए, चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण 1,936 सदर्भ के साथ थकावट का प्रमाण था। यह प्रमाण विवादास्पद था क्योंकि अधिकांश सदर्भ की जाँच कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा की गई थी, हाथ से नहीं। 2011 तक चार रंग प्रमेय का सबसे छोटा ज्ञात प्रमाण अभी भी 600 से अधिक मामले हैं।^[19]

संभाव्य प्रमाण

एक संभाव्यता प्रमाण वह है जिसमें संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके एक उदाहरण को निश्चित रूप से मौजूद दिखाया गया है। संभाव्य प्रमाण, जैसे निर्माण द्वारा प्रमाण, अस्तित्व प्रमेयों को सिद्ध करने के कई तरीकों में से एक है।

संभाव्य पद्धति में, एक व्यक्ति एक दी गई संपत्ति वाले वस्तु की तलाश करता है, जो उम्मीदवारों के एक बड़े समूह से शुरू होता है। एक प्रत्येक उम्मीदवार को चुने जाने के लिए एक निश्चित संभावना प्रदान करता है, और फिर यह प्रमाणित करता है कि एक गैर-शून्य संभावना है कि एक चुने हुए उम्मीदवार के पास वांछित संपत्ति होगी। यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि किस उम्मीदवार के पास संपत्ति है, लेकिन कम से कम एक के बिना संभावना सकारात्मक नहीं हो सकती।

एक संभाव्य प्रमाण को एक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए कि एक प्रमेय 'अनुमानतः' सत्य है, एक 'संभावना तर्क' है। कोलाज अनुमान पर काम दिखाता है कि वास्तविक प्रमाण से कितनी दूर की संभावना है। जबकि अधिकांश गणितज्ञ यह नहीं सोचते हैं कि किसी दिए गए वस्तु के गुणों के लिए संभाव्य साक्ष्य एक वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में गिना जाता है, कुछ गणितज्ञों और दार्शनिकों ने तर्क दिया है कि कम से कम कुछ प्रकार के संभाव्य साक्ष्य (जैसे कि राबिन के प्रारंभिक परीक्षण के लिए संभाव्यता कलन विधि ) इस प्रकार हैं वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में अच्छा है।^[20]^[21]

मिश्रित प्रमाण

एक संयोजक प्रमाण अलग-अलग अभिव्यक्तियों की समानता को यह दिखा कर स्थापित करता है कि वे एक ही वस्तु को अलग-अलग तरीकों से गिनते हैं। प्रायः दो समुच्चय (गणित) के बीच एक आपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि उनके दो आकारों के भाव समान हैं। वैकल्पिक रूप से, एक दोहरी गिनती (प्रमाण तकनीक) एकल समुच्चय के आकार के लिए दो अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ प्रदान करती है, फिर से दिखाती है कि दो अभिव्यक्तियाँ समान हैं।

अरचनात्मक प्रमाण

एक गैर-रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि एक निश्चित संपत्ति के साथ एक गणितीय वस्तु मौजूद है - बिना यह बताए कि ऐसी वस्तु कैसे पाई जा सकती है। बहुधा यह अंतर्विरोध द्वारा एक प्रमाण का रूप ले लेता है जिसमें वस्तु का न होना असम्भव सिद्ध होता है। इसके विपरीत, एक रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि किसी विशेष वस्तु को खोजने का एक तरीका प्रदान करके मौजूद है। एक अरचनात्मक प्रमाण के निम्नलिखित प्रसिद्ध उदाहरण से पता चलता है कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b मौजूद हैं $a^{b}$ एक परिमेय संख्या है। यह प्रमाण उसका उपयोग करता है ${\sqrt {2}}$ अपरिमेय है (यूक्लिड के बाद से एक आसान प्रमाण जाना जाता है), लेकिन ऐसा नहीं है कि ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ अपरिमेय है (यह सच है, लेकिन प्रमाण प्राथमिक नहीं है)।

या

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

एक परिमेय संख्या है और हम कर चुके हैं (ले

a=b={\sqrt {2}}

), या

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

अपरिमेय है इसलिए हम लिख सकते हैं

a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

और

b={\sqrt {2}}

. इससे

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

, जो इस प्रकार a b के रूप की एक परिमेय संख्या है

a^{b}.

शुद्ध गणित में सांख्यिकीय प्रमाण

अभिव्यक्ति सांख्यिकीय प्रमाण का उपयोग शुद्ध गणित के क्षेत्रों में तकनीकी या बोलचाल में किया जा सकता है, जैसे कूटलेखन, अराजक श्रृंखला, और संभाव्य या विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत।^[22]^[23]^[24] गणितीय सांख्यिकी के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में गणितीय प्रमाण को संदर्भित करने के लिए इसका सामान्यतः कम उपयोग किया जाता है। नीचे "डेटा का उपयोग करके सांख्यिकीय प्रमाण" अनुभाग भी देखें।

कंप्यूटर से सहायता प्राप्त प्रमाण

बीसवीं शताब्दी तक यह माना जाता था कि किसी भी प्रमाण की वैधता की पुष्टि करने के लिए सिद्धांत रूप में, एक सक्षम गणितज्ञ द्वारा उसकी जाँच की जा सकती है।^[7] हालाँकि, अब कंप्यूटर का उपयोग प्रमेयों को सिद्ध करने और उन गणनाओं को करने के लिए किया जाता है जो किसी भी मानव या मनुष्यों की टीम की जाँच के लिए बहुत लंबी हैं; चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण कंप्यूटर की सहायता से प्रमाण का एक उदाहरण है। कुछ गणितज्ञ चिंतित हैं कि कंप्यूटर प्रोग्राम में त्रुटि की संभावना या इसकी गणना में भागो - समय त्रुटि ऐसे कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाणों की वैधता पर सवाल उठाती है। व्यवहार में, कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण को अमान्य करने में त्रुटि की संभावना को गणनाओं में अतिरेक और स्व-जांच को सम्मिलित करके, और कई स्वतंत्र दृष्टिकोणों और कार्यक्रमों को विकसित करके कम किया जा सकता है। मनुष्यों द्वारा प्रमाण के सत्यापन के मामले में भी त्रुटियों को पूरी तरह से खारिज नहीं किया जा सकता है, खासकर यदि प्रमाण में प्राकृतिक भाषा है और इसमें सम्मिलित संभावित छिपी धारणाओं और भ्रमों को उजागर करने के लिए गहन गणितीय अंतर्दृष्टि की आवश्यकता है।

अनिर्णायक कथन

एक कथन जो न तो प्रमाणित करने योग्य है और न ही स्वयंसिद्धों के एक समुच्चय से असिद्ध करने योग्य है, अनिर्णीत (उन स्वयंसिद्धों से) कहा जाता है। एक उदाहरण समानांतर अवधारणा है, जो यूक्लिडियन ज्यामिति के शेष स्वयंसिद्धों से न तो सिद्ध है और न ही खंडन योग्य है।

गणितज्ञों ने दिखाया है कि ऐसे कई कथन हैं जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धान्त में पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ न तो सिद्ध हैं और न ही असिद्ध हैं, गणित में सेट सिद्धांत की मानक प्रणाली (यह मानते हुए कि जेडएफसी सुसंगत है); जेडएफसी में अनिर्णीत बयानों की सूची देखें।

गोडेल की (प्रथम) अपूर्णता प्रमेय दर्शाती है कि गणितीय अभिरुचि के कई अभिगृहीत प्रणालियों में अनिर्णीत कथन होंगे।

ह्यूरिस्टिक गणित और प्रयोगात्मक गणित

यूक्लिड से लेकर 19वीं और 20वीं शताब्दी के अंतिम गणित के विकास तक, जबकि यूडोक्सस ऑफ कनिडस जैसे प्रारंभिक गणितज्ञों ने प्रमाणों का उपयोग नहीं किया, प्रमाण गणित का एक अनिवार्य हिस्सा थे।^[25] 1960 के दशक में कंप्यूटिंग शक्ति में वृद्धि के साथ, प्रूफ-प्रमेय ढांचे के बाहर गणितीय वस्तुओं की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण कार्य किया जाने लगा,^[26] प्रायोगिक गणित में। इन तरीकों के शुरुआती अग्रदूतों का इरादा काम को अंततः क्लासिकल प्रूफ-प्रमेय ढांचे में अंतर्निहित करना था, उदा। भग्न ज्यामिति का प्रारंभिक विकास,^[27] जो अंततः इतना अंतर्निहित था।

एक प्रमाण समाप्त करना

कभी-कभी, संक्षिप्त नाम क्यू.ई.डी. एक प्रमाण के अंत को इंगित करने के लिए लिखा गया है। यह संक्षिप्त नाम क्वॉड एराट डेमोनस्ट्रैंडम के लिए है, जो कि प्रदर्शित होने के लिए लैटिन है। एक अधिक सामान्य विकल्प एक वर्ग या एक आयत का उपयोग करना है, जैसे कि □ या ∎, जिसे समाधि का पत्थर (टाइपोग्राफी) के रूप में जाना जाता है या इसके नाम पॉल हेल्मोस के बाद हैल्मोस। प्रायः, जो दिखाया जाना था, मौखिक प्रस्तुति के दौरान क्यूईडी, □, या ∎ लिखते समय मौखिक रूप से कहा गया है। यूनिकोड स्पष्ट रूप से प्रूफ वर्ण का अंत प्रदान करता है, U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec)) ।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Bill Casselman. "यूक्लिड के सबसे पुराने मौजूदा आरेखों में से एक". University of British Columbia. Retrieved September 26, 2008.
↑ Clapham, C. & Nicholson, J.N. गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी, चौथा संस्करण. एक कथन जिसका सत्य या तो स्वतः स्पष्ट माना जाना है या माना जाना है। गणित के कुछ क्षेत्रों में स्वयंसिद्धों का एक सेट चुनना और यह पता लगाना शामिल है कि उनसे क्या परिणाम निकाले जा सकते हैं, प्राप्त प्रमेयों के लिए प्रमाण प्रदान करना।
↑ Cupillari, Antonella (2005) [2001]. द नट एंड बोल्ट्स ऑफ़ प्रूफ़्स: एन इंट्रोडक्शन टू मैथेमेटिकल प्रूफ़्स (Third ed.). Academic Press. p. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.
↑ Gossett, Eric (July 2009). सबूत के साथ असतत गणित. John Wiley & Sons. p. 86. ISBN 978-0470457931. परिभाषा 3.1। सबूत: एक अनौपचारिक परिभाषा
↑ "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.
↑ Hacking, Ian (1984) [1975]. संभाव्यता का उद्भव: प्रायिकता, प्रेरण और सांख्यिकीय अनुमान के बारे में प्रारंभिक विचारों का एक दार्शनिक अध्ययन. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-31803-7.
↑ ^7.0 ^7.1 The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007
↑ Kneale, William; Kneale, Martha (May 1985) [1962]. तर्क का विकास (New ed.). Oxford University Press. p. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.
↑ Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (February 2015). "प्राचीन ग्रीस में सबूत की उत्पत्ति एक हुसेरलियन पढ़ने के शैक्षणिक प्रभाव". Archive ouverte HAL. Retrieved October 20, 2019.
↑ Eves, Howard W. (January 1990) [1962]. गणित के इतिहास का एक परिचय (सॉन्डर्स श्रृंखला) (6th ed.). Brooks/Cole. p. 141. ISBN 978-0030295584. बाइबल को छोड़कर कोई भी कार्य अधिक व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया है...
↑ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [260], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID 121416910
↑ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, retrieved January 23, 2008
↑ Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6. See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."
↑ Quine, Willard Van Orman (1961). "अनुभववाद के दो हठधर्मिता" (PDF). Universität Zürich — Theologische Fakultät. p. 12. Retrieved October 20, 2019.
↑ Cupillari, p. 20.
↑ Cupillari, p. 46.
↑ Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
↑ Proof by induction Archived February 18, 2012, at the Wayback Machine, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology
↑ See Four color theorem#Simplification and verification.
↑ Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" American Mathematical Monthly 79:252–63.
↑ Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof." Journal of Philosophy 94:165–86.
↑ "in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." [1]
↑ "Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some statistical proof"" (Derogatory use.)[2]
↑ "these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" [3]
↑ Mumford, David B.; Series, Caroline; Wright, David (2002). इंद्र के मोती: फेलिक्स क्लेन की दृष्टि. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35253-6. तस्वीरों का क्या करें? दो विचार सामने आए: पहला यह था कि वे मानक तरीके से अप्रकाशित थे, कोई प्रमेय नहीं थे केवल बहुत ही विचारोत्तेजक चित्र थे। उन्होंने कई अनुमानों और आगे की खोज के लिए आकर्षक सबूत प्रस्तुत किए, लेकिन प्रमेय दायरे के सिक्के थे और उस दिन के सम्मेलनों ने तय किया कि पत्रिकाएं केवल प्रमेय प्रकाशित करती हैं।
↑ "फ्रैक्टल्स के इतिहास पर एक नोट". Archived from the original on February 15, 2009. आईबीएम रिसर्च लेबोरेटरी में काम कर रहे मैंडेलब्रॉट ने इन सेटों के लिए कुछ कंप्यूटर सिमुलेशन इस उचित धारणा पर किए कि, अगर आप कुछ साबित करना चाहते हैं, तो समय से पहले जवाब जानना मददगार हो सकता है।
↑ Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). भग्न ज्यामिति का परिचय. Icon Books. ISBN 978-1-84046-123-7. ... बेनोइट [मैंडेलब्रॉट] के लिए फिर से घर लाया कि 'आंख का गणित' था, कि किसी समस्या का दृश्य समाधान खोजने के लिए किसी भी विधि के रूप में मान्य था। आश्चर्यजनक रूप से, उन्होंने इस अनुमान के साथ खुद को अकेला पाया। फ़्रांस में गणित के शिक्षण पर छद्म नाम 'बोरबाकी' के पीछे छिपे मुट्ठी भर हठधर्मी गणितज्ञों का प्रभुत्व था...
↑ Herbst, Patricio G. (2002). "अमेरिकन स्कूल ज्योमेट्री में सिद्ध करने का रिवाज स्थापित करना: बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में दो-कॉलम प्रूफ का विकास" (PDF). Educational Studies in Mathematics. 49 (3): 283–312. doi:10.1023/A:1020264906740. hdl:2027.42/42653. S2CID 23084607.
↑ Dr. Fisher Burns. "दो-कॉलम प्रमाण का परिचय". onemathematicalcat.org. Retrieved 15 October 2009.

अग्रिम पठन

Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning, Princeton University Press, hdl:2027/mdp.39015008206248, ISBN 9780691080055.
Fallis, Don (2002), "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians", Logique et Analyse, 45: 373–88.
Franklin, J.; Daoud, A. (2011), Proof in Mathematics: An Introduction, Kew Books, ISBN 978-0-646-54509-7.
Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA.
Solow, D. (2004), How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes, Wiley, ISBN 978-0-471-68058-1.
Velleman, D. (2006), How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-67599-4.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

अनुमान
स्वयंसिद्ध
तर्क-कटौती-प्रमाण भेद
निगमनात्मक तर्क
एक भाषा के रूप में गणित
गणितीय लोकगीत
विवेचनात्मक तार्किकता
कनिडस का यूडोक्सस
चियोस के हिप्पोक्रेट्स
कटौतीत्मक तर्क
स्वयंसिद्ध विधि
थेटेटस (गणितज्ञ)
गणितीय अधिष्ठापन
बहस
प्रमाण सहायक
विश्लेषणात्मक प्रस्ताव
सिंथेटिक प्रस्ताव
वितरण की जाने वाली संपत्ति
समापन (गणित)
अनुमान का नियम
गर्भनिरोधक द्वारा प्रमाण
यिद
तार्किक रूप से समकक्ष
अंतर्विरोध
सह अभाज्य
प्रति उदाहरण
संभाव्य एल्गोरिदम
सिद्धांत संभावना
द्विभाजन
प्रयोगात्मक गणित
बिना शब्दों के प्रमाण
प्रधान संख्या प्रमेय
गणितीय व्यायाम
भौतिकी के गणितीय तरीके
अवलोकन अध्ययन
आंकड़े
प्रमाण
यक़ीन
नामस्त्रोत

बाहरी संबंध

Media related to गणितीय प्रमाण at Wikimedia Commons
Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
A lesson about proofs, in a course from Wikiversity

[1] Bill Casselman. "यूक्लिड के सबसे पुराने मौजूदा आरेखों में से एक". University of British Columbia. Retrieved September 26, 2008.

[2] Clapham, C. & Nicholson, J.N. गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी, चौथा संस्करण. एक कथन जिसका सत्य या तो स्वतः स्पष्ट माना जाना है या माना जाना है। गणित के कुछ क्षेत्रों में स्वयंसिद्धों का एक सेट चुनना और यह पता लगाना शामिल है कि उनसे क्या परिणाम निकाले जा सकते हैं, प्राप्त प्रमेयों के लिए प्रमाण प्रदान करना।

[nutsandbolts-3] Cupillari, Antonella (2005) [2001]. द नट एंड बोल्ट्स ऑफ़ प्रूफ़्स: एन इंट्रोडक्शन टू मैथेमेटिकल प्रूफ़्स (Third ed.). Academic Press. p. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.

[4] Gossett, Eric (July 2009). सबूत के साथ असतत गणित. John Wiley & Sons. p. 86. ISBN 978-0470457931. परिभाषा 3.1। सबूत: एक अनौपचारिक परिभाषा

[5] "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.

[6] Hacking, Ian (1984) [1975]. संभाव्यता का उद्भव: प्रायिकता, प्रेरण और सांख्यिकीय अनुमान के बारे में प्रारंभिक विचारों का एक दार्शनिक अध्ययन. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-31803-7.

[Krantz-7] 7.0 ^7.1 The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007

[8] Kneale, William; Kneale, Martha (May 1985) [1962]. तर्क का विकास (New ed.). Oxford University Press. p. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.

[9] Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (February 2015). "प्राचीन ग्रीस में सबूत की उत्पत्ति एक हुसेरलियन पढ़ने के शैक्षणिक प्रभाव". Archive ouverte HAL. Retrieved October 20, 2019.

[10] Eves, Howard W. (January 1990) [1962]. गणित के इतिहास का एक परिचय (सॉन्डर्स श्रृंखला) (6th ed.). Brooks/Cole. p. 141. ISBN 978-0030295584. बाइबल को छोड़कर कोई भी कार्य अधिक व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया है...

[11] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [260], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID 121416910

[12] Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, retrieved January 23, 2008

[13] Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6. See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."

[14] Quine, Willard Van Orman (1961). "अनुभववाद के दो हठधर्मिता" (PDF). Universität Zürich — Theologische Fakultät. p. 12. Retrieved October 20, 2019.

[15] Cupillari, p. 20.

[16] Cupillari, p. 46.

[17] Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers

[18] Proof by induction Archived February 18, 2012, at the Wayback Machine, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology

[19] See Four color theorem#Simplification and verification.

[20] Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" American Mathematical Monthly 79:252–63.

[21] Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof." Journal of Philosophy 94:165–86.

[22] "in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." [1]

[23] "Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some statistical proof"" (Derogatory use.)[2]

[24] "these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" [3]

[25] Mumford, David B.; Series, Caroline; Wright, David (2002). इंद्र के मोती: फेलिक्स क्लेन की दृष्टि. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35253-6. तस्वीरों का क्या करें? दो विचार सामने आए: पहला यह था कि वे मानक तरीके से अप्रकाशित थे, कोई प्रमेय नहीं थे केवल बहुत ही विचारोत्तेजक चित्र थे। उन्होंने कई अनुमानों और आगे की खोज के लिए आकर्षक सबूत प्रस्तुत किए, लेकिन प्रमेय दायरे के सिक्के थे और उस दिन के सम्मेलनों ने तय किया कि पत्रिकाएं केवल प्रमेय प्रकाशित करती हैं।

[26] "फ्रैक्टल्स के इतिहास पर एक नोट". Archived from the original on February 15, 2009. आईबीएम रिसर्च लेबोरेटरी में काम कर रहे मैंडेलब्रॉट ने इन सेटों के लिए कुछ कंप्यूटर सिमुलेशन इस उचित धारणा पर किए कि, अगर आप कुछ साबित करना चाहते हैं, तो समय से पहले जवाब जानना मददगार हो सकता है।

[27] Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). भग्न ज्यामिति का परिचय. Icon Books. ISBN 978-1-84046-123-7. ... बेनोइट [मैंडेलब्रॉट] के लिए फिर से घर लाया कि 'आंख का गणित' था, कि किसी समस्या का दृश्य समाधान खोजने के लिए किसी भी विधि के रूप में मान्य था। आश्चर्यजनक रूप से, उन्होंने इस अनुमान के साथ खुद को अकेला पाया। फ़्रांस में गणित के शिक्षण पर छद्म नाम 'बोरबाकी' के पीछे छिपे मुट्ठी भर हठधर्मी गणितज्ञों का प्रभुत्व था...

[28] Herbst, Patricio G. (2002). "अमेरिकन स्कूल ज्योमेट्री में सिद्ध करने का रिवाज स्थापित करना: बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में दो-कॉलम प्रूफ का विकास" (PDF). Educational Studies in Mathematics. 49 (3): 283–312. doi:10.1023/A:1020264906740. hdl:2027.42/42653. S2CID 23084607.

[29] Dr. Fisher Burns. "दो-कॉलम प्रमाण का परिचय". onemathematicalcat.org. Retrieved 15 October 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

@@ Line 5: / Line 5: @@
 |publisher=University of British Columbia
 |access-date=September 26, 2008
-}}</ref>]]एक '''गणितीय प्रमाण''' एक [[प्रस्ताव|गणितीय कथन]]  के लिए एकआनुमानिक तर्क है, जो दर्शाता कि बताई गई मान्यताएँ तार्किक रूप से निष्कर्ष की प्रत्याभुति देती हैं। तर्क पहले से स्थापित अन्य कथनों का उपयोग कर सकता है, जैसे कि [[प्रमेय]], लेकिन हर प्रमाण, सिद्धांत रूप में, केवल कुछ बुनियादी या मूल मान्यताओं का उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है,<ref>{{cite book |author1=Clapham, C.  |author2=Nicholson, J.N.  |name-list-style=amp | title = गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी, चौथा संस्करण|quote = एक कथन जिसका सत्य या तो स्वतः स्पष्ट माना जाना है या माना जाना है। गणित के कुछ क्षेत्रों में स्वयंसिद्धों का एक सेट चुनना और यह पता लगाना शामिल है कि उनसे क्या परिणाम निकाले जा सकते हैं, प्राप्त प्रमेयों के लिए प्रमाण प्रदान करना।}}</ref><ref name="nutsandbolts">{{cite book|title=द नट एंड बोल्ट्स ऑफ़ प्रूफ़्स: एन इंट्रोडक्शन टू मैथेमेटिकल प्रूफ़्स|last=Cupillari |first=Antonella|author-link= Antonella Cupillari |edition=Third |year=2005 |orig-year=2001 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-088509-1 |page=3}}</ref><ref>{{cite book|title=सबूत के साथ असतत गणित|date=July 2009 |first=Eric |last=Gossett |page=86 |quote=परिभाषा 3.1। सबूत: एक अनौपचारिक परिभाषा|publisher=[[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]] |isbn=978-0470457931}}</ref> [[अनुमान]] के स्वीकृत नियमों के साथ।  प्रमाण कटौतीत्मक तर्क के उदाहरण हैं जो तार्किक निश्चितता स्थापित करते हैं, [[अनुभवजन्य साक्ष्य]] तर्कों या गैर-संपूर्ण आगमनात्मक तर्क से अलग होने के लिए जो उचित अपेक्षा स्थापित करते हैं। ऐसे कई मामलों को प्रस्तुत करना जिनमें कथन मान्य है, एक प्रमाण के लिए पर्याप्त नहीं है, जो यह प्रदर्शित करे कि कथन सभी संभावित मामलों में सत्य है। एक प्रस्ताव जिसे सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन माना जाता है कि यह सच है, एक अनुमान के रूप में जाना जाता है, या एक परिकल्पना के रूप में जाना जाता है, जिसे आगे के गणितीय कार्यों के लिए अक्सर एक धारणा के रूप में उपयोग किया जाता है।
+}}</ref>]]एक '''गणितीय प्रमाण''' एक [[प्रस्ताव|गणितीय कथन]] के लिए एक आनुमानिक तर्क है, जो दर्शाता कि बताई गई मान्यताएँ तार्किक रूप से निष्कर्ष की प्रत्याभुति देती हैं। तर्क पहले से स्थापित अन्य कथनों का उपयोग कर सकता है, जैसे कि [[प्रमेय]], लेकिन हर प्रमाण, सिद्धांत रूप में, केवल कुछ बुनियादी या मूल मान्यताओं का उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है,<ref>{{cite book |author1=Clapham, C.  |author2=Nicholson, J.N.  |name-list-style=amp | title = गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी, चौथा संस्करण|quote = एक कथन जिसका सत्य या तो स्वतः स्पष्ट माना जाना है या माना जाना है। गणित के कुछ क्षेत्रों में स्वयंसिद्धों का एक सेट चुनना और यह पता लगाना शामिल है कि उनसे क्या परिणाम निकाले जा सकते हैं, प्राप्त प्रमेयों के लिए प्रमाण प्रदान करना।}}</ref><ref name="nutsandbolts">{{cite book|title=द नट एंड बोल्ट्स ऑफ़ प्रूफ़्स: एन इंट्रोडक्शन टू मैथेमेटिकल प्रूफ़्स|last=Cupillari |first=Antonella|author-link= Antonella Cupillari |edition=Third |year=2005 |orig-year=2001 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-088509-1 |page=3}}</ref><ref>{{cite book|title=सबूत के साथ असतत गणित|date=July 2009 |first=Eric |last=Gossett |page=86 |quote=परिभाषा 3.1। सबूत: एक अनौपचारिक परिभाषा|publisher=[[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]] |isbn=978-0470457931}}</ref> [[अनुमान]] के स्वीकृत नियमों के साथ। प्रमाण कटौतीत्मक तर्क के उदाहरण हैं जो तार्किक निश्चितता स्थापित करते हैं, [[अनुभवजन्य साक्ष्य]] तर्कों या गैर-संपूर्ण आगमनात्मक तर्क से अलग होने के लिए जो उचित अपेक्षा स्थापित करते हैं। ऐसे कई सदर्भ को प्रस्तुत करना जिनमें कथन मान्य है, एक प्रमाण के लिए पर्याप्त नहीं है, जो यह प्रदर्शित करे कि कथन सभी संभावित सदर्भ में सत्य है। एक प्रस्ताव जिसे सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन माना जाता है कि यह सच है, एक अनुमान के रूप में जाना जाता है, या एक परिकल्पना के रूप में जाना जाता है, जिसे आगे के गणितीय कार्यों के लिए प्रायः एक धारणा के रूप में उपयोग किया जाता है।
-प्रमाण [[प्राकृतिक भाषा]] के साथ-साथ गणितीय प्रतीकों में व्यक्त तर्क को नियोजित करते हैं जो आमतौर पर कुछ अस्पष्टता को स्वीकार करते हैं। अधिकांश गणितीय साहित्य में, प्रमाणों को कठोरता विषियों में [[अनौपचारिक तर्क|अनौपचारिक तर्कशास्त्र]] के संदर्भ में लिखा जाता है। प्राकृतिक भाषा की भागीदारी के बिना पूरी तरह से [[प्रतीकात्मक भाषा (गणित)]] में लिखे गए विशुद्ध रूप से [[औपचारिक प्रमाण]]ों को प्रमाण सिद्धांत में माना जाता है। [[प्रमाण]] [[सबूत सिद्धांत|सिद्धांत]] # औपचारिक और अनौपचारिक प्रमाण के बीच अंतर ने वर्तमान और ऐतिहासिक [[गणितीय अभ्यास]], [[गणित में अर्ध-अनुभववाद]], और तथाकथित गणितीय लोककथाओं, मुख्यधारा के गणितीय समुदाय या अन्य संस्कृतियों में मौखिक परंपराओं की बहुत अधिक जांच की है। [[गणित का दर्शन]] प्रमाणों में भाषा और तर्क की भूमिका से संबंधित, गणित एक भाषा के रूप में है।
+प्रमाण [[प्राकृतिक भाषा]] के साथ-साथ गणितीय प्रतीकों में व्यक्त तर्क को नियोजित करते हैं जो सामान्यतः कुछ अस्पष्टता को स्वीकार करते हैं। अधिकांश गणितीय साहित्य में, प्रमाणों को कठोरता विषियों में [[अनौपचारिक तर्क|अनौपचारिक तर्कशास्त्र]] के संदर्भ में लिखा जाता है। प्राकृतिक भाषा की भागीदारी के बिना पूरी तरह से [[प्रतीकात्मक भाषा (गणित)]] में लिखे गए विशुद्ध रूप से [[औपचारिक प्रमाण]] को प्रमाण सिद्धांत में माना जाता है। [[प्रमाण]] [[सबूत सिद्धांत|सिद्धांत]] # औपचारिक और अनौपचारिक प्रमाण के बीच अंतर ने वर्तमान और ऐतिहासिक [[गणितीय अभ्यास]], [[गणित में अर्ध-अनुभववाद]], और तथाकथित गणितीय लोककथाओं, मुख्यधारा के गणितीय समुदाय या अन्य संस्कृतियों में मौखिक परंपराओं की बहुत अधिक जांच की है। [[गणित का दर्शन]] प्रमाणों में भाषा और तर्क की भूमिका से संबंधित, गणित एक भाषा के रूप में है।
 == इतिहास और व्युत्पत्ति ==
 {{See also|तर्क का इतिहास}}
-शब्द प्रमाण लैटिन संभावित (परीक्षण करने के लिए) से आता है। संबंधित आधुनिक शब्द अंग्रेजी "जांच", "परिवीक्षा" और "संभाव्यता", स्पेनिश प्रोबार (सूंघने या स्वाद के लिए, या कभी-कभी स्पर्श या परीक्षण करने के लिए),<ref>"proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.</ref> इतालवी प्रोवारे (कोशिश करने के लिए), और जर्मन प्रोबिरेन (कोशिश करने के लिए हैं)। कानूनी शब्द "सत्यनिष्ठा" का अर्थ, अधिकार या विश्वसनीयता, प्रतिष्ठा या स्थिति के व्यक्तियों द्वारा दिए जाने पर तथ्यों को साबित करने की गवाही की शक्ति है।<ref>{{cite book|title = संभाव्यता का उद्भव: प्रायिकता, प्रेरण और सांख्यिकीय अनुमान के बारे में प्रारंभिक विचारों का एक दार्शनिक अध्ययन|first = Ian|last = Hacking|author-link=Ian Hacking |publisher = [[Cambridge University Press]] |year= 1984|orig-year=1975 |isbn=978-0-521-31803-7|url = https://en.wikipedia.org/wiki/The_Emergence_of_Probability}}</ref>
+शब्द प्रमाण लैटिन संभावित (परीक्षण करने के लिए) से आता है। संबंधित आधुनिक शब्द अंग्रेजी "जांच", "परिवीक्षा" और "संभाव्यता", स्पेनिश प्रोबार (सूंघने या स्वाद के लिए, या कभी-कभी स्पर्श या परीक्षण करने के लिए),<ref>"proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.</ref> इतालवी प्रोवारे (प्रयास करने के लिए), और जर्मन प्रोबिरेन (प्रयास करने के लिए हैं)। कानूनी शब्द "सत्यनिष्ठा" का अर्थ, अधिकार या विश्वसनीयता, प्रतिष्ठा या स्थिति के व्यक्तियों द्वारा दिए जाने पर तथ्यों को प्रमाणित करने की गवाही की शक्ति है।<ref>{{cite book|title = संभाव्यता का उद्भव: प्रायिकता, प्रेरण और सांख्यिकीय अनुमान के बारे में प्रारंभिक विचारों का एक दार्शनिक अध्ययन|first = Ian|last = Hacking|author-link=Ian Hacking |publisher = [[Cambridge University Press]] |year= 1984|orig-year=1975 |isbn=978-0-521-31803-7|url = https://en.wikipedia.org/wiki/The_Emergence_of_Probability}}</ref>
 चित्रों और उपमाओं जैसे अनुमानी उपकरणों का उपयोग करते हुए संभाव्यता तर्क सख्त गणितीय प्रमाण से पहले थे।<ref name="Krantz" />यह संभव है कि किसी निष्कर्ष को प्रदर्शित करने का विचार सबसे पहले [[ज्यामिति]] के संबंध में उत्पन्न हुआ, जिसकी उत्पत्ति भूमि मापन की व्यावहारिक समस्याओं से हुई।<ref>{{cite book|title=तर्क का विकास|first1=William |last1=Kneale |first2=Martha |last2=Kneale |author-link1=William Kneale (logician) |date=May 1985 |orig-year=1962 |page=3 |edition=New |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-824773-9}}</ref> गणितीय प्रमाण का विकास मुख्य रूप से [[ग्रीक गणित]] का उत्पाद है, और इसकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है।<ref>{{Cite web|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01281050/document|title=प्राचीन ग्रीस में सबूत की उत्पत्ति एक हुसेरलियन पढ़ने के शैक्षणिक प्रभाव|last1=Moutsios-Rentzos|first1=Andreas|last2=Spyrou|first2=Panagiotis|date=February 2015|website=Archive ouverte HAL|access-date=October 20, 2019}}</ref> [[थेल्स]] (624-546 ईसा पूर्व) और चिओस के हिप्पोक्रेट्स (सी. 470-410 ईसा पूर्व) ने ज्यामिति में प्रमेयों के कुछ पहले ज्ञात प्रमाण दिए। कनिडस के यूडोक्सस (408-355 ईसा पूर्व) और थेएटेटस (गणितज्ञ) (417-369 ईसा पूर्व) ने प्रमेय तैयार किए लेकिन उन्हें सिद्ध नहीं किया। [[अरस्तू]] (384-322 ई.पू.) ने कहा कि परिभाषाओं को पहले से ज्ञात अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणा का वर्णन करना चाहिए।
-यूक्लिड (300 ईसा पूर्व) द्वारा गणितीय प्रमाण में क्रांति ला दी गई थी, जिसने आज भी उपयोग में आने वाली स्वयंसिद्ध पद्धति की शुरुआत की। यह अपरिभाषित शर्तों और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू होता है, [[अपरिभाषित शब्द]]ों से संबंधित प्रस्ताव जो स्वयं-स्पष्ट रूप से सत्य (ग्रीक "अक्ष" से, कुछ योग्य) माना जाता है। इस आधार से, विधि निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करती है। यूक्लिड की पुस्तक, यूक्लिड के तत्व, 20वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में शिक्षित माने जाने वाले किसी भी व्यक्ति द्वारा पढ़ी गई थी।<ref>{{cite book|title=गणित के इतिहास का एक परिचय (सॉन्डर्स श्रृंखला)|first=Howard W. |last=Eves |author-link=Howard Eves |edition=6th |date=January 1990 |orig-year=1962 |page=141 |quote=बाइबल को छोड़कर कोई भी कार्य अधिक व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया है...|publisher=[[Cengage|Brooks/Cole]] |isbn=978-0030295584}}</ref> ज्यामिति के प्रमेयों के अलावा, जैसे [[पाइथागोरस प्रमेय]], तत्वों में [[संख्या सिद्धांत]] भी शामिल है, जिसमें एक प्रमाण शामिल है कि [[दो का वर्गमूल]] [[अपरिमेय संख्या]] है और एक प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई [[अभाज्य संख्या]]एँ हैं।
+यूक्लिड (300 ईसा पूर्व) द्वारा गणितीय प्रमाण में क्रांति ला दी गई थी, जिसने आज भी उपयोग में आने वाली स्वयंसिद्ध पद्धति की शुरुआत की। यह अपरिभाषित शर्तों और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू होता है, [[अपरिभाषित शब्द]] से संबंधित प्रस्ताव जो स्वयं-स्पष्ट रूप से सत्य (ग्रीक "अक्ष" से, कुछ योग्य) माना जाता है। इस आधार से, विधि निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करती है। यूक्लिड की पुस्तक, यूक्लिड के तत्व, 20वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में शिक्षित माने जाने वाले किसी भी व्यक्ति द्वारा पढ़ी गई थी।<ref>{{cite book|title=गणित के इतिहास का एक परिचय (सॉन्डर्स श्रृंखला)|first=Howard W. |last=Eves |author-link=Howard Eves |edition=6th |date=January 1990 |orig-year=1962 |page=141 |quote=बाइबल को छोड़कर कोई भी कार्य अधिक व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया है...|publisher=[[Cengage|Brooks/Cole]] |isbn=978-0030295584}}</ref> ज्यामिति के प्रमेयों के अलावा, जैसे [[पाइथागोरस प्रमेय]], तत्वों में [[संख्या सिद्धांत]] भी सम्मिलित है, जिसमें एक प्रमाण सम्मिलित है कि [[दो का वर्गमूल]] [[अपरिमेय संख्या]] है और एक प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई [[अभाज्य संख्या]]एँ हैं।
-[[मध्यकालीन इस्लाम में गणित]] के क्षेत्र में और प्रगति हुई। जबकि पहले ग्रीक प्रमाण बड़े पैमाने पर ज्यामितीय प्रदर्शन थे, इस्लामी गणितज्ञों द्वारा [[अंकगणित]] और [[बीजगणित]] के विकास ने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भरता के बिना अधिक सामान्य प्रमाणों की अनुमति दी थी। 10 वीं शताब्दी सीई में, [[इराकी लोग|इराकी]]  गणितज्ञ [[हाशमी|अल-हाशमी]] ने संख्या के साथ काम किया, जिसे "रेखाएं" कहा जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसे ज्यामितीय वस्तुओं के माप के रूप में माना जाए, ताकि अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व सहित गुणन, विभाजन आदि से संबंधित बीजगणितीय प्रस्तावों को साबित किया जा सके। <ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=[[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]]|volume=500|issue=1|pages=253–77 [260]|doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x|bibcode=1987NYASA.500..253M|s2cid=121416910}}</ref> [[गैराज]] द्वारा अल-फखरी (1000) में [[अंकगणितीय प्रगति]] के लिए एक गणितीय आगमन पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग [[द्विपद प्रमेय]] और पास्कल के त्रिकोण के गुणों को साबित करने के लिए किया था। [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] [[समानांतर अभिधारणा]] को साबित करने के पहले प्रयास के रूप में, अल्हज़ेन ने [[विरोधाभास द्वारा प्रमाण]] की विधि भी विकसित की।<ref>{{Citation |last=Eder |first=Michelle |year=2000 |title=Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam |url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html |publisher=[[Rutgers University]] |access-date=January 23, 2008 }}</ref>
+[[मध्यकालीन इस्लाम में गणित]] के क्षेत्र में और प्रगति हुई। जबकि पहले ग्रीक प्रमाण बड़े पैमाने पर ज्यामितीय प्रदर्शन थे, इस्लामी गणितज्ञों द्वारा [[अंकगणित]] और [[बीजगणित]] के विकास ने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भरता के बिना अधिक सामान्य प्रमाणों की अनुमति दी थी। 10 वीं शताब्दी सीई में, [[इराकी लोग|इराकी]] गणितज्ञ [[हाशमी|अल-हाशमी]] ने संख्या के साथ काम किया, जिसे "रेखाएं" कहा जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसे ज्यामितीय वस्तुओं के माप के रूप में माना जाए, ताकि अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व सहित गुणन, विभाजन आदि से संबंधित बीजगणितीय प्रस्तावों को प्रमाणित किया जा सके। <ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=[[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]]|volume=500|issue=1|pages=253–77 [260]|doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x|bibcode=1987NYASA.500..253M|s2cid=121416910}}</ref> [[गैराज]] द्वारा अल-फखरी (1000) में [[अंकगणितीय प्रगति]] के लिए एक गणितीय आगमन पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग [[द्विपद प्रमेय]] और पास्कल के त्रिकोण के गुणों को प्रमाणित करने के लिए किया था। [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] [[समानांतर अभिधारणा]] को प्रमाणित करने के पहले प्रयास के रूप में, अल्हज़ेन ने [[विरोधाभास द्वारा प्रमाण]] की विधि भी विकसित की।<ref>{{Citation |last=Eder |first=Michelle |year=2000 |title=Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam |url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html |publisher=[[Rutgers University]] |access-date=January 23, 2008 }}</ref>
-आधुनिक प्रमाण सिद्धांत प्रमाणों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित  [[Index.php?title= डेटा संरचनाएं|डेटा संरचनाओं]] के रूप में मानता है, इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि स्वयंसिद्ध किसी भी अर्थ में सत्य हैं। यह समानांतर गणितीय सिद्धांतों को दी गई सहज अवधारणा के औपचारिक प्रतिरूप के रूप में अनुमति देता है, जो स्वयंसिद्धों के वैकल्पिक सेटों पर आधारित है, उदाहरण के लिए [[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] और [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]]।
+आधुनिक प्रमाण सिद्धांत प्रमाणों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित [[Index.php?title= डेटा संरचनाएं|डेटा संरचनाओं]] के रूप में मानता है, इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि स्वयंसिद्ध किसी भी अर्थ में सत्य हैं। यह समानांतर गणितीय सिद्धांतों को दी गई सहज अवधारणा के औपचारिक प्रतिरूप के रूप में अनुमति देता है, जो स्वयंसिद्धों के वैकल्पिक सेटों पर आधारित है, उदाहरण के लिए [[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] और [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]]।
 == प्रकृति और उद्देश्य ==
@@ Line 27: / Line 27: @@
 प्रमाण की अवधारणा को [[गणितीय तर्क]] के क्षेत्र में औपचारिक रूप दिया गया है।<ref>{{citation|title=Handbook of Proof Theory|volume=137|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|editor-first=Samuel R.|editor-last=Buss|editor-link=Samuel Buss|publisher=Elsevier|year=1998|isbn=978-0-08-053318-6|contribution=An introduction to proof theory|pages=1–78|first=Samuel R.|last=Buss|author-link=Samuel Buss}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=MfTMDeCq7ukC&pg=PA3 p.&nbsp;3]: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."</ref> एक औपचारिक प्रमाण प्राकृतिक भाषा के बजाय [[औपचारिक भाषा]] में लिखा जाता है। एक औपचारिक प्रमाण एक औपचारिक भाषा में [[अच्छी तरह से गठित सूत्र]] का एक क्रम है, जो एक धारणा से शुरू होता है, और प्रत्येक बाद के सूत्र के साथ पूर्ववर्ती का एक तार्किक परिणाम होता है। यह परिभाषा अध्ययन के लिए प्रमाण की अवधारणा को उत्तरदायी बनाती है। वास्तव में, प्रमाण सिद्धांत का क्षेत्र औपचारिक प्रमाणों और उनके गुणों का अध्ययन करता है, सबसे प्रसिद्ध और आश्चर्यजनक यह है कि लगभग सभी स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ कुछ [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] उत्पन्न कर सकती हैं जो प्रणाली के भीतर सिद्ध नहीं हो सकती हैं।
-एक औपचारिक प्रमाण की परिभाषा का उद्देश्य गणित के अभ्यास में लिखी गई प्रमाणों की अवधारणा को ग्रहण करना है। इस परिभाषा की मजबूती इस विश्वास के बराबर है कि एक प्रकाशित प्रमाण, सिद्धांत रूप में, एक औपचारिक प्रमाण में परिवर्तित हो सकता है। हालांकि, स्वचालित प्रूफ सहायकों के क्षेत्र के बाहर, व्यवहार में ऐसा शायद ही कभी किया जाता है। दर्शनशास्त्र में एक उत्कृष्ट प्रश्न पूछता है कि क्या गणितीय प्रमाण विश्लेषणात्मक तर्कवाक्य हैं या संश्लिष्ट तर्कवाक्य। [[इम्मैनुएल कांत]], जिन्होंने विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक भेद पेश किया, का मानना था कि गणितीय प्रमाण सिंथेटिक हैं, जबकि [[विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन]] ने अपने 1951 के [[अनुभववाद के दो हठधर्मिता]] में तर्क दिया कि ऐसा भेद अस्थिर है।<ref>{{Cite web|url=https://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|title=अनुभववाद के दो हठधर्मिता|last=Quine|first=Willard Van Orman|date=1961|website=Universität Zürich — Theologische Fakultät|page=12|access-date=October 20, 2019}}</ref>
+एक औपचारिक प्रमाण की परिभाषा का उद्देश्य गणित के अभ्यास में लिखी गई प्रमाणों की अवधारणा को ग्रहण करना है। इस परिभाषा की मजबूती इस विश्वास के बराबर है कि एक प्रकाशित प्रमाण, सिद्धांत रूप में, एक औपचारिक प्रमाण में परिवर्तित हो सकता है। हालांकि, स्वचालित प्रूफ सहायकों के क्षेत्र के बाहर, व्यवहार में ऐसा अनुमानतः ही कभी किया जाता है। दर्शनशास्त्र में एक उत्कृष्ट प्रश्न पूछता है कि क्या गणितीय प्रमाण विश्लेषणात्मक तर्कवाक्य हैं या संश्लिष्ट तर्कवाक्य। [[इम्मैनुएल कांत]], जिन्होंने विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक भेद पेश किया, का मानना था कि गणितीय प्रमाण सिंथेटिक हैं, जबकि [[विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन]] ने अपने 1951 के [[अनुभववाद के दो हठधर्मिता]] में तर्क दिया कि ऐसा भेद अस्थिर है।<ref>{{Cite web|url=https://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|title=अनुभववाद के दो हठधर्मिता|last=Quine|first=Willard Van Orman|date=1961|website=Universität Zürich — Theologische Fakultät|page=12|access-date=October 20, 2019}}</ref>
-उनके [[गणितीय सौंदर्य]] के लिए प्रमाणों की प्रशंसा की जा सकती है। गणितज्ञ पॉल एर्डोस उन प्रमाणों का वर्णन करने के लिए जाने जाते थे जिन्हें उन्होंने "द बुक" से आने के रूप में विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण पाया, प्रत्येक प्रमेय को साबित करने के लिए सबसे सुंदर विधि (ओं) से युक्त एक काल्पनिक ग्रंथ। 2003 में प्रकाशित पुस्तक [[पुस्तक से प्रमाण]], 32 प्रमाणों को प्रस्तुत करने के लिए समर्पित है, जो इसके संपादकों को विशेष रूप से भाते हैं।
+उनके [[गणितीय सौंदर्य]] के लिए प्रमाणों की प्रशंसा की जा सकती है। गणितज्ञ पॉल एर्डोस उन प्रमाणों का वर्णन करने के लिए जाने जाते थे जिन्हें उन्होंने "द बुक" से आने के रूप में विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण पाया, प्रत्येक प्रमेय को प्रमाणित करने के लिए सबसे सुंदर विधि (ओं) से युक्त एक काल्पनिक ग्रंथ। 2003 में प्रकाशित पुस्तक [[पुस्तक से प्रमाण]], 32 प्रमाणों को प्रस्तुत करने के लिए समर्पित है, जो इसके संपादकों को विशेष रूप से भाते हैं।
 ==प्रमाण के तरीके ==
@@ Line 35: / Line 35: @@
 === प्रत्यक्ष प्रमाण ===
 {{Main|प्रत्यक्ष प्रमाण}}
-प्रत्यक्ष प्रमाण में, निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पहले के प्रमेयों को जोड़कर स्थापित किया जाता है।<ref>Cupillari, p. 20.</ref> उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि दो  [[समता (गणित)|सम (गणित)]] [[पूर्णांक]]ों का योग हमेशा सम होता है:
+प्रत्यक्ष प्रमाण में, निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पहले के प्रमेयों को जोड़कर स्थापित किया जाता है।<ref>Cupillari, p. 20.</ref> उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग यह प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है कि दो [[समता (गणित)|सम (गणित)]] [[पूर्णांक]]ों का योग हमेशा सम होता है:
 : दो सम पूर्णांकों x और y पर विचार कीजिए। चूँकि वे सम हैं, उन्हें कुछ पूर्णांक a और b के लिए क्रमशः x = 2a और y = 2b के रूप में लिखा जा सकता है। फिर योग x + y = 2a + 2b = 2(a+b) है। इसलिए x+y में [[भाजक|कारक]] के रूप में 2 है और, परिभाषा के अनुसार, सम है। अतः किन्हीं भी दो सम पूर्णांकों का योग सम होता है।
@@ Line 43: / Line 43: @@
 ===गणितीय आगमन द्वारा उत्पत्ति ===
 {{Main|गणितीय प्रेरण}}
-अपने नाम के बावजूद, गणितीय आगमन निगमन का एक तरीका है, आगमनात्मक तर्क का एक रूप नहीं। गणितीय आगमन के प्रमाण में, एक एकल "आधार मामला" सिद्ध होता है, और एक "प्रेरण नियम" सिद्ध होता है जो यह स्थापित करता है कि कोई भी मनमाना मामला अगले मामले में दर्शाता है। चूंकि सिद्धांत रूप में आगमन नियम को बार-बार लागू किया जा सकता है (प्रमाणित आधार मामले से शुरू करके), यह इस प्रकार है कि सभी (आमतौर पर असीम रूप से) मामले सिद्ध होते हैं।<ref>Cupillari, p. 46.</ref> यह प्रत्येक मामले को अलग-अलग साबित करने से बचा जाता है। गणितीय प्रेरण का एक प्रकार [[अनंत वंश द्वारा प्रमाण]] है, जिसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, [[दो के वर्गमूल की तर्कहीनता]] को साबित करने के लिए।
+अपने नाम के बावजूद, गणितीय आगमन निगमन का एक तरीका है, आगमनात्मक तर्क का एक रूप नहीं। गणितीय आगमन के प्रमाण में, एक एकल "आधार मामला" सिद्ध होता है, और एक "प्रेरण नियम" सिद्ध होता है जो यह स्थापित करता है कि कोई भी मनमाना मामला अगले मामले में दर्शाता है। चूंकि सिद्धांत रूप में आगमन नियम को बार-बार लागू किया जा सकता है (प्रमाणित आधार मामले से शुरू करके), यह इस प्रकार है कि सभी (सामान्यतः असीम रूप से) मामले सिद्ध होते हैं।<ref>Cupillari, p. 46.</ref> यह प्रत्येक मामले को अलग-अलग प्रमाणित करने से बचा जाता है। गणितीय प्रेरण का एक प्रकार [[अनंत वंश द्वारा प्रमाण]] है, जिसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, [[दो के वर्गमूल की तर्कहीनता]] को प्रमाणित करने के लिए।
-गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह साबित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है: [17] मान लीजिए N = {1, 2, 3, 4, ...} प्राकृतिक का समुच्चय है संख्याएँ, और P(n) एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n शामिल है |
+गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह प्रमाणित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है: [17] मान लीजिए N = {1, 2, 3, 4, ...} प्राकृतिक का समुच्चय है संख्याएँ, और P(n) एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n सम्मिलित है ।
-गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह साबित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के लिए धारण करता है:<ref>[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers]</ref>
+गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह प्रमाणित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के लिए धारण करता है:<ref>[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers]</ref>
-मान लीजिए{{math|1='''N''' = {1, 2, 3, 4, ...}}} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो, और {{math|''P''(''n'')}} एक गणितीय कथन बनें {{math|''n''}} {{math|'''N'''}} एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n शामिल है कि
+मान लीजिए{{math|1='''N''' = {1, 2, 3, 4, ...}}} प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो, और {{math|''P''(''n'')}} एक गणितीय कथन बनें {{math|''n''}} {{math|'''N'''}} एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n सम्मिलित है कि
 * ('''i''') {{math|''P''(1)}} सत्य है, अर्थात् {{math|''P''(''n'')}} के लिए सत्य है {{math|1=''n'' = 1}}.
 * '''(ii)''' {{math|''P''(''n''+1)}} सच है जब भी {{math|''P''(''n'')}} सत्य है, अर्थात् {{math|''P''(''n'')}} सत्य है का तात्पर्य है {{math|''P''(''n''+1)}} सच हैं।
@@ Line 54: / Line 54: @@
 उदाहरण के लिए, हम आगमन द्वारा सिद्ध कर सकते हैं कि 2n − 1 के रूप के सभी धनात्मक पूर्णांक विषम हैं। मान लीजिए कि P(n) "2n - 1 विषम है" को निरूपित करता है:
-:(i) n = 1 के लिए, 2n - 1 = 2(1) - 1 = 1, और 1 विषम है, क्योंकि यह 2 से विभाजित करने पर 1 शेष छोड़ता है। इस प्रकार P(1) सत्य है।                                                                                                             (ii) किसी भी n के लिए, यदि 2n - 1 विषम (P(n)) है, तो (2n - 1) + 2 भी विषम होना चाहिए, क्योंकि किसी विषम संख्या में 2 जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती है। लेकिन (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, इसलिए 2(n+1) − 1 विषम है (P(n+1))। अतः P(n) का तात्पर्य P(n+1) से है।                                         इस प्रकार सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 2n − 1 विषम है।
+:(i) n = 1 के लिए, 2n - 1 = 2(1) - 1 = 1, और 1 विषम है, क्योंकि यह 2 से विभाजित करने पर 1 शेष छोड़ता है। इस प्रकार P(1) सत्य है। (ii) किसी भी n के लिए, यदि 2n - 1 विषम (P(n)) है, तो (2n - 1) + 2 भी विषम होना चाहिए, क्योंकि किसी विषम संख्या में 2 जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती है। लेकिन (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, इसलिए 2(n+1) − 1 विषम है (P(n+1))। अतः P(n) का तात्पर्य P(n+1) से है। इस प्रकार सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 2n − 1 विषम है।
-छोटा वाक्यांश "प्रेरण द्वारा प्रमाण" अक्सर "गणितीय प्रेरण द्वारा सबूत" के बजाय प्रयोग किया जाता है<ref>[http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm Proof by induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120218033011/http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm |date=February 18, 2012 }}, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology</ref>
+छोटा वाक्यांश "प्रेरण द्वारा प्रमाण" प्रायः "गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण" के बजाय प्रयोग किया जाता है<ref>[http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm Proof by induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120218033011/http://www.warwick.ac.uk/AEAhelp/glossary/glossaryParser.php?glossaryFile=Proof%20by%20induction.htm |date=February 18, 2012 }}, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology</ref>
 === विक्षेपण द्वारा प्रमाण ===
 {{Main|विरोध}}
-[[विरोधाभास द्वारा सबूत]] "यदि पी तो क्यू" [[तार्किक रूप से समतुल्य]] [[विरोधाभासी]] बयान की स्थापना करके "यदि क्यू नहीं तो पी नहीं " कथन का अनुमान लगाता है|
+[[विरोधाभास द्वारा सबूत|विरोधाभास द्वारा प्रमाण]] "यदि P तो q" [[तार्किक रूप से समतुल्य]] [[विरोधाभासी]] बयान की स्थापना करके "यदि q नहीं तो P नहीं " कथन का अनुमान लगाता है।
 उदाहरण के लिए, गर्भनिरोधक का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जा सकता है कि एक पूर्णांक <math>x</math>, यदि <math> x^2 </math>सम है, तो <math>x</math> सम है:
@@ Line 69: / Line 69: @@
 ===विरोधाभास द्वारा प्रमाण ===
 {{Main|विरोधाभास द्वारा प्रमाण}}
-विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, जिसे लैटिन वाक्यांश [[रिडक्टियो एड बेतुका]] (बेतुके को कम करके) के रूप में भी जाना जाता है, यह दिखाया गया है कि यदि कुछ कथन को सत्य मान लिया जाता है, तो एक [[विरोधाभास|तार्किक विरोधाभास]] होता है, इसलिए कथन गलत होना चाहिए। एक प्रसिद्ध उदाहरण में यह प्रमाण शामिल है कि <math>\sqrt{2}</math> [[एक अपरिमेय संख्या]] है:
+विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, जिसे लैटिन वाक्यांश [[रिडक्टियो एड बेतुका]] (बेतुके को कम करके) के रूप में भी जाना जाता है, यह दिखाया गया है कि यदि कुछ कथन को सत्य मान लिया जाता है, तो एक [[विरोधाभास|तार्किक विरोधाभास]] होता है, इसलिए कथन गलत होना चाहिए। एक प्रसिद्ध उदाहरण में यह प्रमाण सम्मिलित है कि <math>\sqrt{2}</math> [[एक अपरिमेय संख्या]] है:
-:मान लो कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या थी। तब इसे निम्नतम शब्दों  <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math> में लिखा जा सकता है जहाँ a और b [[सहअभाज्य]] के साथ गैर-शून्य पूर्णांक हैं। इस प्रकार, <math>b\sqrt{2} = a</math>. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2b = a<sup>2</sup>प्राप्त होता है । चूँकि 2 बायीं ओर के व्यंजक को विभाजित करता है, 2 को दायीं ओर के समान व्यंजक को भी विभाजित करना होगा। वह<sup>2</sup> सम है, जिसका अर्थ है कि a को भी सम होना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिए गए प्रस्ताव में देखा गया है ([[गणितीय प्रमाण#%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%AD%E0%A4%BE%E0%A4%B8%20%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A4%BE%20%E0%A4%B8%E0%A4%AC%E0%A5%82%E0%A4%A4|#विरोधाभास द्वारा सबूत]])। अतः हम a = 2c लिख सकते हैं, जहाँ c भी एक पूर्णांक है। मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से 2b प्राप्त होता है<sup>2</sup> = (2सी)<sup>2</sup> = 4सी<sup>2</sup>। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर b प्राप्त होता है<sup>2</sup> = 2सी<sup>2</sup>। लेकिन फिर, पहले की तरह उसी तर्क से, 2 b को विभाजित करता है<sup>2</sup>, इसलिए b सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि a और b दोनों सम हैं, तो उनके पास 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारे पिछले बयान का खंडन करता है कि ए और बी में कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है।
+:मान लो कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या थी। तब इसे निम्नतम शब्दों <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math> में लिखा जा सकता है जहाँ a और b [[सहअभाज्य]] के साथ गैर-शून्य पूर्णांक हैं। इस प्रकार, <math>b\sqrt{2} = a</math>. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2b = a<sup>2</sup> प्राप्त होता है । चूँकि 2 बायीं ओर के व्यंजक को विभाजित करता है, 2 को दायीं ओर के समान व्यंजक को भी विभाजित करना होगा। वह<sup>2</sup> सम है, जिसका अर्थ है कि a को भी सम होना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिए गए प्रस्ताव में देखा गया है ([[गणितीय प्रमाण#%E0%A4%B5%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A5%8B%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%AD%E0%A4%BE%E0%A4%B8%20%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A4%BE%20%E0%A4%B8%E0%A4%AC%E0%A5%82%E0%A4%A4|#विरोधाभास द्वारा प्रमाण]])। अतः हम a = 2c लिख सकते हैं, जहाँ c भी एक पूर्णांक है। मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से 2b प्राप्त होता है<sup>2</sup> = (2सी)<sup>2</sup> = 4सी<sup>2</sup>। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर b प्राप्त होता है<sup>2</sup> = 2सी<sup>2</sup>। लेकिन फिर, पहले की तरह उसी तर्क से, 2 b को विभाजित करता है<sup>2</sup>, इसलिए b सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि a और b दोनों सम हैं, तो उनके पास 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारे पिछले बयान का खंडन करता है कि ए और बी में कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है।
 व्याख्या करना: यदि कोई लिख सकता है <math>\sqrt{2}</math> भिन्न के रूप में, इस भिन्न को कभी भी निम्नतम शब्दों में नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि 2 को [[अंश]] और हर से हमेशा गुणनखंडित किया जा सकता है।
-=== निर्माण द्वारा सबूत ===
+=== निर्माण द्वारा प्रमाण ===
 {{Main|निर्माण द्वारा प्रमाण}}
-निर्माण द्वारा प्रमाण, या उदाहरण के द्वारा प्रमाण, एक संपत्ति के साथ एक ठोस उदाहरण का निर्माण है, यह दिखाने के लिए कि उस संपत्ति में कुछ मौजूद है। उदाहरण के लिए, [[जोसेफ लिउविल]] ने [[लिउविल संख्या]] का निर्माण करके [[पारलौकिक संख्या|पारलौकिक संख्याओं]] के अस्तित्व को सिद्ध किया। इसका उपयोग एक प्रस्ताव का खंडन करने के लिए एक [[विरोध उदाहरण]] बनाने के लिए भी किया जा सकता है कि सभी तत्वों की एक निश्चित संपत्ति होती है।
+निर्माण द्वारा प्रमाण, या उदाहरण के द्वारा प्रमाण, एक संपत्ति के साथ एक ठोस उदाहरण का निर्माण है, यह दिखाने के लिए कि उस संपत्ति में कुछ मौजूद है। उदाहरण के लिए, [[जोसेफ लिउविल]] ने ने एक स्पष्ट उदाहरण बनाकर [[पारलौकिक संख्याओं]] के अस्तित्व को सिद्ध किया। इसका उपयोग एक प्रस्ताव का खंडन करने के लिए एक [[विरोध उदाहरण]] बनाने के लिए भी किया जा सकता है कि सभी तत्वों की एक निश्चित संपत्ति होती है।
-=== थकावट से सबूत ===
+=== थकावट से प्रमाण ===
 {{Main|समापन से सबूत}}
-थकावट द्वारा प्रमाण में, निष्कर्ष को सीमित संख्या में मामलों में विभाजित करके और प्रत्येक को अलग-अलग साबित करके स्थापित किया जाता है। मामलों की संख्या कभी-कभी बहुत बड़ी हो सकती है। उदाहरण के लिए, [[चार रंग प्रमेय]] का पहला प्रमाण 1,936 मामलों के साथ थकावट का प्रमाण था। यह प्रमाण विवादास्पद था क्योंकि अधिकांश मामलों की जाँच कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा की गई थी, हाथ से नहीं। 2011 तक चार रंग प्रमेय का सबसे छोटा ज्ञात प्रमाण अभी भी 600 से अधिक मामले हैं।<ref>See [[Four color theorem#Simplification and verification]].</ref>
+थकावट द्वारा प्रमाण में, निष्कर्ष को सीमित संख्या में सदर्भ में विभाजित करके और प्रत्येक को अलग-अलग प्रमाणित करके स्थापित किया जाता है। सदर्भ की संख्या कभी-कभी बहुत बड़ी हो सकती है। उदाहरण के लिए, [[चार रंग प्रमेय]] का पहला प्रमाण 1,936 सदर्भ के साथ थकावट का प्रमाण था। यह प्रमाण विवादास्पद था क्योंकि अधिकांश सदर्भ की जाँच कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा की गई थी, हाथ से नहीं। 2011 तक चार रंग प्रमेय का सबसे छोटा ज्ञात प्रमाण अभी भी 600 से अधिक मामले हैं।<ref>See [[Four color theorem#Simplification and verification]].</ref>
@@ Line 88: / Line 88: @@
 एक संभाव्यता प्रमाण वह है जिसमें [[संभाव्यता सिद्धांत]] के तरीकों का उपयोग करके एक उदाहरण को निश्चित रूप से मौजूद दिखाया गया है। संभाव्य प्रमाण, जैसे निर्माण द्वारा प्रमाण, [[अस्तित्व प्रमेय]]ों को सिद्ध करने के कई तरीकों में से एक है।
-संभाव्य पद्धति में, एक व्यक्ति एक दी गई संपत्ति वाले वस्तु की तलाश करता है, जो उम्मीदवारों के एक बड़े समूह से शुरू होता है। एक प्रत्येक उम्मीदवार को चुने जाने के लिए एक निश्चित संभावना प्रदान करता है, और फिर यह साबित करता है कि एक गैर-शून्य संभावना है कि एक चुने हुए उम्मीदवार के पास वांछित संपत्ति होगी। यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि किस उम्मीदवार के पास संपत्ति है, लेकिन कम से कम एक के बिना संभावना सकारात्मक नहीं हो सकती।
+संभाव्य पद्धति में, एक व्यक्ति एक दी गई संपत्ति वाले वस्तु की तलाश करता है, जो उम्मीदवारों के एक बड़े समूह से शुरू होता है। एक प्रत्येक उम्मीदवार को चुने जाने के लिए एक निश्चित संभावना प्रदान करता है, और फिर यह प्रमाणित करता है कि एक गैर-शून्य संभावना है कि एक चुने हुए उम्मीदवार के पास वांछित संपत्ति होगी। यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि किस उम्मीदवार के पास संपत्ति है, लेकिन कम से कम एक के बिना संभावना सकारात्मक नहीं हो सकती।
-एक संभाव्य प्रमाण को एक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए कि एक प्रमेय 'शायद' सत्य है, एक 'संभावना तर्क' है। [[Collatz अनुमान|कोलाज अनुमान]] पर काम दिखाता है कि वास्तविक प्रमाण से कितनी दूर की संभावना है। जबकि अधिकांश गणितज्ञ यह नहीं सोचते हैं कि किसी दिए गए वस्तु के गुणों के लिए संभाव्य साक्ष्य एक वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में गिना जाता है, कुछ गणितज्ञों और दार्शनिकों ने तर्क दिया है कि कम से कम कुछ प्रकार के संभाव्य साक्ष्य (जैसे कि राबिन के [[प्रारंभिक परीक्षण]] के लिए [[संभाव्यता कलन विधि]] ) इस प्रकार हैं वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में अच्छा है।<ref>Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" ''American Mathematical Monthly'' 79:252–63.</ref><ref>Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof." ''Journal of Philosophy'' 94:165–86.</ref>
+एक संभाव्य प्रमाण को एक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए कि एक प्रमेय 'अनुमानतः' सत्य है, एक 'संभावना तर्क' है। [[Collatz अनुमान|कोलाज अनुमान]] पर काम दिखाता है कि वास्तविक प्रमाण से कितनी दूर की संभावना है। जबकि अधिकांश गणितज्ञ यह नहीं सोचते हैं कि किसी दिए गए वस्तु के गुणों के लिए संभाव्य साक्ष्य एक वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में गिना जाता है, कुछ गणितज्ञों और दार्शनिकों ने तर्क दिया है कि कम से कम कुछ प्रकार के संभाव्य साक्ष्य (जैसे कि राबिन के [[प्रारंभिक परीक्षण]] के लिए [[संभाव्यता कलन विधि]] ) इस प्रकार हैं वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में अच्छा है।<ref>Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" ''American Mathematical Monthly'' 79:252–63.</ref><ref>Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof." ''Journal of Philosophy'' 94:165–86.</ref>
 === मिश्रित प्रमाण ===
 {{Main|संयुक्त प्रमाण}}
-एक संयोजक प्रमाण अलग-अलग अभिव्यक्तियों की समानता को यह दिखा कर स्थापित करता है कि वे एक ही वस्तु को अलग-अलग तरीकों से गिनते हैं। अक्सर दो [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के बीच एक आपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि उनके दो आकारों के भाव समान हैं। वैकल्पिक रूप से, एक [[दोहरी गिनती (सबूत तकनीक)]] एक समुच्चय के आकार के लिए दो अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ प्रदान करती है, फिर से दिखाती है कि दो अभिव्यक्तियाँ समान हैं।
+एक संयोजक प्रमाण अलग-अलग अभिव्यक्तियों की समानता को यह दिखा कर स्थापित करता है कि वे एक ही वस्तु को अलग-अलग तरीकों से गिनते हैं। प्रायः दो [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के बीच एक आपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि उनके दो आकारों के भाव समान हैं। वैकल्पिक रूप से, एक [[दोहरी गिनती (सबूत तकनीक)|दोहरी गिनती (प्रमाण तकनीक)]] एकल समुच्चय के आकार के लिए दो अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ प्रदान करती है, फिर से दिखाती है कि दो अभिव्यक्तियाँ समान हैं।
 === अरचनात्मक प्रमाण ===
 {{Main|अरचनात्मक प्रमाण}}
-एक गैर-रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि एक निश्चित संपत्ति के साथ एक [[गणितीय वस्तु]] मौजूद है - बिना यह बताए कि ऐसी वस्तु कैसे पाई जा सकती है। बहुधा यह अंतर्विरोध द्वारा एक प्रमाण का रूप ले लेता है जिसमें वस्तु का न होना असम्भव सिद्ध होता है। इसके विपरीत, एक रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि किसी विशेष वस्तु को खोजने का एक तरीका प्रदान करके मौजूद है। एक गैर-रचनात्मक प्रमाण के निम्नलिखित प्रसिद्ध उदाहरण से पता चलता है कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b मौजूद हैं <math>a^b</math> एक [[परिमेय संख्या]] है। यह प्रमाण उसका उपयोग करता है <math>\sqrt{2}</math> तर्कहीन है (यूक्लिड के बाद से एक आसान सबूत जाना जाता है), लेकिन वह नहीं <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> तर्कहीन है (यह सच है, लेकिन प्रमाण प्राथमिक नहीं है)।
+एक गैर-रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि एक निश्चित संपत्ति के साथ एक [[गणितीय वस्तु]] मौजूद है - बिना यह बताए कि ऐसी वस्तु कैसे पाई जा सकती है। बहुधा यह अंतर्विरोध द्वारा एक प्रमाण का रूप ले लेता है जिसमें वस्तु का न होना असम्भव सिद्ध होता है। इसके विपरीत, एक रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि किसी विशेष वस्तु को खोजने का एक तरीका प्रदान करके मौजूद है। एक अरचनात्मक प्रमाण के निम्नलिखित प्रसिद्ध उदाहरण से पता चलता है कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b मौजूद हैं <math>a^b</math> एक [[परिमेय संख्या]] है। यह प्रमाण उसका उपयोग करता है <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय है (यूक्लिड के बाद से एक आसान प्रमाण जाना जाता है), लेकिन ऐसा नहीं है कि <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> अपरिमेय है (यह सच है, लेकिन प्रमाण प्राथमिक नहीं है)।
-:या <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> एक परिमेय संख्या है और हम कर रहे हैं (ले <math>a=b=\sqrt{2}</math>), या <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> तर्कहीन है इसलिए हम लिख सकते हैं <math>a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> तथा <math>b=\sqrt{2}</math>. यह तब देता है <math>\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2</math>, जो इस प्रकार रूप की एक परिमेय संख्या है <math>a^b.</math>
+:या <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> एक परिमेय संख्या है और हम कर चुके हैं (ले <math>a=b=\sqrt{2}</math>), या <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> अपरिमेय है इसलिए हम लिख सकते हैं <math>a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> और <math>b=\sqrt{2}</math>. इससे <math>\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2</math>, जो इस प्रकार a b के रूप की एक परिमेय संख्या है <math>a^b.</math>
 === शुद्ध गणित में सांख्यिकीय प्रमाण ===
 {{Main|सांख्यिकीय प्रमाण}}
-अभिव्यक्ति सांख्यिकीय प्रमाण का उपयोग [[शुद्ध गणित]] के क्षेत्रों में तकनीकी या बोलचाल में किया जा सकता है, जैसे [[क्रिप्टोग्राफी|कूटलेखन]], [[अराजक श्रृंखला]], और [[संभाव्य]] या [[विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]]।<ref>"in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." [https://www.jstor.org/pss/2686395]</ref><ref>"Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some ''statistical'' proof"" (Derogatory use.)[https://doi.org/10.1007%2F978-3-540-74282-1_78]</ref><ref>"these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" [http://people.web.psi.ch/gassmann/eneseminare/abstracts/Goldbach1.pdf]</ref> [[गणितीय सांख्यिकी]] के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में गणितीय प्रमाण को संदर्भित करने के लिए इसका आमतौर पर कम उपयोग किया जाता है। नीचे दिए गए डेटा अनुभाग का उपयोग करके #बोलचाल का उपयोग, सांख्यिकीय प्रमाण भी देखें।
+अभिव्यक्ति सांख्यिकीय प्रमाण का उपयोग [[शुद्ध गणित]] के क्षेत्रों में तकनीकी या बोलचाल में किया जा सकता है, जैसे [[क्रिप्टोग्राफी|कूटलेखन]], [[अराजक श्रृंखला]], और [[संभाव्य]] या [[विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]]।<ref>"in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." [https://www.jstor.org/pss/2686395]</ref><ref>"Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some ''statistical'' proof"" (Derogatory use.)[https://doi.org/10.1007%2F978-3-540-74282-1_78]</ref><ref>"these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" [http://people.web.psi.ch/gassmann/eneseminare/abstracts/Goldbach1.pdf]</ref> [[गणितीय सांख्यिकी]] के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में गणितीय प्रमाण को संदर्भित करने के लिए इसका सामान्यतः कम उपयोग किया जाता है। नीचे "डेटा का उपयोग करके सांख्यिकीय प्रमाण" अनुभाग भी देखें।
-===कंप्यूटर से सहायता प्राप्त सबूत ===
+===कंप्यूटर से सहायता प्राप्त प्रमाण ===
 {{Main|कंप्यूटर-सहायता प्रमाण}}
-बीसवीं शताब्दी तक यह माना जाता था कि किसी भी प्रमाण की वैधता की पुष्टि करने के लिए एक सक्षम गणितज्ञ द्वारा सिद्धांत रूप में उसकी जाँच की जा सकती है।<ref name="Krantz">[http://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf The History and Concept of Mathematical Proof], Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007</ref> हालाँकि, अब कंप्यूटर का उपयोग प्रमेयों को सिद्ध करने और उन गणनाओं को करने के लिए किया जाता है जो किसी भी मानव या मनुष्यों की टीम की जाँच के लिए बहुत लंबी हैं; चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण कंप्यूटर की सहायता से प्रमाण का एक उदाहरण है। कुछ गणितज्ञ चिंतित हैं कि  अभिकलित्र क्रमादेश में त्रुटि की संभावना या इसकी गणना में भागो - समय त्रुटि ऐसे कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाणों की वैधता पर सवाल उठाती है। व्यवहार में, कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण को अमान्य करने में त्रुटि की संभावना को गणनाओं में अतिरेक और स्व-जांच को शामिल करके, और कई स्वतंत्र दृष्टिकोणों और कार्यक्रमों को विकसित करके कम किया जा सकता है। मनुष्यों द्वारा प्रमाण के सत्यापन के मामले में भी त्रुटियों को पूरी तरह से खारिज नहीं किया जा सकता है, खासकर यदि सबूत में प्राकृतिक भाषा है और इसमें शामिल संभावित छिपी धारणाओं और भ्रमों को उजागर करने के लिए गहन गणितीय अंतर्दृष्टि की आवश्यकता है।
+बीसवीं शताब्दी तक यह माना जाता था कि किसी भी प्रमाण की वैधता की पुष्टि करने के लिए सिद्धांत रूप में, एक सक्षम गणितज्ञ द्वारा उसकी जाँच की जा सकती है।<ref name="Krantz">[http://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf The History and Concept of Mathematical Proof], Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007</ref> हालाँकि, अब कंप्यूटर का उपयोग प्रमेयों को सिद्ध करने और उन गणनाओं को करने के लिए किया जाता है जो किसी भी मानव या मनुष्यों की टीम की जाँच के लिए बहुत लंबी हैं; चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण कंप्यूटर की सहायता से प्रमाण का एक उदाहरण है। कुछ गणितज्ञ चिंतित हैं कि कंप्यूटर प्रोग्राम में त्रुटि की संभावना या इसकी गणना में भागो - समय त्रुटि ऐसे कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाणों की वैधता पर सवाल उठाती है। व्यवहार में, कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण को अमान्य करने में त्रुटि की संभावना को गणनाओं में अतिरेक और स्व-जांच को सम्मिलित करके, और कई स्वतंत्र दृष्टिकोणों और कार्यक्रमों को विकसित करके कम किया जा सकता है। मनुष्यों द्वारा प्रमाण के सत्यापन के मामले में भी त्रुटियों को पूरी तरह से खारिज नहीं किया जा सकता है, खासकर यदि प्रमाण में प्राकृतिक भाषा है और इसमें सम्मिलित संभावित छिपी धारणाओं और भ्रमों को उजागर करने के लिए गहन गणितीय अंतर्दृष्टि की आवश्यकता है।
 == अनिर्णायक कथन ==
-एक कथन जो न तो साबित करने योग्य है और न ही स्वयंसिद्धों के एक समुच्चय से असिद्ध करने योग्य है, अनिर्णीत (उन स्वयंसिद्धों से) कहा जाता है। एक उदाहरण [[समानांतर अवधारणा]] है, जो [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के शेष स्वयंसिद्धों से न तो सिद्ध है और न ही खंडन योग्य है।
+एक कथन जो न तो प्रमाणित करने योग्य है और न ही स्वयंसिद्धों के एक समुच्चय से असिद्ध करने योग्य है, अनिर्णीत (उन स्वयंसिद्धों से) कहा जाता है। एक उदाहरण [[समानांतर अवधारणा]] है, जो [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के शेष स्वयंसिद्धों से न तो सिद्ध है और न ही खंडन योग्य है।
-गणितज्ञों ने दिखाया है कि ऐसे कई कथन हैं जो [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धान्त में पसंद के स्वयंसिद्ध]] (ZFC) के साथ न तो सिद्ध हैं और न ही असिद्ध हैं, गणित में सेट सिद्धांत की मानक प्रणाली (यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है); [[ZFC में अनिर्णीत बयानों की सूची]] देखें।
+गणितज्ञों ने दिखाया है कि ऐसे कई कथन हैं जो [[ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धान्त में पसंद के स्वयंसिद्ध]] (जेडएफसी) के साथ न तो सिद्ध हैं और न ही असिद्ध हैं, गणित में सेट सिद्धांत की मानक प्रणाली (यह मानते हुए कि जेडएफसी सुसंगत है); [[ZFC में अनिर्णीत बयानों की सूची|जेडएफसी में अनिर्णीत बयानों की सूची]] देखें।
-गोडेल की अपूर्णता प्रमेय | [[गोडेल की (प्रथम) अपूर्णता प्रमेय]] दर्शाती है कि गणितीय अभिरुचि के कई अभिगृहीत तंत्रों में अनिर्णीत कथन होंगे।
+[[गोडेल की (प्रथम) अपूर्णता प्रमेय]] दर्शाती है कि गणितीय अभिरुचि के कई अभिगृहीत प्रणालियों में अनिर्णीत कथन होंगे।
 == ह्यूरिस्टिक गणित और प्रयोगात्मक गणित ==
 {{Main|प्रायोगिक गणित}}
-यूक्लिड से लेकर 19वीं और 20वीं शताब्दी के अंत में [[मूलभूत गणित]] के विकास तक, जबकि [[यूडोक्सस ऑफ कनिडस]] जैसे प्रारंभिक गणितज्ञों ने प्रमाणों का उपयोग नहीं किया, प्रमाण गणित का एक अनिवार्य हिस्सा थे।<ref>{{cite book|title=इंद्र के मोती: फेलिक्स क्लेन की दृष्टि|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Indra%27s_Pearls_(book) |publisher=[[Cambridge University Press]] |last1=Mumford |first1=David B. |author1-link=David Mumford |last2=Series |first2=Caroline |author2-link=Caroline Series |last3=Wright |first3=David  |author3-link=David Wright (arranger) |year=2002 |isbn=978-0-521-35253-6 |quote=तस्वीरों का क्या करें? दो विचार सामने आए: पहला यह था कि वे मानक तरीके से अप्रकाशित थे, कोई प्रमेय नहीं थे केवल बहुत ही विचारोत्तेजक चित्र थे। उन्होंने कई अनुमानों और आगे की खोज के लिए आकर्षक सबूत प्रस्तुत किए, लेकिन प्रमेय दायरे के सिक्के थे और उस दिन के सम्मेलनों ने तय किया कि पत्रिकाएं केवल प्रमेय प्रकाशित करती हैं।}}</ref> 1960 के दशक में कंप्यूटिंग शक्ति में वृद्धि के साथ, प्रूफ-प्रमेय ढांचे के बाहर गणितीय वस्तुओं की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण कार्य किया जाने लगा,<ref>{{cite web|url=https://home.att.net/~fractalia/history.htm |title=फ्रैक्टल्स के इतिहास पर एक नोट|archive-url=https://web.archive.org/web/20090215114618/https://home.att.net/~fractalia/history.htm |archive-date=February 15, 2009 |url-status=dead |quote=आईबीएम रिसर्च लेबोरेटरी में काम कर रहे मैंडेलब्रॉट ने इन सेटों के लिए कुछ कंप्यूटर सिमुलेशन इस उचित धारणा पर किए कि, अगर आप कुछ साबित करना चाहते हैं, तो समय से पहले जवाब जानना मददगार हो सकता है।}}</ref> प्रायोगिक गणित में। इन तरीकों के शुरुआती अग्रदूतों का इरादा काम को अंततः क्लासिकल प्रूफ-प्रमेय ढांचे में अंतर्निहित करना था, उदा। [[भग्न ज्यामिति]] का प्रारंभिक विकास,<ref>{{cite book |title=भग्न ज्यामिति का परिचय|last=Lesmoir-Gordon |first=Nigel |publisher=[[Introducing... (book series)|Icon Books]] |year=2000 |isbn=978-1-84046-123-7 |quote=... बेनोइट [मैंडेलब्रॉट] के लिए फिर से घर लाया कि 'आंख का गणित' था, कि किसी समस्या का दृश्य समाधान खोजने के लिए किसी भी विधि के रूप में मान्य था। आश्चर्यजनक रूप से, उन्होंने इस अनुमान के साथ खुद को अकेला पाया। फ़्रांस में गणित के शिक्षण पर छद्म नाम 'बोरबाकी' के पीछे छिपे मुट्ठी भर हठधर्मी गणितज्ञों का प्रभुत्व था...|url-access=registration |url=https://archive.org/details/introducingfract0000lesm }}</ref> जो अंततः इतना अंतर्निहित था।
+यूक्लिड से लेकर 19वीं और 20वीं शताब्दी के [[अंतिम गणित]] के विकास तक, जबकि [[यूडोक्सस ऑफ कनिडस]] जैसे प्रारंभिक गणितज्ञों ने प्रमाणों का उपयोग नहीं किया, प्रमाण गणित का एक अनिवार्य हिस्सा थे।<ref>{{cite book|title=इंद्र के मोती: फेलिक्स क्लेन की दृष्टि|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Indra%27s_Pearls_(book) |publisher=[[Cambridge University Press]] |last1=Mumford |first1=David B. |author1-link=David Mumford |last2=Series |first2=Caroline |author2-link=Caroline Series |last3=Wright |first3=David  |author3-link=David Wright (arranger) |year=2002 |isbn=978-0-521-35253-6 |quote=तस्वीरों का क्या करें? दो विचार सामने आए: पहला यह था कि वे मानक तरीके से अप्रकाशित थे, कोई प्रमेय नहीं थे केवल बहुत ही विचारोत्तेजक चित्र थे। उन्होंने कई अनुमानों और आगे की खोज के लिए आकर्षक सबूत प्रस्तुत किए, लेकिन प्रमेय दायरे के सिक्के थे और उस दिन के सम्मेलनों ने तय किया कि पत्रिकाएं केवल प्रमेय प्रकाशित करती हैं।}}</ref> 1960 के दशक में कंप्यूटिंग शक्ति में वृद्धि के साथ, प्रूफ-प्रमेय ढांचे के बाहर गणितीय वस्तुओं की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण कार्य किया जाने लगा,<ref>{{cite web|url=https://home.att.net/~fractalia/history.htm |title=फ्रैक्टल्स के इतिहास पर एक नोट|archive-url=https://web.archive.org/web/20090215114618/https://home.att.net/~fractalia/history.htm |archive-date=February 15, 2009 |url-status=dead |quote=आईबीएम रिसर्च लेबोरेटरी में काम कर रहे मैंडेलब्रॉट ने इन सेटों के लिए कुछ कंप्यूटर सिमुलेशन इस उचित धारणा पर किए कि, अगर आप कुछ साबित करना चाहते हैं, तो समय से पहले जवाब जानना मददगार हो सकता है।}}</ref> प्रायोगिक गणित में। इन तरीकों के शुरुआती अग्रदूतों का इरादा काम को अंततः क्लासिकल प्रूफ-प्रमेय ढांचे में अंतर्निहित करना था, उदा। [[भग्न ज्यामिति]] का प्रारंभिक विकास,<ref>{{cite book |title=भग्न ज्यामिति का परिचय|last=Lesmoir-Gordon |first=Nigel |publisher=[[Introducing... (book series)|Icon Books]] |year=2000 |isbn=978-1-84046-123-7 |quote=... बेनोइट [मैंडेलब्रॉट] के लिए फिर से घर लाया कि 'आंख का गणित' था, कि किसी समस्या का दृश्य समाधान खोजने के लिए किसी भी विधि के रूप में मान्य था। आश्चर्यजनक रूप से, उन्होंने इस अनुमान के साथ खुद को अकेला पाया। फ़्रांस में गणित के शिक्षण पर छद्म नाम 'बोरबाकी' के पीछे छिपे मुट्ठी भर हठधर्मी गणितज्ञों का प्रभुत्व था...|url-access=registration |url=https://archive.org/details/introducingfract0000lesm }}</ref> जो अंततः इतना अंतर्निहित था।
 == संबंधित अवधारणाएं ==
@@ Line 127: / Line 127: @@
 यद्यपि औपचारिक प्रमाण नहीं है, गणितीय प्रमेय के दृश्य प्रदर्शन को कभी-कभी शब्दों के बिना प्रमाण कहा जाता है। नीचे बाईं ओर की तस्वीर (3,4,5) [[त्रिकोण]] के मामले में पाइथागोरस प्रमेय के ऐतिहासिक दृश्य प्रमाण का एक उदाहरण है।
 <gallery>
-File:Chinese pythagoras.jpg|Visual proof for the (3,4,5) triangle as in the [[Zhoubi Suanjing]] 500–200&nbsp;BCE.
+File:Chinese pythagoras.jpg|(3,4,5) त्रिकोण के लिए दृश्य प्रमाण जैसा कि [[झौबी सुंजिंग]] 500-200;BCE में है।
-File:Pythagoras-2a.gif|Animated visual proof for the Pythagorean theorem by rearrangement.
+File:Pythagoras-2a.gif|पुनर्व्यवस्था द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के लिए एनिमेटेड दृश्य प्रमाण।
-File:Pythag anim.gif|A second animated proof of the Pythagorean theorem.
+File:Pythag anim.gif|पायथागॉरियन प्रमेय का दूसरा एनिमेटेड प्रमाण।
 </gallery>
-कुछ भ्रमपूर्ण दृश्य प्रमाण, जैसे [[लापता वर्ग पहेली]], को इस तरह से बनाया जा सकता है जो एक अनुमानित गणितीय तथ्य को साबित करने के लिए प्रतीत होता है लेकिन केवल छोटी त्रुटियों की उपस्थिति में ऐसा करता है (उदाहरण के लिए, माना जाता है कि सीधी रेखाएं जो वास्तव में थोड़ी सी झुकती हैं) जब तक पूरी तस्वीर की बारीकी से जांच नहीं की जाती है, लंबाई और कोणों को सटीक रूप से मापा या गणना किया जाता है।
+कुछ भ्रमपूर्ण दृश्य प्रमाण, जैसे [[लापता वर्ग पहेली]], को इस तरह से बनाया जा सकता है जो एक अनुमानित गणितीय तथ्य को प्रमाणित करने के लिए प्रतीत होता है लेकिन केवल छोटी त्रुटियों की उपस्थिति में ऐसा करता है (उदाहरण के लिए, माना जाता है कि सीधी रेखाएं जो वास्तव में थोड़ी सी झुकती हैं) जब तक पूरी तस्वीर की बारीकी से जांच नहीं की जाती है, लंबाई और कोणों को सटीक रूप से मापा या गणना किया जाता है।
 === प्रारंभिक प्रमाण ===
@@ Line 138: / Line 149: @@
 === दो-स्तंभ प्रमाण ===
-[[File:twocolumnproof.png|thumb|right|1913 में प्रकाशित एक दो-स्तंभ प्रमाण]]संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रारंभिक ज्यामिति कक्षाओं में दो समानांतर स्तंभों का उपयोग करके एक प्रमाण को व्यवस्थित करने का एक विशेष तरीका अक्सर [[गणितीय अभ्यास]] के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite journal |first=Patricio G. |last=Herbst |title=अमेरिकन स्कूल ज्योमेट्री में सिद्ध करने का रिवाज स्थापित करना: बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में दो-कॉलम प्रूफ का विकास|journal=[[Educational Studies in Mathematics]] |volume=49 |issue=3 |year=2002 |pages=283–312 |doi=10.1023/A:1020264906740 |hdl=2027.42/42653 |s2cid=23084607 |url=https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/42653/1/10649_2004_Article_5096042.pdf |hdl-access=free }}</ref> प्रमाण दो स्तंभों में पंक्तियों की एक श्रृंखला के रूप में लिखा गया है। प्रत्येक पंक्ति में, बाएँ हाथ के स्तंभ में एक प्रस्ताव होता है, जबकि दाएँ हाथ के स्तंभ में एक संक्षिप्त विवरण होता है कि कैसे बाएँ हाथ के स्तंभ में संबंधित प्रस्ताव या तो एक स्वयंसिद्ध, एक परिकल्पना है, या पिछले प्रस्तावों से तार्किक रूप से प्राप्त किया जा सकता है। . बाएं हाथ के स्तम्भ में आमतौर पर कथन होते हैं और दाएं हाथ के स्तम्भ में आमतौर पर कारण होते हैं।<ref>{{cite web|url=https://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/two_column_proof.htm |title=दो-कॉलम प्रमाण का परिचय|author=Dr. Fisher Burns |website=onemathematicalcat.org |access-date=15 October 2009}}</ref>
+[[File:twocolumnproof.png|thumb|right|1913 में प्रकाशित एक दो-स्तंभ प्रमाण]]संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रारंभिक ज्यामिति कक्षाओं में [[गणितीय अभ्यास]] के रूप में प्रायः दो समानांतर स्तंभों का उपयोग करके एक प्रमाण को व्यवस्थित करने का एक विशेष तरीका उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite journal |first=Patricio G. |last=Herbst |title=अमेरिकन स्कूल ज्योमेट्री में सिद्ध करने का रिवाज स्थापित करना: बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में दो-कॉलम प्रूफ का विकास|journal=[[Educational Studies in Mathematics]] |volume=49 |issue=3 |year=2002 |pages=283–312 |doi=10.1023/A:1020264906740 |hdl=2027.42/42653 |s2cid=23084607 |url=https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/42653/1/10649_2004_Article_5096042.pdf |hdl-access=free }}</ref> प्रमाण दो स्तंभों में पंक्तियों की एक श्रृंखला के रूप में लिखा गया है। प्रत्येक पंक्ति में, बाएँ हाथ के स्तंभ में एक प्रस्ताव होता है, जबकि जबकि दाएँ हाथ के स्तंभ में एक संक्षिप्त विवरण होता है कि कैसे बाएँ हाथ के स्तंभ में संबंधित प्रस्ताव या तो एक स्वयंसिद्ध, एक परिकल्पना है, या पिछले प्रस्तावों से तार्किक रूप से प्राप्त किया जा सकता है।बाएं हाथ के स्तंभ का शीर्षक सामान्यतः "विवरण" होता है और दाएं हाथ के स्तंभ का शीर्षक सामान्यतः "कारण" होता है।<ref>{{cite web|url=https://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/two_column_proof.htm |title=दो-कॉलम प्रमाण का परिचय|author=Dr. Fisher Burns |website=onemathematicalcat.org |access-date=15 October 2009}}</ref>
 === गणितीय प्रमाण का बोलचाल में प्रयोग ===
-अभिव्यक्ति गणितीय प्रमाण का उपयोग आम लोगों द्वारा गणितीय विधियों का उपयोग करने या गणितीय वस्तुओं के साथ बहस करने के लिए किया [[जानकारी]] है, जैसे कि संख्याएँ, रोजमर्रा की जिंदगी के बारे में कुछ प्रदर्शित करने के लिए, या जब किसी तर्क में प्रयुक्त डेटा संख्यात्मक होता है। यह कभी-कभी एक सांख्यिकीय प्रमाण (नीचे) के लिए भी प्रयोग किया जाता है, खासकर जब डेटा से बहस करने के लिए उपयोग किया जाता है।
+अभिव्यक्ति गणितीय प्रमाण का उपयोग लोगों द्वारा गणितीय विधियों का उपयोग करने या गणितीय वस्तुओं के साथ बहस करने के लिए किया जाता है, जैसे कि संख्याएँ, रोजमर्रा की जिंदगी के बारे में कुछ प्रदर्शित करने के लिए, या जब किसी तर्क में प्रयुक्त डेटा संख्यात्मक होता है। यह कभी-कभी एक सांख्यिकीय प्रमाण (नीचे) के लिए भी प्रयोग किया जाता है, खासकर जब डेटा से बहस करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 === डेटा का उपयोग करके सांख्यिकीय प्रमाण ===
 {{Main|सांख्यिकीय प्रमाण}}
-डेटा से सांख्यिकीय प्रमाण डेटा की [[संभावना]] के बारे में प्रस्तावों का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकी, [[डेटा विश्लेषण]] या [[बायेसियन विश्लेषण]] के अनु[[प्रयोग]] को संदर्भित करता है। आंकड़ों में प्रमेयों को स्थापित करने के लिए गणितीय प्रमाण का उपयोग करते समय, यह आमतौर पर एक गणितीय प्रमाण नहीं होता है, जिसमें उन मान्यताओं को सत्यापित करने के लिए बाहरी गणित से अनुभवजन्य साक्ष्य की आवश्यकता होती है, जिनसे संभाव्यता कथन प्राप्त होते हैं। [[भौतिक विज्ञान]] में, सांख्यिकीय विधियों के अलावा, सांख्यिकीय प्रमाण भौतिकी के विशेष गणितीय तरीकों का उल्लेख कर सकते हैं जो [[भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान]] में [[कण भौतिकी]] प्रयोग या अवलोकन संबंधी अध्ययन में डेटा का विश्लेषण करने के लिए लागू होते हैं। सांख्यिकीय प्रमाण कच्चे डेटा या डेटा से जुड़े एक ठोस आरेख को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे [[स्कैटर प्लॉट]], जब डेटा या आरेख आगे के विश्लेषण के बिना पर्याप्त रूप से आश्वस्त हो।
+डेटा से सांख्यिकीय प्रमाण डेटा की [[संभावना]] के बारे में प्रस्तावों का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकी, [[डेटा विश्लेषण]] या [[बायेसियन विश्लेषण]] के अनु[[प्रयोग]] को संदर्भित करता है। आंकड़ों में प्रमेयों को स्थापित करने के लिए गणितीय प्रमाण का उपयोग करते समय, यह सामान्यतः एक गणितीय प्रमाण नहीं होता है, जिसमें उन मान्यताओं को सत्यापित करने के लिए बाहरी गणित से अनुभवजन्य साक्ष्य की आवश्यकता होती है, जिनसे संभाव्यता कथन प्राप्त होते हैं। [[भौतिक विज्ञान]] में, सांख्यिकीय विधियों के अलावा, सांख्यिकीय प्रमाण भौतिकी के विशेष गणितीय तरीकों को संदर्भित कर सकते हैं जो [[भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान]] में [[कण भौतिकी]] प्रयोग या अवलोकन संबंधी अध्ययन में डेटा का विश्लेषण करने के लिए लागू होते हैं। सांख्यिकीय प्रमाण कच्चे डेटा या डेटा से जुड़े एक ठोस आरेख को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे [[स्कैटर प्लॉट]], जब डेटा या आरेख आगे के विश्लेषण के बिना पर्याप्त रूप से आश्वस्त हो।
 === आगमनात्मक तर्क प्रमाण और बायेसियन विश्लेषण ===
 {{Main|आगमनात्मक तर्क|बायेसियन विश्लेषण}}
-[[आगमनात्मक तर्क]] का उपयोग करने वाले सबूत, जबकि प्रकृति में गणितीय माने जाते हैं, निश्चितता की उपाधि  के साथ प्रस्ताव स्थापित करना चाहते हैं, जो संभावना के समान तरीके से कार्य करता है, और पूर्ण निश्चितता से कम हो सकता है। आगमनात्मक तर्क को गणितीय आगमन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
+[[आगमनात्मक तर्क]] का उपयोग करने वाले प्रमाण, जबकि प्रकृति में गणितीय माने जाते हैं, निश्चितता की उपाधि के साथ प्रस्ताव स्थापित करना चाहते हैं, जो संभावना के समान तरीके से कार्य करता है, और पूर्ण निश्चितता से कम हो सकता है। आगमनात्मक तर्क को गणितीय आगमन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
-बायेसियन विश्लेषण नए साक्ष्य या [[जानकारी]] प्राप्त होने पर किसी व्यक्ति की परिकल्पना की [[बायेसियन संभावना]] को अद्यतन करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करता है।
+बायेसियन विश्लेषण नए साक्ष्य या [[जानकारी]] प्राप्त होने पर किसी व्यक्ति की परिकल्पना की [[बायेसियन संभावना|संभावना]] को अद्यतन करने के लिए [[बेयस प्रमेय]] का उपयोग करता है।
 === मानसिक वस्तुओं के रूप में प्रमाण ===
 {{Main|मनोविज्ञान|विचार की भाषा}}
-मनोविज्ञान गणितीय प्रमाणों को मनोवैज्ञानिक या मानसिक वस्तुओं के रूप में देखता है। [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]],  [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|फ्रीज]] और [[कार्नेप]] जैसे गणितज्ञ [[दार्शनिक]]ों ने इस दृष्टिकोण की विभिन्न रूप से आलोचना की है और जिसे वे [[विचार की भाषा]] मानते हैं, उसके लिए शब्दार्थ विकसित करने का प्रयास किया है, जिससे [[अनुभवजन्य विज्ञान]] पर गणितीय प्रमाण के मानकों को लागू किया जा सकता है।{{citation needed|date=November 2014}}
+मनोविज्ञान गणितीय प्रमाणों को मनोवैज्ञानिक या मानसिक वस्तुओं के रूप में देखता है। [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]], [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|फ्रीज]] और [[कार्नेप]] जैसे गणितज्ञ [[दार्शनिक]]ों ने इस दृष्टिकोण की विभिन्न रूप से आलोचना की है और जिसे वे [[विचार की भाषा]] मानते हैं, उसके लिए शब्दार्थ विकसित करने का प्रयास किया है, जिससे [[अनुभवजन्य विज्ञान]] पर गणितीय प्रमाण के मानकों को लागू किया जा सकता है।{{citation needed|date=November 2014}}
 ===गणित के बाहर गणितीय प्रमाण विधियों का प्रभाव===
-[[स्पिनोजा]] जैसे दार्शनिक-गणितज्ञों ने स्वयंसिद्ध तरीके से [[दर्शन]] के तर्कों को तैयार करने का प्रयास किया है, जिससे सामान्य दर्शन में तर्क के लिए गणितीय प्रमाण मानकों को लागू किया जा सकता है। अन्य गणितज्ञ-दार्शनिकों ने गणितीय सबूत और कारण के मानकों का उपयोग करने की कोशिश की है, अनुभववाद के बिना, गणित के बाहर के बयानों पर पहुंचने के लिए, लेकिन गणितीय प्रमाण में कटौती की गई प्रस्तावों की निश्चितता, जैसे कि [[डेसकार्टेस]] कोगिटो का तर्क।
+[[स्पिनोजा]] जैसे दार्शनिक-गणितज्ञों ने स्वयंसिद्ध तरीके से [[दार्शनिक तर्क]] को तैयार करने का प्रयास किया है, जिससे सामान्य दर्शन में तर्क के लिए गणितीय प्रमाण मानकों को लागू किया जा सकता है। अन्य गणितज्ञ-दार्शनिकों ने गणितीय प्रमाण और कारण के मानकों का उपयोग करने की प्रयास की है, अनुभववाद के बिना, गणित के बाहर के बयानों पर पहुंचने के लिए, लेकिन गणितीय प्रमाण में कटौती की गई प्रस्तावों की निश्चितता, जैसे कि [[डेसकार्टेस]] कोगिटो का तर्क।
 == एक प्रमाण समाप्त करना ==
 {{Main|क्यू.ई.डी.}}
-कभी-कभी, संक्षिप्त नाम क्यू.ई.डी. एक प्रमाण के अंत को इंगित करने के लिए लिखा गया है। यह संक्षिप्त नाम क्वॉड एराट डेमोनस्ट्रैंडम के लिए खड़ा है, जो कि प्रदर्शित होने के लिए [[लैटिन]] है। एक अधिक सामान्य विकल्प एक वर्ग या एक आयत का उपयोग करना है, जैसे कि □ या ∎, जिसे [[समाधि का पत्थर (टाइपोग्राफी)]] के रूप में जाना जाता है या इसके नाम [[पॉल हेल्मोस]] के बाद हैल्मोस। अक्सर, जो दिखाया जाना था, मौखिक प्रस्तुति के दौरान क्यूईडी, □, या ∎ लिखते समय मौखिक रूप से कहा गया है। यूनिकोड स्पष्ट रूप से प्रूफ वर्ण का अंत प्रदान करता है, U+220E (∎) <छोटा>(220E(hex) = 8718(dec))</छोटा>।
+कभी-कभी, संक्षिप्त नाम क्यू.ई.डी. एक प्रमाण के अंत को इंगित करने के लिए लिखा गया है। यह संक्षिप्त नाम क्वॉड एराट डेमोनस्ट्रैंडम के लिए है, जो कि प्रदर्शित होने के लिए [[लैटिन]] है। एक अधिक सामान्य विकल्प एक वर्ग या एक आयत का उपयोग करना है, जैसे कि □ या ∎, जिसे [[समाधि का पत्थर (टाइपोग्राफी)]] के रूप में जाना जाता है या इसके नाम [[पॉल हेल्मोस]] के बाद हैल्मोस। प्रायः, जो दिखाया जाना था, मौखिक प्रस्तुति के दौरान क्यूईडी, □, या ∎ लिखते समय मौखिक रूप से कहा गया है। यूनिकोड स्पष्ट रूप से प्रूफ वर्ण का अंत प्रदान करता है, U+220E (∎) <small>(220E(hex) = 8718(dec))</small> ।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 202: / Line 224: @@
 *अनुमान
 *स्वयंसिद्ध
-*तर्क-कटौती-सबूत भेद
+*तर्क-कटौती-प्रमाण भेद
 *निगमनात्मक तर्क
 *एक भाषा के रूप में गणित
@@ Line 214: / Line 236: @@
 *गणितीय अधिष्ठापन
 *बहस
-*सबूत सहायक
+*प्रमाण सहायक
 *विश्लेषणात्मक प्रस्ताव
 *सिंथेटिक प्रस्ताव
@@ Line 220: / Line 242: @@
 *समापन (गणित)
 *अनुमान का नियम
-*गर्भनिरोधक द्वारा सबूत
+*गर्भनिरोधक द्वारा प्रमाण
 *यिद
 *तार्किक रूप से समकक्ष
@@ Line 256: / Line 278: @@
 [[Category:Articles with invalid date parameter in template|Mathematical Proof]]
 [[Category:Articles with unsourced statements from November 2014|Mathematical Proof]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
 [[Category:Collapse templates|Mathematical Proof]]
 [[Category:Commons category link is the pagename|Mathematical Proof]]
 [[Category:Created On 28/11/2022|Mathematical Proof]]
+[[Category:Lua-based templates|Mathematical Proof]]
 [[Category:Machine Translated Page|Mathematical Proof]]
+[[Category:Multi-column templates|Mathematical Proof]]
 [[Category:Navigational boxes| ]]
 [[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Mathematical Proof]]
+[[Category:Pages using div col with small parameter|Mathematical Proof]]
+[[Category:Pages with empty portal template|Mathematical Proof]]
+[[Category:Pages with script errors|Mathematical Proof]]
+[[Category:Portal-inline template with redlinked portals|Mathematical Proof]]
+[[Category:Portal templates with redlinked portals|Mathematical Proof]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Mathematical Proof]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Mathematical Proof]]
+[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module]]
+[[Category:Templates generating COinS|Cite web]]
+[[Category:Templates generating microformats|Mathematical Proof]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Mathematical Proof]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Mathematical Proof]]
+[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Mathematical Proof]]
+[[Category:Templates using under-protected Lua modules|Mathematical Proof]]
+[[Category:Webarchive template wayback links]]
+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Div col]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Mathematical Proof]]

Anonymous

Search

गणितीय प्रमाण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:12, 27 December 2022

इतिहास और व्युत्पत्ति

प्रकृति और उद्देश्य

प्रमाण के तरीके

प्रत्यक्ष प्रमाण

गणितीय आगमन द्वारा उत्पत्ति

विक्षेपण द्वारा प्रमाण

विरोधाभास द्वारा प्रमाण

निर्माण द्वारा प्रमाण

थकावट से प्रमाण

संभाव्य प्रमाण

मिश्रित प्रमाण

अरचनात्मक प्रमाण

शुद्ध गणित में सांख्यिकीय प्रमाण

कंप्यूटर से सहायता प्राप्त प्रमाण

अनिर्णायक कथन

ह्यूरिस्टिक गणित और प्रयोगात्मक गणित

संबंधित अवधारणाएं

दृश्य प्रमाण

प्रारंभिक प्रमाण

दो-स्तंभ प्रमाण

गणितीय प्रमाण का बोलचाल में प्रयोग

डेटा का उपयोग करके सांख्यिकीय प्रमाण

आगमनात्मक तर्क प्रमाण और बायेसियन विश्लेषण

मानसिक वस्तुओं के रूप में प्रमाण

गणित के बाहर गणितीय प्रमाण विधियों का प्रभाव

एक प्रमाण समाप्त करना

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Hidden categories