समुच्चयों का बीजगणित: Difference between revisions

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{{short description|Identities and relationships involving sets}}
{{short description|Identities and relationships involving sets}}[[गणित]] में, समुच्चयों का बीजगणित, [[समुच्चयों के बीजगणित]] की [[गणितीय संरचना]] के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए, [[समुच्चय]] के गुणों और नियमों को परिभाषित करता है, [[संघ (सेट सिद्धांत)|सर्वनिष्ठ (यूनियन)]], [[उभयनिष्ठ (इंटरसेक्शन)]], और [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरकीकरण]] के समुच्चय-सैद्धांतिक प्रचालन, और [[समानता]] और [[संबंधों]] को स्थापित करता है। यह इन परिचालनों और संबंधों को सम्मिलित करने वाले व्यंजको के मूल्यांकन और गणना के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाएं भी प्रदान करता है।
{{about|सामान्य रूप से समुच्चय संक्रियाओं के बीजगणितीय गुण|समुच्चय का एक बूलियन बीजगणित|समुच्चयो का क्षेत्र}}


[[गणित]] में, समुच्चयों का बीजगणित, [[समुच्चयों के बीजगणित]] की [[गणितीय संरचना]] के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए, [[समुच्चय]] के गुणों और नियमों को परिभाषित करता है, [[संघ (सेट सिद्धांत)|सर्वनिष्ठ (समुच्चय सिद्धांत)]], [[प्रतिच्छेदन]] (समुच्चय सिद्धांत), और [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरकीकरण]] के समुच्चय-सैद्धांतिक प्रचालन, और [[समानता]] और [[संबंधों]] को स्थापित करता है। यह इन परिचालनों और संबंधों को सम्मिलित करने वाले व्यंजको के मूल्यांकन और गणना के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाएं भी प्रदान करता है।
समुच्चय सिद्धांतपरक प्रचालन के तहत बंद समुच्चय का कोई भी समुच्चय एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)|बूलीय बीजगणित]] बनाता है, जिसमें सम्मिलित होने वाला प्रचालक 'सर्वनिष्ठ' होता है, अवसंधि संकारक 'उभयनिष्ठ' होता है, पूरक प्रचालक 'समुच्चय पूरक' होता है, आधार <math>\varnothing</math> होता है, और सबसे ऊपर [[ब्रह्मांड (गणित)|समष्टीय]] समुच्चय विचाराधीन है।


समुच्चय सिद्धांतपरक प्रचालन के तहत बंद समुच्चय का कोई भी समुच्चय एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)|बूलीय बीजगणित]] बनाता है, जिसमें सम्मिलित होने वाला प्रचालक 'सर्वनिष्ठ' होता है, अवसंधि संकारक 'प्रतिच्छेदन' होता है, पूरक प्रचालक 'समुच्चय पूरक' होता है, आधार <math>\varnothing</math>  होता है, और सबसे ऊपर [[ब्रह्मांड (गणित)|समष्टीय]] समुच्चय विचाराधीन है।
== मूल सिद्धान्त ==


== मूलभूत ==
समुच्चयों का बीजगणित संख्याओं के बीजगणित का समुच्चय-सैद्धांतिक अनुरूप है। जिस प्रकार अंकगणितीय [[योग]] और [[गुणन]] साहचर्यता और [[क्रमविनिमेयता]] हैं, उसी प्रकार समुच्चय सर्वनिष्ठऔर उभयनिष्ठ हैं, जिस तरह अंकगणितीय संबंध "इससे कम या बराबर" [[प्रतिवर्त संबंध|समतुल्य]], [[एंटीसिमेट्रिक संबंध|प्रतिसममित]] और [[संक्रामक]] होता है, उसी तरह उपसमुच्चय का समुच्चय संबंध भी होता है।


समुच्चयों का बीजगणित संख्याओं के बीजगणित का समुच्चय-सैद्धांतिक अनुरूप है। जिस प्रकार अंकगणितीय [[योग]] और [[गुणन]] साहचर्यता और [[क्रमविनिमेयता]] हैं, उसी प्रकार समुच्चय सर्वनिष्ठऔर प्रतिच्छेदन हैं, जिस तरह अंकगणितीय संबंध "इससे कम या बराबर" [[प्रतिवर्त संबंध|समतुल्य]], [[एंटीसिमेट्रिक संबंध|प्रतिसममित]] और [[संक्रामक]] होता है, उसी तरह उपसमुच्चय का समुच्चय संबंध भी होता है।
यह सर्वनिष्ठ, उभयनिष्ठ और पूरकता, और समानता और समावेश संबंधों के समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन का बीजगणित है। समुच्चयों के मूल परिचय के लिए समुच्चयों पर लेख देखें, संपूर्ण विवरण के लिए नैवे समुच्चय सिद्धांत देखें, और पूर्ण कठोर [[स्वयंसिद्ध|अभिगृहीतीय]] उपचार के लिए अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत देखें।
 
यह सर्वनिष्ठ, प्रतिच्छेदन और पूरकता, और समानता और समावेश संबंधों के समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन का बीजगणित है। समुच्चयों के मूल परिचय के लिए समुच्चयों पर लेख देखें, संपूर्ण विवरण के लिए सहज समुच्चय सिद्धांत देखें, और पूर्ण कठोर [[स्वयंसिद्ध|अभिगृहीतीय]] उपचार के लिए अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत देखें।


== समुच्चय बीजगणित के मौलिक गुण ==
== समुच्चय बीजगणित के मौलिक गुण ==
समुच्चय [[समुच्च|सर्वनिष्ठ]] के [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी संक्रिया]] (<math>\cup</math>) और [[प्रतिच्छेदन]] (समुच्चय सिद्धांत) (<math>\cap</math>) कई [[सर्वसमिकाओं]] को संतुष्ट करते हैं। इनमें से कई सर्वसमिकाओं या नियमो के प्रमाणित नाम हैं।
समुच्चय [[समुच्च|सर्वनिष्ठ]] के [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी संक्रिया]] (<math>\cup</math>) और उभयनिष्ठ (समुच्चय सिद्धांत) (<math>\cap</math>) कई [[सर्वसमिकाओं]] को संतुष्ट करते हैं। इनमें से कई सर्वसमिकाओं या नियमो के प्रमाणित नाम हैं।


:[[क्रमचयी गुणधर्म]],
:[[क्रमचयी गुणधर्म]],
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::*<math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math>
::*<math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math>
::*<math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math>
::*<math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math>
समुच्चयों के सर्वनिष्ठऔर प्रतिच्छेदन को संख्याओं के योग और गुणन के अनुरूप देखा जा सकता है। योग और गुणा की तरह, सर्वनिष्ठऔर प्रतिच्छेदन के संचालन क्रमविनिमेय और साहचर्य होते हैं, और प्रतिच्छेदन सर्वनिष्ठ पर वितरित होते हैं। हालाँकि, योग और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ भी प्रतिच्छेदन पर वितरित करता है।
समुच्चयों के सर्वनिष्ठऔर उभयनिष्ठ को संख्याओं के योग और गुणन के अनुरूप देखा जा सकता है। योग और गुणा की तरह, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के संचालन क्रमविनिमेय और साहचर्य होते हैं, और उभयनिष्ठ सर्वनिष्ठ पर वितरित होते हैं। हालाँकि, योग और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ भी उभयनिष्ठ पर वितरित करता है।


गुणों के दो अतिरिक्त जोड़े में विशिष्ट समुच्चय सम्मिलित होते हैं जिन्हें [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] Ø और [[समष्टीय समुच्चय]] <math>U</math> कहा जाता है, पूरक सकारक के साथ (<math>A^C</math>, <math>A</math> के पूरक को दर्शाता है। इसे <math>A'</math>के रूप में भी लिखा जा सकता है, और अभाज्य के रूप में पढ़ा जा सकता है)। खाली समुच्चय में कोई सदस्य नहीं है, और समष्टीय समुच्चय में सभी संभावित सदस्य हैं (एक विशेष संदर्भ में)।
गुणों के दो अतिरिक्त जोड़े में विशिष्ट समुच्चय सम्मिलित होते हैं जिन्हें [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] Ø और [[समष्टीय समुच्चय]] <math>U</math> कहा जाता है, पूरक सकारक के साथ (<math>A^C</math>, <math>A</math> के पूरक को दर्शाता है। इसे <math>A'</math>के रूप में भी लिखा जा सकता है, और अभाज्य के रूप में पढ़ा जा सकता है)। रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, और समष्टीय समुच्चय में सभी संभावित अवयव हैं (एक विशेष संदर्भ में)।


:सर्वसमिका,
:सर्वसमिका,
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::*<math>A \cup A^C = U</math>
::*<math>A \cup A^C = U</math>
::*<math>A \cap A^C = \varnothing</math>
::*<math>A \cap A^C = \varnothing</math>
सर्वसमिका व्यंजक (क्रम विनिमय व्यंजकों के साथ) निर्देशित करते हैं कि, जैसे 0 और 1 जोड़ और गुणा के लिए, Ø और <math>U</math> क्रमशः सर्वनिष्ठ और प्रतिच्छेदन के लिए [[पहचान तत्व|तत्समक अवयव]] होते हैं।
सर्वसमिका व्यंजक (क्रम विनिमय व्यंजकों के साथ) निर्देशित करते हैं कि, जैसे 0 और 1 जोड़ और गुणा के लिए, Ø और <math>U</math> क्रमशः सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के लिए [[पहचान तत्व|तत्समक अवयव]] होते हैं।


जोड़ और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ और प्रतिच्छेदन में [[प्रतिलोम अवयव]] नहीं होते हैं। हालांकि पूरक नियम समुच्चय पूरकता के [[एकात्मक ऑपरेशन|एकाधारी संक्रिया]] के कुछ व्युत्क्रम- जैसे मौलिक गुण प्रदान करते हैं।
जोड़ और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ में [[प्रतिलोम अवयव]] नहीं होते हैं। हालांकि पूरक नियम समुच्चय पूरकता के [[एकात्मक ऑपरेशन|एकाधारी संक्रिया]] के कुछ व्युत्क्रम- जैसे मौलिक गुण प्रदान करते हैं।


सूत्रों के पूर्ववर्ती पांच जोड़े - क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण, सर्वसमिका और पूरक सूत्र - सभी समुच्चय बीजगणित को सम्मिलित करते हैं, इस अर्थ में कि समुच्चय बीजगणित में प्रत्येक वैध कथन उनसे प्राप्त किया जा सकता है।
सूत्रों के पूर्ववर्ती पांच जोड़े - क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण, सर्वसमिका और पूरक सूत्र - सभी समुच्चय बीजगणित को सम्मिलित करते हैं, इस अर्थ में कि समुच्चय बीजगणित में प्रत्येक मान्य कथन उनसे प्राप्त किया जा सकता है।


ध्यान दें कि यदि नियम <math> (A^C)^C = A </math> द्वारा पूरक सूत्रों को कमजोर किया जाता है, तो यह बिल्कुल कथनात्मक [[रैखिक तर्क]] का बीजगणित है{{clarify|reason=Explain which set operator corresponds to which linear-logic operator. Linear logic seems to have much more operators than a boolean algebra, but the section 'Algebraic semantics' of the 'linear logic' article is still unwritten.|date=August 2013}}.
ध्यान दें कि यदि नियम <math> (A^C)^C = A </math> द्वारा पूरक सूत्रों को कमजोर किया जाता है, तो यह बिल्कुल कथनात्मक [[रैखिक तर्क]] का बीजगणित है{{clarify|reason=Explain which set operator corresponds to which linear-logic operator. Linear logic seems to have much more operators than a boolean algebra, but the section 'Algebraic semantics' of the 'linear logic' article is still unwritten.|date=August 2013}}.


== द्वैतता का सिद्धांत ==
== द्वैत का सिद्धांत ==
{{See also|द्वैतता (कोटि सिद्धांत)}}
{{See also|द्वैत (कोटि सिद्धांत)}}


ऊपर दि गई प्रत्येक सर्वसमिका, सर्वसमिकाओं की एक जोड़ी में से एक है, जैसे कि प्रत्येक को ∪ और ∩, और Ø और U को परस्पर बदलकर दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है।
ऊपर दि गई प्रत्येक सर्वसमिका, सर्वसमिकाओं की एक जोड़ी में से एक है, जैसे कि प्रत्येक को ∪ और ∩, और Ø और U को बदलकर दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है।


ये समुच्चय बीजगणित की एक अत्यंत महत्वपूर्ण और घातीय गुण के उदाहरण हैं, अर्थात्, समुच्चय के लिए द्वैतता का सिद्धांत, जो दावा करता है कि एक समुच्चय के बारे में किसी भी सच्चे कथन के लिए, समुच्च और प्रतिच्छेदन को बदलने, U और Ø को बदलने और समावेश को उलटने से प्राप्त होने वाला दोहरा बयान भी सच है। एक कथन को स्व-द्वैत कहा जाता है यदि यह अपने स्वयं के द्वैत के बराबर है।
ये समुच्चय बीजगणित के एक अत्यंत महत्वपूर्ण और घातीय गुण के उदाहरण हैं, अर्थात्, समुच्चय के लिए द्वैत का सिद्धांत, जो दावा करता है कि एक समुच्चय के बारे में किसी भी सत्य कथन के लिए, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ को बदलने, U और Ø को बदलने और समावेश को उलटने से प्राप्त होने वाला दोहरा कथन भी सच है। एक कथन को स्व-द्वैत कहा जाता है यदि यह अपने स्वयं के द्वैत के बराबर है।


== समुच्च और प्रतिच्छेदन के लिए कुछ अतिरिक्त नियम ==
== सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के लिए कुछ अतिरिक्त नियम ==


निम्नलिखित कथन समुच्च और प्रतिच्छेदन सहित बीजगणित के छह और महत्वपूर्ण नियमो को निर्धारित करता है।
निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के छह और महत्वपूर्ण नियमो को बताता है, जिसमें सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ सम्मिलित हैं।


'''कथन 3,''' समष्टीय समुच्चय U के किसी भी उपसमुच्चय ''A'' और ''B'' के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएं मान्य हैं,
'''कथन 3,''' समष्टीय समुच्चय U के किसी भी उपसमुच्चय ''A'' और ''B'' के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएं मान्य हैं,
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::*<math>A \cup (A \cap B) = A</math>
::*<math>A \cup (A \cap B) = A</math>
::*<math>A \cap (A \cup B) = A</math>
::*<math>A \cap (A \cup B) = A</math>
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कि कथन 3 में वर्णित प्रत्येक नियम ऊपर वर्णित नियमो के पांच मौलिक जोड़े से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, समुच्च के लिए वर्गसम नियम के लिए एक प्रमाण नीचे दिया गया है।
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कि कथन 3 में वर्णित प्रत्येक नियम ऊपर वर्णित नियमो के पांच मौलिक जोड़े से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, सर्वनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम के लिए एक प्रमाण नीचे दिया गया है।


प्रमाण,
प्रमाण,
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|<math>A \cup A</math>
|<math>A \cup A</math>
|<math>=(A \cup A) \cap U</math>
|<math>=(A \cup A) \cap U</math>
|प्रतिच्छेदन के तत्समक नियम द्वारा
|उभयनिष्ठ के तत्समक नियम द्वारा
|-
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|<math>=(A \cup A) \cap (A \cup A^C)</math>
|<math>=(A \cup A) \cap (A \cup A^C)</math>
|समुच्च के पूरक नियम द्वारा
|सर्वनिष्ठ के पूरक नियम द्वारा
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|<math>=A \cup (A \cap A^C)</math>
|<math>=A \cup (A \cap A^C)</math>
|प्रतिच्छेदन पर समुच्च के वितरण के नियम द्वारा
|उभयनिष्ठ पर सर्वनिष्ठ के वितरण के नियम द्वारा
|-
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|<math>=A \cup \varnothing</math>
|<math>=A \cup \varnothing</math>
|प्रतिच्छेदन के लिए पूरक नियम द्वारा
|उभयनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
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|<math>=A</math>
|<math>=A</math>
|समुच्च के लिए तत्समक नियम द्वारा
|सर्वनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा
|}
|}
निम्नलिखित प्रमाण यह दर्शाता है कि उपरोक्त प्रमाण का द्वैत समुच्च के लिए वर्गसम नियम के द्वैत का प्रमाण है, अर्थात् प्रतिच्छेदन के लिए वर्गसम नियम।
निम्नलिखित प्रमाण यह दर्शाता है कि उपरोक्त प्रमाण का द्वैत सर्वनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम के द्वैत का प्रमाण है, अर्थात् उभयनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम।


प्रमाण,
प्रमाण,
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|<math>A \cap A</math>
|<math>A \cap A</math>
|<math>=(A \cap A) \cup \varnothing</math>
|<math>=(A \cap A) \cup \varnothing</math>
|समुच्च के लिए तत्समक नियम द्वारा
|सर्वनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा
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|<math>=(A \cap A) \cup (A \cap A^C)</math>
|प्रतिच्छेदन के लिए पूरक नियम द्वारा
|उभयनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
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|<math>=A \cap (A \cup A^C)</math>
|<math>=A \cap (A \cup A^C)</math>
|समुच्च पर प्रतिच्छेदन के वितरण नियम द्वारा
|सर्वनिष्ठ पर उभयनिष्ठ के वितरण नियम द्वारा
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|<math>=A \cap U</math>
|<math>=A \cap U</math>
|समुच्च के लिए पूरक नियम द्वारा
|सर्वनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
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|<math>=A</math>
|<math>=A</math>
|प्रतिच्छेदन के लिए तत्समक नियम द्वारा
|उभयनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा
|}
|}
प्रतिच्छेदन को समुच्चय अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,
उभयनिष्ठ को समुच्चय अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,


<math>A \cap B = A \setminus (A \setminus B) </math>
<math>A \cap B = A \setminus (A \setminus B) </math>
== पूरक के लिए कुछ अतिरिक्त नियम ==
== पूरको के लिए कुछ अतिरिक्त नियम ==


निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के पांच और महत्वपूर्ण नियमों को बताता है, जिसमें पूरक भी सम्मिलित हैं।
निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के पांच और महत्वपूर्ण नियमों को बताता है, जिसमें पूरक भी सम्मिलित हैं।
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ध्यान दें कि दोहरा पूरक नियम स्व-द्वैत है।
ध्यान दें कि दोहरा पूरक नियम स्व-द्वैत है।


अगला कथन, स्व-द्वैत भी है,बताता है कि एक समुच्चय का पूरक ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो पूरक नियमों को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, पूरकता की विशेषता पूरक नियमों द्वारा होती है।
अगला कथन, जो स्व-द्वैत भी है, बताता है कि एक समुच्चय का पूरक ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो पूरक नियमों को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, पूरकता की विशेषता पूरक नियमों द्वारा होती है।


कथन 5, मान लीजिए ''A'' और ''B'' समष्टीय U के उपसमुच्चय हैं, तो,
कथन 5, मान लीजिए ''A'' और ''B'' समष्टीय U के उपसमुच्चय हैं, तो,
: पूरक की विशिष्टता,
: पूरक की विशिष्टता,
::*अगर <math>A \cup B = U</math>, और <math>A \cap B = \varnothing</math>, तब <math>B = A^C</math>
::*अगर <math>A \cup B = U</math>, और <math>A \cap B = \varnothing</math>, तब <math>B = A^C</math>
== समावेश का बीजगणित ==
== बीजगणितीय समावेश ==


निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि [[समावेशन|समावेश]], जो कि एक समुच्चय का दूसरे का उपसमुच्चय होने का [[द्विआधारी संबंध]] है, एक [[आंशिक क्रम]] है।
निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि [[समावेशन|समावेश]], जो कि एक समुच्चय का दूसरे का उपसमुच्चय होने का [[द्विआधारी संबंध]] है, एक [[आंशिक क्रम]] है।


कथन 6, यदि ''A'', B और C समुच्चय हैं तो निम्नलिखित सर्वसमिका मान्य है,
कथन 6, यदि ''A'', B और C समुच्चय हैं तो निम्नलिखित मान्य है,


: प्रतिवर्त संबंध,
: प्रतिवर्त संबंध,
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: सकर्मक संबंध:
: सकर्मक संबंध:
::*अगर <math>A \subseteq B</math> और <math>B \subseteq C</math>, तब <math>A \subseteq C</math>
::*अगर <math>A \subseteq B</math> और <math>B \subseteq C</math>, तब <math>A \subseteq C</math>
निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि किसी भी समुच्चय S के लिए, समावेश द्वारा सुव्यवस्थित S का [[सत्ता स्थापित|घात समुच्चय]], एक [[परिबद्ध]] [[जाली (आदेश)|नियम]] है, और इसलिए उपरोक्त वितरक और पूरक नियमों के साथ, यह दर्शाता है कि यह एक [[बूलियन बीजगणित]] है।
निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि किसी भी समुच्चय S के लिए, समावेश द्वारा सुव्यवस्थित S का [[सत्ता स्थापित|घात समुच्चय]], एक [[परिबद्ध|बोउंडेड]] [[जाली (आदेश)|लैटिस]] है, और इसलिए उपरोक्त वितरण और पूरक नियमों के साथ, यह दर्शाता है कि यह एक [[बूलियन बीजगणित]] है।


'कथन 7', यदि A, B और C एक समुच्चय S के उपसमुच्चय हैं तो निम्नलिखित सर्वसमिका मान्य है,
'कथन 7', यदि A, B और C एक समुच्चय S के उपसमुच्चय हैं तो निम्नलिखित मान्य है,


: एक न्यूनतम अवयव और एक महत्तम अवयव का अस्तित्व,
: एक न्यूनतम अवयव और एक महत्तम अवयव का अस्तित्व,
::*<math>\varnothing \subseteq A \subseteq S</math>
::*<math>\varnothing \subseteq A \subseteq S</math>
: जुड़ने का अस्तित्व,
: ज्वाइन का अस्तित्व,
::*<math>A \subseteq A \cup B</math>
::*<math>A \subseteq A \cup B</math>
::*अगर <math>A \subseteq C</math> और <math>B \subseteq C</math>, तब <math>A \cup B \subseteq C</math>
::*अगर <math>A \subseteq C</math> और <math>B \subseteq C</math>, तब <math>A \cup B \subseteq C</math>
: जाली का अस्तित्व (आदेश):
: मीट्स का अस्तित्व (आदेश):
::*<math>A \cap B \subseteq A</math>
::*<math>A \cap B \subseteq A</math>
::*अगर <math>C \subseteq A</math> और <math>C \subseteq B</math>, तब <math>C \subseteq A \cap B</math>
::*अगर <math>C \subseteq A</math> और <math>C \subseteq B</math>, तब <math>C \subseteq A \cap B</math>
निम्नलिखित कथन कहता है कि कथन <math>A \subseteq B</math> समुच्चो, प्रतिच्छेदनो और पूरक से जुड़े कई अन्य कथनो के बराबर है।
निम्नलिखित कथन कहता है कि कथन <math>A \subseteq B</math> सर्वनिष्ठ, उभयनिष्ठ और पूरक से जुड़े कई अन्य कथनो के बराबर है।


कथन 8, किसी भी दो समुच्चय A और ''B'' के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं,
कथन 8, किसी भी दो समुच्चय A और ''B'' के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं,
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:*<math>A \setminus B = \varnothing</math>
:*<math>A \setminus B = \varnothing</math>
:*<math>B^C \subseteq A^C</math>
:*<math>B^C \subseteq A^C</math>
उपरोक्त कथन से पता चलता है कि समुच्चय समावेश के संबंध को समुच्चय समुच्च या समुच्चय प्रतिच्छेदन के संचालन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय समावेश की धारणा अभिगृहीतीय रूप से अनावश्यक है।
उपरोक्त कथन से पता चलता है कि समुच्चय समावेश के संबंध को समुच्चय सर्वनिष्ठ या समुच्चय उभयनिष्ठ के संचालन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय समावेश की धारणा अभिगृहीतीय रूप से अनावश्यक है।


== सापेक्ष पूरक का बीजगणित ==
== सापेक्ष पूरक का बीजगणित ==
Line 198: Line 195:
* [[नैवे समुच्चय सिद्धांत]]
* [[नैवे समुच्चय सिद्धांत]]
* [[समुच्चय (गणित)]]
* [[समुच्चय (गणित)]]
* [[सांस्थितिक समष्टि]] - <math>\wp(X)</math> का एक सबसमुच्चय, <math>X</math> का घात समुच्चय, स्वेच्छ समुच्च, परिमित प्रतिच्छेदन और <math>\emptyset</math> और <math>X</math> के संबंध में बंद।
* [[सांस्थितिक समष्टि]] - <math>\wp(X)</math> का एक सबसमुच्चय, <math>X</math> का घात समुच्चय, स्वेच्छ सर्वनिष्ठ, परिमित उभयनिष्ठ और <math>\emptyset</math> और <math>X</math> के संबंध में बंद।


==संदर्भ==
==संदर्भ==
Line 211: Line 208:
{{Set theory}}
{{Set theory}}
{{Mathematical logic}}
{{Mathematical logic}}
[[Category: सेट थ्योरी में बुनियादी अवधारणाएँ]] [[Category: सेट पर संचालन | सेट पर संचालन ]]


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[[Category:Created On 16/02/2023]]
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[[Category:Pages with script errors]]
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[[Category:Templates Translated in Hindi]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Wikipedia articles needing clarification from August 2013]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:सेट थ्योरी में बुनियादी अवधारणाएँ]]
[[Category:सेट पर संचालन| सेट पर संचालन ]]

Latest revision as of 16:16, 2 March 2023

गणित में, समुच्चयों का बीजगणित, समुच्चयों के बीजगणित की गणितीय संरचना के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए, समुच्चय के गुणों और नियमों को परिभाषित करता है, सर्वनिष्ठ (यूनियन), उभयनिष्ठ (इंटरसेक्शन), और पूरकीकरण के समुच्चय-सैद्धांतिक प्रचालन, और समानता और संबंधों को स्थापित करता है। यह इन परिचालनों और संबंधों को सम्मिलित करने वाले व्यंजको के मूल्यांकन और गणना के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाएं भी प्रदान करता है।

समुच्चय सिद्धांतपरक प्रचालन के तहत बंद समुच्चय का कोई भी समुच्चय एक बूलीय बीजगणित बनाता है, जिसमें सम्मिलित होने वाला प्रचालक 'सर्वनिष्ठ' होता है, अवसंधि संकारक 'उभयनिष्ठ' होता है, पूरक प्रचालक 'समुच्चय पूरक' होता है, आधार होता है, और सबसे ऊपर समष्टीय समुच्चय विचाराधीन है।

मूल सिद्धान्त

समुच्चयों का बीजगणित संख्याओं के बीजगणित का समुच्चय-सैद्धांतिक अनुरूप है। जिस प्रकार अंकगणितीय योग और गुणन साहचर्यता और क्रमविनिमेयता हैं, उसी प्रकार समुच्चय सर्वनिष्ठऔर उभयनिष्ठ हैं, जिस तरह अंकगणितीय संबंध "इससे कम या बराबर" समतुल्य, प्रतिसममित और संक्रामक होता है, उसी तरह उपसमुच्चय का समुच्चय संबंध भी होता है।

यह सर्वनिष्ठ, उभयनिष्ठ और पूरकता, और समानता और समावेश संबंधों के समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन का बीजगणित है। समुच्चयों के मूल परिचय के लिए समुच्चयों पर लेख देखें, संपूर्ण विवरण के लिए नैवे समुच्चय सिद्धांत देखें, और पूर्ण कठोर अभिगृहीतीय उपचार के लिए अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत देखें।

समुच्चय बीजगणित के मौलिक गुण

समुच्चय सर्वनिष्ठ के द्विआधारी संक्रिया () और उभयनिष्ठ (समुच्चय सिद्धांत) () कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं। इनमें से कई सर्वसमिकाओं या नियमो के प्रमाणित नाम हैं।

क्रमचयी गुणधर्म,
साहचर्य गुणधर्म,
व्यष्टि गुणधर्म,

समुच्चयों के सर्वनिष्ठऔर उभयनिष्ठ को संख्याओं के योग और गुणन के अनुरूप देखा जा सकता है। योग और गुणा की तरह, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के संचालन क्रमविनिमेय और साहचर्य होते हैं, और उभयनिष्ठ सर्वनिष्ठ पर वितरित होते हैं। हालाँकि, योग और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ भी उभयनिष्ठ पर वितरित करता है।

गुणों के दो अतिरिक्त जोड़े में विशिष्ट समुच्चय सम्मिलित होते हैं जिन्हें रिक्त समुच्चय Ø और समष्टीय समुच्चय कहा जाता है, पूरक सकारक के साथ (, के पूरक को दर्शाता है। इसे के रूप में भी लिखा जा सकता है, और अभाज्य के रूप में पढ़ा जा सकता है)। रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, और समष्टीय समुच्चय में सभी संभावित अवयव हैं (एक विशेष संदर्भ में)।

सर्वसमिका,
पूरक ,

सर्वसमिका व्यंजक (क्रम विनिमय व्यंजकों के साथ) निर्देशित करते हैं कि, जैसे 0 और 1 जोड़ और गुणा के लिए, Ø और क्रमशः सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के लिए तत्समक अवयव होते हैं।

जोड़ और गुणा के विपरीत, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ में प्रतिलोम अवयव नहीं होते हैं। हालांकि पूरक नियम समुच्चय पूरकता के एकाधारी संक्रिया के कुछ व्युत्क्रम- जैसे मौलिक गुण प्रदान करते हैं।

सूत्रों के पूर्ववर्ती पांच जोड़े - क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण, सर्वसमिका और पूरक सूत्र - सभी समुच्चय बीजगणित को सम्मिलित करते हैं, इस अर्थ में कि समुच्चय बीजगणित में प्रत्येक मान्य कथन उनसे प्राप्त किया जा सकता है।

ध्यान दें कि यदि नियम द्वारा पूरक सूत्रों को कमजोर किया जाता है, तो यह बिल्कुल कथनात्मक रैखिक तर्क का बीजगणित है[clarification needed].

द्वैत का सिद्धांत

ऊपर दि गई प्रत्येक सर्वसमिका, सर्वसमिकाओं की एक जोड़ी में से एक है, जैसे कि प्रत्येक को ∪ और ∩, और Ø और U को बदलकर दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है।

ये समुच्चय बीजगणित के एक अत्यंत महत्वपूर्ण और घातीय गुण के उदाहरण हैं, अर्थात्, समुच्चय के लिए द्वैत का सिद्धांत, जो दावा करता है कि एक समुच्चय के बारे में किसी भी सत्य कथन के लिए, सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ को बदलने, U और Ø को बदलने और समावेश को उलटने से प्राप्त होने वाला दोहरा कथन भी सच है। एक कथन को स्व-द्वैत कहा जाता है यदि यह अपने स्वयं के द्वैत के बराबर है।

सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ के लिए कुछ अतिरिक्त नियम

निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के छह और महत्वपूर्ण नियमो को बताता है, जिसमें सर्वनिष्ठ और उभयनिष्ठ सम्मिलित हैं।

कथन 3, समष्टीय समुच्चय U के किसी भी उपसमुच्चय A और B के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएं मान्य हैं,

वर्गसम नियम,
प्रभाविता का नियम,
अवशोषण नियम,

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कि कथन 3 में वर्णित प्रत्येक नियम ऊपर वर्णित नियमो के पांच मौलिक जोड़े से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, सर्वनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम के लिए एक प्रमाण नीचे दिया गया है।

प्रमाण,

उभयनिष्ठ के तत्समक नियम द्वारा
सर्वनिष्ठ के पूरक नियम द्वारा
उभयनिष्ठ पर सर्वनिष्ठ के वितरण के नियम द्वारा
उभयनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
सर्वनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा

निम्नलिखित प्रमाण यह दर्शाता है कि उपरोक्त प्रमाण का द्वैत सर्वनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम के द्वैत का प्रमाण है, अर्थात् उभयनिष्ठ के लिए वर्गसम नियम।

प्रमाण,

सर्वनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा
उभयनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
सर्वनिष्ठ पर उभयनिष्ठ के वितरण नियम द्वारा
सर्वनिष्ठ के लिए पूरक नियम द्वारा
उभयनिष्ठ के लिए तत्समक नियम द्वारा

उभयनिष्ठ को समुच्चय अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

पूरको के लिए कुछ अतिरिक्त नियम

निम्नलिखित कथन समुच्चय बीजगणित के पांच और महत्वपूर्ण नियमों को बताता है, जिसमें पूरक भी सम्मिलित हैं।

कथन 4, मान लीजिए कि A और B समष्टीय U के उपसमुच्चय हैं, तो,

डी मॉर्गन के नियम,
दोहरा पूरक या अंतर्वलन नियम,
समष्टीय समुच्चय और रिक्त समुच्चय के लिए पूरक नियम,

ध्यान दें कि दोहरा पूरक नियम स्व-द्वैत है।

अगला कथन, जो स्व-द्वैत भी है, बताता है कि एक समुच्चय का पूरक ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो पूरक नियमों को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, पूरकता की विशेषता पूरक नियमों द्वारा होती है।

कथन 5, मान लीजिए A और B समष्टीय U के उपसमुच्चय हैं, तो,

पूरक की विशिष्टता,
  • अगर , और , तब

बीजगणितीय समावेश

निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि समावेश, जो कि एक समुच्चय का दूसरे का उपसमुच्चय होने का द्विआधारी संबंध है, एक आंशिक क्रम है।

कथन 6, यदि A, B और C समुच्चय हैं तो निम्नलिखित मान्य है,

प्रतिवर्त संबंध,
विषम संबंध,
  • और तो केवल
सकर्मक संबंध:
  • अगर और , तब

निम्नलिखित कथन में कहा गया है कि किसी भी समुच्चय S के लिए, समावेश द्वारा सुव्यवस्थित S का घात समुच्चय, एक बोउंडेड लैटिस है, और इसलिए उपरोक्त वितरण और पूरक नियमों के साथ, यह दर्शाता है कि यह एक बूलियन बीजगणित है।

'कथन 7', यदि A, B और C एक समुच्चय S के उपसमुच्चय हैं तो निम्नलिखित मान्य है,

एक न्यूनतम अवयव और एक महत्तम अवयव का अस्तित्व,
ज्वाइन का अस्तित्व,
  • अगर और , तब
मीट्स का अस्तित्व (आदेश):
  • अगर और , तब

निम्नलिखित कथन कहता है कि कथन सर्वनिष्ठ, उभयनिष्ठ और पूरक से जुड़े कई अन्य कथनो के बराबर है।

कथन 8, किसी भी दो समुच्चय A और B के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं,

उपरोक्त कथन से पता चलता है कि समुच्चय समावेश के संबंध को समुच्चय सर्वनिष्ठ या समुच्चय उभयनिष्ठ के संचालन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समुच्चय समावेश की धारणा अभिगृहीतीय रूप से अनावश्यक है।

सापेक्ष पूरक का बीजगणित

निम्नलिखित कथन सापेक्ष पूरक और समुच्चय-सैद्धांतिक मतभेदों से संबंधित कई सर्वसमिकाओ को सूचीबद्ध करता है।

कथन 9, किसी भी समष्टीय U और U के उपसमुच्चय A, B और C के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ मान्य हैं,

यह भी देखें

संदर्भ

  • Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16—23.
  • Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".


बाहरी संबंध