अवकलज

This article is about शब्द के रूप में कलन प्रयोग किया जाता है. For विषय का एक कम तकनीकी अवलोकन, see अंतर कलन. For अन्य उपयोग, see अवकलज (disambiguation).

File:Tangent to a curve.svg

एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।

गणित में, वास्तविक चर के एक प्रकार्य का व्युत्पन्न इसके तर्क(निविष्ट मान) में परिवर्तन के संबंध में प्रकार्य मान(प्रक्षेपण मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न जब उपस्थित होता है, तो उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्शरेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए समूहीकृत किया जा सकता है। इस सामूहीकरण में, व्युत्पन्न की एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र(उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन आव्यूह(गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह प्रवणता संवाहक में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपरीत प्रक्रिया को 'विरोधी विशिष्टीकरण' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।

परिभाषा

वास्तविक चर f(x) का एक फलन इसके प्रांत के एक बिंदु a पर अवकलनीय है, यदि इसके प्रांत में एक खुला अंतराल I होता है जिसमें a सम्मिलित है, और जिसकी सीमा निम्न होती है:

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

इसका उद्देश्य यह है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या $\varepsilon$ के लिए(यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या $\delta$ ऐसे उपस्थित होती है, जैसे कि, प्रत्येक h के लिए $|h|<\delta$ तथा $h\neq 0$ फिर $f(a+h)$ परिभाषित किया गया है, और

$|L-<!--\; -\; -->\frac{f(a+h)-<!--\; -\; -->f(a}{}$