कोणीय विस्थापन: Difference between revisions

Latest revision as of 13:33, 27 October 2023

निश्चित अक्ष O के बारे में कठोर पिंड P का घूर्णन।

किसी पिंड का कोणीय विस्थापन वह कोण है जो (कांति, डिग्री (कोण) या परिभ्रमण (ज्यामिति) में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है, तो गति को केवल कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वृत्ताकार गति में समय (t) परिवर्तित वेग और त्वरण से गुजरता है। किसी पिंड के घूर्णन से यापन के समय, पिंड को ही कठोर मानना सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के मध्य विभिन्नता पूर्ण पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग विस्थापित नहीं हो रहे है। यथार्थवादी अर्थ में, सभी वस्तु विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को घूर्णी गति कहा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), कण या पिंड P मूल, O, घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी r पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य परिवर्तित हो रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण वृत्त के साथ चलता है, यह चाप (ज्यामिति) s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-

s=r\theta \,

माप

कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है। रेडियन का उपयोग करना वृत्त के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के मध्य अधिक सरल संबंध प्रदान करता है।

\theta ={\frac {s}{r}}

उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड त्रिज्या r के वृत्त के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr-त्रिज्या द्वारा विभाजित है: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ जो सरल हो जाता है:

$\theta =2\pi$ इसलिए, 1 क्रांति है $2\pi$ रेडियन है।

जब कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है $\delta t$ , जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, वृत्त की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ जो कोणीय विस्थापन के समतल है।

तीन आयाम

चित्र 1: यूलर का घूर्णन प्रमेय। महान वृत्त घूर्णन के अंतर्गत वृत्त में परिवर्तित हो जाता है, सदैव अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।

चित्रा 2: घूर्णन यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।

तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन दिशा और परिमाण के साथ इकाई होती है। दिशा नियमित आवर्तन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो सदैव यूलर के घूर्णन प्रमेय के आधार पर उपस्तिथ होती है; परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में नियमित आवर्तन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)। इसे इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।

दिशा और परिमाण होने के अतिरिक्त, कोणीय विस्थापन सदिश (ज्यामिति) नहीं है क्योंकि यह इसके अतिरिक्तविनिमेय कानून का पालन नहीं करता है।^[1] फिर भी, जब अनंत घूर्णन से व्यवहार करते हैं, तो दूसरे क्रम के अतिसूक्ष्म को त्याग दिया जा सकता है और इस विषय में क्रम-विनिमेयता दिखाई देती है।

कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई उपाय उपस्तिथ हैं, जैसे घूर्णन आव्यूह या यूलर कोण दूसरों के लिए SO (3) पर चार्ट देखें।

आव्यूह अंकन

यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी सीमा को घूर्णन आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को घूर्णन आव्यूह द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। $A_{0}$ और $A_{f}$ दो आव्यूह, उनके मध्य के कोणीय विस्थापन आव्यूह को प्राप्त किया जा सकता है $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$ जब इस उत्पाद को दोनों सीमा के मध्य अधिक अल्प अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के निकट आव्यूह प्राप्त करेंगे।

सीमा में, हमारे पास अनंत घूर्णन आव्यूह होगा।

घूर्णन आव्यूह

अनंत कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित आव्यूह है अनंत घूर्णन आव्यूह:

जैसा कि किसी भी घूर्णन आव्यूह में एकल वास्तविक आइजन मूल्य होता है, जो +1 है, यह आइजन मूल्य घूर्णन अक्ष को दर्शाता है।
इसके मॉड्यूल को अनंत घूर्णन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
आव्यूह का आकार इस प्रकार है: $A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}$

हम यहां अति सूक्ष्म कोणीय विस्थापन टेंसर या घूर्णन जनरेटर से जुड़े हो सकते हैं:

d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}

ऐसा है कि इसका संबद्ध घूर्णन आव्यूह है। जब इसे $A=I+d\Phi (t)$ समय तक विभाजित किया जाता है, तो यह कोणीय वेग सदिश का उत्पादन करेगा।

घूर्णन के जनक

मान लीजिए कि हम इकाई सदिश [x, y, z] द्वारा घूर्णन की धुरी निर्दिष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि हमारे पास उस सदिश के बारे में कोण Δθ का अनंत घूर्णन है। अनंत जोड़ के रूप में घूर्णन आव्यूह का विस्तार करना, और प्रथम क्रम दृष्टिकोण लेना, घूर्णन आव्यूह ΔR के रूप में दर्शाया गया है:

\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .

इस अक्ष के बारे में कोण θ के माध्यम से परिमित आव्यूह को अक्ष के बारे में छोटे घूर्णन के उत्तराधिकार के रूप में देखा जा सकता है। θ के रूप में θ/n जहां n बड़ी संख्या है, अक्ष के बारे में θ का घूर्णन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.

यह देखा जा सकता है कि यूलर के प्रमेय में अनिवार्य रूप से कहा गया है कि सभी घूर्णन को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। उत्पाद $\mathbf {A} \theta$ आव्यूह A के साथ जुड़े सदिश (x, y, z) के रूप में विशेष घूर्णन का जनक है, यह दर्शाता है कि घूर्णन आव्यूह और अक्ष-कोण प्रारूप घातीय फ़ंक्शन द्वारा संबंधित हैं।

जनक G के लिए सरल अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है। स्वेच्छा से सतह के साथ प्रारम्भ होता है^[2] लंबवत इकाई सदिश a और b की जोड़ी द्वारा परिभाषित किया गया है। इस सतह में लंबवत y के साथ स्वेच्छा से सदिश x का चयन कर सकता है। x के संदर्भ में y का समाधान करता है और सतह में घूर्णन के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करता है, जिसमें घूर्णन आव्यूह R होता है जिसमें जनक G = ba^T − ab^T सम्मलित है ।

{\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}

घूर्णन में सतह के बाहर सदिश को सम्मलित करने के लिए किसी को दो प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) को सम्मलित करके R के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को संशोधित करने की आवश्यकता होती है जो अंतरिक्ष को विभाजित करता है। इस संशोधित घूर्णन आव्यूह को आव्यूह घातीय घूर्णन अभिप्राय के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

{\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}

पूर्ण घूर्णन आव्यूह के अतिरिक्त इन जनक के संदर्भ में विश्लेषण प्रायः सरल होता है। जनक के संदर्भ में विश्लेषण को घूर्णन समूह के लाई बीजगणित के रूप में जाना जाता है।

लाई बीजगणित के साथ संबंध

लाई बीजगणित में आव्यूह स्वयं घूर्णन नहीं हैं; तिरछा-सममितीय आव्यूह डेरिवेटिव, घूर्णन के आनुपातिक अंतर हैं। वास्तविक अंतर घूर्णन, या अधिक लघु घूर्णन आव्यूह का रूप है

I+A\,d\theta ~,

जहाँ $dθ$ विलुप्त और छोटा है $A \in so (n)$ उदाहरण के लिए $A = L x$ ,

dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

संगणना के नियम के जैसे दूसरे क्रम के इनफिनिटिमल्स नियमित रूप से गिराए जाते हैं। इन नियमों के साथ, ये आव्यूह उन सभी गुणों को संतुष्ट नहीं करते हैं, जो इनफिनिटिमल्स के सामान्य उपचार के अंतर्गत सामान्य परिमित घूर्णन आव्यूह के रूप में होते हैं। ^[3] यह पता चला है कि जिस क्रम में अनंत घूर्णन लागू होते हैं वह अप्रासंगिक है। इस उदाहरण को देखने के लिए, अत्यल्प परिक्रमण SO(3) की सलाह लें।

घातीय मानचित्र

लाई बीजगणित को लाई समूह से जोड़ना घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत) है, जिसे मानक आव्यूह घातीय शृंखला $e A$ के लिए परिभाषित किया गया है ^[4] किसी भी तिरछी-सममित आव्यूह के लिए $A$ , $exp(A)$ सदैव घूर्णन आव्यूह होता है।^{[nb 1]} महत्वपूर्ण व्यावहारिक उदाहरण $3 \times 3$ है। घूर्णन समूह में SO(3) में, यह दिखाया गया है कि प्रत्येक $A \in so (3)$ को यूलर सदिश $ω = θ u$ , पहचाना जा सकता है, जहाँ $u = (x, y, z)$ इकाई परिमाण सदिश है।

पहचान के गुणों के अनुसार $su (2) ≅ R 3$ , $u$ , $A$ के शून्य स्थान में है। इस प्रकार, $u$ द्वारा अपरिवर्तित त्याग दिया जाता है $exp(A)$ और इसलिए घूर्णन अक्ष है।

रॉड्रिक्स के घूर्णन सूत्र आव्यूह नोटेशन का उपयोग करना | रॉड्रिक्स के साथ आव्यूह प्रपत्र पर घूर्णन सूत्र $θ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ⁄2 + θ⁄2$ , त्रिकोणमितीय पहचान की मानक सूची के साथ विभिन्न-कोण और अर्ध-कोण सूत्र प्राप्त करता है,

{\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}

यह अर्ध-कोण रूप में कोण $θ$ द्वारा अक्ष $u$ के चारों ओर घूर्णन के लिए आव्यूह है। पूर्ण विवरण के लिए, घातीय मानचित्र SO(3) देखें।

ध्यान दें कि अतिसूक्ष्म कोणों के लिए दूसरे क्रम के प्रतिबंध को अप्रत्यक्ष किया जा सकता है और $exp(A) = I + A$ बना रहता है।

यह भी देखें

कोणीय दूरी
कोणीय स्थिति
कोणीय वेग
अत्यल्प घूर्णन
रैखिक लोच
क्षेत्र का दूसरा क्षण

↑ Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$
Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2 artanh A)$ .

संदर्भ

↑ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.
↑ in Euclidean space
↑ (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)
↑ (Wedderburn 1934, §8.02)

स्रोत

Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Classical Mechanics (third ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-65702-9
Wedderburn, Joseph H. M. (1934), Lectures on Matrices, AMS, ISBN 978-0-8218-3204-2

[5] Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$
Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2 artanh A)$ .

[1] Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 288–89. ISBN 9780070350489.

[2] Euclidean space

[3] (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)

[4] (Wedderburn 1934, §8.02)

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Classical mechanics|rotational}}
+{{Classical mechanics|घुमानेवाला}}
-[[Image:angulardisplacement1.jpg|300px|right|thumb|एक निश्चित अक्ष ओ के बारे में एक कठोर शरीर पी का रोटेशन।]]किसी पिंड का [[ कोण |कोणीय]] विस्थापन वह कोण है ([[ कांति |कांति]], [[ डिग्री (कोण) |डिग्री (कोण)]] या [[ टर्न (ज्यामिति) |परिभ्रमण (ज्यामिति)]] में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट [[ रोटेशन |अक्ष]] के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, तो गति का केवल एक कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि [[ परिपत्र गति |वृत्ताकार गति]] में यह किसी भी समय बदलते वेग और त्वरण से गुजरता है (''टी '')। किसी पिंड के घूर्णन से निपटने के दौरान, पिंड को ही कठोर मानना सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के बीच अलगाव पूरे पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग उड़ नहीं रहे हैं। यथार्थवादी अर्थ में, सभी चीजें विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को [[ घूर्णी गति |घूर्णी गति]] कहा जाता है।
+[[Image:angulardisplacement1.jpg|300px|right|thumb|निश्चित अक्ष ''O'' के बारे में कठोर पिंड ''P'' का घूर्णन।]]किसी पिंड का '''[[ कोण |कोणीय]] विस्थापन''' वह कोण है जो ([[ कांति |कांति]], [[ डिग्री (कोण) |डिग्री (कोण)]] या [[ टर्न (ज्यामिति) |परिभ्रमण (ज्यामिति)]] में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट [[ रोटेशन |अक्ष]] के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है, तो गति को केवल कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि [[ परिपत्र गति |वृत्ताकार गति]] में समय (''t'') परिवर्तित वेग और त्वरण से गुजरता है। किसी पिंड के घूर्णन से यापन के समय, पिंड को ही कठोर मानना सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के मध्य विभिन्नता पूर्ण पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग विस्थापित नहीं हो रहे है। यथार्थवादी अर्थ में, सभी वस्तु विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को [[ घूर्णी गति |घूर्णी गति]] कहा जाता है।
 == उदाहरण ==
-उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), एक कण या शरीर P मूल, ''O'', घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी ''r'' पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (''r'',θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य बदल रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण वृत्त के साथ चलता है, यह [[ चाप (ज्यामिति) |चाप (ज्यामिति)]] s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-
+उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), कण या पिंड P मूल, ''O'', घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी ''r'' पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (''r'',θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य परिवर्तित हो रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण वृत्त के साथ चलता है, यह [[ चाप (ज्यामिति) |चाप (ज्यामिति)]] s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-
 :<math>s = r\theta \,</math>
 == माप ==
-कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है। रेडियन का उपयोग करना वृत्त के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के बीच एक बहुत ही सरल संबंध प्रदान करता है।
+कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है। रेडियन का उपयोग करना वृत्त के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के मध्य अधिक सरल संबंध प्रदान करता है।
 :<math>\theta = \frac{s}{r}</math>
-उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड त्रिज्या r के वृत्त के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr-त्रिज्या द्वारा विभाजित है: <math>\theta= \frac{2\pi r}r</math> जो आसानी से सरल हो जाता है: <math>\theta=2\pi</math> इसलिए, 1 क्रांति है <math>2\pi</math> रेडियन।
+उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड त्रिज्या r के वृत्त के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr-त्रिज्या द्वारा विभाजित है: <math>\theta= \frac{2\pi r}r</math> जो सरल हो जाता है:
+<math>\theta=2\pi</math> इसलिए, 1 क्रांति है <math>2\pi</math> रेडियन है।
-<!-- Image with unknown copyright status removed: [[Image:angulardisplacement2.jpg|250px|left|thumb|A particle that is rotating from point P to point Q along the arc of the circle.  In the time that elapses, the change in time is equal to the final time minus the original time, and the radius travels an angle theta, or the original angle subtracted from the final angle.]]
+जब कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है <math>\delta t</math>, जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, वृत्त की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है <math>\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 </math> जो कोणीय विस्थापन के समतल है।
--->
-जब कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है <math>\delta t</math>, जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, वृत्त की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है <math>\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 </math> जो कोणीय विस्थापन के बराबर है।
 == तीन आयाम ==
-[[Image:Euler Rotation 2.JPG|200px|left|thumb|चित्र 1: यूलर का रोटेशन प्रमेय।एक महान सर्कल घुमाव के तहत एक और महान सर्कल में बदल जाता है, हमेशा अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।]]
+[[Image:Euler Rotation 2.JPG|200px|left|thumb|चित्र 1: यूलर का घूर्णन प्रमेय। महान वृत्त घूर्णन के अंतर्गत वृत्त में परिवर्तित हो जाता है, सदैव अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।]]
-[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|चित्रा 2: एक रोटेशन एक यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।]]तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन दिशा और परिमाण के साथ इकाई है। दिशा रोटेशन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो हमेशा यूलर के रोटेशन प्रमेय के आधार पर मौजूद होती है;परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में रोटेशन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)।इस इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।
+[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|चित्रा 2: घूर्णन यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।]]तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन दिशा और परिमाण के साथ इकाई होती है। दिशा नियमित आवर्तन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो सदैव यूलर के घूर्णन प्रमेय के आधार पर उपस्तिथ होती है; परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में नियमित आवर्तन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)। इसे इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।
-दिशा और परिमाण होने के बावजूद, कोणीय विस्थापन एक [[ वेक्टर (ज्यामिति) ]] नहीं है क्योंकि यह इसके अलावा [[ विनिमेय कानून ]] का पालन नहीं करता है।<ref>{{cite book|last1=Kleppner|first1=Daniel|last2=Kolenkow|first2=Robert|title=An Introduction to Mechanics|url=https://archive.org/details/introductiontome00dani|url-access=registration|publisher=McGraw-Hill|year=1973|pages=[https://archive.org/details/introductiontome00dani/page/288 288]–89|isbn=9780070350489}}</ref> फिर भी, जब इनफिनिटिमल रोटेशन से निपटते हैं, तो दूसरे क्रम के infinitesimals को छोड़ दिया जा सकता है और इस मामले में कम्यूटिविटी दिखाई देती है।
+दिशा और परिमाण होने के अतिरिक्त, कोणीय विस्थापन [[ वेक्टर (ज्यामिति) |सदिश (ज्यामिति)]] नहीं है क्योंकि यह इसके अतिरिक्त[[ विनिमेय कानून ]]का पालन नहीं करता है।<ref>{{cite book|last1=Kleppner|first1=Daniel|last2=Kolenkow|first2=Robert|title=An Introduction to Mechanics|url=https://archive.org/details/introductiontome00dani|url-access=registration|publisher=McGraw-Hill|year=1973|pages=[https://archive.org/details/introductiontome00dani/page/288 288]–89|isbn=9780070350489}}</ref> फिर भी, जब अनंत घूर्णन से व्यवहार करते हैं, तो दूसरे क्रम के अतिसूक्ष्म को त्याग दिया जा सकता है और इस विषय में क्रम-विनिमेयता दिखाई देती है।
-कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई तरीके मौजूद हैं, जैसे [[ रोटेशन मैट्रिक्स ]] या [[ यूलर कोण ]]।दूसरों के लिए [[ SO (3) पर चार्ट ]] देखें।
+कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई उपाय उपस्तिथ हैं, जैसे [[ रोटेशन मैट्रिक्स |घूर्णन आव्यूह]] या [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] दूसरों के लिए [[ SO (3) पर चार्ट |SO (3) पर चार्ट]] देखें।
-=== मैट्रिक्स अंकन ===
+=== आव्यूह अंकन ===
-यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी फ्रेम को एक रोटेशन मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को एक रोटेशन मैट्रिक्स द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है।हो रहा <math>A_0</math> और <math>A_f</math> दो मैट्रिस, उनके बीच के कोणीय विस्थापन मैट्रिक्स को प्राप्त किया जा सकता है <math>\Delta A =  A_f A_0^{-1}</math>।जब इस उत्पाद को दोनों फ्रेम के बीच बहुत कम अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के करीब एक मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे।
+यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी सीमा को घूर्णन आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को घूर्णन आव्यूह द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। <math>A_0</math> और <math>A_f</math> दो आव्यूह, उनके मध्य के कोणीय विस्थापन आव्यूह को प्राप्त किया जा सकता है <math>\Delta A =  A_f A_0^{-1}</math>जब इस उत्पाद को दोनों सीमा के मध्य अधिक अल्प अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के निकट आव्यूह प्राप्त करेंगे।
-सीमा में, हमारे पास एक infinitesimal रोटेशन मैट्रिक्स होगा।
+सीमा में, हमारे पास अनंत घूर्णन आव्यूह होगा।
-== infinitesimal रोटेशन matrices ==
+== घूर्णन आव्यूह ==
 {{further
-|Euler's rotation theorem#Generators of rotations{{!}}Generators of rotations
+|यूलर का घूर्णन प्रमेय घूर्णन के जनक {{!}}घूर्णन के जनक
-|Rotation matrix#Infinitesimal rotations{{!}}Infinitesimal rotations
+|घूर्णन आव्यूह अनंत घूर्णन{{!}}अनंत घूर्णन|अनंत स्ट्रेन सिद्वांत अनंत घूर्णन टेन्सर{{!}}अनंत घूर्णन टेन्सर
-|Infinitesimal strain theory#Infinitesimal rotation tensor{{!}}Infinitesimal rotation tensor
+|परिक्रमण समूह SO(3) अत्यंत सूक्ष्म आवर्तन}}
-|Rotation group SO(3)#Infinitesimal rotations
-}}
+अनंत कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित आव्यूह है अनंत घूर्णन आव्यूह:
-एक infinitesimal कोणीय विस्थापन एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है#infinitesimal घुमाव मैट्रिक्स:
-* जैसा कि किसी भी रोटेशन मैट्रिक्स में एक एकल वास्तविक eigenvalue होता है, जो +1 है, यह eigenvalue रोटेशन अक्ष को दर्शाता है।
+* जैसा कि किसी भी घूर्णन आव्यूह में एकल वास्तविक आइजन मूल्य होता है, जो +1 है, यह आइजन मूल्य घूर्णन अक्ष को दर्शाता है।
-* इसके मॉड्यूल को इनफिनिटिमल रोटेशन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
+* इसके मॉड्यूल को अनंत घूर्णन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
-* मैट्रिक्स का आकार इस तरह है: <math display="block">
+* आव्यूह का आकार इस प्रकार है: <math display="block">
    A = \begin{pmatrix}
           & -d\phi_z(t) &  d\phi_y(t) \\
@@ Line 50: / Line 48: @@
    \end{pmatrix}
 </math>
-हम यहां इन्फिनिटिमल एंगुलर विस्थापन टेंसर या रोटेशन जनरेटर से जुड़े हो सकते हैं:
+हम यहां अति सूक्ष्म कोणीय विस्थापन टेंसर या घूर्णन जनरेटर से जुड़े हो सकते हैं:
 :<math>
@@ Line 59: / Line 57: @@
    \end{pmatrix}
 </math>
-ऐसा है कि इसका संबद्ध रोटेशन मैट्रिक्स है <math>A = I + d\Phi(t)</math>।जब इसे समय तक विभाजित किया जाता है, तो यह [[ कोणीय वेग ]] वेक्टर का उत्पादन करेगा।
+ऐसा है कि इसका संबद्ध घूर्णन आव्यूह है। जब इसे <math>A = I + d\Phi(t)</math> समय तक विभाजित किया जाता है, तो यह [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] सदिश का उत्पादन करेगा।
+=== घूर्णन के जनक ===
+{{Main|घूर्णन आव्यूह
+|घूर्णन आव्यूह SO(3)|अनंत परिवर्तन}}
-=== रोटेशन के जनरेटर ===
+मान लीजिए कि हम इकाई सदिश [x, y, z] द्वारा घूर्णन की धुरी निर्दिष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि हमारे पास उस सदिश के बारे में कोण Δθ का अनंत घूर्णन है। अनंत जोड़ के रूप में घूर्णन आव्यूह का विस्तार करना, और प्रथम क्रम दृष्टिकोण लेना, घूर्णन आव्यूह ΔR के रूप में दर्शाया गया है:
-{{Main|Rotation matrix|Rotation group SO(3)|Infinitesimal transformation}}
-मान लीजिए कि हम एक यूनिट वेक्टर [x, y, z] द्वारा रोटेशन की एक धुरी निर्दिष्ट करते हैं, और मान लीजिए कि हमारे पास उस वेक्टर के बारे में कोण Δθ का एक infinitesimal रोटेशन है।एक अनंत जोड़ के रूप में रोटेशन मैट्रिक्स का विस्तार करना, और पहला ऑर्डर दृष्टिकोण लेना, रोटेशन मैट्रिक्स ΔR के रूप में दर्शाया गया है:
 : <math>\Delta R =
@@ Line 79: / Line 79: @@
    = \mathbf{I} + \mathbf{A}\,\Delta\theta.
 </math>
-इस अक्ष के बारे में कोण θ के माध्यम से एक परिमित रोटेशन को एक ही अक्ष के बारे में छोटे घुमावों के उत्तराधिकार के रूप में देखा जा सकता है।Θ/के रूप में θ/n जहां n एक बड़ी संख्या है, अक्ष के बारे में θ का एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
+इस अक्ष के बारे में कोण θ के माध्यम से परिमित आव्यूह को अक्ष के बारे में छोटे घूर्णन के उत्तराधिकार के रूप में देखा जा सकता है। ''θ'' के रूप में θ/n जहां n बड़ी संख्या है, अक्ष के बारे में θ का घूर्णन का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
 :<math>R = \left(\mathbf{1} + \frac{\mathbf{A}\theta}{N}\right)^N \approx e^{\mathbf{A}\theta}.</math>
-यह देखा जा सकता है कि यूलर के प्रमेय में अनिवार्य रूप से कहा गया है कि <u> सभी </u> रोटेशन को इस रूप में दर्शाया जा सकता है।उत्पाद <math>\mathbf{A}\theta</math> मैट्रिक्स ए के साथ जुड़े वेक्टर (x, y, z) के रूप में विशेष रोटेशन का जनरेटर है, यह दर्शाता है कि रोटेशन मैट्रिक्स और एक्सिस-कोण प्रारूप घातीय फ़ंक्शन द्वारा संबंधित हैं।
+यह देखा जा सकता है कि यूलर के प्रमेय में अनिवार्य रूप से कहा गया है कि <u>सभी </u>घूर्णन को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। उत्पाद <math>\mathbf{A}\theta</math> आव्यूह A के साथ जुड़े सदिश (x, y, z) के रूप में विशेष घूर्णन का जनक है, यह दर्शाता है कि घूर्णन आव्यूह और अक्ष-कोण प्रारूप घातीय फ़ंक्शन द्वारा संबंधित हैं।
-एक जनरेटर जी के लिए एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है। एक मनमाना विमान के साथ शुरू होता है<ref>in Euclidean space</ref> लंबवत इकाई वैक्टर ए और बी की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित किया गया है।इस विमान में एक लंबवत वाई के साथ एक मनमाना वेक्टर एक्स चुन सकता है।एक तो x के संदर्भ में y के लिए हल करता है और एक विमान में एक रोटेशन के लिए एक अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करता है, जिसमें रोटेशन मैट्रिक्स आर होता है जिसमें जनरेटर जी = बीए शामिल है<sup>T </sup> - ab<sup>T </sup>।
+जनक G के लिए सरल अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है। स्वेच्छा से सतह के साथ प्रारम्भ होता है<ref>in Euclidean space</ref> लंबवत इकाई सदिश a और b की जोड़ी द्वारा परिभाषित किया गया है। इस सतह में लंबवत y के साथ स्वेच्छा से सदिश x का चयन कर सकता है। x के संदर्भ में y का समाधान करता है और सतह में घूर्णन के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करता है, जिसमें घूर्णन आव्यूह R  होता है जिसमें जनक G = ba<sup>T</sup> − ab<sup>T</sup> सम्मलित है ।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 101: / Line 101: @@
    G &= ba^T - ab^T \\
 \end{align}</math>
-रोटेशन में विमान के बाहर वैक्टर को शामिल करने के लिए किसी को दो [[ प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) ]] को शामिल करके आर के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को संशोधित करने की आवश्यकता होती है जो अंतरिक्ष को विभाजित करता है।इस संशोधित रोटेशन मैट्रिक्स को मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल#रोटेशन केस के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
+घूर्णन में सतह के बाहर सदिश को सम्मलित करने के लिए किसी को दो [[ प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) |प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] को सम्मलित करके R के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को संशोधित करने की आवश्यकता होती है जो अंतरिक्ष को विभाजित करता है। इस संशोधित घूर्णन आव्यूह को आव्यूह घातीय घूर्णन अभिप्राय के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 107: / Line 107: @@
        R &= I - P_{ab} + \left[ I \cos\left( \beta \right) + G \sin\left( \beta \right) \right] P_{ab} = e^{G\beta} \\
 \end{align}</math>
-पूर्ण रोटेशन मैट्रिक्स के बजाय इन जनरेटर के संदर्भ में विश्लेषण अक्सर आसान होता है।जनरेटर के संदर्भ में विश्लेषण को रोटेशन समूह के [[ झूठ बीजगणित ]] के रूप में जाना जाता है।
+पूर्ण घूर्णन आव्यूह के अतिरिक्त इन जनक के संदर्भ में विश्लेषण प्रायः सरल होता है। जनक के संदर्भ में विश्लेषण को घूर्णन समूह के [[ झूठ बीजगणित |लाई बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है।
-=== झूठ के साथ संबंध aggebras ===
+=== लाई बीजगणित के साथ संबंध ===
-झूठ बीजगणित में मैट्रिसेस स्वयं रोटेशन नहीं हैं;तिरछा-सममितीय मैट्रिस डेरिवेटिव, रोटेशन के आनुपातिक अंतर हैं।एक वास्तविक अंतर रोटेशन, या इनफिनिटिमल रोटेशन मैट्रिक्स का रूप है
+लाई बीजगणित में आव्यूह स्वयं घूर्णन नहीं हैं; तिरछा-सममितीय आव्यूह डेरिवेटिव, घूर्णन के आनुपातिक अंतर हैं। वास्तविक अंतर घूर्णन, या अधिक लघु घूर्णन आव्यूह का रूप है
 :<math> I + A \, d\theta ~,</math>
-कहाँ पे {{math|''dθ''}} गायब है और छोटा है {{math|''A'' ∈ '''so'''(n)}}उदाहरण के लिए {{math|1=''A'' = ''L''<sub>''x''</sub>}},
+जहाँ {{math|''dθ''}} विलुप्त और छोटा है {{math|''A'' ∈ '''so'''(n)}} उदाहरण के लिए {{math|1=''A'' = ''L''<sub>''x''</sub>}},
 :<math> dL_{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -d\theta \\ 0 & d\theta & 1 \end{bmatrix}. </math>
-गणना नियम हमेशा की तरह हैं, सिवाय इसके कि दूसरे आदेश के infinitesimals को नियमित रूप से गिरा दिया जाता है।इन नियमों के साथ, ये मैट्रिस सभी समान गुणों को संतुष्ट नहीं करते हैं, जो कि सामान्य परिमित रोटेशन मैट्रिसेस के सामान्य उपचार के तहत infinitesimals के सामान्य उपचार के तहत संतुष्ट नहीं करते हैं।<ref>{{Harv|Goldstein|Poole|Safko|2002|loc=§4.8}}</ref> यह पता चला है कि जिस क्रम में इन्फिनिटिमल रोटेशन लागू होते हैं, वह अप्रासंगिक है।इस अनुकरणीय को देखने के लिए, रोटेशन समूह से परामर्श करें (3) #infinitesimal घुमाव | infinitesimal रोटेशन SO (3)।
+संगणना के नियम के जैसे दूसरे क्रम के इनफिनिटिमल्स नियमित रूप से गिराए जाते हैं। इन नियमों के साथ, ये आव्यूह उन सभी गुणों को संतुष्ट नहीं करते हैं, जो इनफिनिटिमल्स के सामान्य उपचार के अंतर्गत सामान्य परिमित घूर्णन आव्यूह के रूप में होते हैं। <ref>{{Harv|Goldstein|Poole|Safko|2002|loc=§4.8}}</ref> यह पता चला है कि जिस क्रम में अनंत घूर्णन लागू होते हैं वह अप्रासंगिक है। इस उदाहरण को देखने के लिए, अत्यल्प परिक्रमण SO(3) की सलाह लें।
 === घातीय मानचित्र ===
-{{main|Rotation group SO(3)#Exponential map|Matrix exponential}}
+{{main|घूर्णन समूह SO(3) घातीय मानचित्र|आव्यूह घातीय}}
-झूठ बीजगणित को झूठ समूह से जोड़ना [[ घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) ]] है, जिसे मानक [[ मैट्रिक्स घातीय ]] सीरीज़ के लिए परिभाषित किया गया है {{math|''e<sup>A</sup>''}}<ref>{{Harv|Wedderburn|1934|loc=§8.02}}</ref> किसी भी तिरछी-सममित मैट्रिक्स के लिए {{mvar|A}}, {{math|exp(''A'')}} हमेशा एक रोटेशन मैट्रिक्स होता है।<ref group="nb">Note that this exponential  map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order,
+लाई बीजगणित को लाई समूह से जोड़ना [[ घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) |घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत)]] है, जिसे मानक [[ मैट्रिक्स घातीय |आव्यूह घातीय]] शृंखला {{math|''e<sup>A</sup>''}} के लिए परिभाषित किया गया है <ref>{{Harv|Wedderburn|1934|loc=§8.02}}</ref> किसी भी तिरछी-सममित आव्यूह के लिए {{mvar|A}}, {{math|exp(''A'')}} सदैव घूर्णन आव्यूह होता है।<ref group="nb">Note that this exponential  map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order,
 <math>e^{2A} - \frac{I+A}{I-A} = - \frac{2}{3} A^3 +\mathrm{O}  (A^4)  ~.  </math> <br />
-Conversely, a [[skew-symmetric matrix]] {{mvar|A}} specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the ''same'' rotation matrix through the map {{math|exp(2 artanh ''A'')}}.</ref>
+Conversely, a [[skew-symmetric matrix]] {{mvar|A}} specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the ''same'' rotation matrix through the map {{math|exp(2 artanh ''A'')}}.</ref> महत्वपूर्ण व्यावहारिक उदाहरण {{math|3 × 3}} है। घूर्णन समूह में SO(3) में, यह दिखाया गया है कि प्रत्येक {{math|''A'' ∈ '''so'''(3)}} को यूलर सदिश {{math|1='''ω''' = ''θ'' '''u'''}}, पहचाना जा सकता है,  जहाँ {{math|1='''u''' = (''x'',''y'',''z'')}} इकाई परिमाण सदिश है।
-एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक उदाहरण है {{math|3 × 3}} मामला।रोटेशन समूह में (3) में, यह दिखाया गया है कि कोई हर पहचान कर सकता है {{math|''A'' ∈ '''so'''(3)}} एक यूलर वेक्टर के साथ {{math|1='''ω''' = ''θ'' '''u'''}}, कहाँ पे {{math|1='''u''' = (''x'',''y'',''z'')}} एक इकाई परिमाण वेक्टर है।
-पहचान के गुणों से {{math|'''su'''(2) ≅ '''R'''<sup>3</sup>}}, {{math|'''u'''}} के शून्य स्थान में है {{mvar|A}}।इस प्रकार, {{math|'''u'''}} द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है {{math|exp(''A'')}} और इसलिए एक रोटेशन अक्ष है।
+पहचान के गुणों के अनुसार {{math|'''su'''(2) ≅ '''R'''<sup>3</sup>}}, {{math|'''u'''}}, {{mvar|A}} के शून्य स्थान में है। इस प्रकार, {{math|'''u'''}} द्वारा अपरिवर्तित त्याग दिया जाता है {{math|exp(''A'')}} और इसलिए घूर्णन अक्ष है।
-रोड्रिग्स के रोटेशन फॉर्मूला#मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करना | रोड्रिग्स के साथ मैट्रिक्स फॉर्म पर रोटेशन फॉर्मूला {{math|1=''θ'' = {{frac|''θ''|2}} + {{frac|''θ''|2}}}}, त्रिकोणमितीय पहचान की मानक सूची के साथ#मल्टीपल-कोण और आधा-कोण फॉर्मूला एक प्राप्त करता है,
+रॉड्रिक्स के घूर्णन सूत्र आव्यूह नोटेशन का उपयोग करना | रॉड्रिक्स के साथ आव्यूह प्रपत्र पर घूर्णन सूत्र {{math|1=''θ'' = {{frac|''θ''|2}} + {{frac|''θ''|2}}}}, त्रिकोणमितीय पहचान की मानक सूची के साथ विभिन्न-कोण और अर्ध-कोण सूत्र प्राप्त करता है,
 :<math>\begin{align}
   \exp( A ) &{}= \exp(\theta(\boldsymbol{u\cdot L}))
             = \exp \left( \left[\begin{smallmatrix} 0 & -z \theta & y \theta \\ z \theta & 0&-x \theta \\ -y \theta & x \theta & 0 \end{smallmatrix}\right] \right)= \boldsymbol{I} + 2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}~\boldsymbol{u\cdot L} + 2\sin^2\frac{\theta}{2} ~(\boldsymbol{u\cdot L} )^2 ,
 \end{align}</math>
-यह अक्ष के चारों ओर एक रोटेशन के लिए मैट्रिक्स है {{math|'''u'''}} कोण से {{mvar|θ}} आधे-कोण के रूप में।पूर्ण विवरण के लिए, रोटेशन समूह देखें तो (3) #Exponential मानचित्र | घातीय मानचित्र SO (3)।
+यह अर्ध-कोण रूप में कोण {{mvar|θ}} द्वारा अक्ष {{math|'''u'''}} के चारों ओर घूर्णन के लिए आव्यूह है। पूर्ण विवरण के लिए, घातीय मानचित्र SO(3) देखें।
-ध्यान दें कि infinitesimal कोणों के लिए दूसरे आदेश की शर्तों को नजरअंदाज किया जा सकता है और अवशेष बने रह सकते हैं {{math|1=exp(''A'') = ''I'' + ''A''}}
+ध्यान दें कि अतिसूक्ष्म कोणों के लिए दूसरे क्रम के प्रतिबंध को अप्रत्यक्ष किया जा सकता है और {{math|1=exp(''A'') = ''I'' + ''A''}} बना रहता है।
 == यह भी देखें ==
-*[[ कोणीय दूरी ]]
+*[[कोणीय दूरी]]
-*[[ कोणीय स्थिति ]]
+*कोणीय स्थिति
 *कोणीय वेग
-*रोटेशन मैट्रिक्स#infinitesimal घुमाव
+*अत्यल्प घूर्णन
 *[[ रैखिक लोच ]]
 *[[ क्षेत्र का दूसरा क्षण ]]
@@ Line 145: / Line 143: @@
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist|group=nb}}
 == संदर्भ ==
@@ Line 158: / Line 155: @@
 {{Classical mechanics derived SI units}}
-[[Category: कोण]]
 [[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
@@ Line 170: / Line 166: @@
 [[Category:Pages with script errors]]
 [[Category:Physics sidebar templates]]
+[[Category:Portal-inline template with redlinked portals]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Translated in Hindi]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:कोण]]

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