मीट्रिक स्थान: Difference between revisions

Latest revision as of 16:42, 12 September 2023

द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष (बिंदुओं का एक समुच्चय) विभिन्न मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है। टैक्सीकैब ज्यामिति में लाल, पीले, नीले और हरे रंग के रास्तों की लंबाई (12) समान होती है और ये सभी सबसे छोटे रास्ते होते हैं। यूक्लिडियन मीट्रिक में, हरे रंग के पथ की लंबाई {

6{\sqrt {2}}\approx 8.49

है, और यह अद्वितीय सबसे छोटा पथ है, जबकि लाल, पीला, और नीले पथों की लंबाई अभी भी 12 है।

गणित में, मीट्रिक स्थान या दूरिक समष्टि, इसके तत्वों (सामान्यतः बिंदु) के बीच की दूरी की धारणा के साथ एक समुच्चय है। इस दूरी को मीट्रिक या दूरी फलन नामक फलन द्वारा मापा जाता है।^[1] गणितीय विश्लेषण और ज्यामिति की कई अवधारणाओं का अध्ययन करने के लिए मीट्रिक स्थान सबसे सामान्य समायोजन हैं।

मीट्रिक स्थान का सबसे व्यावहारिक उदाहरण दूरी की सामान्य धारणा के साथ यूक्लिड का त्रि-विमीय अंतरिक्ष है। इसका एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण कोणीय दूरी और अतिपरवलयिक तल से सुसज्जित एक गोला है। एक मीट्रिक, भौतिक दूरी की धारणा के स्थान पर एक लाक्षणिक दूरी की धारणा के अनुरूप हो सकता है: उदाहरण के लिए, 100-वर्णीय एकल कूट श्रृंखलाओं (यूनिकोड स्ट्रिंग्स) के समुच्चय को हैमिंग दूरी से सुसज्जित किया जा सकता है, यह उन वर्णों की संख्या को मापता है जिन्हें प्राप्त करने के लिए एक श्रृंखला से दूसरी श्रृंखला में बदलने की आवश्यकता होती है।

मीट्रिक स्थान के अधिक सामान्य होने के कारण, यह गणित की कई विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला उपकरण है। कई प्रकार की गणितीय वस्तुओं में दूरी की एक स्वाभाविक धारणा होती है और इसलिए ये एक मीट्रिक स्थान की संरचना को स्वीकार करते हैं, जिसमें रीमैनियन मैनिफोल्ड, आदर्श सदिश स्थान और ग्राफ (असतत गणित) सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित में, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं पर एक मीट्रिक संरचना की पूर्णता के तत्वों के रूप में उत्पन्न हुई हैं। मीट्रिक ज्यामिति^[2] और मीट्रिक स्थान के विश्लेषण में मीट्रिक स्थान का भी स्वयं में अध्ययन किया गया है।^[3]

गेंद, पूर्ण मीट्रिक स्थान, साथ ही समान सततता, लिप्सचिट्ज़ सततता और होल्डर सततता सहित गणितीय विश्लेषण के कई मौलिक धारणाओं को मीट्रिक स्थान के समायोजन में परिभाषित किया जा सकता है। सततता, सघनता, और विवृत्त एवं संवृत्त समुच्चय जैसी अन्य धारणाओं को मीट्रिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सांस्थितीय स्थान के और भी सामान्य समायोजन में भी परिभाषित किया जा सकता है।

परिभाषा और चित्रण

प्रेरणा

एक गोले पर दो बिंदुओं

P

और

Q

के बीच ग्रेट-सर्कल दूरी (सियान में) और सीधी-रेखा की दूरी (लाल रंग में) को दर्शाने वाला आरेख।

दूरी की विभिन्न धारणाओं की उपयोगिता को देखने के लिए, पृथ्वी की सतह को बिन्दुओं के समुच्चय के रूप में लें। हम सतह के साथ सबसे छोटे पथ की लंबाई (ग्रेट-सर्कल दूरी) द्वारा दो ऐसे बिंदुओं के बीच की दूरी को माप सकते हैं, "जैसे कौआ उड़ता है"; यह नौवहन और विमानन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। हम पृथ्वी के आंतरिक भाग से होते हुए दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी को भी माप सकते हैं; उदाहरण के लिए, यह धारणा भूकंप विज्ञान में स्वाभाविक है, क्योंकि यह उन दो बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए भूकंपीय तरंगों के लिए लगने वाले समय के संगत है।

मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों द्वारा एन्कोड की गई दूरी की धारणा में अपेक्षाकृत कम आवश्यकताएँ हैं। यह सामान्यतः मीट्रिक स्थान को बहुत अधिक लचीलापन प्रदान करती है। साथ ही, दूरी के अर्थ के बारे में कई सहज ज्ञान युक्त तथ्यों को एन्कोड करने के लिए यह धारणा काफी सुदृढ़ है। इसका अर्थ है कि मीट्रिक स्थान के बारे में सामान्य परिणाम कई अलग-अलग संदर्भों में प्रयुक्त किए जा सकते हैं।

कई मूलभूत गणितीय अवधारणाओं के समान, मीट्रिक स्थान पर मीट्रिक की कई अलग-अलग तरीकों से व्याख्या की जा सकती है। भौतिक दूरी को मापने के रूप में एक विशेष मीट्रिक को सर्वोत्तम नहीं माना जा सकता है, लेकिन एक अवस्था से दूसरे में बदलने की लागत (मापों के स्थान पर वासरस्टीन मीट्रिक के साथ के समान) या दो वस्तुओं के बीच अंतर की कोटि (उदाहरण के लिए, वर्णों की दो श्रृंखलाओं के बीच की हैमिंग दूरी, या स्वयं मीट्रिक स्थान के बीच ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी) के रूप में सर्वोत्तम माना जा सकता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान एक क्रमित युग्म $(M, d)$ है, जहाँ $M$ एक समुच्चय है और $d$ , $M$ पर एक मीट्रिक है, अर्थात्, एक फलन

d\,\colon M\times M\to \mathbb {R}

सभी बिंदुओं

x,y,z\in M

के लिए निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हुए :^[4]^[5]

1. किसी बिंदु की स्वयं से दूरी शून्य होती है:

$d(x,x)=0.$

2. (धनात्मकता) दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा धनात्मक होती है:

$x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0.$

3. (समरूपता) एक बिंदु को स्वयं तक पहुँचने के लिए कभी कोई दूरी तय नहीं करनी पड़ती है।

$d(x,y)=d(y,x)$

इसमें लागत की असममित धारणाएँ असम्मिलित हैं, जो स्वाभाविक रूप से इस अवलोकन से उत्पन्न होती हैं कि नीचे की तुलना में ऊपर की ओर चलना कठिन होता है।

4. त्रिभुज की असमिका धारण करती है:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

यह दूरी की भौतिक और लाक्षणिक दोनों धारणाओं का एक प्राकृतिक गुण है: आप $y$ से होकर हुए एक चक्कर लगाते हुए $x$ से $z$ तक पहुंच सकते हैं, लेकिन यह आपकी यात्रा को सबसे छोटे पथ से तेज नहीं बनाएगा।

यदि मीट्रिक $d$ स्पष्ट है, तो इसे प्रायः " मीट्रिक स्थान $M$ " में संकेतन के दुरुपयोग से संदर्भित किया जाता है।

सरल उदाहरण

वास्तविक संख्याएँ

दूरी फलन $d(x,y)=|y-x|$ के साथ वास्तविक संख्याएँ शुद्ध अंतर द्वारा दी गई एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं। उनके बीच मीट्रिक स्थान और कार्यों के कई गुण वास्तविक विश्लेषण में अवधारणाओं के सामान्यीकरण हैं और वास्तविक रेखा पर प्रयुक्त होने पर उन अवधारणाओं के साथ संगत होते हैं।

यूक्लिड के अंतरिक्षों पर मीट्रिक

यूक्लिड समतल $\mathbb {R} ^{2}$ कई अलग-अलग मीट्रिक से सुसज्जित हो सकता है। विद्यालयीय गणित से सम्बंधित यूक्लिड दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

टैक्सीकैब या मनहट्टन ज्यामिति को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|

और उस दूरी के बारे में विचार किया जा सकता है जो आपको एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के साथ तय करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि लेख के शीर्ष पर दिखाया गया है। अधिकतम,

L^{\infty }

या चेबीशेव दूरी दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|\}.

समतल में पथों के संदर्भ में इस दूरी की व्याख्या आसान नहीं है,^{[lower-alpha 1]} लेकिन यह मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है।

वास्तव में, ये तीन दूरियाँ अलग-अलग गुण होने पर भी कुछ मायनों में समान हैं। अनौपचारिक रूप से, जो बिंदु एक में निकट हैं, वे दूसरों में भी निकट होते हैं। इस अवलोकन को निम्न सूत्र द्वारा परिमाणित किया जा सकता है:

d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),

जो प्रत्येक बिंदु-युग्म

p,q\in \mathbb {R} ^{2}

के लिए परिभाषित है

मौलिक रूप से भिन्न दूरी को निम्न समायोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

इस असतत मीट्रिक में, सभी भिन्न बिंदु परस्पर 1 इकाई की दूरी पर होते हैं: इनमें से कोई भी बिंदु एक दूसरे के न ही समीप और न ही बहुत दूर होते हैं। सहज रूप से, असतत मीट्रिक अब इस पर ध्यान केन्द्रित नहीं करता है कि यह समुच्चय एक समतल है, बल्कि इसके साथ केवल बिंदुओं के एक अविभाज्य समुच्चय के रूप में व्यवहार करता है।

ये सभी मीट्रिक $\mathbb {R} ^{2}$ के साथ-साथ $\mathbb {R} ^{n}$ पर भी सत्य होते हैं।

उप-स्थान

एक दिए हुए मीट्रिक स्थान $(M, d)$ और एक उपसमुच्चय $A\subseteq M$ के साथ, हम $A$ को, $M$ के समान दूरियों को मापकर एक मीट्रिक स्थान मान सकते हैं। औपचारिक रूप से, $A$ पर प्रेरित मीट्रिक, निम्न द्वारा परिभाषित एक फलन $d_{A}:A\times A\to \mathbb {R}$ है:

d_{A}(x,y)=d(x,y).

उदाहरण के लिए, यदि हम द्वि-विमीय गोले

S 2

को

\mathbb {R} ^{3}

के उपसमुच्चय के रूप में लेते हैं, तो

\mathbb {R} ^{3}

पर यूक्लिड मीट्रिक, ऊपर वर्णित

S 2

पर सरल-रेखा मीट्रिक को प्रेरित करता है। इसके दो और उपयोगी उदाहरण खुला अंतराल (0, 1) और बंद अंतराल

[0, 1]

हैं, जिन्हें वास्तविक रेखा के उप-स्थान माना जाता है।

इतिहास

वर्ष 1906 में मौरिस फ्रेचेट ने कार्यात्मक विश्लेषण के संदर्भ में अपने कार्य कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर^[6] में मीट्रिक स्थान का प्रारंभ किया: उनकी मुख्य रुचि कई या अपरिमित रूप से कई चरों वाले फलनों के सिद्धांत को सामान्य बनाते हुए एक मीट्रिक स्थान से वास्तविक-मान फलनों का अध्ययन करने में थी, जैसा कि सिसारे अरजेला जैसे गणितज्ञों द्वारा अग्रणी है। इस विचार को और विकसित किया गया और फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने इसे इसके उचित संदर्भ में समुच्चय सिद्धांत की अपनी महान कृति के सिद्धांतों में स्थान दिया, जिसने एक (हॉसडॉर्फ स्थान) सांस्थितीय स्थान की धारणा भी प्रस्तुत की।^[7]

सामान्य मीट्रिक स्थान, गणितीय पाठ्यक्रम का मूलभूत हिस्सा बन गए हैं।^[8] गणितीय अनुसंधान में मीट्रिक स्थान के प्रमुख उदाहरणों में रीमैनियन मैनिफोल्ड और आदर्श सदिश स्थान सम्मिलित हैं, जो क्रमशः अवकल ज्यामिति और कार्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र हैं।^[9] आंशिक (फ्रैक्टल) ज्यामिति कुछ विदेशी मीट्रिक स्थानों का एक स्रोत है। इसके अन्य स्थान अलग-अलग या कोमल वस्तुओं के अध्ययन के माध्यम से सीमा के रूप में उत्पन्न हुए हैं, जिसमें सांख्यिकीय भौतिकी में पैमाने की अपरिवर्तनीय सीमाएँ, एलेक्जेंड्रोव स्थानों के रूप में उत्पन्न रीमैनियन मैनिफोल्ड के अनुक्रमों की ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ सीमाएँ, और ज्यामितीय समूह सिद्धांत में सीमाएँ और स्पर्शोन्मुख शंकु आदि सम्मिलित हैं। अंततः, कंप्यूटर विज्ञान में परिमित और असतत मीट्रिक स्थान के कई नए अनुप्रयोग उत्पन्न हुए हैं।

मूल धारणाएँ

निकटता और अभिसरण की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए एक दूरी फलन पर्याप्त होता है जो वास्तविक विश्लेषण में पहली बार विकसित हुए थे। मीट्रिक स्थान की संरचना पर निर्भर करने वाले गुणों को मीट्रिक गुण कहा जाता है। प्रत्येक मीट्रिक स्थान एक सांस्थितीय स्थान भी होता है, और कुछ मीट्रिक गुणों को भी सांस्थिति की भाषा में दूरी के संदर्भ के बिना पुनः संशोधित रूप से व्यक्त किया जा सकता है; अर्थात्, ये वास्तव में सांस्थितीय गुण हैं।

एक मीट्रिक स्थान की सांस्थिति

मीट्रिक स्थान $M$ में किसी भी बिंदु $x$ और किसी वास्तविक संख्या $r > 0$ के लिए, $x$ के चारों ओर त्रिज्या $r$ की खुली गेंद को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो $x$ से अधिकतम दूरी $r$ पर हैं:

B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.

यह उन बिंदुओं के समुच्चय को परिभाषित करने की एक स्वाभाविक विधि है जो अपेक्षाकृत

x

के निकट हैं। इसलिए, एक समुच्चय

N\subseteq M

,

x

के समीप का एक क्षेत्र है (अनौपचारिक रूप से, इसमें

x

के "पर्याप्त रूप से" सभी बिंदु होते हैं) यदि इसमें कुछ

r > 0

के लिए

x

के चारों ओर त्रिज्या

r

की एक खुली गेंद होती है।

एक खुला समुच्चय एक समुच्चय है जो इसके सभी बिंदुओं के समीप का एक क्षेत्र है। यह इस प्रकार है कि खुली गेंदें, $M$ पर एक सांस्थिति के लिए आधार बनाती हैं। दूसरे शब्दों में, $M$ के खुले समुच्चय पूर्ण रूप से खुली गेंदों के संघ होते हैं। किसी भी सांस्थिति के समान, बंद समुच्चय खुले समुच्चयों के पूरक होते हैं। समुच्चय खुले और बंद दोनों और साथ ही न तो खुले और न ही बंद हो सकते हैं।

यह सांस्थिति मीट्रिक स्थान के बारे में सम्पूर्ण जानकारी नहीं रखती है। उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई दूरियाँ $d 1$ , $d 2$ , तथा $d \infty$ $\mathbb {R} ^{2}$ पर समान सांस्थिति को प्रेरित करती हैं, हालांकि ये कई स्थितियों में अलग व्यवहार करती हैं। इसी प्रकार, यूक्लिड मीट्रिक के साथ $\mathbb {R}$ और प्रेरित मीट्रिक के साथ इसका उप-स्थान (0, 1) समरूप होते हैं लेकिन इनके पास बहुत अलग मीट्रिक गुण होते हैं।

इसके विपरीत, प्रत्येक सांस्थितीय स्थान को एक मीट्रिक नहीं दिया जा सकता है। एक मीट्रिक के साथ संगत सांस्थितीय स्थानों को मीट्रिक-योग्य कहा जाता है और विशेषतः कई प्रकार से अच्छा व्यवहार किया जाता है: विशेष रूप से, ये अर्द्धसघन स्थान^[10] हौसडॉर्फ स्थान^[11] (इसलिए सामान्य) और प्रथम-गणनीय स्थान हैं।^{[lower-alpha 2]} नागाटा– स्मिरनोव मीट्रिकता प्रमेय, मीट्रिक के संदर्भ के बिना अन्य सांस्थितीय गुणों के संदर्भ में मीट्रिक-योग्यता के लक्षणों का वर्णन करती है।

अभिसरण

यूक्लिड के अंतरिक्ष में अनुक्रमों के अभिसरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक अनुक्रम

(x n)

, एक बिंदु

x

में अभिसरित हो जाता है यदि प्रत्येक

ε > 0

के लिए एक ऐसा पूर्णांक

N

है, जिसमें सभी

n > N

के लिए,

d (x n, x) < ε

।

सांस्थितीय स्थान में अनुक्रमों का अभिसरण निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक अनुक्रम

(x n)

, एक बिंदु

x

पर अभिसरित हो जाता है यदि

x

को सम्मिलित करने वाले प्रत्येक खुले समुच्चय

U

के लिए, एक ऐसा पूर्णांक

N

है, जिसमें सभी

n > N

के लिए,

x_{n}\in U

मीट्रिक स्थान में, ये दोनों परिभाषाएँ अर्थपूर्ण और समतुल्य हैं। यह मीट्रिक स्थान के सांस्थितीय गुणों के लिए एक सामान्य प्रतिरूप (पैटर्न) है: जबकि उन्हें विशुद्ध रूप से सांस्थितीय विधि से परिभाषित किया जा सकता है, प्रायः इसमें एक ऐसी विधि होती है जो ऐसे मीट्रिक का उपयोग करती है जिसे प्रकट करना आसान है या जो वास्तविक विश्लेषण से अधिक परिचित है।

पूर्णता

अनौपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान पूर्ण होता है यदि इसमें कोई "लुप्त बिंदु" नहीं होता है: ऐसे दिखने वाले प्रत्येक क्रम को वास्तव में अभिसरण करना चाहिए।

इसे यथार्थ बनाने के लिए: मीट्रिक स्थान $M$ में एक अनुक्रम $(x n)$ कॉशी है यदि प्रत्येक $ε > 0$ के लिए एक ऐसा पूर्णांक $N$ है जिसमें सभी $m, n > N$ के लिए, $d (x m, x n) < ε$ । त्रिभुज असमिका से, कोई भी अभिसरण अनुक्रम कॉशी है: यदि $x m$ और $x n$ दोनों सीमा से $ε$ से कम दूरी पर हैं, तो वे परस्पर $2ε$ से कम दूरी पर होते हैं। यदि इसका विलोम सत्य है - $M$ में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है - तो $M$ पूर्ण होता है।

यूक्लिड के अंतरिक्ष पूर्ण होते हैं, जैसा कि $\mathbb {R} ^{2}$ , ऊपर वर्णित अन्य मीट्रिक के साथ है। अपूर्ण स्थान के दो उदाहरण (0, 1) और परिमेय हैं, जिनमें से प्रत्येक $\mathbb {R}$ से प्रेरित मीट्रिक के साथ है। कोई भी (0, 1) के बारे में इस प्रकार विचार कर सकता है कि इसके अंत्य बिंदु 0 और 1 "लुप्त" हैं। सभी लुप्त परिमेय, अपरिमेय हैं, क्योंकि किसी भी अपरिमेय के पास $\mathbb {R}$ में परिमेय का एक क्रम होता है। (उदाहरण के लिए, इसके क्रमिक दशमलव सन्निकटन)। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पूर्णता एक सांस्थितीय गुण नहीं है, क्योंकि $\mathbb {R}$ पूर्ण है, लेकिन समरूप स्थान (0, 1) पूर्ण नहीं है।

"लुप्त अंक" की इस धारणा को यथार्थ बनाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक मीट्रिक स्थान में एक अद्वितीय पूर्णता होती है, जो एक पूर्ण स्थान होता है जिसमें दिए गए स्थान को सघन उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, $[0, 1]$ , (0, 1) की पूर्णता है, और वास्तविक संख्याएँ परिमेय की पूर्णता हैं।

चूंकि पूर्ण स्थान के साथ कार्य करना सामान्यतः आसान होता है, अतः संपूर्ण गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, अमूर्त बीजगणित में, p-एडिक संख्याओं को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय की पूर्णता के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्णता, कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में विशेष रूप से सामान्य है। प्रायः किसी के पास अच्छे फलनों का एक समुच्चय और उनके बीच दूरियों को मापने की एक विधि होती है। इस मीट्रिक स्थान की पूर्णता को लेने पर फलनों का एक नया समुच्चय प्राप्त है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी होता है क्योंकि यह महत्वपूर्ण प्रकार से मूल अच्छे फलनों के समान व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, अवकल समीकरणों के अशक्त हल सामान्यतः अच्छे फलनों के मूल स्थान के स्थान पर पूर्णता (एक सोबोलेव स्थान) में स्थित होते हैं जिसके लिए अवकल समीकरण वास्तव में अर्थपूर्ण होता है।

परिबद्ध और पूर्णतः परिबद्ध स्थान

एक समुच्चय का व्यास।

एक मीट्रिक स्थान $M$ परिबद्ध होता है, यदि कोई $r$ ऐसा हो कि $M$ में कोई भी बिंदु-युग्म, $r$ से अधिक दूरी पर न हो।^{[lower-alpha 3]} ऐसे न्यूनतम $r$ को $M$ का व्यास कहा जाता है।

स्थान $M$ को प्रीकॉम्पैक्ट या पूर्णतः परिबद्ध कहा जाता है, यदि प्रत्येक $r > 0$ के लिए त्रिज्या $r$ की खुली गेंदों द्वारा $M$ का एक परिमित कवर होता है। प्रत्येक पूर्णतः परिबद्ध स्थान परिबद्ध होता है। इसे देखने के लिए, कुछ स्वेच्छ $r$ के लिए $r$ -गेंदों द्वारा परिमित कवर से प्रारंभ करें। चूँकि इन गेंदों के केंद्रों से मिलकर बना $M$ का उपसमुच्चय परिमित होता है, अतः इसमें परिमित व्यास होता है, जिसे $D$ कहते हैं। त्रिभुज असमिका से, पूरे स्थान का व्यास अधिकतम $D + 2 r$ है। इसका विलोम इसके लिए सत्य नहीं है: मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण असतत मीट्रिक के साथ $\mathbb {R} ^{2}$ है, जो परिबद्ध तो है लेकिन पूर्णतः परिबद्ध नहीं है।

सघनता

सघनता एक सांस्थितीय गुण है, जो यूक्लिड के अंतरिक्ष के एक बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय के गुणों को सामान्यीकृत करती है। मीट्रिक स्थान में सघनता की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं:

एक मीट्रिक स्थान $M$ सघन होता है यदि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित उप-कवर (सामान्य सांस्थितीय परिभाषा) है।
एक मीट्रिक स्थान $M$ सघन होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसरण अनुक्रम है। (सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसे अनुक्रमिक सघनता कहा जाता है, जो सघनता के समान नहीं है।)
एक मीट्रिक स्थान $M$ सघन होता है यदि यह पूर्ण और पूर्णतः परिबद्ध है। (यह परिभाषा मीट्रिक गुणों के संदर्भ में लिखी गई है और सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसका कोई अर्थ नहीं है, लेकिन फिर भी यह स्थैतिक रूप से अपरिवर्तनीय है क्योंकि यह सघनता के समान है।)

सघन स्थान का एक उदाहरण बंद (संवृत) अंतराल $[0, 1]$ है।

पूर्णता के समान कारणों के लिए सघनता महत्वपूर्ण है: इससे सीमाओं की प्राप्ति आसान हो जाती है। एक अन्य महत्वपूर्ण उपकरण लेब्सग्यू की संख्या प्रमेयिका है, जो यह दर्शाती है कि किसी सघन स्थान के किसी भी खुले कवर के लिए, कवर के किसी एक समुच्चय के अंदर प्रत्येक बिंदु अपेक्षाकृत गहन होता है।

निर्माण

गुणनफल मीट्रिक स्थान

यदि $(M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})$ मीट्रिक स्थान हैं, और $N$ , $\mathbb {R} ^{n}$ पर यूक्लिड का मानक है, तब ${\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}$ एक मीट्रिक स्थान है, जहाँ गुणनफल मीट्रिक को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है:

d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},

और प्रेरित सांस्थिति, गुणनफल सांस्थिति से सहमत है। परिमित विमाओं में मानकों की तुल्यता से, एक सांस्थितीय समकक्ष मीट्रिक को प्राप्त किया जाता है यदि

N

, टैक्सीकैब मानक, एक p-मानक, अधिकतम मानक, या कोई अन्य मानक है जो धनात्मक

n

-ट्यूपल के निर्देशांक में वृद्धि होने पर कम नहीं होता है (त्रिभुज की असमिका को स्वीकार करते हुए)।

इसी प्रकार, मीट्रिक का उपयोग करके कई मीट्रिक स्थानों के सांस्थितीय गुणनफल पर एक मीट्रिक प्राप्त किया जा सकता है:

d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.

असंख्य रूप से कई मीट्रिक स्थानों के सांस्थितीय गुणनफल को मीट्रिक-योग्य होने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए,

\mathbb {R}

की प्रतियों का एक असंख्य गुणनफल प्रथम-गणनीय, और इस प्रकार मीट्रिक-योग्य नहीं है।

विभाग मीट्रिक स्थान

यदि $M$ , मीट्रिक $d$ के साथ एक मीट्रिक स्थान है, और $\sim$ , $M$ पर एक तुल्यता संबंध है, तो हम विभाग समुच्चय $M/\!\sim$ को एक छद्ममितीय के साथ पूर्ण कर सकते हैं। दो तुल्यता वर्गों के बीच की दूरी $[x]$ और $[y]$ को निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है:

d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},

जहाँ इन्फिमम को सभी परिमित अनुक्रमों

(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})

और

(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})

p_{1}\sim x

को

q_{n}\sim y

,

q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1

के साथ, पर अधिकतम लिया जाता है।^[12] सामान्य रूप से यह केवल एक छद्ममितीय, अर्थात्,

d'([x],[y])=0

को परिभाषित करेगा, इसका आवश्यक रूप से यह अर्थ नहीं है कि

[x]=[y]

। हालांकि, कुछ तुल्यता संबंधों के लिए (उदाहरण के लिए, फलकों के साथ पॉलीहेड्रा को एक साथ चिपकाकर दिया गया),

d'

एक मीट्रिक है।
विभाग मीट्रिक

d'

की विशेषता निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण द्वारा होती है। यदि

f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )

,

f (x) = f (y)

जब भी

x\sim y

, को संतुष्ट करने वाले मीट्रिक स्थान के बीच प्रतिचित्रित एक मीट्रिक (अर्थात् 1-लिप्सचिट्ज़) है, तब

{\overline {f}}([x])=f(x)

द्वारा दिया गया प्रेरित फलन

{\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X

, एक मीट्रिक प्रतिचित्रण

{\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta ).

है।

विभाग मीट्रिक सदैव विभाग सांस्थिति को प्रेरित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक स्थान $\mathbb {N} \times [0,1]$ का सांस्थिति विभाग $(n,0)$ मीट्रिक-योग्य नहीं है, क्योंकि यह प्रथम-गणनीय नहीं है, लेकिन विभाग मीट्रिक उसी समुच्चय पर एक सुपरिभाषित मीट्रिक है जो स्थूलतर सांस्थिति को प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त, मूल सांस्थितीय स्थान पर अलग-अलग मीट्रिक (गणनीय रूप से कई अंतरालों का एक असंबद्ध संघ) विभाग पर विभिन्न सांस्थितियों का कारण बनते हैं।^[13]

एक सांस्थितीय स्थान अनुक्रमिक होता है, यदि और केवल यदि यह एक मीट्रिक स्थान का (सांस्थितीय) विभाग है।^[14]

मीट्रिक स्थानों का सामान्यीकरण

स्थानों की कई धारणाएँ हैं, जिनमें एक मीट्रिक स्थान की तुलना में कम, लेकिन एक सांस्थितीय स्थान से अधिक संरचना होती है।

एकसमान स्थान, वे स्थान होते हैं जिनमें दूरियाँ परिभाषित नहीं होती हैं, लेकिन एकसमान निरंतरता होती है।
दृष्टिकोण स्थान, वे स्थान होते हैं जिनमें बिंदु-से-बिंदु की दूरियों के स्थान पर बिंदु-से-समुच्चय की दूरी को परिभाषित किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से इनके पास विशेष रूप से अच्छे गुण हैं।
निरंतरता स्थान, मीट्रिक स्थान और पॉसमुच्चय का एक सामान्यीकरण है, जिसका उपयोग मीट्रिक स्थान और क्षेत्रीय-धारणाओं को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को शिथिल करने की कई विधियाँ हैं, जो सामान्यीकृत मीट्रिक स्थान की विभिन्न धारणाओं को उत्पन्न करते हैं। इन सामान्यीकरणों को भी संयुक्त किया जा सकता है। इनका वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दावली पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है। सबसे विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण में छद्मितीय प्रायः सदिश स्थान पर अर्द्धमानकों से आते हैं, और इसलिए इन्हें "अर्द्धमीट्रिक" कहना स्वाभाविक है। यह सांस्थिति में इस शब्द के उपयोग का विरोध करता है।

विस्तारित मीट्रिक

कुछ लेखक दूरी फलन ${d}$ को ∞ मान प्राप्त करने की अनुमति देते हुए मीट्रिक को परिभाषित करते हैं, अर्थात् विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर दूरी गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं।^[4] इस तरह के फलन को एक विस्तारित मीट्रिक या "∞-मीट्रिक" भी कहा जाता है। प्रत्येक विस्तारित मीट्रिक को एक परिमित मीट्रिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो सांस्थितीय रूप से समतुल्य है। इसे एक उप-योगात्मक एकदिष्टतः बढ़ते हुए प्रतिबंधित फलन का उपयोग करके किया जा सकता है, जो शून्य पर शून्य है, उदा: $d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ या $d''(x,y)=\min(1,d(x,y))$ ।

वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त अन्य संरचनाओं में मीट्रिक का मान

मीट्रिक $[0,\infty )$ में मान ग्रहण करता है, इस आवश्यकता को अन्य संरचनाओं में मानों के साथ मीट्रिक पर विचार करने के लिए स्वतंत्र किया जा सकता है, जिसमें निम्नलिखित संरचनाएँ सम्मिलित हैं:

आदेशित क्षेत्र, एक सामान्यीकृत मीट्रिक की धारणा प्रदान करते हैं।
अधिक सामान्य निर्देशित समुच्चय, एक योग की संक्रिया की अनुपस्थिति में, त्रिभुज असमिका का कोई अर्थ नहीं है और इसे अल्ट्रामीट्रिक स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह सामान्यीकृत अल्ट्रामीट्रिक की धारणा की ओर ले जाता है।^[15]

ये सामान्यीकरण अभी भी स्थान पर एक समान संरचना को प्रेरित करते हैं।

छद्मितीय स्थान

$X$ पर एक छद्मितीय, एक फलन $d:X\times X\to \mathbb {R}$ है, जो एक मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है, इसको छोड़कर कि दूसरे के स्थान पर (अबोधगम्यता की पहचान) केवल $d(x,x)=0$ सभी $x$ के लिए आवश्यक है।^[16] दूसरे शब्दों में, छद्ममितीय के लिए अभिगृहीत हैं:

$d(x,y)\geq 0$
$d(x,x)=0$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ .

कुछ संदर्भों में, छद्मितीय को अर्द्धमीट्रिक^[17] के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि इनका संबंध अर्धमानकों से होता है।

क्वासीमीट्रिक

कभी-कभी, एक क्वासीमीट्रिक को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समरूपता के संभावित अपवाद के साथ एक मीट्रिक के लिए सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है।^[18] इस सामान्यीकरण का नाम पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है।^[19]

$d(x,y)\geq 0$
$d(x,y)=0\iff x=y$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

वास्तविक जीवन में क्वासीमीट्रिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, पहाड़ी गाँवों का एक समुच्चय $X$ दिया गया है, समुच्चय $X$ के तत्वों के बीच विशिष्ट चालन समय एक क्वासीमीट्रिक बनाता है क्योंकि ऊपर की ओर की यात्रा नीचे की यात्रा की तुलना में अधिक समय लेती है। इसका एक और उदाहरण एकल-मार्गीय सड़कों वाले शहर में कार द्वारा की गई यात्रा की लंबाई है: यहाँ, बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक का सबसे छोटा रास्ता $B$ से $A$ तक के सबसे छोटे रास्ते की तुलना में सड़कों के एक अलग समुच्चय के साथ जाता है, और इसकी लंबाई भी भिन्न हो सकती है। वास्तव में एक क्वासीमीट्रिक को निम्नलिखित समायोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

उदाहरण के लिए, 1 को अनंत या

1+{\sqrt {y-x}}

या

y - x

के किसी अन्य उप-योगात्मक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह क्वासीमीट्रिक धातु की छड़ी को संशोधित करने की लागत का वर्णन करता है: इसके आकार को घिसकर कम करना आसान है, लेकिन इसे बढ़ाना मुश्किल या असंभव है।

X

पर एक क्वासीमीट्रिक दिए जाने पर,

x

के चारों ओर एक

R

-गेंद को समुच्चय

\{y\in X|d(x,y)\leq R\}

के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक मीट्रिक की स्थिति के समान, ऐसी गेंदें

X

पर एक सांस्थिति के लिए आधार बनाती हैं, लेकिन इस सांस्थिति को मीट्रिक-योग्य होने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, (उत्क्रमित) सोरगेनफ्रे लाइन, ऊपर वर्णित वास्तविकताओं पर क्वासीमीट्रिक द्वारा प्रेरित सांस्थिति है।

मेटामीट्रिक या आंशिक मीट्रिक

आंशिक मीट्रिक में, एक मीट्रिक के सभी अभिगृहीत संतुष्ट होते हैं, इसको छोड़कर कि समान बिंदुओं के बीच की दूरी आवश्यक रूप से शून्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, आंशिक मीट्रिक के अभिगृहीत निम्न हैं:

$d(x,y)\geq 0$
$d(x,y)=0\implies x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

आंशिक मीट्रिक, ग्रोमोव अतिपरवलयिक मीट्रिक स्थान और उनकी सीमाओं के अध्ययन में दिखाई देते हैं। ऐसे स्थान पर दृश्य आंशिक मीट्रिक, बिंदुओं $x$ के लिए $d(x,x)=0$ को संतुष्ट करता है , लेकिन अन्यथा $d(x,x)$ , लगभग $x$ से सीमा तक की दूरी है। आंशिक मीट्रिक को सर्वप्रथम जुसी वैसाला द्वारा परिभाषित किया गया था।^[20] अन्य कार्यों में, इन अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाला एक फलन आंशिक मीट्रिक^[21]^[22] या अव्यवस्थित मीट्रिक कहलाता है।^[16]

अर्द्धमीट्रिक

$X$ पर एक अर्द्धमीट्रिक, एक फलन $d:X\times X\to \mathbb {R}$ है, जो पहले तीन अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है, लेकिन आवश्यक नहीं है, कि त्रिभुज असमिका को भी संतुष्ट करे:

$d(x,y)\geq 0$
$d(x,y)=0\iff x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$

कुछ लेखक त्रिभुज असमिका के कमजोर रूप के साथ कार्य करते हैं, जैसे

$d(x,z)\leq \rho \,(d(x,y)+d(y,z))$	ρ-शिथिल त्रिभुज असमिका
$d(x,z)\leq \rho \,\max\{d(x,y),d(y,z)\}$	ρ-इन्फ्रामीट्रिक असमिका

ρ-इन्फ्रामीट्रिक असमिका का अर्थ, ρ-शिथिल त्रिभुज असमिका (पहले अभिगृहीत को मानते हुए) है, और ρ-शिथिल त्रिभुज असमिका का अर्थ 2ρ-इन्फ्राममीट्रिक असमिका है। इन समतुल्य शर्तों को पूरा करने वाले अर्द्धमीट्रिक को कभी-कभी क्वासीमीट्रिक,^[23] नियरमीट्रिक^[24] या इन्फ्रामीट्रिक^[25] के रूप में संदर्भित किया जाता है।

इंटरनेट में राउंड-ट्रिप विलम्ब समय को प्रतिरूपित करने के लिए ρ-इन्फ्रामीट्रिक असमिकाओं को प्रस्तुत किया गया था।^[25] त्रिभुज असमिका का अर्थ 2-इन्फ्रामीट्रिक असमिका है, और अल्ट्रामीट्रिक असमिका यथार्थ रूप से 1--इन्फ्रामीट्रिक असमिका है।

प्रीमीट्रिक

पिछले तीन अभिगृहीतों को शिथिल करने की क्रिया, एक प्रीमीट्रिक की धारणा की ओर प्रेरित करती है, अर्थात् एक ऐसा फलन जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

$d(x,y)\geq 0$
$d(x,x)=0$

यह एक मानक शब्द नहीं है। कभी-कभी इसका उपयोग मीट्रिक के अन्य सामान्यीकरणों जैसे स्यूडोसेमीमीट्रिक^[26] या स्यूडोमीट्रिक को संदर्भित करने के लिए किया जाता है;^[27] रूसी पुस्तकों के अनुवाद में यह कभी-कभी "प्रैमीट्रिक" के रूप में प्रकट होता है।^[28] एक समरूपता को संतुष्ट करने वाले प्रीमीट्रिक, अर्थात् एक स्यूडोसेमीमीट्रिक, को दूरी भी कहा जाता है।^[29]

कोई भी प्रीमीट्रिक एक सांस्थिति को निम्नानुसार उत्पन्न करता है। एक धनात्मक वास्तविक $r$ के लिए, बिंदु $p$ पर केंद्रित $r$ -गेंद को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.

एक समुच्चय को खुला समुच्चय कहा जाता है यदि समुच्चय में किसी भी बिंदु $p$ के लिए, बिंदु $p$ पर केंद्रित एक $r$ -गेंद है, जो समुच्चय में निहित है। प्रत्येक प्रीमीट्रिक स्थान एक सांस्थितीय स्थान है, और वास्तव में एक अनुक्रमिक स्थान है। सामान्य रूप से, इस सांस्थिति के संबंध में $r$ -गेंदों को स्वयं खुला समुच्चय होने की आवश्यकता नहीं है। मीट्रिक के लिए, दो समुच्चय $A$ और $B$ के बीच की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).

यह प्रीमीट्रिक स्थान के अधि-समुच्चय पर प्रीमीट्रिक को परिभाषित करता है। यदि हम एक (स्यूडोसेमी-) मीट्रिक स्थान से प्रारंभ करते हैं, तो हमें एक स्यूडोसेमीमीट्रिक, अर्थात् एक सममित प्रीमीट्रिक प्राप्त होता है। कोई भी प्रीमीट्रिक एक प्रीक्लोजर ऑपरेटर $cl$ को निम्नानुसार उत्पन्न करता है:

cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.

स्यूडोसेमीमीट्रिक

स्यूडो-, क्वासी- और सेमी- उपसर्गों को भी जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक स्यूडोसेमीमीट्रिक (कभी-कभी हेमीमीट्रिक) अबोधगम्य अभिगृहीत और समरूपता अभिगृहीत दोनों को शिथिल करता है और त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करने वाला एक प्रीमीट्रिक है। स्यूडोसेमीमीट्रिक स्थान के लिए खुली $r$ -गेंदें, खुले समुच्चय का आधार बनती हैं। स्यूडोसेमीमीट्रिक स्थान का एक बहुत ही मौलिक उदाहरण प्रीमीट्रिक $d(0,1)=1$ और $d(1,0)=0.$ के साथ समुच्चय $\{0,1\}$ है, सीरपिन्स्की स्थान, सम्बद्ध सांस्थितीय स्थान है।

एक विस्तारित स्यूडोसेमीमीट्रिक से सुसज्जित समुच्चयों का अध्ययन विलियम लॉवेरे द्वारा "सामान्यीकृत मीट्रिक स्थान" के रूप में किया गया था।^[30] एक स्पष्ट दृष्टिकोण से, संबंधित गैर-विस्तार वाले प्रतिचित्रणों के साथ विस्तारित स्यूडोमीट्रिक स्थान और विस्तारित स्यूडोसेमीमीट्रिक स्थान, मीट्रिक स्थान श्रेणियों के सबसे अच्छे व्यवहार हैं। कोई व्यक्ति स्वेच्छ उत्पाद और सहउत्पाद ले सकता है और दी गई श्रेणी के अन्दर विभाग वस्तुओं का निर्माण कर सकता है। यदि कोई "विस्तारित" को छोड़ता है, तो वह केवल परिमित उत्पाद और सह-उत्पाद ले सकता है। यदि कोई "स्यूडो" को छोड़ता है, तो कोई विभाग नहीं ले सकता है।

लॉवरे ने समृद्ध श्रेणियों के रूप में ऐसे स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। क्रमित समुच्चय $(\mathbb {R} ,\geq )$ को एक रूपवाद $a\to b$ के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है यदि $a\geq b$ और कोई नहीं। + को टेंसर गुणनफल और 0 को तत्समक तत्व के रूप में उपयोग करने से यह श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी $R^{*}$ में आ जाती है। प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोसेमी-) मीट्रिक स्थान $(M,d)$ को अब $R^{*}$ से अधिक समृद्ध एक श्रेणी $M^{*}$ के रूप में देखा जा सकता है:

$M$ के बिंदु, श्रेणी के विषय हैं।
अंक $x$ और $y$ के प्रत्येक युग्म जैसे कि $d(x,y)<\infty$ के लिए, एक एकल रूपवाद है, जिसे $R^{*}$ के विषय $d(x,y)$ को प्रदान किया है ।
त्रिभुज असमिका और सभी बिंदुओं $x$ के लिए तथ्य $d(x,x)=0$ को एक समृद्ध श्रेणी में रचना और पहचान के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है।
चूंकि $R^{*}$ एक पोसेट है, इसलिए एक समृद्ध श्रेणी के लिए आवश्यक सभी आरेखों की गणना स्वचालित रूप से की जा सकती है।

बहुसमुच्चयों पर मीट्रिक

एक मीट्रिक की धारणा को दो तत्वों के बीच की दूरी से तत्वों के एक बहुसमुच्चय को प्रदान की गई संख्या तक सामान्यीकृत किया जा सकता है। बहुसमुच्चय, एक समुच्चय की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें एक तत्व एक से अधिक बार उपस्थित हो सकता है। बहुसमुच्चय संघ $U=XY$ को निम्नानुसार परिभाषित करें: यदि कोई तत्व $x$ , $X$ में $m$ बार और $Y$ में $n$ बार आता है, तो यह $U$ में $m + n$ बार आता है। एक समुच्चय $M$ के तत्वों के अरिक्त परिमित बहुसमुच्चयों के एक समुच्चय पर एक फलन ${d}$ , एक मीट्रिक है^[31] यदि

$d(X)=0$ यदि $X$ के सभी तत्व बराबर हैं और $d(X)>0$ अन्यथा (धनात्मक निश्चितता)
$d(X)$ केवल (अनादेशित) बहुसमुच्चय $X$ पर निर्भर करता है (समरूपता)
$d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)$ (त्रिभुज असमिका)

अभिगृहीत 1 और 2 की स्थितियों, जिसमें बहुसमुच्चय $X$ में दो तत्व होते हैं और अभिगृहीत 3 की स्थिति, जिसमें बहुसमुच्चय $X$ , $Y$ , तथा $Z$ में प्रत्येक में एक तत्व होता है, पर विचार करके एक मीट्रिक के लिए सामान्य सिद्धांतों को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। अर्थात्, प्रत्येक बहुसमुच्चय मीट्रिक दो तत्वों के समुच्चय तक सीमित होने पर एक सामान्य मीट्रिक उत्पन्न करता है।

इसका एक सरल उदाहरण $d(X)=\max(X)-\min(X)$ के साथ पूर्णांकों के सभी अरिक्त परिमित बहुसमुच्चयों $X$ का एक समुच्चय है। इसके अधिक जटिल उदाहरणों में बहुसमुच्चय में सूचना दूरी;^[31] और सामान्यीकृत संपीडन दूरी (एनसीडी) हैं।^[32]

यह भी देखें

↑ Although the $L^{\infty }$ distance between points with integer coordinates is the number of moves it takes a chess king to travel between them.
↑ Balls with rational radius around a point $x$ form a neighborhood basis for that point.
↑ In the context of intervals in the real line, or more generally regions in Euclidean space, bounded sets are sometimes referred to as "finite intervals" or "finite regions". However, they do not typically have a finite number of elements, and while they all have finite volume, so do many unbounded sets. Therefore this terminology is imprecise.

उद्धरण

↑ Čech 1969, p. 42.
↑ Burago, Burago & Ivanov 2001.
↑ Heinonen 2001.
↑ ^4.0 ^4.1 Burago, Burago & Ivanov 2001, p. 1.
↑ Gromov 2007, p. xv.
↑ Fréchet, M. (December 1906). "कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 22 (1): 1–72. doi:10.1007/BF03018603. S2CID 123251660.
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↑ Rudin 1976, p. 30.
↑ E.g. Burago, Burago & Ivanov 2001, p. xiii:
... for most of the last century it was a common belief that "geometry of manifolds" basically boiled down to "analysis on manifolds". Geometric methods heavily relied on differential machinery, as can be guessed from the name "Differential geometry".
↑ Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact Archived 2016-04-12 at the Wayback Machine. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.
↑ "metric spaces are Hausdorff". PlanetMath.
↑ Burago, Burago & Ivanov 2001, Definition 3.1.12.
↑ See Burago, Burago & Ivanov 2001, Example 3.1.17, although in this book the quotient $\mathbb {N} \times [0,1]/\mathbb {N} \times \{0\}$ is incorrectly claimed to be homeomorphic to the topological quotient.
↑ Goreham, Anthony. Sequential convergence in Topological Spaces Archived 2011-06-04 at the Wayback Machine. Honours' Dissertation, Queen's College, Oxford (April, 2001), p. 14
↑ Hitzler & Seda 2016, Definition 4.3.1.
↑ ^16.0 ^16.1 Hitzler & Seda 2016, Definition 4.2.1.
↑ Burago, Burago & Ivanov 2001, Definition 1.1.4.
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बाहरी संबंध

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Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.

[6] Although the $L^{\infty }$ distance between points with integer coordinates is the number of moves it takes a chess king to travel between them.

[13] Balls with rational radius around a point $x$ form a neighborhood basis for that point.

[14] In the context of intervals in the real line, or more generally regions in Euclidean space, bounded sets are sometimes referred to as "finite intervals" or "finite regions". However, they do not typically have a finite number of elements, and while they all have finite volume, so do many unbounded sets. Therefore this terminology is imprecise.

[FOOTNOTEČech196942-1] Čech 1969, p. 42.

[FOOTNOTEBuragoBuragoIvanov2001-2] Burago, Burago & Ivanov 2001.

[FOOTNOTEHeinonen2001-3] Heinonen 2001.

[FOOTNOTEBuragoBuragoIvanov20011-4] 4.0 ^4.1 Burago, Burago & Ivanov 2001, p. 1.

[FOOTNOTEGromov2007xv-5] Gromov 2007, p. xv.

[7] Fréchet, M. (December 1906). "कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 22 (1): 1–72. doi:10.1007/BF03018603. S2CID 123251660.

[8] Blumberg, Henry (1927). "हॉसडॉर्फ के सेट थ्योरी के सिद्धांत". Bulletin of the American Mathematical Society. 6: 778–781. doi:10.1090/S0002-9904-1920-03378-1.

[FOOTNOTERudin197630-9] Rudin 1976, p. 30.

[10] E.g. Burago, Burago & Ivanov 2001, p. xiii:
... for most of the last century it was a common belief that "geometry of manifolds" basically boiled down to "analysis on manifolds". Geometric methods heavily relied on differential machinery, as can be guessed from the name "Differential geometry".

[11] Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact Archived 2016-04-12 at the Wayback Machine. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.

[12] "metric spaces are Hausdorff". PlanetMath.

[FOOTNOTEBuragoBuragoIvanov2001Definition_3.1.12-15] Burago, Burago & Ivanov 2001, Definition 3.1.12.

[16] See Burago, Burago & Ivanov 2001, Example 3.1.17, although in this book the quotient $\mathbb {N} \times [0,1]/\mathbb {N} \times \{0\}$ is incorrectly claimed to be homeomorphic to the topological quotient.

[17] Goreham, Anthony. Sequential convergence in Topological Spaces Archived 2011-06-04 at the Wayback Machine. Honours' Dissertation, Queen's College, Oxford (April, 2001), p. 14

[FOOTNOTEHitzlerSeda2016Definition_4.3.1-18] Hitzler & Seda 2016, Definition 4.3.1.

[FOOTNOTEHitzlerSeda2016Definition_4.2.1-19] 16.0 ^16.1 Hitzler & Seda 2016, Definition 4.2.1.

[FOOTNOTEBuragoBuragoIvanov2001Definition_1.1.4-20] Burago, Burago & Ivanov 2001, Definition 1.1.4.

[21] Steen & Seebach (1995); Smyth (1987)

[22] Rolewicz (1987) calls them "semimetrics". That same term is also frequently used for two other generalizations of metrics.

[FOOTNOTEVäisälä2005-23] Väisälä 2005.

[24] "आंशिक मेट्रिक्स: स्वागत है". www.dcs.warwick.ac.uk. Archived from the original on 27 July 2017. Retrieved 2 May 2018.

[25] Bukatin, Michael; Kopperman, Ralph; Matthews, Steve; Pajoohesh, Homeira (1 October 2009). "आंशिक मीट्रिक स्थान" (PDF). American Mathematical Monthly. 116 (8): 708–718. doi:10.4169/193009709X460831. S2CID 13969183.

[FOOTNOTEXia2009-26] Xia 2009.

[FOOTNOTEXia2008-27] Xia 2008.

[FOOTNOTEFraigniaudLebharViennot2008-28] 25.0 ^25.1 Fraigniaud, Lebhar & Viennot 2008.

[FOOTNOTEBuldyginKozachenko2000-29] Buldygin & Kozachenko 2000.

[FOOTNOTEHelemskii2006-30] Helemskii 2006.

[31] Arkhangel'skii & Pontryagin (1990); Aldrovandi & Pereira (2017)

[FOOTNOTEDezaLaurent1997-32] Deza & Laurent 1997.

[33] Lawvere (1973); Vickers (2005)

[FOOTNOTEVitányi2011-34] 31.0 ^31.1 Vitányi 2011.

[FOOTNOTECohenVitányi2012-35] Cohen & Vitányi 2012.

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-{{Short description|Mathematical space with a notion of distance}}
+[[File:Manhattan distance.svg|thumb|223x223px|[[ द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष |द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] (बिंदुओं का एक समुच्चय) विभिन्न मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है। [[ टैक्सीकैब ज्यामिति |टैक्सीकैब ज्यामिति]] में लाल, पीले, नीले और हरे रंग के रास्तों की लंबाई (12) समान होती है और ये सभी सबसे छोटे रास्ते होते हैं। यूक्लिडियन मीट्रिक में, हरे रंग के पथ की लंबाई {<math>6 \sqrt{2} \approx 8.49</math> है, और यह अद्वितीय सबसे छोटा पथ है, जबकि लाल, पीला, और नीले पथों की लंबाई अभी भी 12 है।]]गणित में, '''मीट्रिक स्थान''' या '''दूरिक समष्टि,''' इसके [[ तत्व (गणित) |तत्वों]] (सामान्यतः [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]]) के बीच की ''[[ दूरी |दूरी]]'' की धारणा के साथ एक [[ सेट (गणित) |समुच्चय]] है। इस दूरी को '''मीट्रिक''' या '''दूरी''' '''फलन''' नामक फलन द्वारा मापा जाता है।{{sfn|Čech|1969|p=42}} [[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] और [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] की कई अवधारणाओं का अध्ययन करने के लिए मीट्रिक स्थान सबसे सामान्य समायोजन हैं।
-[[File:Manhattan distance.svg|thumb|200px|[[ द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] (अंकों का एक समुच्चय) को विभिन्न मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है। [[ टैक्सीकैब ज्यामिति ]] में लाल, पीले, नीले और हरे रंग के पथों की चाप की लंबाई (12) समान होती है, और ये सभी सबसे छोटे पथ हैं। यूक्लिडियन मीट्रिक में, हरे पथ की लंबाई होती है <math>6 \sqrt{2} \approx 8.49</math>, और अद्वितीय सबसे छोटा पथ है, जबकि लाल, पीले और नीले पथों की लंबाई अभी भी 12 है।]]गणित में, '''मीट्रिक स्थान''' या '''दूरीक समष्टि,''' इसके [[ तत्व (गणित) |तत्वों]] (सामान्यतः [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]]) के बीच की ''[[ दूरी |दूरी]]'' की धारणा के साथ एक [[ सेट (गणित) |समुच्चय]] है। इस दूरी को '''मीट्रिक''' या '''दूरी''' '''फलन''' नामक फलन द्वारा मापा जाता है।{{sfn|Čech|1969|p=42}} [[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] और [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] की कई अवधारणाओं का अध्ययन करने के लिए मीट्रिक स्थान सबसे सामान्य समायोजन हैं।
 मीट्रिक स्थान का सबसे व्यावहारिक उदाहरण दूरी की सामान्य धारणा के साथ [[ 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिड का त्रि-विमीय अंतरिक्ष]] है। इसका एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण [[ कोणीय दूरी |कोणीय दूरी]] और [[ अतिपरवलयिक तल |अतिपरवलयिक तल]] से सुसज्जित एक गोला है। एक मीट्रिक, भौतिक दूरी की धारणा के स्थान पर एक लाक्षणिक दूरी की धारणा के अनुरूप हो सकता है: उदाहरण के लिए, 100-वर्णीय एकल कूट श्रृंखलाओं (यूनिकोड स्ट्रिंग्स) के समुच्चय को [[ हैमिंग दूरी |हैमिंग दूरी]] से सुसज्जित किया जा सकता है, यह उन वर्णों की संख्या को मापता है जिन्हें प्राप्त करने के लिए एक श्रृंखला से दूसरी श्रृंखला में बदलने की आवश्यकता होती है।
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 मीट्रिक स्थान के अधिक सामान्य होने के कारण, यह गणित की कई विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला उपकरण है। कई प्रकार की गणितीय वस्तुओं में दूरी की एक स्वाभाविक धारणा होती है और इसलिए ये एक मीट्रिक स्थान की संरचना को स्वीकार करते हैं, जिसमें [[ रीमैनियन मैनिफोल्ड |रीमैनियन मैनिफोल्ड]], [[ नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस |आदर्श सदिश स्थान]] और [[ ग्राफ (असतत गणित) |ग्राफ (असतत गणित)]] सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित में, ''p''-एडिक संख्याएँ [[ परिमेय संख्या |परिमेय संख्याओं]] पर एक मीट्रिक संरचना की [[ पूर्णता (मीट्रिक स्थान) |पूर्णता]] के तत्वों के रूप में उत्पन्न हुई हैं। '''मीट्रिक ज्यामिति'''{{sfn|Burago|Burago|Ivanov|2001}} और '''मीट्रिक स्थान के विश्लेषण''' में मीट्रिक स्थान का भी स्वयं में अध्ययन किया गया है।{{sfn|Heinonen|2001}}
-[[ गेंद (गणित) |गेंद]], [[ पूर्ण मीट्रिक स्थान |पूर्ण मीट्रिक स्थान]], साथ ही समान सततता, [[ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता |लिप्सचिट्ज़ सततता]] और होल्डर सततता सहित गणितीय विश्लेषण के कई मौलिक धारणाओं को मीट्रिक स्थान के समायोजन में परिभाषित किया जा सकता है। [[ निरंतर कार्य |सततता]], [[ सघनता |सघनता]], और खुले एवं [[ बंद सेट |बंद समुच्चय]] जैसी अन्य धारणाओं को मीट्रिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन [[ टोपोलॉजिकल स्पेस |सांस्थितीय स्थान]] के और भी सामान्य समायोजन में भी परिभाषित किया जा सकता है।
+[[ गेंद (गणित) |गेंद]], [[ पूर्ण मीट्रिक स्थान |पूर्ण मीट्रिक स्थान]], साथ ही समान सततता, [[ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता |लिप्सचिट्ज़ सततता]] और होल्डर सततता सहित गणितीय विश्लेषण के कई मौलिक धारणाओं को मीट्रिक स्थान के समायोजन में परिभाषित किया जा सकता है। [[ निरंतर कार्य |सततता]], [[ सघनता |सघनता]], और विवृत्त एवं [[ बंद सेट |संवृत्त समुच्चय]] जैसी अन्य धारणाओं को मीट्रिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन [[ टोपोलॉजिकल स्पेस |सांस्थितीय स्थान]] के और भी सामान्य समायोजन में भी परिभाषित किया जा सकता है।
 == परिभाषा और चित्रण ==
 === प्रेरणा ===
-[[File:Great-circle distance vs straight line distance.svg|thumb|दो बिंदुओं के बीच महान-वृत्त दूरी (सियान में) और सीधी रेखा की दूरी (लाल रंग में) को दर्शाने वाला आरेख {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}} एक गोले पर।]]दूरी की विभिन्न धारणाओं की उपयोगिता को देखने के लिए, [[ पृथ्वी की सतह |पृथ्वी की सतह]] को बिन्दुओं के समुच्चय के रूप में लें। हम सतह के साथ सबसे छोटे पथ की लंबाई ([[ ग्रेट-सर्कल दूरी |ग्रेट-सर्कल दूरी]]) द्वारा दो ऐसे बिंदुओं के बीच की दूरी को माप सकते हैं, "जैसे कौआ उड़ता है"; यह नौवहन और विमानन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। हम पृथ्वी के आंतरिक भाग से होते हुए दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी को भी माप सकते हैं; उदाहरण के लिए, यह धारणा [[ भूकंप विज्ञान |भूकंप विज्ञान]] में स्वाभाविक है, क्योंकि यह उन दो बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए भूकंपीय तरंगों के लिए लगने वाले समय के संगत है।
+[[File:Great-circle distance vs straight line distance.svg|thumb|एक गोले पर दो बिंदुओं {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} के बीच ग्रेट-सर्कल दूरी (सियान में) और सीधी-रेखा की दूरी (लाल रंग में) को दर्शाने वाला आरेख।|262x262px]]दूरी की विभिन्न धारणाओं की उपयोगिता को देखने के लिए, [[ पृथ्वी की सतह |पृथ्वी की सतह]] को बिन्दुओं के समुच्चय के रूप में लें। हम सतह के साथ सबसे छोटे पथ की लंबाई ([[ ग्रेट-सर्कल दूरी |ग्रेट-सर्कल दूरी]]) द्वारा दो ऐसे बिंदुओं के बीच की दूरी को माप सकते हैं, "जैसे कौआ उड़ता है"; यह नौवहन और विमानन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। हम पृथ्वी के आंतरिक भाग से होते हुए दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी को भी माप सकते हैं; उदाहरण के लिए, यह धारणा [[ भूकंप विज्ञान |भूकंप विज्ञान]] में स्वाभाविक है, क्योंकि यह उन दो बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए भूकंपीय तरंगों के लिए लगने वाले समय के संगत है।
 मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों द्वारा एन्कोड की गई दूरी की धारणा में अपेक्षाकृत कम आवश्यकताएँ हैं। यह सामान्यतः मीट्रिक स्थान को बहुत अधिक लचीलापन प्रदान करती है। साथ ही, दूरी के अर्थ के बारे में कई सहज ज्ञान युक्त तथ्यों को एन्कोड करने के लिए यह धारणा काफी सुदृढ़ है। इसका अर्थ है कि मीट्रिक स्थान के बारे में सामान्य परिणाम कई अलग-अलग संदर्भों में प्रयुक्त किए जा सकते हैं।
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 दूरी फलन <math>d(x,y) = | y - x |</math> के साथ [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याएँ]] [[ पूर्ण अंतर |शुद्ध अंतर]] द्वारा दी गई एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं। उनके बीच मीट्रिक स्थान और कार्यों के कई गुण [[ वास्तविक विश्लेषण |वास्तविक विश्लेषण]] में अवधारणाओं के सामान्यीकरण हैं और वास्तविक रेखा पर प्रयुक्त होने पर उन अवधारणाओं के साथ संगत होते हैं।
-==== यूक्लिड स्थानों पर मीट्रिक ====
+==== यूक्लिड के अंतरिक्षों पर मीट्रिक ====
 यूक्लिड समतल <math>\R^2</math> कई अलग-अलग मीट्रिक से सुसज्जित हो सकता है। विद्यालयीय गणित से सम्बंधित [[ यूक्लिडियन दूरी |यूक्लिड दूरी]] को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:<math display="block">d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.</math>''टैक्सीकैब''  या ''मनहट्टन'' ज्यामिति को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:<math display="block">d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|</math>और उस दूरी के बारे में विचार किया जा सकता है जो आपको एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के साथ तय करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि लेख के शीर्ष पर दिखाया गया है। अधिकतम, <math>L^\infty</math> या [[ चेबीशेव दूरी |चेबीशेव दूरी]] दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:<math display="block">d_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{|x_2-x_1|,|y_2-y_1|\}.</math>समतल में पथों के संदर्भ में इस दूरी की व्याख्या आसान नहीं है,{{efn|Although the <math>L^\infty</math> distance between points with integer coordinates is the number of moves it takes a [[king (chess)|chess king]] to travel between them.}} लेकिन यह मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है।
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 == इतिहास ==
-{{Expand section|Reasons for generalizing the Euclidean metric, first non-Euclidean metrics studied, consequences for mathematics|date=August 2011}}
 वर्ष 1906 में मौरिस फ्रेचेट ने [[ कार्यात्मक विश्लेषण |कार्यात्मक विश्लेषण]] के संदर्भ में अपने कार्य ''कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर''<ref>{{cite journal |last1=Fréchet |first1=M. |title=कार्यात्मक कलन के कुछ बिंदुओं पर|journal=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |date=December 1906 |volume=22 |issue=1 |pages=1–72 |doi=10.1007/BF03018603|s2cid=123251660 |url=https://zenodo.org/record/1428464 }}</ref> में मीट्रिक स्थान का प्रारंभ किया: उनकी मुख्य रुचि कई या अपरिमित रूप से कई चरों वाले फलनों के सिद्धांत को सामान्य बनाते हुए एक मीट्रिक स्थान से वास्तविक-मान फलनों का अध्ययन करने में थी, जैसा कि सिसारे अरजेला जैसे गणितज्ञों द्वारा अग्रणी है। इस विचार को और विकसित किया गया और [[ फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ |फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़]] ने इसे इसके उचित संदर्भ में समुच्चय सिद्धांत की अपनी महान कृति के सिद्धांतों में स्थान दिया, जिसने एक ([[ हॉसडॉर्फ स्पेस |हॉसडॉर्फ स्थान]]) सांस्थितीय स्थान की धारणा भी प्रस्तुत की।<ref>{{cite journal |last1=Blumberg |first1=Henry |title=हॉसडॉर्फ के सेट थ्योरी के सिद्धांत|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |date=1927 |volume=6 |pages=778–781 |doi=10.1090/S0002-9904-1920-03378-1 |doi-access=free}}</ref>
 सामान्य मीट्रिक स्थान, गणितीय पाठ्यक्रम का मूलभूत हिस्सा बन गए हैं।{{sfn|Rudin|1976|p=30}} गणितीय अनुसंधान में मीट्रिक स्थान के प्रमुख उदाहरणों में रीमैनियन मैनिफोल्ड और आदर्श सदिश स्थान सम्मिलित हैं, जो क्रमशः [[ अंतर ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]] और कार्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र हैं।<ref>E.g. {{harvnb|Burago|Burago|Ivanov|2001|p=xiii}}: <blockquote>... for most of the last century it was a common belief that "geometry of manifolds" basically boiled down to "analysis on manifolds".  Geometric methods heavily relied on differential machinery, as can be guessed from the name "Differential geometry".</blockquote></ref> आंशिक (फ्रैक्टल) ज्यामिति कुछ विदेशी मीट्रिक स्थानों का एक स्रोत है। इसके अन्य स्थान अलग-अलग या कोमल वस्तुओं के अध्ययन के माध्यम से सीमा के रूप में उत्पन्न हुए हैं, जिसमें [[ सांख्यिकीय भौतिकी |सांख्यिकीय भौतिकी]] में [[ स्केल इनवेरिएंस |पैमाने की अपरिवर्तनीय सीमाएँ]], एलेक्जेंड्रोव स्थानों के रूप में उत्पन्न रीमैनियन मैनिफोल्ड के अनुक्रमों की ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ सीमाएँ, और [[ ज्यामितीय समूह सिद्धांत |ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में सीमाएँ और स्पर्शोन्मुख शंकु आदि सम्मिलित हैं। अंततः, [[ कंप्यूटर विज्ञान |कंप्यूटर विज्ञान]] में परिमित और असतत मीट्रिक स्थान के कई नए अनुप्रयोग उत्पन्न हुए हैं।
-==मूल धारणाएं==
+==मूल धारणाएँ==
-निकटता और अभिसरण की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए एक दूरी का कार्य पर्याप्त है जो वास्तविक विश्लेषण में पहली बार विकसित हुए थे। गुण जो मीट्रिक स्थान की संरचना पर निर्भर करते हैं उन्हें मीट्रिक गुण कहा जाता है। प्रत्येक मीट्रिक स्थान भी एक सांस्थितीय स्थान है, और कुछ मीट्रिक गुणों को सांस्थिति की भाषा में दूरी के संदर्भ के बिना भी रीफ़्रेश किया जा सकता है; अर्थात्, वे वास्तव में [[ स्थलीय संपत्ति |सामयिक गुण]] हैं।
+निकटता और अभिसरण की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए एक दूरी फलन पर्याप्त होता है जो वास्तविक विश्लेषण में पहली बार विकसित हुए थे। मीट्रिक स्थान की संरचना पर निर्भर करने वाले गुणों को मीट्रिक गुण कहा जाता है। प्रत्येक मीट्रिक स्थान एक सांस्थितीय स्थान भी होता है, और कुछ मीट्रिक गुणों को भी सांस्थिति की भाषा में दूरी के संदर्भ के बिना पुनः संशोधित रूप से व्यक्त किया जा सकता है; अर्थात्, ये वास्तव में [[ स्थलीय संपत्ति |सांस्थितीय गुण]] हैं।
 === एक मीट्रिक स्थान की सांस्थिति ===
-मीट्रिक स्थान {{mvar|M}} में किसी भी बिंदु {{mvar|x}} के लिए और कोई वास्तविक संख्या {{math|''r'' > 0}}, {{mvar|x}} के चारों ओर त्रिज्या {{mvar|r}} की खुली गेंद को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो {{mvar|x}} से अधिकतम दूरी {{mvar|r}} पर हैं:<math display="block">B_r(x)=\{y \in M : d(x,y) < r\}.</math>यह उन बिंदुओं के समूह को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका है जो {{mvar|x}} के अपेक्षाकृत निकट हैं। इसलिए, एक समुच्चय <math>N \subseteq M</math>, {{mvar|x}} का एक पड़ोस है (अनौपचारिक रूप से, इसमें {{mvar|x}} के "पर्याप्त रूप से" सभी बिंदु होते हैं) यदि इसमें कुछ {{math|''r'' > 0}} के लिए {{mvar|x}} के चारों ओर त्रिज्या {{mvar|r}} की एक खुली गेंद होती है।
+मीट्रिक स्थान {{mvar|M}} में किसी भी बिंदु {{mvar|x}} और किसी वास्तविक संख्या {{math|''r'' > 0}} के लिए, {{mvar|x}} के चारों ओर त्रिज्या {{mvar|r}} की ''खुली गेंद'' को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो {{mvar|x}} से अधिकतम दूरी {{mvar|r}} पर हैं:<math display="block">B_r(x)=\{y \in M : d(x,y) < r\}.</math>यह उन बिंदुओं के समुच्चय को परिभाषित करने की एक स्वाभाविक विधि है जो अपेक्षाकृत {{mvar|x}} के निकट हैं। इसलिए, एक समुच्चय <math>N \subseteq M</math>, {{mvar|x}} के समीप का एक क्षेत्र है (अनौपचारिक रूप से, इसमें {{mvar|x}} के "पर्याप्त रूप से" सभी बिंदु होते हैं) यदि इसमें कुछ {{math|''r'' > 0}} के लिए {{mvar|x}} के चारों ओर त्रिज्या {{mvar|r}} की एक खुली गेंद होती है।
-एक खुला समुच्चय एक समुच्चय है जो इसके सभी बिंदुओं का पड़ोस है। यह इस प्रकार है कि खुली गेंदें {{mvar|M}} पर [[ आधार (टोपोलॉजी) |आधार (सांस्थिति)]] के लिए आधार बनाती हैं। दूसरे शब्दों में, {{mvar|M}} के खुले समुच्चय बिल्कुल खुली गेंदों के संघ हैं। किसी भी सांस्थिति की तरह, बंद समुच्चय खुले समुच्चय के पूरक हैं। समुच्चय खुले और बंद दोनों हो सकते हैं और साथ ही न तो खुले और न ही बंद।
-यह सांस्थिति मीट्रिक स्थान के बारे में सारी जानकारी नहीं रखती है। उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई दूरियां {{math|''d''<sub>1</sub>}}, {{math|''d''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''d''<sub>∞</sub>}} <math>\R^2</math> पर समान सांस्थिति को प्रेरित करती हैं, हालांकि वे कई मायनों में अलग व्यवहार करती हैं। इसी तरह, <math>\R</math> यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ और इसके उप-अंतराल (0, 1) प्रेरित मीट्रिक के साथ [[ समरूपता |समरूपता (होमियोमॉर्फिक)]] हैं लेकिन बहुत अलग मीट्रिक गुण हैं।
+एक ''खुला समुच्चय'' एक समुच्चय है जो इसके सभी बिंदुओं के समीप का एक क्षेत्र है। यह इस प्रकार है कि खुली गेंदें, {{mvar|M}}  पर एक सांस्थिति के लिए [[ आधार (टोपोलॉजी) |आधार]] बनाती हैं। दूसरे शब्दों में, {{mvar|M}}  के खुले समुच्चय पूर्ण रूप से खुली गेंदों के संघ होते हैं। किसी भी सांस्थिति के समान, बंद समुच्चय खुले समुच्चयों के पूरक होते हैं। समुच्चय खुले और बंद दोनों और साथ ही न तो खुले और न ही बंद हो सकते हैं।
-इसके विपरीत, प्रत्येक स्थलीय स्थान को एक मीट्रिक नहीं दिया जा सकता है। सांस्थितीय स्थान जो एक मीट्रिक के साथ संगत होते हैं, उन्हें मेट्रिज़ेबल कहा जाता है और विशेष रूप से कई तरह से अच्छा व्यवहार किया जाता है: विशेष रूप से, वे [[ पैराकॉम्पैक्ट स्पेस |पैराकॉम्पैक्ट स्थान]]<ref>Rudin, Mary Ellen.  [https://www.jstor.org/stable/2035708 A new proof that metric spaces are paracompact] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160412015215/http://www.jstor.org/stable/2035708 |date=2016-04-12 }}.  Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.</ref> हौसडॉर्फ स्थान<ref>{{PlanetMath reference|urlname=MetricSpacesAreHausdorff|id=5838|title=metric spaces are Hausdorff}}</ref> (इसलिए [[ सामान्य स्थान |सामान्य]]) और [[ प्रथम-गणनीय स्थान |प्रथम-गणनीय स्थान]] योग्य हैं।{{efn|Balls with rational radius around a point {{mvar|x}} form a [[neighborhood basis]] for that point.}} नागाटा– स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय मीट्रिक्स के संदर्भ के बिना, अन्य सांस्थितीय गुणों के संदर्भ में मेट्रिज़ेबिलिटी का लक्षण वर्णन करता है।
+यह सांस्थिति मीट्रिक स्थान के बारे में सम्पूर्ण जानकारी नहीं रखती है। उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई दूरियाँ {{math|''d''<sub>1</sub>}}, {{math|''d''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''d''<sub>∞</sub>}} <math>\R^2</math> पर समान सांस्थिति को प्रेरित करती हैं, हालांकि ये कई स्थितियों में अलग व्यवहार करती हैं। इसी प्रकार, यूक्लिड मीट्रिक के साथ <math>\R</math> और प्रेरित मीट्रिक के साथ इसका उप-स्थान (0, 1) [[ समरूपता |समरूप]] होते हैं लेकिन इनके पास बहुत अलग मीट्रिक गुण होते हैं।
+इसके विपरीत, प्रत्येक सांस्थितीय स्थान को एक मीट्रिक नहीं दिया जा सकता है। एक मीट्रिक के साथ संगत सांस्थितीय स्थानों को ''मीट्रिक-योग्य'' कहा जाता है और विशेषतः कई प्रकार से अच्छा व्यवहार किया जाता है: विशेष रूप से, ये [[ पैराकॉम्पैक्ट स्पेस |अर्द्धसघन स्थान]]<ref>Rudin, Mary Ellen.  [https://www.jstor.org/stable/2035708 A new proof that metric spaces are paracompact] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160412015215/http://www.jstor.org/stable/2035708 |date=2016-04-12 }}.  Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.</ref> हौसडॉर्फ स्थान<ref>{{PlanetMath reference|urlname=MetricSpacesAreHausdorff|id=5838|title=metric spaces are Hausdorff}}</ref> (इसलिए [[ सामान्य स्थान |सामान्य]]) और [[ प्रथम-गणनीय स्थान |प्रथम-गणनीय स्थान]] हैं।{{efn|Balls with rational radius around a point {{mvar|x}} form a [[neighborhood basis]] for that point.}} नागाटा– स्मिरनोव मीट्रिकता प्रमेय, मीट्रिक के संदर्भ के बिना अन्य सांस्थितीय गुणों के संदर्भ में मीट्रिक-योग्यता के लक्षणों का वर्णन करती है।
 === अभिसरण ===
-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में [[ अनुक्रम की सीमा |अनुक्रमों]] के अभिसरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
+यूक्लिड के अंतरिक्ष में [[ अनुक्रम की सीमा |अनुक्रमों]] के अभिसरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
-:एक अनुक्रम {{math|(''x<sub>n</sub>'')}} एक बिंदु {{mvar|x}} में परिवर्तित हो जाता है यदि प्रत्येक {{math|ε > 0}} के लिए एक पूर्णांक {{mvar|N}} है जैसे कि सभी {{math|''n'' > ''N''}}, {{math|''d''(''x<sub>n</sub>'', ''x'') < ε}} के लिए।
+:एक अनुक्रम {{math|(''x<sub>n</sub>'')}}, एक बिंदु {{mvar|x}} में अभिसरित हो जाता है यदि प्रत्येक {{math|ε > 0}} के लिए एक ऐसा पूर्णांक {{mvar|N}} है, जिसमें सभी {{math|''n'' > ''N''}} के लिए, {{math|''d''(''x<sub>n</sub>'', ''x'') < ε}}।
 सांस्थितीय स्थान में अनुक्रमों का अभिसरण निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
-:एक अनुक्रम {{math|(''x<sub>n</sub>'')}} एक बिंदु {{mvar|x}} पर अभिसरण करता है यदि प्रत्येक खुले समुच्चय {{mvar|U}} के लिए जिसमें {{mvar|x}} है, एक पूर्णांक {{mvar|N}} है जैसे कि सभी {{math|''n'' > ''N''}} के लिए, <math>x_n \in U</math>.
+:एक अनुक्रम {{math|(''x<sub>n</sub>'')}}, एक बिंदु {{mvar|x}} पर अभिसरित हो जाता है यदि {{mvar|x}} को सम्मिलित करने वाले प्रत्येक खुले समुच्चय {{mvar|U}} के लिए, एक ऐसा पूर्णांक {{mvar|N}} है, जिसमें सभी {{math|''n'' > ''N''}} के लिए, <math>x_n \in U</math>
-मीट्रिक रिक्त स्थान में, ये दोनों परिभाषाएँ समझ में आती हैं और वे समान हैं। यह मीट्रिक रिक्त स्थान के सांस्थितीय गुणों के लिए एक सामान्य पैटर्न है: जबकि उन्हें विशुद्ध रूप से सांस्थितीय तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर एक ऐसा तरीका होता है जो मीट्रिक का उपयोग करता है जो कि राज्य के लिए आसान है या वास्तविक विश्लेषण से अधिक परिचित है।
+मीट्रिक स्थान में, ये दोनों परिभाषाएँ अर्थपूर्ण और समतुल्य हैं। यह मीट्रिक स्थान के सांस्थितीय गुणों के लिए एक सामान्य प्रतिरूप (पैटर्न) है: जबकि उन्हें विशुद्ध रूप से सांस्थितीय विधि से परिभाषित किया जा सकता है, प्रायः इसमें एक ऐसी विधि होती है जो ऐसे मीट्रिक का उपयोग करती है जिसे प्रकट करना आसान है या जो वास्तविक विश्लेषण से अधिक परिचित है।
 === पूर्णता ===
-{{main|Complete metric space}}
+{{main|पूर्ण मीट्रिक स्थान}}
-अनौपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान पूर्ण होता है यदि इसमें कोई "लापता बिंदु" नहीं होता है: प्रत्येक क्रम जो ऐसा दिखता है कि उसे वास्तव में अभिसरण करना चाहिए।
+अनौपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान पूर्ण होता है यदि इसमें कोई "लुप्त बिंदु" नहीं होता है: ऐसे दिखने वाले प्रत्येक क्रम को वास्तव में अभिसरण करना चाहिए।
-इसे सटीक बनाने के लिए: मीट्रिक स्थान {{mvar|M}} में एक अनुक्रम {{math|(''x<sub>n</sub>'')}}कॉची है यदि प्रत्येक {{math|ε > 0}} के लिए एक पूर्णांक {{mvar|N}} है जैसे कि सभी {{math|''m'', ''n'' > ''N''}}, {{math|''d''(''x<sub>m</sub>'', ''x<sub>n</sub>'') < ε}} के लिए। त्रिभुज असमिका से, कोई भी अभिसरण अनुक्रम कॉची है: यदि {{mvar|x<sub>m</sub>}} और {{mvar|x<sub>n</sub>}} दोनों सीमा से {{math|ε}} से कम दूर हैं, तो वे एक दूसरे से {{math|2ε}} से कम दूर हैं। यदि विलोम सत्य है - {{mvar|M}} में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है - तो {{mvar|M}} पूर्ण है।
+इसे यथार्थ बनाने के लिए: मीट्रिक स्थान {{mvar|M}}  में एक अनुक्रम {{math|(''x<sub>n</sub>'')}} ''कॉशी'' है यदि प्रत्येक {{math|ε > 0}} के लिए एक ऐसा पूर्णांक {{mvar|N}} है जिसमें सभी {{math|''m'', ''n'' > ''N''}} के लिए, {{math|''d''(''x<sub>m</sub>'', ''x<sub>n</sub>'') < ε}}। त्रिभुज असमिका से, कोई भी अभिसरण अनुक्रम कॉशी है: यदि {{mvar|x<sub>m</sub>}} और {{mvar|x<sub>n</sub>}} दोनों सीमा से {{math|ε}} से कम दूरी पर हैं, तो वे परस्पर {{math|2ε}} से कम दूरी पर होते हैं। यदि इसका विलोम सत्य है - {{mvar|M}}  में प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है - तो {{mvar|M}}  पूर्ण होता है।
-यूक्लिडियन रिक्त स्थान पूर्ण हैं, जैसा कि <math>\R^2</math> ऊपर वर्णित अन्य मैट्रिक्स के साथ है। रिक्त स्थान के दो उदाहरण जो पूर्ण नहीं हैं (0, 1) और परिमेय हैं, जिनमें से प्रत्येक <math>\R</math> से प्रेरित मीट्रिक के साथ है। कोई भी (0, 1) के बारे में सोच सकता है कि इसके समापन बिंदु 0 और 1 "अनुपलब्ध" हैं। परिमेय सभी अपरिमेय को याद कर रहे हैं, क्योंकि किसी भी अपरिमेय के पास <math>\R</math> में परिमेय का एक क्रम होता है। {आर} (उदाहरण के लिए, इसके क्रमिक दशमलव सन्निकटन)। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पूर्णता एक सांस्थितिक गुण नहीं है, क्योंकि <math>\R</math> पूर्ण है, लेकिन होमियोमॉर्फिक स्थान (0, 1) नहीं है।
+यूक्लिड के अंतरिक्ष पूर्ण होते हैं, जैसा कि <math>\R^2</math>, ऊपर वर्णित अन्य मीट्रिक के साथ है। अपूर्ण स्थान के दो उदाहरण (0, 1) और परिमेय हैं, जिनमें से प्रत्येक <math>\R</math> से प्रेरित मीट्रिक के साथ है। कोई भी (0, 1) के बारे में इस प्रकार विचार कर सकता है कि इसके अंत्य बिंदु 0 और 1 "लुप्त" हैं। सभी लुप्त परिमेय, अपरिमेय हैं, क्योंकि किसी भी अपरिमेय के पास <math>\R</math> में परिमेय का एक क्रम होता है। (उदाहरण के लिए, इसके क्रमिक दशमलव सन्निकटन)। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पूर्णता एक सांस्थितीय गुण नहीं है, क्योंकि <math>\R</math> पूर्ण है, लेकिन समरूप स्थान (0, 1) पूर्ण नहीं है।
-"लापता अंक" की इस धारणा को सटीक बनाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक मीट्रिक स्थान में एक अद्वितीय पूर्णता होती है, जो एक पूर्ण स्थान होता है जिसमें दिए गए स्थान को घने उपसमुच्चय के रूप में शामिल किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{closed-closed|0, 1}} (0, 1) की पूर्णता है, और वास्तविक संख्याएँ परिमेय की पूर्णता हैं।
+"लुप्त अंक" की इस धारणा को यथार्थ बनाया जा सकता है। वास्तव में, प्रत्येक मीट्रिक स्थान में एक अद्वितीय पूर्णता होती है, जो एक पूर्ण स्थान होता है जिसमें दिए गए स्थान को सघन उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, {{closed-closed|0, 1}}, (0, 1) की पूर्णता है, और वास्तविक संख्याएँ परिमेय की पूर्णता हैं।
-चूंकि पूर्ण रिक्त स्थान के साथ काम करना आम तौर पर आसान होता है, पूरे गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, अमूर्त बीजगणित में, p-adic संख्या|p-adic संख्याओं को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है। कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में पूर्णता विशेष रूप से आम है। अक्सर किसी के पास अच्छे कार्यों का एक समुच्चय होता है और उनके बीच की दूरी को मापने का एक तरीका होता है। इस मीट्रिक स्थान को पूरा करने से कार्यों का एक नया समुच्चय मिलता है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी हो सकता है क्योंकि वे महत्वपूर्ण तरीकों से मूल अच्छे कार्यों के समान व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरणों के  आम तौर पर अच्छे कार्यों के मूल स्थान के बजाय एक पूर्णता (एक ) में रहते हैं, जिसके लिए  वास्तव में समझ में आता है।
+चूंकि पूर्ण स्थान के साथ कार्य करना सामान्यतः आसान होता है, अतः संपूर्ण गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, अमूर्त बीजगणित में, ''p''-एडिक संख्याओं को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय की पूर्णता के रूप में परिभाषित किया गया है। पूर्णता, कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में विशेष रूप से सामान्य है। प्रायः किसी के पास अच्छे फलनों का एक समुच्चय और उनके बीच दूरियों को मापने की एक विधि होती है। इस मीट्रिक स्थान की पूर्णता को लेने पर फलनों का एक नया समुच्चय प्राप्त है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी होता है क्योंकि यह महत्वपूर्ण प्रकार से मूल अच्छे फलनों के समान व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, अवकल समीकरणों के [[ कमजोर समाधान |अशक्त हल]] सामान्यतः अच्छे फलनों के मूल स्थान के स्थान पर पूर्णता (एक [[ सोबोलेव स्पेस |सोबोलेव स्थान]]) में स्थित होते हैं जिसके लिए [[ अंतर समीकरण |अवकल समीकरण]] वास्तव में अर्थपूर्ण होता है।
+=== परिबद्ध और पूर्णतः परिबद्ध स्थान ===
+[[File:Diameter of a Set.svg|thumb|एक समुच्चय का व्यास।|250x250px]]
+{{See also|परिबद्ध समुच्चय}}
+एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}}  परिबद्ध होता है, यदि कोई {{mvar|r}} ऐसा हो कि {{mvar|M}}  में कोई भी बिंदु-युग्म, {{mvar|r}} से अधिक दूरी पर न हो।{{efn|In the context of [[Interval (mathematics)|interval]]s in the real line, or more generally regions in Euclidean space, bounded sets are sometimes referred to as "finite intervals" or "finite regions".  However, they do not typically have a finite number of elements, and while they all have finite [[Lebesgue measure|volume]], so do many unbounded sets.  Therefore this terminology is imprecise.}} ऐसे न्यूनतम {{mvar|r}} को {{mvar|M}}  का {{visible anchor|[[व्यास]]|एक मीट्रिक स्थान का व्यास}} कहा जाता है।
-चूंकि पूर्ण स्थान के साथ काम करना आम तौर पर आसान होता है, पूरे गणित में पूर्णता महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, सार बीजगणित में, पी-एडिक संख्या को एक अलग मीट्रिक के तहत परिमेय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है। समापन कार्यात्मक विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में विशेष रूप से आम है। अक्सर किसी के पास अच्छे कार्यों का एक समुच्चय होता है और उनके बीच दूरियों को मापने का एक तरीका होता है। इस मीट्रिक स्थान को पूरा करने से कार्यों का एक नया समुच्चय मिलता है जो कम अच्छा हो सकता है, लेकिन फिर भी उपयोगी होता है क्योंकि वे महत्वपूर्ण तरीकों से मूल अच्छे कार्यों के समान व्यवहार करते हैं। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों के [[ कमजोर समाधान |कमजोर समाधान]] आम तौर पर अच्छे कार्यों के मूल स्थान के बजाय पूर्णता (एक [[ सोबोलेव स्पेस |सोबोलेव स्थान]]) में रहते हैं जिसके लिए [[ अंतर समीकरण |अवकल समीकरण]] वास्तव में समझ में आता है।
+स्थान {{mvar|M}}  को प्रीकॉम्पैक्ट या पूर्णतः परिबद्ध कहा जाता है, यदि प्रत्येक {{math|''r'' > 0}} के लिए त्रिज्या {{mvar|r}} की खुली गेंदों द्वारा {{mvar|M}}  का एक परिमित कवर होता है। प्रत्येक पूर्णतः परिबद्ध स्थान परिबद्ध होता है। इसे देखने के लिए, कुछ स्वेच्छ {{mvar|r}} के लिए {{mvar|r}}-गेंदों द्वारा परिमित कवर से प्रारंभ करें। चूँकि इन गेंदों के केंद्रों से मिलकर बना {{mvar|M}}  का उपसमुच्चय परिमित होता है, अतः इसमें परिमित व्यास होता है, जिसे {{mvar|D}} कहते हैं। त्रिभुज असमिका से, पूरे स्थान का व्यास अधिकतम {{math|''D'' + 2''r''}} है। इसका विलोम इसके लिए सत्य नहीं है: मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण असतत मीट्रिक के साथ <math>\R^2</math> है, जो परिबद्ध तो है लेकिन पूर्णतः परिबद्ध नहीं है।
-=== बंधे और पूरी तरह से बंधे हुए स्थान ===
-[[File:Diameter of a Set.svg|thumb|एक समुच्चय का व्यास।]]
-{{See also|Bounded set}}
-एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}} को घेरा जाता है यदि कोई {{mvar|r}} ऐसा हो कि {{mvar|M}} में कोई भी बिंदु {{mvar|r}}r दूरी से अधिक न हो।{{efn|In the context of [[Interval (mathematics)|interval]]s in the real line, or more generally regions in Euclidean space, bounded sets are sometimes referred to as "finite intervals" or "finite regions".  However, they do not typically have a finite number of elements, and while they all have finite [[Lebesgue measure|volume]], so do many unbounded sets.  Therefore this terminology is imprecise.}} कम से कम ऐसे {{mvar|r}} को {{mvar|M}} का {{visible anchor|[[व्यास]]|एक मीट्रिक स्थान का व्यास}} कहा जाता है।
-अंतरिक्ष {{mvar|M}} को प्रीकॉम्पैक्ट या पूरी तरह से घिरा हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक {{math|''r'' > 0}} के लिए त्रिज्या {{mvar|r}} की खुली गेंदों द्वारा {{mvar|M}} का एक सीमित कवर होता है। हर पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान घिरा हुआ है। इसे देखने के लिए, कुछ मनमाना आर के लिए {{mvar|r}}-बॉल्स द्वारा सीमित कवर से शुरू करें। चूँकि इन गेंदों के केंद्रों से मिलकर {{mvar|M}} का उपसमुच्चय परिमित है, इसका परिमित व्यास है, {{mvar|D}} कहते हैं। त्रिभुज असमिका से, पूरे स्थान का व्यास अधिकतम {{math|''D'' + 2''r''}} है। आक्षेप धारण नहीं करता है: एक मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण जो घिरा हुआ है लेकिन पूरी तरह से घिरा नहीं है <math>\R^2</math> असतत मीट्रिक के साथ।
 === सघनता ===
-{{Main|Compact space}}
+{{Main|सघन स्थान}}
-कॉम्पैक्टनेस एक सांस्थितीय प्रॉपर्टी है जो यूक्लिडियन स्थान के एक बंद और बंधे हुए उपसमुच्चय के गुणों को सामान्य करती है। मीट्रिक रिक्त स्थान में कॉम्पैक्टनेस की कई समान परिभाषाएँ हैं:
+सघनता एक सांस्थितीय गुण है, जो यूक्लिड के अंतरिक्ष के एक बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय के गुणों को सामान्यीकृत करती है। मीट्रिक स्थान में सघनता की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं:
-# एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}} कॉम्पैक्ट है यदि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित उपकवर (सामान्य सांस्थितीय परिभाषा) है।
+# एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}}  सघन होता है यदि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित उप-कवर (सामान्य सांस्थितीय परिभाषा) है।
-#एक मीट्रिक स्थान एम कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसरण अनुक्रम होता है। (सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसे  [[ क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस |अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस]] कहा जाता है और कॉम्पैक्टनेस के बराबर नहीं है।)
+#एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}}  सघन होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसरण अनुक्रम है। (सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसे [[ क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस |अनुक्रमिक सघनता]] कहा जाता है, जो सघनता के समान नहीं है।)
-# एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}} कॉम्पैक्ट है अगर यह पूर्ण और पूरी तरह से घिरा हुआ है। (यह परिभाषा मीट्रिक गुणों के संदर्भ में लिखी गई है और सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसका कोई अर्थ नहीं है, लेकिन फिर भी यह स्थैतिक रूप से अपरिवर्तनीय है क्योंकि यह कॉम्पैक्टनेस के बराबर है।)
+# एक मीट्रिक स्थान {{mvar|M}}  सघन होता है यदि यह पूर्ण और पूर्णतः परिबद्ध है। (यह परिभाषा मीट्रिक गुणों के संदर्भ में लिखी गई है और सामान्य सांस्थितीय स्थान के लिए इसका कोई अर्थ नहीं है, लेकिन फिर भी यह स्थैतिक रूप से अपरिवर्तनीय है क्योंकि यह सघनता के समान है।)
-एक कॉम्पैक्ट स्थान का एक उदाहरण बंद अंतराल {{closed-closed|0, 1}} है।
+सघन स्थान का एक उदाहरण बंद (संवृत) अंतराल {{closed-closed|0, 1}} है।
-पूर्णता के समान कारणों के लिए कॉम्पैक्टनेस महत्वपूर्ण है: इससे सीमाएँ खोजना आसान हो जाता है। एक अन्य महत्वपूर्ण उपकरण लेब्सग्यू का नंबर लेम्मा है, जो दर्शाता है कि किसी कॉम्पैक्ट स्थान के किसी भी खुले कवर के लिए, कवर के किसी एक समुच्चय के अंदर प्रत्येक बिंदु अपेक्षाकृत गहरा होता है।
+पूर्णता के समान कारणों के लिए सघनता महत्वपूर्ण है: इससे सीमाओं की प्राप्ति आसान हो जाती है। एक अन्य महत्वपूर्ण उपकरण लेब्सग्यू की संख्या प्रमेयिका है, जो यह दर्शाती है कि किसी सघन स्थान के किसी भी खुले कवर के लिए, कवर के किसी एक समुच्चय के अंदर प्रत्येक बिंदु अपेक्षाकृत गहन होता है।
 == निर्माण ==
 === गुणनफल मीट्रिक स्थान ===
-{{main|Product metric}}
+{{main|गुणनफल मीट्रिक}}
 यदि <math>(M_1,d_1),\ldots,(M_n,d_n)</math> मीट्रिक स्थान हैं, और {{mvar|N}}, <math>\mathbb R^n</math> पर यूक्लिड का मानक है, तब <math>\bigl(M_1 \times \cdots \times M_n, d_\times\bigr)</math> एक मीट्रिक स्थान है, जहाँ [[ उत्पाद मीट्रिक |गुणनफल मीट्रिक]] को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है:<math display="block">d_\times\bigl((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\bigr) = N\bigl(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\bigr),</math>और प्रेरित सांस्थिति, [[ उत्पाद टोपोलॉजी |गुणनफल सांस्थिति]] से सहमत है। परिमित विमाओं में मानकों की तुल्यता से, एक सांस्थितीय समकक्ष मीट्रिक को प्राप्त किया जाता है यदि {{mvar|N}}, [[ टैक्सीकैब मानदंड |टैक्सीकैब मानक]], एक p-मानक, अधिकतम मानक, या कोई अन्य मानक है जो धनात्मक {{mvar|n}}-ट्यूपल के निर्देशांक में वृद्धि होने पर कम नहीं होता है (त्रिभुज की असमिका को स्वीकार करते हुए)।
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 मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को शिथिल करने की कई विधियाँ हैं, जो सामान्यीकृत मीट्रिक स्थान की विभिन्न धारणाओं को उत्पन्न करते हैं। इन सामान्यीकरणों को भी संयुक्त किया जा सकता है। इनका वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दावली पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है। सबसे विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण में छद्मितीय प्रायः सदिश स्थान पर अर्द्धमानकों से आते हैं, और इसलिए इन्हें "अर्द्धमीट्रिक" कहना स्वाभाविक है। यह [[ टोपोलॉजी |सांस्थिति]] में इस शब्द के उपयोग का विरोध करता है।
-=== विस्तारित मीट्रिक्स ===
+=== विस्तारित मीट्रिक ===
 कुछ लेखक दूरी फलन <math>{{d}}</math> को ∞ मान प्राप्त करने की अनुमति देते हुए मीट्रिक को परिभाषित करते हैं, अर्थात् [[ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा |विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] पर दूरी गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं।{{sfn|Burago|Burago|Ivanov|2001|p=1}} इस तरह के फलन को एक विस्तारित मीट्रिक या "∞-मीट्रिक" भी कहा जाता है। प्रत्येक विस्तारित मीट्रिक को एक परिमित मीट्रिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो सांस्थितीय रूप से समतुल्य है। इसे एक [[ उप-योगात्मक कार्य |उप-योगात्मक]] एकदिष्टतः बढ़ते हुए प्रतिबंधित फलन का उपयोग करके किया जा सकता है, जो शून्य पर शून्य है, उदा:  <math>d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y))</math> या <math>d''(x, y) = \min(1, d(x, y))</math>।
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 === छद्मितीय स्थान ===
-{{Main|Pseudometric space}}
+{{Main|छद्मितीय स्थान}}
 <math>X</math> पर एक छद्मितीय, एक फलन <math>d: X \times X \to \R</math> है, जो एक मीट्रिक के लिए अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है, इसको छोड़कर कि दूसरे के स्थान पर (अबोधगम्यता की पहचान) केवल <math>d(x,x)=0</math> सभी <math>x</math> के लिए आवश्यक है।{{sfn|Hitzler|Seda|2016|loc=Definition 4.2.1}} दूसरे शब्दों में, छद्ममितीय के लिए अभिगृहीत हैं:
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 कुछ संदर्भों में, छद्मितीय को अर्द्धमीट्रिक{{sfn|Burago|Burago|Ivanov|2001|loc=Definition 1.1.4}} के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि इनका संबंध अर्धमानकों से होता है।
-=== अर्द्धमीट्रिक ===
+=== क्वासीमीट्रिक ===
-कभी-कभी, एक अर्द्धमीट्रिक को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समरूपता के संभावित अपवाद के साथ एक मीट्रिक के लिए सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है।<ref>{{harvtxt|Steen|Seebach|1995}}; {{harvtxt|Smyth|1987}}</ref> इस सामान्यीकरण का नाम पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है।<ref>{{harvtxt|Rolewicz|1987}} calls them "semimetrics". That same term is also frequently used for two other generalizations of metrics.</ref>
+कभी-कभी, एक क्वासीमीट्रिक को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समरूपता के संभावित अपवाद के साथ एक मीट्रिक के लिए सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है।<ref>{{harvtxt|Steen|Seebach|1995}}; {{harvtxt|Smyth|1987}}</ref> इस सामान्यीकरण का नाम पूरी तरह से मानकीकृत नहीं है।<ref>{{harvtxt|Rolewicz|1987}} calls them "semimetrics". That same term is also frequently used for two other generalizations of metrics.</ref>
 # <math>d(x, y) \geq 0</math>
 # <math>d(x,y)=0 \iff x=y </math>
 # <math>d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)</math>
-वास्तविक जीवन में अर्द्धमीट्रिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, पहाड़ी गाँवों का एक समुच्चय {{mvar|X}} दिया गया है, समुच्चय {{mvar|X}} के तत्वों के बीच विशिष्ट चालन समय एक अर्द्धमीट्रिक बनाता है क्योंकि ऊपर की ओर की यात्रा नीचे की यात्रा की तुलना में अधिक समय लेती है। इसका एक और उदाहरण एकल-मार्गीय सड़कों वाले शहर में कार द्वारा की गई यात्रा की लंबाई है: यहाँ, बिंदु {{mvar|A}} से बिंदु {{mvar|B}} तक का सबसे छोटा रास्ता {{mvar|B}} से {{mvar|A}} तक के सबसे छोटे रास्ते की तुलना में सड़कों के एक अलग समुच्चय के साथ जाता है, और इसकी लंबाई भी भिन्न हो सकती है।
+वास्तविक जीवन में क्वासीमीट्रिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, पहाड़ी गाँवों का एक समुच्चय {{mvar|X}} दिया गया है, समुच्चय {{mvar|X}} के तत्वों के बीच विशिष्ट चालन समय एक क्वासीमीट्रिक बनाता है क्योंकि ऊपर की ओर की यात्रा नीचे की यात्रा की तुलना में अधिक समय लेती है। इसका एक और उदाहरण एकल-मार्गीय सड़कों वाले शहर में कार द्वारा की गई यात्रा की लंबाई है: यहाँ, बिंदु {{mvar|A}} से बिंदु {{mvar|B}} तक का सबसे छोटा रास्ता {{mvar|B}} से {{mvar|A}} तक के सबसे छोटे रास्ते की तुलना में सड़कों के एक अलग समुच्चय के साथ जाता है, और इसकी लंबाई भी भिन्न हो सकती है।
-वास्तव में एक अर्धमीट्रिक को निम्नलिखित समायोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:<math display="block">d(x,y)=\begin{cases}
+वास्तव में एक क्वासीमीट्रिक को निम्नलिखित समायोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:<math display="block">d(x,y)=\begin{cases}
 x-y & \text{if }x\geq y,\\
 & \text{otherwise.}
-\end{cases}</math>उदाहरण के लिए, 1 को अनंत या <math>1 + \sqrt{y-x}</math> या {{math|''y''-''x''}} के किसी अन्य उप-योगात्मक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह अर्द्धमीट्रिक धातु की छड़ी को संशोधित करने की लागत का वर्णन करता है: इसके आकार को घिसकर कम करना आसान है, लेकिन इसे बढ़ाना मुश्किल या असंभव है।<br />{{mvar|X}}  पर एक अर्द्धमीट्रिक दिए जाने पर, {{mvar|x}} के चारों ओर एक {{mvar|R}}-गेंद को समुच्चय <math>\{y \in X | d(x,y) \leq R\}</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक मीट्रिक की स्थिति के समान, ऐसी गेंदें {{mvar|X}}  पर एक सांस्थिति के लिए आधार बनाती हैं, लेकिन इस सांस्थिति को मीट्रिक-योग्य होने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, (उत्क्रमित) [[ सोरगेनफ्रे लाइन |सोरगेनफ्रे लाइन]], ऊपर वर्णित वास्तविकताओं पर अर्द्धमीट्रिक द्वारा प्रेरित सांस्थिति है।
+\end{cases}</math>उदाहरण के लिए, 1 को अनंत या <math>1 + \sqrt{y-x}</math> या {{math|''y''-''x''}} के किसी अन्य उप-योगात्मक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह क्वासीमीट्रिक धातु की छड़ी को संशोधित करने की लागत का वर्णन करता है: इसके आकार को घिसकर कम करना आसान है, लेकिन इसे बढ़ाना मुश्किल या असंभव है।<br />{{mvar|X}}  पर एक क्वासीमीट्रिक दिए जाने पर, {{mvar|x}} के चारों ओर एक {{mvar|R}}-गेंद को समुच्चय <math>\{y \in X | d(x,y) \leq R\}</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक मीट्रिक की स्थिति के समान, ऐसी गेंदें {{mvar|X}}  पर एक सांस्थिति के लिए आधार बनाती हैं, लेकिन इस सांस्थिति को मीट्रिक-योग्य होने की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, (उत्क्रमित) [[ सोरगेनफ्रे लाइन |सोरगेनफ्रे लाइन]], ऊपर वर्णित वास्तविकताओं पर क्वासीमीट्रिक द्वारा प्रेरित सांस्थिति है।
 ===मेटामीट्रिक या आंशिक मीट्रिक===
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 यह प्रीमीट्रिक स्थान के [[ सत्ता स्थापित |अधि-समुच्चय]] पर प्रीमीट्रिक को परिभाषित करता है। यदि हम एक (स्यूडोसेमी-) मीट्रिक स्थान से प्रारंभ करते हैं, तो हमें एक स्यूडोसेमीमीट्रिक, अर्थात् एक सममित प्रीमीट्रिक प्राप्त होता है। कोई भी प्रीमीट्रिक एक [[ प्रीक्लोजर ऑपरेटर |प्रीक्लोजर ऑपरेटर]] <math>cl</math> को निम्नानुसार उत्पन्न करता है:
 :<math>cl(A)=\{ x | d(x,A) = 0 \}.</math>
-=== स्यूडोअर्द्धमीट्रिक्स ===
+=== स्यूडोसेमीमीट्रिक ===
-छद्म-, अर्ध- और अर्ध- उपसर्गों को भी जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक स्यूडोअर्द्धमीट्रिक (कभी-कभी हेमिमीट्रिक कहा जाता है) अविवेकी स्वयंसिद्ध और समरूपता स्वयंसिद्ध दोनों को आराम देता है और त्रिकोण असमिका को संतुष्ट करने वाला एक पूर्वमितीय है। स्यूडोअर्द्धमीट्रिक स्थान के लिए ओपन {{Nobr|<math>r</math>-balls}} ओपन समुच्चय का आधार बनते हैं। स्यूडोअर्द्धमीट्रिक स्थान का एक बहुत ही बुनियादी उदाहरण समुच्चय है <math>\{0,1\}</math>} प्रीमीट्रिक के साथ <math>d(0,1) = 1</math> और <math>d(1,0) = 0.</math> संबंधित सांस्थितीय स्थान सीरपिन्स्की स्थान है।
+''स्यूडो-'', ''क्वासी-'' और ''सेमी-'' उपसर्गों को भी जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक स्यूडोसेमीमीट्रिक (कभी-कभी हेमीमीट्रिक) अबोधगम्य अभिगृहीत और समरूपता अभिगृहीत दोनों को शिथिल करता है और त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करने वाला एक प्रीमीट्रिक है। स्यूडोसेमीमीट्रिक स्थान के लिए खुली {{Nobr|<math>r</math>-गेंदें}}, खुले समुच्चय का आधार बनती हैं। स्यूडोसेमीमीट्रिक स्थान का एक बहुत ही मौलिक उदाहरण प्रीमीट्रिक <math>d(0,1) = 1</math> और <math>d(1,0) = 0.</math> के साथ समुच्चय <math>\{0,1\}</math> है, सीरपिन्स्की स्थान, सम्बद्ध सांस्थितीय स्थान है।
-एक विस्तारित स्यूडोअर्द्धमीट्रिक से लैस समुच्चयों का अध्ययन [[ विलियम लॉवेरे |विलियम लॉवेरे]] द्वारा "सामान्यीकृत मीट्रिक रिक्त स्थान" के रूप में किया गया था।<ref>{{harvtxt|Lawvere|1973}}; {{harvtxt|Vickers|2005}}</ref> एक स्पष्ट दृष्टिकोण से, विस्तारित स्यूडोमीट्रिक रिक्त स्थान और विस्तारित छद्म अर्द्धमीट्रिक रिक्त स्थान, उनके संबंधित गैर-विस्तार वाले मानचित्रों के साथ, मीट्रिक स्थान श्रेणियों का सबसे अच्छा व्यवहार किया जाता है। कोई व्यक्ति मनमाने उत्पाद और उत्पाद ले सकता है और दी गई श्रेणी के भीतर भागफल वस्तुएँ बना सकता है। यदि कोई "विस्तारित" छोड़ता है, तो वह केवल परिमित उत्पाद और सह-उत्पाद ले सकता है। यदि कोई "छद्म" छोड़ता है, तो कोई भागफल नहीं ले सकता।
+एक विस्तारित स्यूडोसेमीमीट्रिक से सुसज्जित समुच्चयों का अध्ययन [[ विलियम लॉवेरे |विलियम लॉवेरे]] द्वारा "सामान्यीकृत मीट्रिक स्थान" के रूप में किया गया था।<ref>{{harvtxt|Lawvere|1973}}; {{harvtxt|Vickers|2005}}</ref> एक स्पष्ट दृष्टिकोण से, संबंधित गैर-विस्तार वाले प्रतिचित्रणों के साथ विस्तारित स्यूडोमीट्रिक स्थान और विस्तारित  स्यूडोसेमीमीट्रिक स्थान, मीट्रिक स्थान श्रेणियों के सबसे अच्छे व्यवहार हैं। कोई व्यक्ति स्वेच्छ उत्पाद और सहउत्पाद ले सकता है और दी गई श्रेणी के अन्दर विभाग वस्तुओं का निर्माण कर सकता है। यदि कोई "विस्तारित" को छोड़ता है, तो वह केवल परिमित उत्पाद और सह-उत्पाद ले सकता है। यदि कोई "स्यूडो" को छोड़ता है, तो कोई विभाग नहीं ले सकता है।
-लॉवरे ने  के रूप में ऐसे रिक्त स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। आदेश दिया समुच्चय  एक रूपवाद के साथ एक [[ श्रेणी (गणित) |  (गणित)]] के रूप में देखा जा सकता है  यदि  और कोई अन्यथा नहीं। का उपयोग करते हुए {{math|+}}  के रूप में और 0  के रूप में इस श्रेणी को एक  में बनाता है .
+लॉवरे ने [[ समृद्ध श्रेणी |समृद्ध श्रेणियों]] के रूप में ऐसे स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। क्रमित समुच्चय <math>(\mathbb{R},\geq)</math> को एक रूपवाद <math>a\to b</math> के साथ एक [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी]] के रूप में देखा जा सकता है  यदि <math>a\geq b</math> और कोई नहीं। + को [[ टेंसर उत्पाद |टेंसर गुणनफल]] और 0 को [[ पहचान तत्व |तत्समक तत्व]] के रूप में उपयोग करने से यह श्रेणी एक [[ मोनोइडल श्रेणी |मोनोइडल श्रेणी]] <math>R^*</math> में आ जाती है। प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोसेमी-) मीट्रिक स्थान <math>(M,d)</math> को अब <math>R^*</math> से अधिक समृद्ध एक श्रेणी <math>M^*</math>के रूप में देखा जा सकता है:
-प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोअर्द्ध-)मीट्रिक स्थान  अब एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है  अधिक समृद्ध :
+*{{mvar|M}} के बिंदु, श्रेणी के विषय हैं।
+*अंक {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के प्रत्येक युग्म जैसे कि <math>d(x,y)<\infty</math> के लिए, एक एकल रूपवाद है, जिसे <math>R^*</math> के विषय <math>d(x,y)</math> को प्रदान किया है ।
+*त्रिभुज असमिका और सभी बिंदुओं {{mvar|x}} के लिए तथ्य <math>d(x,x)=0</math> को एक समृद्ध श्रेणी में रचना और पहचान के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है।
+*चूंकि <math>R^*</math> एक पोसेट है, इसलिए एक समृद्ध श्रेणी के लिए आवश्यक सभी [[ आरेख (श्रेणी सिद्धांत) |आरेखों]] की गणना स्वचालित रूप से की जा सकती है।
-लॉवरे ने [[ समृद्ध श्रेणी |समृद्ध श्रेणियों]] के रूप में ऐसे रिक्त स्थान की वैकल्पिक परिभाषा भी दी। आदेशित समुच्चय <math>(\mathbb{R},\geq)</math> को एक रूपवाद के साथ एक [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी]] के रूप में देखा जा सकता है <math>a\to b</math> यदि <math>a\geq b</math> और कोई नहीं। + को [[ टेंसर उत्पाद |टेंसर उत्पाद]] के रूप में और 0 को [[ पहचान तत्व |तत्समक तत्व]] के रूप में उपयोग करने से यह श्रेणी एक [[ मोनोइडल श्रेणी |मोनोइडल श्रेणी]] में आ जाती है <math>R^*</math>। प्रत्येक (विस्तारित स्यूडोअर्द्ध-) मीट्रिक स्थान <math>(M,d)</math> को अब एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है <math>M^*</math> से अधिक समृद्ध <math>R^*</math>:
+=== बहुसमुच्चयों पर मीट्रिक ===
-*श्रेणी की वस्तुएं {{mvar|M}} के बिंदु हैं।
-*अंक {{mvar|x}} और {{mvar|y}} की प्रत्येक जोड़ी के लिए जैसे कि <math>d(x,y)<\infty</math>, एक एकल रूपवाद है जिसे ऑब्जेक्ट सौंपा गया है <math>d(x,y)</math> <math>R^*</math> का।
-*त्रिभुज असमिका और तथ्य यह है कि <math>d(x,x)=0</math> सभी बिंदुओं के लिए {{mvar|x}} एक समृद्ध श्रेणी में रचना और पहचान के गुणों से प्राप्त होता है।
-*चूंकि <math>R^*</math> एक पोसमुच्चय है, इसलिए एक समृद्ध श्रेणी के लिए आवश्यक सभी [[ आरेख (श्रेणी सिद्धांत) |आरेख]] स्वचालित रूप से कम्यूट हो जाते हैं।
-=== बहुसमुच्चयों पर मीट्रिक्स ===
 एक मीट्रिक की धारणा को दो तत्वों के बीच की दूरी से तत्वों के एक बहुसमुच्चय को प्रदान की गई संख्या तक सामान्यीकृत किया जा सकता है। बहुसमुच्चय, एक समुच्चय की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें एक तत्व एक से अधिक बार उपस्थित हो सकता है। बहुसमुच्चय संघ <math>U=XY</math> को निम्नानुसार परिभाषित करें: यदि कोई तत्व {{mvar|x}}, {{mvar|X}} में {{mvar|m}} बार और {{mvar|Y}} में {{mvar|n}} बार आता है, तो यह {{mvar|U}} में {{math|''m'' + ''n''}} बार आता है। एक समुच्चय {{mvar|M}} के तत्वों के अरिक्त परिमित बहुसमुच्चयों के एक समुच्चय पर एक फलन <math>{{d}}</math>, एक मीट्रिक है{{sfn|Vitányi|2011}} यदि
 # <math>d(X)=0</math> यदि {{mvar|X}} के सभी तत्व बराबर हैं और <math>d(X) > 0</math> अन्यथा ([[ सकारात्मक निश्चितता |धनात्मक निश्चितता]])
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 ==उद्धरण==
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 ==संदर्भ==
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 * {{mathworld|urlname=ProductMetric|title=Product Metric}}
 == बाहरी संबंध ==
 * {{Springer |title=Metric space |id=p/m063680}}
 * [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/far_near.shtml Far and near &mdash; several examples of distance functions] at [[cut-the-knot]].
-{{Topology}}
-{{Authority control}}
-<!-- content dump from [[metric (mathematics)]], to be merged in gradually -->
+[[Category:AC with 0 elements]]
-<!--
+[[Category:All articles to be expanded]]
+[[Category:Articles to be expanded from August 2011]]
-A metric is called an [[ultrametric space|ultrametric]] if it satisfies the following stronger version of the ''triangle inequality'' for all <math>x,y,z\in X</math>:
+[[Category:Articles using small message boxes]]
-:<math>d(x, y) \leq \max \{ d(x, z), d(y, z) \}.</math>
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
-A metric ''<math>d</math>'' on a group ''<math>G</math>'' (written multiplicatively) is said to be {{em|left-invariant}} (resp. {{em|right-invariant}}) if for all <math>x, y, z \in G</math>
+[[Category:Articles with short description]]
-:<math>d(zx, zy) = d(x, y)</math> [resp. <math>d(xz,yz)=d(x,y)</math>].
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
-A metric <math>d</math> on a commutative additive group <math>X</math> is said to be {{em|translation invariant}} if for all <math>x,y,z\in X</math>
+[[Category:CS1 maint]]
-:<math>d(x, y) = d(x + z, y + z),</math>or equivalently <math>d(x, y) = d(x - y, 0).</math>
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
-== Examples ==
+[[Category:Collapse templates]]
-* The [[normed space]] <math>(\R, {|\cdot |})</math> is a [[Banach space]] where the absolute value is a [[Norm (mathematics)|norm]] on the real line <math>\R</math> that induces the usual [[Euclidean topology]] on <math>\R.</math> Define a metric <math>d : \R \times \R \to \R</math> on <math>\R</math> by <math>d(x, y) = {|\arctan(x) - \arctan(y)|}</math> for all <math>x,y\in\R.</math> Just like {{nowrap|<math>{|\cdot |}</math>{{hsp}}'s}} induced metric, the metric <math>d</math> also induces the usual Euclidean topology on <math>\R</math>. However, <math>d</math> is not a complete metric because the sequence <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> defined by <math>x_i := i</math> is a [[Cauchy sequence|{{nobr|<math>d</math>‑Cauchy}} sequence]] but it does not converge to any point of <math>\R</math>. As a consequence of not converging, this {{nobr|<math>d</math>-Cauchy}} sequence cannot be a Cauchy sequence in <math>(\R, {|\cdot |})</math> (i.e. it is not a Cauchy sequence with respect to the norm <math>{\|\cdot \|}</math>) because if it was {{nowrap|<math>| \cdot |</math>-Cauchy,}} then the fact that <math>(\R, {|\cdot |})</math> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}
+[[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
-== Equivalence of metrics ==
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
-For a given set ''X'', two metrics <math>d_1</math> and <math>d_2</math> are called ''topologically equivalent'' (''uniformly equivalent'') if the identity mapping
+[[Category:Pages with script errors]]
-:<math>{\rm id}: (X,d_1)\to (X,d_2)</math>
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
-is a [[homeomorphism]] ([[uniform isomorphism]]).
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
-For example, if <math>d</math> is a metric, then <math>\min (d, 1)</math> and <math>\frac{d}{1+d}</math> are metrics equivalent to <math>d.</math>
+[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module]]
+[[Category:Templates generating COinS|Cite web]]
-{{See also|Metric space#Notions of metric space equivalence}}
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
-== See also ==
+[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]]
-*[[Acoustic metric]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
-*[[Complete metric]]
+[[Category:Webarchive template wayback links]]
-*[[Similarity measure]]
+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]]
-*[[Signed distance function]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
-== Notes ==
-{{reflist|30em}}
-== References ==
-{{refbegin|30em}}
-*{{citation
- | last = Čech | first = Eduard | author-link = Eduard Čech
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- | year = 2002}}; reprinted with added commentary from {{citation
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--->
-[[Category:मीट्रिक स्पेस| ]]
 [[Category:गणितीय विश्लेषण]]
 [[Category:गणितीय संरचनाएं]]
-[[Category: टोपोलॉजी]]
+[[Category:टोपोलॉजिकल स्पेस]]
-[[Category: टोपोलॉजिकल स्पेस]]
+[[Category:टोपोलॉजी]]
-[[Category: यूनिफ़ॉर्म स्पेस]]
+[[Category:मीट्रिक स्पेस| ]]
+[[Category:यूनिफ़ॉर्म स्पेस]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
-[[Category:Created On 10/11/2022]]

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