सोबोलेव स्पेस

गणित में एक सोबोलिव स्पेस एक वेक्टर स्पेस से प्रतिबंधित फलनों का सदिश स्थान है। यह किसी दिए गए क्रम तक इसके डेरिवेटिव के साथ फलनों के Lp-मापदंडों का संयोजन है। स्पेस को पूर्ण मीट्रिक स्थान बनाने के लिए डेरिवेटिव्स को एक उपयुक्त अशक्त व्युत्पन्न माना जाता है, अर्थात् एक बनैच स्थान सहज रूप से एक सोबोलेव स्पेस कुछ एप्लिकेशन डोमेन के लिए पर्याप्त डेरिवेटिव वाले फलनों का एक स्थान है। जैसे आंशिक अंतर समीकरण और एक मानक से पूर्णतयः प्रतिबंधित है। जो फलन के आकार और नियमितता दोनों को मापता है।

सोबोलेव रिक्त स्थान का नाम रूसी गणितज्ञ सर्गेई लावोविच सोबोलेव के नाम पर रखा गया है। उनका महत्व इस तथ्य से प्रदर्शित किया जाता है कि कुछ महत्वपूर्ण एवं आंशिक अंतर समीकरणों का अशक्त हल उचित सोबोलिव रिक्त स्थान में उपस्थित है। तथापि मौलिक अर्थों में डेरिवेटिव्स के साथ निरंतर फलनों के रिक्त स्थान में कोई शक्तिशाली हल नहीे प्राप्त हुआ है।

मोटीवेशन

इस खंड में और पूरे लेख में, $\mathbb {R} ^{n}.$ का खुला उपसमुच्चय $\Omega$ है।

गणितीय फलनों की सरलता के लिए कई मापदंड उपस्थित हैं। सबसे मूलभूत मापदंड निरंतर फलन करने का हो सकता है। स्मूथनेस की एक शक्तिशाली धारणा भिन्नता की है (क्योंकि विभिन्न प्रकार के फलन भी निरंतर हैं) और स्मूथनेस की एक और शक्तिशाली धारणा यह है कि व्युत्पन्न भी निरंतर हो (इन फलनों को कक्षा $C^{1}$ के रूप में कहा जाता है - विभेदीकरण वर्ग देखें)। अवकलनीय फलन कई क्षेत्रों में और विशेष रूप से अवकल समीकरणों के लिए महत्वपूर्ण हैं। चूंकि बीसवीं शताब्दी में यह देखा गया था कि स्पेस $C^{1}$ (या $C^{2}$ आदि) अंतर समीकरणों के हल का अध्ययन करने के लिए बिल्कुल सही स्थान नहीं था। सोबोलेव रिक्त स्थान इन स्थानों के लिए आधुनिक प्रतिस्थापन हैं। जिसमें आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान की जानकारी की जाती है।

अंतर समीकरण के अंतर्निहित मॉडल की मात्रा या गुण सामान्यतः अभिन्न मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण 𝐿 2 -नॉर्मड द्वारा तापमान या वेग वितरण की ऊर्जा को माप रहा है। इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि Lp स्पेस फलन को विभेदित करने के लिए एक टूल विकसित किया जाए।

$u\in C^{k}(\Omega )$भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण से प्रत्येक के लिए यह प्राप्त होता है। जहाँ $k$ एक प्राकृतिक संख्या को दर्शाता है और कॉम्पैक्ट समर्थन $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$ के साथ सभी असीमित विभिन्न प्रकार फलनों के लिए-

$\int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,$

जहाँ $\alpha$ आदेश का एक बहु-सूचकांक है। $|\alpha |=k$ और हम नोटेशन का उपयोग कर रहे हैं:

$D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$

इस समीकरण का बायां पक्ष अभी भी समझ में आता है। यदि स्थानीय रूप से एकीकृत होने के लिए हम केवल मान $u$ लें। यदि कोई स्थानीय रूप से एकीकृत फलन $v$ उपस्थित है। ऐसा है कि-

$\int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }v\,\varphi \;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$

फिर हम $v$ अशक्त व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न $u$ प्रदर्शित करते हैं। यदि कोई अशक्त आंशिक व्युत्पन्न $u$ है। तब इसे लगभग प्रत्येक स्थान पर विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार यह विशिष्ट रूप से Lp स्थान के एक तत्व के रूप में निर्धारित होता है। उसी प्रकार दूसरी ओर यदि $u\in C^{k}(\Omega )$ है। तब मौलिक और अशक्त व्युत्पन्न मिलते हैं। इस प्रकार यदि $v$ एक अशक्त आंशिक व्युत्पन्न $u$ है। हम इसे $D^{\alpha }u:=v$ द्वारा निरूपित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए फलन-

$u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

शून्य पर निरंतर नहीं है और -1, 0, या 1 पर अवकलनीय नहीं है। फिर भी फलन

$v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

$u(x),$ के अशक्त व्युत्पन्न होने की परिभाषा को पूर्णरूप से संतुष्ट करता है। जो उस समय सोबोलिव स्पेस $W^{1,p}$ में होने के योग्य है। (किसी भी अनुमति के लिए $p$ नीचे परिभाषा देखें)।

सोबोलेव रिक्त स्थान $W^{}$