मोनोइडल श्रेणी

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गणित में, मोनोइडल श्रेणी (या टेन्सर श्रेणी) एक श्रेणी (गणित) $\mathbf {C}$ है जिसमें एक द्विभाजक होता है |

$\otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$

यह प्राकृतिक समरूपता के लिए साहचर्य है, और वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) जो ⊗ के लिए बाईं पहचान और सही पहचान दोनों है, फिर से प्राकृतिक समरूपता तक संबंधित प्राकृतिक समरूपता कुछ सुसंगत स्थितियों के अधीन हैं, जो यह सुनिश्चित करती हैं कि सभी प्रासंगिक आरेख (श्रेणी सिद्धांत) क्रमविनिमेय आरेख हैं।

साधारण टेन्सर उत्पाद सदिश स्थान, एबेलियन समूह, मॉड्यूल (गणित) R-मॉड्यूल, या बीजगणित (रिंग सिद्धांत) R-बीजगणित को मोनोइडल श्रेणियों में बनाता है। मोनोइडल श्रेणियों को इन और अन्य उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक (छोटी श्रेणी) मोनोइडल श्रेणी को अंतर्निहित मोनोइड के वर्गीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है, अर्थात् मोनोइड जिसके तत्व श्रेणी की वस्तुओं के समरूपता वर्ग हैं और जिसका बाइनरी ऑपरेशन श्रेणी के टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है।

एक भिन्न अनुप्रयोग, जिसमें से मोनोइडल श्रेणियों को एक अमूर्त माना जा सकता है, एक प्रकार के कंस्ट्रक्टर टाइप के अनुसार बंद किए गए डेटा प्रकार की एक प्रणाली है जो दो प्रकार लेती है और एक समग्र प्रकार का निर्माण करती है; प्रकार वस्तुएं हैं और $\otimes$ कुल निर्माता है। समरूपता तक की संबद्धता तब यह व्यक्त करने की एक विधि है कि एक ही डेटा को एकत्र करने के विभिन्न विधि—जैसे कि $((a,b),c)$ और $(a,(b,c))$ समान जानकारी संग्रहीत करें तथापि समग्र मान समान न हों। कुल प्रकार जोड़ (प्रकार योग) या गुणन (प्रकार उत्पाद) के संचालन के अनुरूप हो सकता है। प्रकार के उत्पाद के लिए, पहचान वस्तु इकाई है, इसलिए प्रकार का केवल एक ही निवासी है, और यही कारण है कि इसके साथ एक उत्पाद सदैव दूसरे ऑपरेंड के लिए आइसोमोर्फिक होता है। प्रकार योग के लिए, पहचान वस्तु शून्य प्रकार है, जो कोई जानकारी संग्रहीत नहीं करता है और एक निवासी को संबोधित करना असंभव है। मोनोइडल श्रेणी की अवधारणा यह नहीं मानती है कि ऐसे कुल प्रकारों के मूल्यों को अलग किया जा सकता है; इसके विपरीत, यह एक ऐसा प्रकार प्रदान करता है जो मौलिक और क्वांटम सूचना सिद्धांत को एकीकृत करता है।

श्रेणी सिद्धांत में, मोनोइडल श्रेणियों का उपयोग मोनॉइड वस्तु की अवधारणा को परिभाषित करने और श्रेणी की वस्तुओं पर संबंधित कार्रवाई के लिए किया जा सकता है। उनका उपयोग समृद्ध श्रेणी की परिभाषा में भी किया जाता है।

मोनोइडल श्रेणियों में उचित श्रेणी सिद्धांत के बाहर कई अनुप्रयोग हैं। वे अंतर्ज्ञानवादी तर्क रैखिक तर्क के गुणात्मक खंड के लिए मॉडल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे संघनित पदार्थ भौतिकी में सामयिक क्रम के लिए गणितीय आधार भी बनाते हैं। लट मोनोइडल श्रेणी में क्वांटम सूचना, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं।

औपचारिक परिभाषा

एक मोनोइडल श्रेणी एक श्रेणी $\mathbf {C}$ है जो एक मोनोइडल संरचना से सुसज्जित है। एक मोनोइडल संरचना में निम्न सम्मिलित हैं:

• द्विभाजक $\otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ मोनोइडल उत्पाद या टेंसर उत्पाद, कहा जाता है |,
• वस्तु $I$ मोनोइडल इकाई इकाई वस्तु, या पहचान वस्तु, कहा जाता है, |
• तीन प्राकृतिक समरूपताएं कुछ सुसंगत स्थितियों के अधीन हैं जो इस तथ्य को व्यक्त करती हैं कि टेन्सर ऑपरेशन:
  • साहचर्य है: प्राकृतिक (तीन तर्कों में से प्रत्येक में $A$, $B$, $C$) समरूपता $\alpha$, घटकों $\alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C$ के साथ सहयोगी कहा जाता है |
  • $I$ बाएँ और दाएँ पहचान के रूप में है: दो प्राकृतिक समरूपताएँ हैं $\lambda$ और $\rho$ घटकों के साथ क्रमशः बाएं और दाएं एकक कहा जाता है जिसमें घटक $\lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A$ और $\rho _{A}\colon A\otimes I\cong A$.हैं |

ध्यान दें कि $\lambda$ और $\rho$ कैसे याद करने की अच्छी विधि है अधिनियम अनुप्रास द्वारा है; लैम्ब्डा, $\lambda$, बाईं ओर की पहचान को रद्द कर देता है, जबकि Rho, $\rho$, दाईं ओर की पहचान को रद्द करता है।

इन प्राकृतिक परिवर्तनों के लिए सुसंगतता की शर्तें हैं:

• सभी के लिए $A$, $B$, $C$ और $D$ में $\mathbf {C}$, पेंटागन आरेख (श्रेणी सिद्धांत) है |

: क्रमविनिमेय आरेख;

• सभी के लिए $A$ और $B$ में $\mathbf {C}$, त्रिभुज आरेख है |

: आवागमन सख्त मोनोइडल श्रेणी वह है जिसके लिए प्राकृतिक समरूपता α, λ और ρ पहचान हैं। प्रत्येक मोनोइडल श्रेणी सख्त मोनोइडल श्रेणी के लिए श्रेणियों की मोनोइडली तुल्यता है।

उदाहरण

• परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के साथ किसी भी श्रेणी को उत्पाद के साथ मोनोइडल उत्पाद और टर्मिनल वस्तु को इकाई के रूप में माना जा सकता है। ऐसी श्रेणी को कभी-कभी कार्तीय मोनोइडल श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए:
  • समुच्चय, कार्टेशियन उत्पाद के साथ समुच्चय की श्रेणी, इकाई के रूप में सेवारत कोई विशेष तत्व समुच्चय है।
  • कैट, उत्पाद श्रेणी के साथ छोटी श्रेणियों की श्रेणी, जहां वस्तु वाली श्रेणी और केवल उसका पहचान मानचित्र इकाई है।
• द्वय रूप से, परिमित सह-उत्पादों वाली कोई भी श्रेणी मोनोइडल उत्पाद के रूप में सह-उत्पाद और इकाई के रूप में प्रारंभिक वस्तु के साथ मोनोइडल है। ऐसी मोनोइडल श्रेणी को कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी जाता है |
• R-मॉड, क्रमविनिमेय रिंग R पर मॉड्यूल की श्रेणी, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के साथ मोनोइडल श्रेणी है | ⊗_R इकाई मोनोइडल उत्पाद के रूप में सेवा करने वाले और रिंग R (स्वयं पर मॉड्यूल के रूप में माना जाता है) इकाई के रूप में सेवारत है। विशेष स्थितियों के रूप में किसी के पास है:|
  • K-वेक्ट', क्षेत्र (गणित) के पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी, इकाई के रूप में कार्यरत एक-आयामी सदिश अंतरिक्ष के साथ है।
  • 'AB', एबेलियन समूहों की श्रेणी, इकाई के रूप में कार्यरत पूर्णांक 'जेड' के समूह के साथ है।
• किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, R-बीजगणित की श्रेणी मोनोइडल है जिसमें बीजगणित का टेन्सर उत्पाद उत्पाद के रूप में और R इकाई के रूप में है।
• पॉइंटेड स्पेस की श्रेणी (उदाहरण के लिए कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्पेस तक सीमित) उत्पाद के रूप में सेवारत स्मैश उत्पाद के साथ मोनोइडल है और इकाई के रूप में सेवारत 0-गोले (एक दो-बिंदु असतत स्थान) है।
• श्रेणी 'c' पर सभी एंडोफंक्टर की श्रेणी उत्पाद के रूप में फ़ैक्टरों की संरचना और इकाई के रूप में पहचान फ़ैक्टर के साथ सख्त मोनोइडल श्रेणी है।
• किसी भी श्रेणी 'E' की तरह, उपश्रेणी एंबेडिंग किसी दिए गए ऑब्जेक्ट द्वारा फैली हुई मोनोइड है,| यह स्थिति है कि किसी भी 2-श्रेणी 'E' के लिए, और OB ('E') में कोई ऑब्जेक्ट 'c' , {'c'} द्वारा फैला 'E' की पूर्ण 2-उपश्रेणी मोनोइडल श्रेणी है। इस स्थिति में 'E' = Cat, हमें एंडोफंक्टर का उदाहरण ऊपर मिलता है।
• अर्ध-जाली बाउंड-एव मीट सेमीलैटिस सख्त सममित मोनोइडल श्रेणी हैं तोड़ उत्पाद मीट है और आइडेंटिटी टॉप एलिमेंट है।
• कोई साधारण मोनोइड $(M,\cdot ,1)$ ऑब्जेक्ट समुच्चय के साथ छोटा मोनोइडल $M$ वर्ग है | आकारिकी के लिए केवल तत्समक$\cdot$ टेंसरप्रोडक्ट के रूप में और $1$ इसकी पहचान वस्तु के रूप में इसके विपरीत, मोनोइडल श्रेणी के समरूपता वर्गों (यदि ऐसी कोई बात समझ में आती है) का समुच्चय मोनोइड w.r.t टेंसर उत्पाद है।
• कोई क्रमविनिमेय मोनॉइड $(M,\cdot ,1)$ एकल वस्तु के साथ मोनोइडल श्रेणी के रूप में महसूस किया जा सकता है। याद रखें कि एकल वस्तु वाली श्रेणी साधारण मोनोइड के समान है। एकमैन-हिल्टन तर्क द्वारा, और मोनोइडल उत्पाद जोड़ना $M$ उत्पाद को क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता है।

मोनॉयडल प्रीऑर्डर

मोनोइडल प्रीऑर्डर्स, जिन्हें प्रीऑर्डरेड मोनोइड्स के रूप में भी जाना जाता है, मोनोइडल श्रेणियों के विशेष स्थिति हैं। इस प्रकार की संरचना अर्ध-थू प्रणाली के सिद्धांत में आती है, किन्तु यह शुद्ध गणित में भी प्रचुर मात्रा में है। उदाहरण के लिए, समुच्चय $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याओं में मोनोइड उदाहरण (+ और 0 का उपयोग करके) और प्रीऑर्डर उदाहरण (≤ का उपयोग करके) दोनों होते हैं, जो मूल रूप से मोनोइडल प्रीऑर्डर बनाते हैं और $m\leq n$ और $m'\leq n'$ का तात्पर्य $m+m'\leq n+n'$.से है अब हम सामान्य स्थिति प्रस्तुत करते हैं।

यह सर्वविदित है कि पूर्व आदेश को श्रेणी सी के रूप में माना जा सकता है, जैसे कि प्रत्येक दो वस्तुओं के लिए $c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$, अधिकतम रूपवाद $c\to c'$ c में उपस्थित है । यदि c से c तक आकारिकी होती है, तो हम लिख