सामान्यीकृत मीट्रिक

गणित में, सामान्यीकृत मीट्रिक (दूरीक) की अवधारणा मीट्रिक का एक सामान्यीकरण है, जिसमें दूरी एक वास्तविक संख्या नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक क्रमित क्षेत्र से ली गई है।

सामान्य रूप से, जब हम दूरीक समष्‍टि को परिभाषित करते हैं तो दूरी फलन को वास्तविक मान फलन (गणित) के रूप में लिया जाता है। वास्तविक संख्याएँ एक क्रमित क्षेत्र बनाती हैं जो आर्किमिडीयन गुण और पूर्ण क्रमित क्षेत्र है। इन दूरीक समष्‍टि में कुछ अच्छे गुण होते हैं जैसे: दूरीक समष्‍टि में सुसंहिति, अनुक्रमिक सुसंहिति और गणनीय सुसंहिति समतुल्य आदि हैं। हालांकि, ये गुण इतनी आसानी से प्रग्रहण नहीं हो सकते हैं, यदि दूरी फलन $\scriptstyle \mathbb {R}$ के अतिरिक्त यादृच्छिक क्रमित क्षेत्र में लिया जाता है।

प्रारंभिक परिभाषा

मान लीजिए कि $(F,+,\cdot ,<)$ यादृच्छिक क्रमित क्षेत्र हो, और $M$ अरिक्त समुच्च्य; एक फलन $d:M\times M\to F^{+}\cup \{0\}$ को $M,$ पर एक मीट्रिक कहा जाता है, यदि निम्न स्थितियाँ हैं

1. $d(x,y)=0$ यदि और केवल यदि $x=y$;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (समरूपता);
3. $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$ (त्रिभुज असमानता)।

यह प्रमाणित करना कठिन नहीं है कि विवृत गोलक $B(x,\delta )\;:=\{y\in M\;:d(x,y)<\delta \}$ एक उपयुक्त संस्थिति के लिए एक आधार बनाती हैं, बाद वाले को दूरीक संस्थिति पर $M$ में $F$ मीट्रिक है।

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि $F$ अपने क्रम में सांस्थिति एकदिष्‍टत: लम्बवत है, हम $M$ से कम से कम नियमित होने की अपेक्षा करेंगे।

अधिक गुण

हालांकि, चयन के अभिगृहित के अंतर्गत, प्रत्येक सांस्थिति एकदिष्‍टत:लम्बवत है, क्योंकि, दिए गए $x\in G,$ जहाँ $G$ विवृत है, वहां एक विवृत गोलक $B(x,\delta )$ है। जैसे कि $x\in B(x,\delta )\subseteq G$ है। एकदिष्‍ट सामान्यता के लिए शर्तों $\mu (x,G)=B\left(x,\delta /2\right)$ को प्रमाणित करें।

आश्चर्य की बात यह है कि, बिना किसी विकल्प के भी, सामान्य मेट्रिक्स एकदिष्‍टत: लम्बवत हैं।

प्रमाण

स्थिति I: $F$ आर्किमिडीयन क्षेत्र है।

अब यदि $x$ में $G,G$ विवृत है, तब हम $\mu (x,G):=B(x,1/2n(x,G)),$ जहाँ $n(x,G):=\min\{n\in \mathbb {N} :B(x,1/n)\subseteq G\},$ और योजना बिना चयन के की जाती है।

स्थिति II: $F$ गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र है।

दिए गए $x\in G$ के लिए जहाँ $G$ विवृत है, सभी के लिए $A(x,G):=\{a\in F:{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,B(x,n\cdot a)\subseteq G\}$ समुच्चय पर विचार करे।

समुच्चय $A(x,G)$ गैर-रिक्त नहीं है। क्योंकि $G$ विवृत है, इसीलिए $B(x,k)$ के अंदर $G$ विवृत गोलक है। ऊपर, इसलिए कुछ $F$ गैर-आर्किमिडीयन है, अतः $\mathbb {N} _{F}$ ऊपर की सीमा मे नहीं है, इसलिए कुछ ऐसा है कि $\xi \in F$ सभी $n\in \mathbb {N} ,$ $n\cdot 1\leq \xi$ के लिए है। अतः $a=k\cdot (2\xi )^{-1}$ हमने देखा कि $a$ में $A(x,G)$ है।

अब $\mu (x,G)=\bigcup \{B(x,a):a\in A(x,G)\}$ परिभाषित करें हम दिखाएंगे कि इस mu संकारक के संबंध में, समष्टि एकदिष्‍टत: लम्बवत है। ध्यान दें कि $\mu (x,G)\subseteq G.$

यदि $y$ मे $G$ नहीं है, (विवृत समुच्चय युक्त $x$) और $x$ मे $H$ नहीं (विवृत समुच्चय युक्त $y$) है, तो हम उसे दिखाएंगे कि $\mu (x,G)\cap \mu (y,H)$ रिक्त है। यदि नहीं, तो कहें कि $z$ प्रतिच्छेदन में है। तब

$$\exists a\in A(x,G)\colon d(x,z)<a;\;\;\exists b\in A(y,H)\colon d(z,y)<b.$$

ऊपर से, हमें अधिकतम $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<2\cdot \max\{a,b\},$ प्राप्त करते हैं जो असंभव है चूँकि इसका अर्थ यह होगा कि या तो $y$ से $\mu (x,G)\subseteq G$ संबंधित है या $x$ से संबंधित $\mu (y,H)\subseteq H$ है। यह प्रमाण को पूरा करता है।

यह भी देखें

• क्रमित सांस्थितिक प्रदिश समष्टि
• छद्ममितीय समष्टि - गणित में मीट्रिक समष्टि का सामान्यीकरण
• एकसमान समष्टि - समान गुणों की धारणा के साथ सांस्थितिक समष्टि

बाहरी संबंध

• FOM discussion