आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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=== ज्यामिति === | === ज्यामिति === | ||
[[Image:Cone 3d.png|thumb|शंकु का आयतन ऊंचाई और त्रिज्या पर निर्भर करता है]] | [[Image:Cone 3d.png|thumb|शंकु का आयतन ऊंचाई और त्रिज्या पर निर्भर करता है]]सूत्र <math>V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.</math> के अनुसार शंकु [[शंकु (ज्यामिति)|शंकु]] का [[आयतन]] V शंकु की [[ऊँचाई]] h और उसकी [[त्रिज्या]] r पर निर्भर करता है। | ||
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R के संबंध में V का आंशिक अवकलज | |||
:<math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math> | :<math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math> | ||
जो उस दर का | है जो उस दर का दर्शाता है जिसके साथ शंकु का आयतन बदलता है यदि इसकी त्रिज्या भिन्न होती है और इसकी ऊंचाई स्थिर रहती है। <math>h</math> के संबंध में आंशिक अवकलज <math>\frac{\pi r^2}{3},</math> के बराबर है, जो उस दर का दर्शाता है जिसके साथ मात्रा बदलती है यदि इसकी ऊंचाई भिन्न होती है और इसकी त्रिज्या स्थिर रहती है। | ||
इसके विपरीत, r और h के संबंध में V का कुल अवकलज क्रमशः | इसके विपरीत, r और h के संबंध में V का कुल अवकलज क्रमशः | ||
:<math>\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}</math> | :<math>\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}</math> | ||
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:<math>\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}</math> | :<math>\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}</math> | ||
कुल और आंशिक अवकलज के बीच का अंतर आंशिक अवकलज में चर के बीच अप्रत्यक्ष निर्भरता का उन्मूलन है। | है। कुल और आंशिक अवकलज के बीच का अंतर आंशिक अवकलज में चर के बीच अप्रत्यक्ष निर्भरता का उन्मूलन है। | ||
यदि (किसी यादृच्छिक कारण से) शंकु का अनुपात समान रहना है, तथा ऊंचाई और त्रिज्या एक निश्चित अनुपात k, | |||
:<math>k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.</math> | :<math>k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.</math> | ||
यह आर के संबंध में कुल अवकलज देता है: | में हैं। यह आर के संबंध में कुल अवकलज देता है: | ||
:<math>\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k</math> | :<math>\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k</math> | ||
Revision as of 07:10, 27 July 2023
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,
आंशिक अवकलज को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने इसका उपयोग आंशिक अंतर के लिए किया था। आधुनिक आंशिक अवकलज संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया, तब