आंशिक अवकलज: Difference between revisions
| Line 124: | Line 124: | ||
: <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math> | : <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math> | ||
या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक <math>x_1, \ldots, x_n</math> और | या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक <math>x_1, \ldots, x_n</math> और एकांक सदिश <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math> के साथ n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> के लिए, | ||
: <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math> | : <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math> | ||
== दिक् अवकलज == | == दिक् अवकलज == | ||
[[File:Directional derivative contour plot.svg|thumb| | [[File:Directional derivative contour plot.svg|thumb|1 का एक समोच्च प्लॉट, काले रंग में ग्रेडिएंट वेक्टर दिखा रहा है, और यूनिट वेक्टर 2 को नारंगी रंग में 3 की दिशा में दिशात्मक व्युत्पन्न द्वारा स्केल किया गया है। ग्रेडिएंट वेक्टर लंबा होता है क्योंकि ग्रेडिएंट किसी फ़ंक्शन की वृद्धि की सबसे बड़ी दर की दिशा में इंगित करता है।]] | ||
====== यह खंड दिशात्मक व्युत्पन्न § परिभाषा से एक अंश है। ====== | ====== यह खंड दिशात्मक व्युत्पन्न § परिभाषा से एक अंश है। ====== | ||
एक सदिश <math>{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}</math> के साथ एक [[अदिश फलन]] <math>{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}</math> का दिक् अवकलज [[सीमा]] <math>{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}</math> द्वारा परिभाषित [[फलन]] <math>{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} </math> है। | |||
यह परिभाषा संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में मान्य है, उदाहरण के लिए जहां एक सदिश (और इसलिए एक एकांक सदिश) का [[मानदंड]] अपरिभाषित है। | |||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
Revision as of 05:29, 27 July 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
| पथरी |
|---|
गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,
आंशिक अवकलज को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने इसका उपयोग आंशिक अंतर के लिए किया था। आधुनिक आंशिक अवकलज संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया, तब कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने 1841 में प्रतीक को फिर से प्रस्तुत किया।[1]
परिभाषा
सामान्य अवकलज की तरह, आंशिक अवकलज को एक