आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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{\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | {\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | |||
उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | |||
== प्रवणता == | == प्रवणता == | ||
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को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की [[प्रवणता]] कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, [[ढाल|प्रवणता]] एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है। | को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की [[प्रवणता]] कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, [[ढाल|प्रवणता]] एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है। | ||
अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को | [[अंकन]] का एक सामान्य [[दुरुपयोग]] डेल [[ऑपरेटर|संचालक]] (∇) को इस प्रकार परिभाषित करना है, जो [[यूनिट वैक्टर|एकांक सदिश]] <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math> के साथ त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] <math>\R^3</math>में निम्नानुसार है, | ||
: <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math> | : <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math> | ||
या, अधिक आम तौर पर, | या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक <math>x_1, \ldots, x_n</math> और इकाई सदिश <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math> के साथ n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> के लिए, | ||
: <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math> | : <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math> | ||
== दिशात्मक अवकलज == | == दिशात्मक अवकलज == | ||
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Revision as of 05:14, 27 July 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
,, , , , , or .
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,
आंशिक अवकलज को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने इसका उपयोग आंशिक अंतर के लिए किया था। आधुनिक आंशिक अवकलज संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया, तब