आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | ||
== | == प्रवणता == | ||
{{Main| | {{Main|प्रवणता}} | ||
कई चरों | |||
कई चरों वाले फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि <math>\R^n</math> (e.g., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>) में एक प्रक्षेत्र पर [[अदिश-मूल्यवान समारोह|अदिश-मूल्यवान फलन]] f(x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>) की स्थिति है। इस स्थिति में f में प्रत्येक चर x<sub>''j''</sub> के संबंध में आंशिक अवकलज ∂f/∂x<sub>j</sub> है। बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश | |||
: <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math> | : <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math> | ||
इस सदिश को a पर f | को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की [[प्रवणता]] कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, [[ढाल|प्रवणता]] एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है। | ||
अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में निम्नानुसार परिभाषित करना है <math>\R^3</math> [[यूनिट वैक्टर]] के साथ <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math>: | अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में निम्नानुसार परिभाषित करना है <math>\R^3</math> [[यूनिट वैक्टर]] के साथ <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math>: | ||
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इस प्रकार फलनो का सेट <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, चर x, y में फलनो के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज का उत्पादन कर सकता था <math>2x + y</math>. | इस प्रकार फलनो का सेट <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, चर x, y में फलनो के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज का उत्पादन कर सकता था <math>2x + y</math>. | ||
यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, | यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो एंटीअवकलज्स को उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से एक स्थिरांक तक मूल फलन को फिर से बनाने के लिए मिलान किया जा सकता है। एकल-चर स्थिति के विपरीत, हालांकि, फलन का प्रत्येक सेट एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का सेट नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश फ़ील्ड [[रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र|रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र]] नहीं है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
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=== छवि का आकार बदलना === | === छवि का आकार बदलना === | ||
आंशिक अवकलज लक्ष्य-जागरूक छवि आकार बदलने वाले एल्गोरिदम के लिए महत्वपूर्ण हैं। व्यापक रूप से सीम नक्काशी के रूप में जाना जाता है, इन एल्गोरिदम को ऑर्थोगोनल आसन्न पिक्सल के खिलाफ उनकी असमानता का वर्णन करने के लिए एक छवि में प्रत्येक [[पिक्सेल]] को एक संख्यात्मक 'ऊर्जा' निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। [[कलन विधि]] फिर सबसे कम ऊर्जा वाली पंक्तियों या स्तंभों को उत्तरोत्तर हटाता है। एक पिक्सेल की ऊर्जा (पिक्सेल पर | आंशिक अवकलज लक्ष्य-जागरूक छवि आकार बदलने वाले एल्गोरिदम के लिए महत्वपूर्ण हैं। व्यापक रूप से सीम नक्काशी के रूप में जाना जाता है, इन एल्गोरिदम को ऑर्थोगोनल आसन्न पिक्सल के खिलाफ उनकी असमानता का वर्णन करने के लिए एक छवि में प्रत्येक [[पिक्सेल]] को एक संख्यात्मक 'ऊर्जा' निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। [[कलन विधि]] फिर सबसे कम ऊर्जा वाली पंक्तियों या स्तंभों को उत्तरोत्तर हटाता है। एक पिक्सेल की ऊर्जा (पिक्सेल पर प्रवणता का परिमाण) निर्धारित करने के लिए स्थापित सूत्र आंशिक अवकलज के निर्माण पर बहुत अधिक निर्भर करता है। | ||
=== अर्थशास्त्र === | === अर्थशास्त्र === | ||
Revision as of 05:02, 27 July 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
,, , , , , or .
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,