आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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आंशिक अवकलज <math> | आंशिक अवकलज <math> | ||
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} </math> को <math>U</math> पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे '''मिश्रित आंशिक अवकलज''' कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो <math>f </math> को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) <math> | {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} </math> को <math>U</math> पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे '''मिश्रित आंशिक अवकलज''' कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो <math>f </math> को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) <math> | ||
\mathbb {C} ^{2}</math> फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]]य द्वारा किया जा सकता है, | \mathbb {C} ^{2}</math> फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]][[य]] द्वारा किया जा सकता है, | ||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}</math> | <math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}</math> | ||
उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, आंशिक अवकलज (फलन) का <math> | == संकेतन == | ||
अधिक जानकारी, [[∂]] | |||
निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, मान लीजिए कि x, y और z में f एक फलन है। | |||
प्रथम-क्रम आंशिक अवकलज | |||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}</math> | |||
दूसरे क्रम का आंशिक अवकलज, | |||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.} | |||
</math> | |||
दूसरे क्रम के [[मिश्रित अवकलज]], | |||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.} | |||
</math> | |||
उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित अवकलज, | |||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.} | |||
</math> | |||
एकाधिक चर वाले फलनो का वितरण करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए कौन से चर स्थिर रखे जा रहे हैं। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज, y और z स्थिरांक रखते हुए, प्रायः <math>{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है। | |||
परंपरागत रूप से, संकेतन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक अवकलज फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन के मूल्य को आंशिक अवकलज प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग करने पर फलन तर्कों को सम्मिलित करके संयोजित किया जाता है। इस प्रकार, फलन के लिए <math>{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}} | |||
</math> जैसे व्यंजक का उपयोग किया जाता है, जबकि बिंदु <math>{\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}</math> पर फलन के मान के लिए <math>{\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}} | |||
</math> का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, यह समझौता तब टूट जाता है जब हम <math>{\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}</math> जैसे बिंदु पर आंशिक अवकलज का मूल्यांकन करना चाहते हैं। ऐसे स्थिति में, लीबनिज़ संकेतन का उपयोग करने के लिए फलन का मूल्यांकन | |||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})} | |||
</math> या | |||
<math>{\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}} | |||
</math> | |||
के रूप में एक भारी तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, इन स्थितियों में, i-वें चर के संबंध में आंशिक अवकलज प्रतीक के रूप में <math>D_{i}</math> के साथ ऑयलर अवकल संचालक संकेतन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोई ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए <math> | |||
{\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}</math>लिखेगा, जबकि व्यंजक <math>{\displaystyle D_{1}f}</math> पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | |||
उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में <math>D_i f</math> का आंशिक अवकलज (फलन) <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math> दर्शाया गया है। अर्थात्, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, [[क्लेराट के प्रमेय]] का तात्पर्य यह है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math>, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है। | |||
== ग्रेडिएंट == | == ग्रेडिएंट == | ||
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बिंदु पर <math>(1, 1)</math>. अर्थात्, का आंशिक अवकलज <math>z</math> इसके संबंध में <math>x</math> पर <math>(1, 1)</math> 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है। | बिंदु पर <math>(1, 1)</math>. अर्थात्, का आंशिक अवकलज <math>z</math> इसके संबंध में <math>x</math> पर <math>(1, 1)</math> 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है। | ||
फलन f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के | फलन f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के फलनो के परिवार के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है: | ||
: <math>f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math> | : <math>f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math> | ||
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== उच्च क्रम आंशिक अवकलज == | == उच्च क्रम आंशिक अवकलज == | ||
दूसरे और उच्च क्रम के आंशिक अवकलज को एकतरफा | दूसरे और उच्च क्रम के आंशिक अवकलज को एकतरफा फलनो के उच्च क्रम के अवकलज के अनुरूप परिभाषित किया गया है। समारोह के लिए <math>f(x, y, ...)</math> एक्स के संबंध में स्वयं का दूसरा आंशिक अवकलज केवल आंशिक अवकलज का आंशिक अवकलज है (दोनों एक्स के संबंध में):<ref>[[Alpha Chiang|Chiang, Alpha C.]] ''Fundamental Methods of Mathematical Economics'', McGraw-Hill, third edition, 1984.</ref>{{rp|316–318}} | ||
:<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math> | :<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math> | ||
x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज लेकर और फिर y के संबंध में परिणाम का आंशिक अवकलज लेकर प्राप्त किया जाता है। | x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज लेकर और फिर y के संबंध में परिणाम का आंशिक अवकलज लेकर प्राप्त किया जाता है। | ||
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:<math>z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).</math> | :<math>z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).</math> | ||
यहाँ, समाकलन का स्थिरांक| एकीकरण का स्थिरांक अब स्थिर नहीं है, बल्कि x को छोड़कर मूल कार्य के सभी चरों का एक कार्य है। इसका कारण यह है कि आंशिक अवकलज लेते समय अन्य सभी चरों को स्थिर माना जाता है, इसलिए कोई भी कार्य जिसमें | यहाँ, समाकलन का स्थिरांक| एकीकरण का स्थिरांक अब स्थिर नहीं है, बल्कि x को छोड़कर मूल कार्य के सभी चरों का एक कार्य है। इसका कारण यह है कि आंशिक अवकलज लेते समय अन्य सभी चरों को स्थिर माना जाता है, इसलिए कोई भी कार्य जिसमें सम्मिलित नहीं होता है <math>x</math> आंशिक अवकलज लेते समय गायब हो जाएगा, और जब हम एंटीअवकलज लेते हैं तो हमें इसका हिसाब देना होगा। इसका प्रतिनिधित्व करने का सबसे सामान्य तरीका यह है कि स्थिरांक अन्य सभी चरों के अज्ञात फलन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस प्रकार | इस प्रकार फलनो का सेट <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, चर x, y में फलनो के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज का उत्पादन कर सकता था <math>2x + y</math>. | ||
यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, ग्रेडिएंट के साथ), तो एंटीअवकलज्स को उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से एक स्थिरांक तक मूल फलन को फिर से बनाने के लिए मिलान किया जा सकता है। एकल-चर स्थिति के विपरीत, हालांकि, फलन का प्रत्येक सेट एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का सेट नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश फ़ील्ड [[रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र|रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र]] नहीं है। | यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, ग्रेडिएंट के साथ), तो एंटीअवकलज्स को उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से एक स्थिरांक तक मूल फलन को फिर से बनाने के लिए मिलान किया जा सकता है। एकल-चर स्थिति के विपरीत, हालांकि, फलन का प्रत्येक सेट एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का सेट नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश फ़ील्ड [[रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र|रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र]] नहीं है। | ||
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=== ऊष्मप्रवैगिकी, क्वांटम यांत्रिकी और [[गणितीय भौतिकी]] === | === ऊष्मप्रवैगिकी, क्वांटम यांत्रिकी और [[गणितीय भौतिकी]] === | ||
आंशिक अवकलज थर्मोडायनामिक समीकरणों जैसे [[गिब्स-डुहेम समीकरण]], क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण के साथ-साथ गणितीय भौतिकी के अन्य समीकरणों में दिखाई देते हैं। यहां आंशिक अवकलज में चर को स्थिर रखा जा सकता है, जो मोल अंश x जैसे सरल चर का अनुपात हो सकता है<sub>i</sub>निम्नलिखित उदाहरण में एक टर्नरी मिश्रण प्रणाली में गिब्स ऊर्जा | आंशिक अवकलज थर्मोडायनामिक समीकरणों जैसे [[गिब्स-डुहेम समीकरण]], क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण के साथ-साथ गणितीय भौतिकी के अन्य समीकरणों में दिखाई देते हैं। यहां आंशिक अवकलज में चर को स्थिर रखा जा सकता है, जो मोल अंश x जैसे सरल चर का अनुपात हो सकता है<sub>i</sub>निम्नलिखित उदाहरण में एक टर्नरी मिश्रण प्रणाली में गिब्स ऊर्जा सम्मिलित है: | ||
:<math>\bar{G_2}= G + (1-x_2) \left(\frac{{\partial G}}{{\partial x_2}}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} </math> | :<math>\bar{G_2}= G + (1-x_2) \left(\frac{{\partial G}}{{\partial x_2}}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} </math> | ||
एक घटक के मोल अंशों को अन्य घटकों के मोल अंश और बाइनरी मोल अनुपात के | एक घटक के मोल अंशों को अन्य घटकों के मोल अंश और बाइनरी मोल अनुपात के फलनो के रूप में व्यक्त करें: | ||
:<math>x_1 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}</math> | :<math>x_1 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}</math> | ||
Revision as of 04:43, 27 July 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
| पथरी |
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में