आंशिक अवकलज: Difference between revisions
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के रूप में परिभाषित किया गया है। भले ही सभी आंशिक अवकलज <math> | के रूप में परिभाषित किया गया है। भले ही सभी आंशिक अवकलज <math> | ||
{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}</math> किसी दिए गए बिंदु <math>a</math> पर उपस्थित हों, लेकिन फलन को वहां [[निरंतर]] होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सभी आंशिक अवकलज <math>a</math> के प्रतिवेश में उपस्थित हैं और वहां निरंतर हैं, तो उस प्रतिवेश में <math>f</math> [[पूरी तरह से अवलकनीय]] है और कुल अवकलज निरंतर है। इस स्थिति में, यह कहा जाता है कि <math>f</math> एक <math> | {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}</math> किसी दिए गए बिंदु <math>a</math> पर उपस्थित हों, लेकिन फलन को वहां [[निरंतर]] होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सभी आंशिक अवकलज <math>a</math> के प्रतिवेश में उपस्थित हैं और वहां निरंतर हैं, तो उस प्रतिवेश में <math>f</math> [[पूरी तरह से अवलकनीय]] है और कुल अवकलज निरंतर है। इस स्थिति में, यह कहा जाता है कि <math>f</math> एक <math> | ||
\mathbb {C} ^{1}</math>फलन है। इसका उपयोग घटकवार तर्क का सावधानीपूर्वक उपयोग करके सदिश मूल्यवान फलनो, <math> | |||
{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}</math> के लिए सामान्यीकरण करने के लिए किया जा सकता है। | |||
आंशिक अवकलज <math> | |||
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} </math> को <math>U</math> पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे '''मिश्रित आंशिक अवकलज''' कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो <math>f </math> को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) <math> | |||
\mathbb {C} ^{2}</math> फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान [[क्लैरौट के प्रमे]]य द्वारा किया जा सकता है, | |||
<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}</math> | |||
उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, आंशिक अवकलज (फलन) का <math>D_i f</math> jवें चर के संबंध में निरूपित किया जाता है <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math>. वह है, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, ताकि वेरिएबल्स को उस क्रम में सूचीबद्ध किया जा सके जिसमें अवकलज लिया जाता है, और इस प्रकार, ऑपरेटरों की संरचना आमतौर पर कैसे नोट की जाती है, इसके विपरीत क्रम में। बेशक, मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय | क्लेराट का प्रमेय का अर्थ है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math> जब तक f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट होती है। | उच्च क्रम के आंशिक अवकलज के लिए, आंशिक अवकलज (फलन) का <math>D_i f</math> jवें चर के संबंध में निरूपित किया जाता है <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math>. वह है, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, ताकि वेरिएबल्स को उस क्रम में सूचीबद्ध किया जा सके जिसमें अवकलज लिया जाता है, और इस प्रकार, ऑपरेटरों की संरचना आमतौर पर कैसे नोट की जाती है, इसके विपरीत क्रम में। बेशक, मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय | क्लेराट का प्रमेय का अर्थ है कि <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math> जब तक f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट होती है। | ||
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== ग्रेडिएंट == | == ग्रेडिएंट == | ||
{{Main|Gradient}} | {{Main|Gradient}} | ||
कई चरों के फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण [[अदिश-मूल्यवान समारोह]] f(x<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>n</sub>) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन पर <math>\R^n</math> (उदा., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>). इस स्थिति में f का आंशिक अवकलज ∂f/∂x है<sub>j</sub>प्रत्येक चर x के संबंध में<sub>''j''</sub>. बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज | कई चरों के फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण [[अदिश-मूल्यवान समारोह]] f(x<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>n</sub>) यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन पर <math>\R^n</math> (उदा., पर <math>\R^2</math> या <math>\R^3</math>). इस स्थिति में f का आंशिक अवकलज ∂f/∂x है<sub>j</sub>प्रत्येक चर x के संबंध में<sub>''j''</sub>. बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश को परिभाषित करते हैं | ||
: <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math> | : <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math> | ||
इस | इस सदिश को a पर f का ग्रेडिएंट कहा जाता है। यदि f किसी डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, तो ग्रेडिएंट एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f है जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) तक ले जाता है। नतीजतन, [[ढाल]] एक सदिश क्षेत्र पैदा करता है। | ||
अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में निम्नानुसार परिभाषित करना है <math>\R^3</math> [[यूनिट वैक्टर]] के साथ <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math>: | अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल [[ऑपरेटर]] (∇) को त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में निम्नानुसार परिभाषित करना है <math>\R^3</math> [[यूनिट वैक्टर]] के साथ <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math>: | ||
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इस प्रकार कार्यों का सेट <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, चर x, y में कार्यों के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज का उत्पादन कर सकता था <math>2x + y</math>. | इस प्रकार कार्यों का सेट <math>x^2 + xy + g(y)</math>, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, चर x, y में कार्यों के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज का उत्पादन कर सकता था <math>2x + y</math>. | ||
यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, ग्रेडिएंट के साथ), तो एंटीअवकलज्स को उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से एक स्थिरांक तक मूल फलन को फिर से बनाने के लिए मिलान किया जा सकता है। एकल-चर स्थिति के विपरीत, हालांकि, फलन का प्रत्येक सेट एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का सेट नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक | यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, ग्रेडिएंट के साथ), तो एंटीअवकलज्स को उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से एक स्थिरांक तक मूल फलन को फिर से बनाने के लिए मिलान किया जा सकता है। एकल-चर स्थिति के विपरीत, हालांकि, फलन का प्रत्येक सेट एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का सेट नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश फ़ील्ड [[रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र|रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र]] नहीं है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
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:<math>\frac{dV}{dh} = \pi r^2</math> | :<math>\frac{dV}{dh} = \pi r^2</math> | ||
इन दो वेरिएबल्स के स्केलर फलन के रूप में इच्छित मात्रा के आर और एच दोनों के संबंध में कुल अवकलज ढाल | इन दो वेरिएबल्स के स्केलर फलन के रूप में इच्छित मात्रा के आर और एच दोनों के संबंध में कुल अवकलज ढाल सदिश द्वारा दिया गया है | ||
:<math>\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right).</math> | :<math>\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right).</math> | ||
Revision as of 04:01, 27 July 2023
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गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
चर के संबंध में का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से
,, , , , , or .
द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।
कभी-कभी, के लिए, के संबंध में का आंशिक अवकलज के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,