अनुरूप समूह

गणित में, किसी आंतरिक गुणांक स्थान का संरूप समूह, समष्टियों में परिवर्तनों का वह समूह होता है जो परिवर्तन के समय कोणों को संरक्षित करता है। अधिक औपचारिक रूप से कहें तो, यह परिवर्तनों का वह समूह है जो समष्टि के संरूप ज्यामिति को संरक्षित करता है।

कई विशिष्ट संरूप समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं:

• संरूपी आयतीय समूह: यदि V द्विघात रूप Q के साथ एक सदिश स्थान है, तो संरूप ऑर्थोगोनल समूह CO(V, Q) V का रैखिक रूपांतरण T का वह समूह है जिसके लिए एक अदिश λ उपलब्ध है। जैसे V में सभी x के लिए :-

  $Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)$

एक निश्चित द्विघातीय रूप के लिए, संरूपी आयतीय समूह, आयतीय समूह के गुणक समूह के समान होता है।

• गोले का संरूप समूह व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह को मोबियस समूह के नाम से भी जाना जाता है।
• यूक्लिडियन समष्टि में Eⁿ, n > 2, संरूप समूह अति क्षेत्र में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है।
• छद्म-यूक्लिडियन समष्टि E^p,q में , संरूप समूह Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z₂ है।

इस प्रकार सभी संरूप समूह ली समूह हैं।

कोण विश्लेषण

यूक्लिडीय ज्यामिति में हम आशा कर सकते हैं कि मानक वृत्ताकार कोण, विशेषणिक होगा, परंतु छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में कोण अतिपरवलयिक भी हो सकता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न संदर्भ संरचना, एक स्थिर संदर्भ के संबंध में भिन्न-भिन्न वेग के लिए, एक अतिपरवलयिक कोण से संबंधित होते हैं। लोरेंत्ज़ बूस्ट का वर्णन करने की एक विधिअतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के मध्य अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे अतिपरवलयिक कोण के संबंध में, संरूप परिवर्तन कोण हैं।

उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने की एक विधि सामान्य जटिल समष्टि के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के चरणों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल समष्टियों द्वारा समर्थित है जहां अंक विभाजित-जटिल संख्याएं या दोहरी संख्याएं अत्यधिक महत्वपूर्ण है। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए रीमैन क्षेत्र, एक कॉम्पैक्ट स्थान की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल समष्टियों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए संघनन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक विषय में संरूप समूह उपयुक्त समष्टि पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संदर्भित किया जाता है।

गणितीय परिभाषा

एक रिमैनियन मैनिफोल्ड $M$ दिए गए संरूप वर्ग $[g]$ के साथ, संरूप समूह ${\text{Conf}}(M)$ तथा संरूप आरेख $M$ का समूह है।

अधिक संक्षेप में कहें तों यह कोण-संरक्षण वाले $M$ मानचित्रों का समूह है। यद्यपि, जब [g] का हस्ताक्षर निश्चित नहीं होता है, तब 'कोण' एक हाइपर-कोण होता है जो संभावित रूप से अविनाशी होता है।

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है।${\text{Conf}}(p,q)$, संबंधी मानक संकुचन से उत्पन्न मेनिफोल्ड का संरूपी समूह है, जो छद्म-यूक्लिडीय समष्टि $\mathbf {E} ^{p,q}$ जिसे कभी-कभी $\mathbb {R} ^{p,q}$ के साथ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के चयन के उपरांत पहचाना जाता है; से उत्पन्न होता है। इस संरूप संघनन का उपयोग करके $S^{p}\times S^{q}$, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड $(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )$ को परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस समूह में व्युत्क्रम ज्यामिति सम्मिलित है क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक आरेखित करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए आरेखित करता है।

कॉन्फ (पी, क्यू)

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए $\mathbb {R} ^{p,q}$, संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार $\{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}$ निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों द्वारा दिया गया है:

$${\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}$$

और अन्य सभी कोष्ठक लुप्त हो रहे हैं। यहाँ $\eta _{\mu \nu }$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक है।

वास्तव में, यह छद्म बीजगणित लोरेंत्ज़ समूह के ली बीजगणित के लिए एक और स्थान और एक और समय आयाम के साथ समरूपी है, जो ${\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$ है, यह सरलता से जांचा जा सकता है कि आयाम सहमत हैं या नहीं। एक स्पष्ट समरूपता प्रदर्शित करने के लिए इसे निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया गया है।

$${\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{+1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}$$

तब यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि जनित्र $J_{ab}$ के साथ $a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q$ लोरेंत्ज़ समूह का पालन बीजगणित संबंध ${\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)$ के रूप में करता है।

दो काल-स्थान आयामों में संरूप समूह

द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि या एक-युग्म-एक आयामी समष्टि-समय के लिए, संरूप समरूपता का स्थान अत्यधिक दीर्घ है। भौतिकी में यह कभी-कभी कहा जाता है कि संरूप समूह अनंत-आयामी है, परंतु यह बिल्कुल सत्य नहीं है, जबकि स्थानीय समरूपता का ली बीजगणित अनंत आयामी है, ये आवश्यक रूप से परिभाषित वैश्विक समरूपता के ली समूह तक विस्तारित नहीं होते हैं।

काल-समय आयाम के लिए $n>2$, स्थानीय संरूप समरूपता सभी वैश्विक समरूपता तक प्रसारित है। $n=2$ के लिए यूक्लिडियन स्थान, एक जटिल समन्वय में परिवर्तन के उपरांत $z=x+iy$ स्थानीय संरूप समरूपता को प्रपत्र के सदिस क्षेत्रों के अनंत आयामी स्थान द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

$$l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.$$

इसलिए द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि की स्थानीय संरूप समरूपता अनंत-आयामी विट बीजगणित के समान है।

स्पेसटाइम का संरूप समूह

1908 में, लिवरपूल विश्वविद्यालय के दो युवा शोधकर्ताओं, हैरी बेटमैन और एबेनेज़र कनिंघम ने स्पेसटाइम के एक संरूप समूह के विचार को सामने रखा। उन्होंने तर्क दिया कि गतिकी समूह अनिवार्य रूप से संरूप हैं क्योंकि वे स्पेसटाइम के द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं और ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के समान हैं, हालांकि एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप के संबंध में। एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की स्वतंत्रता कीनेमेटिक गतियों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तन के लिए स्थानीय रूप से आनुपातिक होने की आवश्यकता है। 1910 में हैरी बेटमैन के पेपर ने एक परिवर्तन के जैकबियन मैट्रिक्स का अध्ययन किया जो प्रकाश शंकु को संरक्षित करता है और यह दर्शाता है कि इसमें संरूप संपत्ति (एक फार्म प्रेज़रवर के समानुपाती) थी। बेटमैन और कनिंघम ने दिखाया कि यह संरूप समूह मैक्सवेल के समीकरणों को संरचनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तनों का सबसे बड़ा समूह है। स्पेसटाइम के संरूप समूह को निरूपित किया गया है C(1,3) इसहाक याग्लोम ने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर|स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स और ड्यूल नंबर्स में स्पेसटाइम कन्फर्मल ट्रांसफॉर्मेशन के गणित में योगदान दिया है। चूंकि विभाजित-जटिल संख्याएं और दोहरी संख्याएं अंगूठी (गणित) बनाती हैं, फ़ील्ड (गणित) नहीं, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को विशेषण मानचित्रण होने के लिए अंगूठी पर एक प्रक्षेपी रेखा की आवश्यकता होती है।

1914 में लुडविग सिल्बरस्टीन के काम के बाद से यह पारंपरिक रहा है कि लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए biquaternion की अंगूठी का उपयोग किया जाए। स्पेसटाइम संरूप समूह के लिए, उस अंगूठी रिंग के ऊपर प्रोजेक्टिव लाइन भिन्नात्मक परिवर्तनों पर विचार करना पर्याप्त है। स्पेसटाइम संरूप समूह के तत्वों को बेटमैन द्वारा गोलाकार तरंग परिवर्तन कहा जाता था। स्पेसटाइम द्विघात रूप अध्ययन के विवरणों को झूठ क्षेत्र ज्यामिति में समाहित कर लिया गया है।

भौतिक विज्ञान में दिखाई गई निरंतर रुचि पर टिप्पणी करते हुए, ए.ओ. बरुत ने 1985 में लिखा, संरूप समूह में रुचि के प्रमुख कारणों में से एक यह है कि यह संभवतः पोंकारे समूह वाले बड़े समूहों में सबसे महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

• संरूप नक्शा
• संरूप समरूपता

अग्रिम पठन

• Kobayashi, S. (1972). Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337.
• Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
• Peter Scherk (1960) "Some Concepts of Conformal Geometry", American Mathematical Monthly 67(1): 1−30 doi:10.2307/2308920
• Martin Schottenloher, The conformal group, chapter 2 of A mathematical introduction to conformal field theory, 2008 (pdf)
• page on conformal groups