अनुरूप समरूपता

गणितीय भौतिकी में स्पेसटाइम की अनुरूप समरूपता समूह के विस्तार द्वारा व्यक्त की जाती है जिसे अनुरूप समूह के रूप में जाना जाता है। विस्तार में विशेष अनुरूप परिवर्तन और विस्तार शामिल है। तीन स्थानिक के आयामों में अनुरूप समरूपता में भौतिकी और रसायन विज्ञान 15 डिग्री की होती हैI पोंकारे समूह के लिए दस विशेष अनुरूप चार परिवर्तनों के लिए और एक विस्तार से संबंधित हैI

हैरी बेटमैन और एबेनेज़र कनिंघम मैक्सवेल के समीकरणों की अनुरूप समरूपता का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने अनुरूप समरूपता की एक सामान्य अभिव्यक्ति को गोलाकार तरंग परिवर्तन का नाम दिया थाI दो स्पेसटाइम आयामों में सामान्य सापेक्षता भी अनुरूप समरूपता को प्रस्तुत करती है।

जेनरेटर

अनुरूप समूह से संबधित बीजगणित में निम्नलिखित समूह का प्रतिनिधित्व इस प्रकार हैI

${\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}$

$M_{\mu \nu }$ लोरेंत्ज़ समूह से संबंधित जनरेटिंग सेट हैI $P_{\mu }$ अनुवाद भौतिकी प्रतिक्रिया उत्पन्न करता हैI $D$ स्केलिंग परिवर्तन उत्पन्न करता हैI $K_{\mu }$ विशेष अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न करता है।

रूपान्तरण संबंध

कम्यूटेटर संबंध इस प्रकार हैं:

${\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}$

अन्य कम्यूटेटर गायब हो जाते हैं। यहाँ $\eta _{\mu \nu }$ Minkowski मेट्रिक टेन्सर है।

इसके अतिरिक्त, $D$ एक अदिश राशि है और $K_{\mu }$