अनुरूप ज्यामिति

गणित में, अनुरूप ज्यामिति स्थान पर कोण-संरक्षण (अनुरूप) परिवर्तनों के समुच्चय का अध्ययन है।

वास्तविक दो आयामी स्थान में, अनुरूप ज्यामिति उचित रीमैन सतहों की ज्यामिति है। स्थान में दो से अधिक आयामों में, अनुरूप ज्यामिति या तो समतल रिक्त स्थान (जैसे यूक्लिडियन स्थान स्थान या वृत्ताकार) कहलाते हैं, या अनुरूप मैनिफोल्ड के अध्ययन के लिए जो कि रीमैनियन या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स हैं, जो आव्यूह के वर्ग के साथ हैं और स्तर तक परिभाषित हैं। समतल संरचनाओं के अध्ययन को कभी-कभी मोबियस ज्यामिति कहा जाता है, और यह क्लेन ज्यामिति का प्रकार है।

अनुरूप मैनिफोल्ड

अनुरूप मैनिफोल्ड छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड है जो मापीय टेंसरों के समतुल्य वर्ग से सुसज्जित है, जिसमें दो आव्यूह g और h समतुल्य हैं यदि केवल,

$h=\lambda ^{2}g,$

जहां λ वास्तविक मूल्यवान सुचारू कार्य है जिसे कई गुना परिभाषित किया गया है और इसे 'अनुरूप कारक' कहा जाता है। ऐसे आव्यूह के समकक्ष वर्ग को 'अनुरूप मापीय' या 'अनुरूप वर्ग' के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार, अनुरूप मापीय को मापीय के रूप में माना जा सकता है जो केवल स्तर तक परिभाषित होता है। प्रायः अनुरूप आव्यूह को अनुरूप वर्ग में मापीय का चयन करके और चयन किये हुए मापीय के लिए केवल अनुरूप अपरिवर्तनीय निर्माण प्रारम्भ करके प्रक्रिया की जाती है।

अनुरूप मापीय 'अनुरूप रूप से समतल मैनिफोल्ड' है यदि कोई मापीय इसका प्रतिनिधित्व करता है जो समतल है, सामान्य अर्थों में रीमैन वक्रता टेन्सर लुप्त हो जाता है। केवल अनुरूप वर्ग में मापीय शोध संभव हो सकता है जो प्रत्येक बिंदु के विवृत निकट में समतल होता है। जब इन स्थितियों में अंतर करना आवश्यक होता है, तो अंत वाले को स्थानीय रूप से समतल कहा जाता है, चूँकि प्रायः साहित्य में कोई भेद नहीं रखा जाता है। n-वृत्त स्थानीय रूप से अनुरूप समतल मैनिफोल्ड है जो इस अर्थ में विश्व स्तर पर अनुरूप रूप से समतल नहीं है, जबकि यूक्लिडियन स्थान, टोरस, या कोई भी अनुरूप मैनिफोल्ड जो यूक्लिडियन स्थान के विवृत उपसमुच्चय द्वारा कवर किया गया है (वैश्विक रूप से) इसमें अनुरूप रूप से समतल है। अनुरूप रूप से समतल मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से मोबियस ज्यामिति के अनुरूप है, जिसका अर्थ है कि मोबियस ज्यामिति में कई गुना से स्थानीय भिन्नता को संरक्षित करने वाला कोण उपस्थित है। दो आयामों में, प्रत्येक अनुरूप मापीय स्थानीय रूप से समतल है। आयाम में n > 3 अनुरूप मापीय स्थानीय रूप से समतल है यदि केवल इसका वेइल टेंसर लुप्त हो जाता है; आयाम में n = 3, यदि केवल कॉटन टेंसर लुप्त हो जाता है।

अनुरूप ज्यामिति में कई विशेषताएं हैं जो इसे (छद्म-) रीमैनियन ज्यामिति से भिन्न करती हैं। प्रथम यह है कि चूँकि (छद्म-) रिमेंनियन ज्यामिति में प्रत्येक बिंदु पर उचित प्रकार से परिभाषित मापीय है, अनुरूप ज्यामिति में केवल आव्यूह का वर्ग होता है। इस प्रकार स्पर्शरेखा सदिश की लंबाई को परिभाषित नहीं किया जा सकता है, किन्तु दो सदिशों के मध्य का कोण अभी भी परिभाषित किया जा सकता है। अन्य विशेषता यह है कि कोई लेवी-सिविता कनेक्शन नहीं है क्योंकि यदि g और λ²g अनुरूप संरचना के दो प्रतिनिधि हैं, तो g और λ²g के क्रिस्टोफेल प्रतीक सहमत नहीं होंगे। λ²g से जुड़े फलन में λ के अवकलज सम्मिलित होंगे जबकि g से संबद्ध नहीं होंगे।

इन अंतरों के अतिरिक्त, अनुरूप ज्यामिति अभी भी सुगम है। लेवी-सिविता कनेक्शन और वक्रता रूप, चूँकि केवल परिभाषित किया जा रहा है जब अनुरूप संरचना के विशेष प्रतिनिधि को एकल कर दिया गया है, भिन्न प्रतिनिधि चयन किये जाने पर λ और इसके डेरिवेटिव से जुड़े कुछ परिवर्तन नियमों को पूर्ण करते हैं। विशेष रूप से, (3 से अधिक आयाम में) वेइल टेंसर λ पर निर्भर नहीं होता है, और इसलिए यह 'अनुरूप अपरिवर्तनीय' है। इसके अतिरिक्त, भले ही अनुरूप कई गुना पर कोई लेवी-सिविता कनेक्शन नहीं है, इसके अतिरिक्त अनुरूप कनेक्शन के साथ कार्य कर सकता है, जिसे संबंधित मोबियस ज्यामिति पर आधारित कार्टन कनेक्शन के प्रकार के रूप में या वील कनेक्शन के रूप में नियंत्रित किया जा सकता है। यह किसी को 'अनुरूप वक्रता' और अनुरूप संरचना के अन्य आविष्कारों को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

मोबियस ज्यामिति

मोबियस ज्यामिति "अनंत पर जोड़े गए बिंदु के साथ यूक्लिडियन अंतरिक्ष" या "मिन्कोव्स्की (या छद्म-यूक्लिडियन) स्थान के साथ शून्य शंकु के साथ अनंत पर जोड़ा जाता है। अर्थात्, व्यवस्था परिचित स्थान का संघनन है; ज्यामिति का संबंध कोणों को संरक्षित करने के निहितार्थ से है।

अमूर्त स्तर पर, आयाम दो की स्थिति को त्यागकर, यूक्लिडियन और छद्म-यूक्लिडियन रिक्त स्थान को उसी प्रकार से नियंत्रित किया जा सकता है। संकुचित द्वि-आयामी मिन्कोव्स्की तल व्यापक अनुरूप समरूपता प्रदर्शित करता है। औपचारिक रूप से, इसके अनुरूप परिवर्तनों का समूह अनंत-आयामी है। इसके विपरीत, संघनित यूक्लिडियन तल के अनुरूप परिवर्तनों का समूह केवल 6-आयामी है।

दो आयाम

मिन्कोवस्की तल

तल में मिन्कोव्स्की द्विघात रूप q(x, y) = 2xy के लिए अनुरूप समूह एबेलियन समूह लाइ समूह है:

$\operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},$

लाइ बीजगणित cso(1, 1) के साथ सभी वास्तविक विकर्ण 2 × 2 आव्यूह सम्मिलित हैं।

अब मिंकोस्की तल पर विचार करें, ℝ² मापीय से सुसज्जित है:

$g=2\,dx\,dy~.$

अनुरूप रूपांतरणों का 1-पैरामीटर समूह सदिश क्षेत्र X को इस संपत्ति के साथ उत्पन्न करता है कि X के साथ g का लाई डेरिवेटिव g के समानुपाती होता है। प्रतीकात्मक रूप से,

L_X g = λg कुछ λ के लिए।

विशेष रूप से, लाइ बीजगणित cso(1, 1) के उपरोक्त विवरण का उपयोग करके, इसका तात्पर्य है कि

1. L_X dx = a(x) dx
2. L_X dy = b(y) dy कुछ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए a और b क्रमशः x और y पर निर्भर करता है।

इसके विपरीत, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की ऐसी किसी भी जोड़ी को देखते हुए, सदिश क्षेत्र X उपस्थित होता है जो 1. और 2 को संतुष्ट करता है। इसलिए अनुरूप संरचना, विट बीजगणित के अनंत समरूपता का बीजगणित अनंत-आयामी है।

मिन्कोव्स्की तल का अनुरूप संघनन दो हलकों S¹ × S¹ का कार्टेशियन उत्पाद है। सार्वभौमिक आवरण पर, अतिसूक्ष्म समरूपताओं को एकीकृत करने में कोई बाधा नहीं है, और इसलिए अनुरूप परिवर्तनों का समूह अनंत-आयामी लाइ समूह है:

$(\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),$

जहां Diff(S¹) वृत्त का डिफोमोर्फिज्म समूह है।

अनुरूप समूह CSO(1, 1) और इसका लाइ बीजगणित द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में वर्तमान रुचि के हैं।

See also: विरासोरो बीजगणित

यूक्लिडियन अंतरिक्ष

मोबियस परिवर्तन से पूर्व समन्वय ग्रिड

मोबियस परिवर्तन के पश्चात वही ग्रिड

द्विघात रूप के अनुरूप समरूपता का समूह है:

$q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}$

समूह GL₁(C) = C^×, सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह है। इसका लाई बीजगणित gl₁(C) = C है।

मीट्रिक से लैस (यूक्लिडियन) जटिल तल पर विचार करता है।

$g=dz\,d{\bar {z}}.$

इनफिनिटिमल अनुरूप समरूपता संतुष्ट करती है।

1. $\mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz$
2. $\mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},$

जहाँ f कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है, और इसी प्रकार इसके डोमेन पर होलोमॉर्फिक है। (विट बीजगणित देखें।)

डोमेन के अनुरूप समरूपता इसलिए होलोमोर्फिक स्व-मानचित्रों से मिलकर बनता है। विशेष रूप से, अनुरूप संघनन पर - रीमैन क्षेत्र - मोबियस परिवर्तनों द्वारा अनुरूप परिवर्तन दिए गए हैं:

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$

जहाँ ad − bc अशून्य है।

उच्च आयाम

दो आयामों में, स्थान के अनुरूप ऑटोमोर्फिज़्म का समूह अधिक बड़ा हो सकता है (जैसा कि लोरेंत्ज़ियन हस्ताक्षर की स्थिति में) या चर (यूक्लिडियन हस्ताक्षर की स्थिति में) हो सकता है। उच्च आयामों के साथ द्वि-आयामी स्थिति की कठोरता की तुलनात्मक अल्पता विश्लेषणात्मक तथ्य के कारण है कि संरचना के अत्यल्प ऑटोमोर्फिज्म के स्पर्शोन्मुख विकास अपेक्षाकृत अप्रतिबंधित हैं। लोरेंट्ज़ियन हस्ताक्षर में, स्वतंत्रता वास्तविक मूल्यवान कार्यों की जोड़ी में है। यूक्लिडियन में, स्वतंत्रता एकल होलोमोर्फिक फलन में है।

उच्च आयामों की स्थिति में, अतिसूक्ष्म समरूपता के स्पर्शोन्मुख विकास अधिकांश द्विघात बहुपदों में होते हैं। विशेष रूप से, वे परिमित-आयामी लाइ बीजगणित बनाते हैं। मैनिफोल्ड के बिंदुवार इनफिनिटिमल अनुरूप समरूपता को उचित प्रकार से एकीकृत किया जा सकता है जब मैनिफोल्ड निश्चित प्रारूप अनुरूप रूप से समतल स्थान होता है (सार्वभौमिक कवर और असतत समूह उद्धरण लेने तक)।

अनुरूप ज्यामिति का सामान्य सिद्धांत समान है, चूँकि यूक्लिडियन और छद्म-यूक्लिडियन हस्ताक्षर की स्थितियों में, कुछ अंतरों के साथ होता है। किसी भी स्थिति में, अनुरूप रूप से समतलज्यामिति के प्रारूप स्थान को प्रस्तुत करने के अनेक प्रकार हैं। जब तक संदर्भ से अन्यथा स्पष्ट न हो, यह लेख यूक्लिडियन अनुरूप ज्यामिति की स्थिति को इस समझ के साथ मानता है कि यह छद्म-यूक्लिडियन स्थिति पर, यथोचित परिवर्तनों सहित, भी प्रारम्भ होता है।

विपरीत प्रारूप

अनुरूप ज्यामिति के विपरीत प्रारूप में क्षेत्रों में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न यूक्लिडियन स्थान Eⁿ पर स्थानीय परिवर्तनों का समूह होता है। लिउविले की प्रमेय के अनुसार, कोई भी कोण-संरक्षण स्थानीय (अनुरूप) परिवर्तन इस रूप का होता है। इस दृष्टिकोण से, समतल अनुरूप स्थान के परिवर्तन गुण व्युत्क्रम ज्यामिति के हैं।

प्रक्षेपीय प्रारूप

प्रक्षेपीय प्रारूप प्रक्षेपीय स्थान में निश्चित क्वाड्रिक के साथ अनुरूप क्षेत्र की पहचान करता है। मान लीजिए q Rⁿ⁺² द्वारा परिभाषित लॉरेंत्ज़ियन द्विघात रूप को निरूपित करता है।

$q(x_0,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n+1})=-<!--\; -\; -->2x_0{x}_{n+1}+x_1^2+x_2^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{}_{}^{}$