Π का अनुमान

गणित के इतिहास में गणितीय स्थिरांक (π) के अनुमान सामान्य युग की प्रारम्भ से पहले वास्तविक मान के 0.04% के भीतर सटीकता तक पहुँच गए थे। चीनी गणित में, इसे 5वीं शताब्दी तक लगभग सात दशमलव अंकों के अनुरूप सही सन्निकटन तक सुधार दिया गया था।

15वीं सदी तक (जमशेद अल-काशी के प्रयासों से) आगे प्रगति नहीं हुई थी। प्रारंभिक आधुनिक गणितज्ञ 17वीं शताब्दी (लुडोल्फ वैन सेउलेन) की प्रारम्भ तक 35 अंकों की सटीकता तक पहुंच गए, और 19वीं शताब्दी (ज्यूरिज वेगा) तक 126 अंकों तक पहुंच गए, जो शुद्ध गणित के बाहर किसी भी कल्पनीय अनुप्रयोग के लिए आवश्यक सटीकता को पार कर गया।

π के मैनुअल अनुमान का रिकॉर्ड विलियम शैंक्स के पास है, जिन्होंने 1853 में 527 अंकों की सही गणना की थी। 20वीं शताब्दी के मध्य से, π का सन्निकटन इलेक्ट्रॉनिक डिजिटल कंप्यूटरों का कार्य रहा है (एक व्यापक विवरण के लिए, π की गणना का कालक्रम देखें)। 8 जून 2022 को, वर्तमान रिकॉर्ड एम्मा हारुका इवाओ द्वारा अलेक्जेंडर यी के वाई-क्रंचर के साथ 100 ट्रिलियन (10¹⁴) अंकों के साथ स्थापित किया गया था।

प्रारंभिक इतिहास

सामान्य युग से पहले π के सबसे प्रसिद्ध अनुमान दो दशमलव स्थानों तक सटीक थे; इसमें विशेष रूप से चीनी गणित में पहली सहस्राब्दी के मध्य तक सात दशमलव स्थानों की सटीकता तक सुधार किया गया था। इसके बाद, मध्यकाल के उत्तरार्ध तक कोई और प्रगति नहीं हुई।

कुछ मिस्रविज्ञानियों ने दावा किया है कि प्राचीन मिस्रवासियों ने पुराने साम्राज्य के आरंभ से ही π का अनुमान 22⁄7 = 3.142857 (लगभग 0.04% बहुत अधिक) के रूप में उपयोग किया था। इस दावे को संदेह के साथ स्वीकार किया गया है।

बेबीलोनियाई गणित सामान्यतः π से 3 तक अनुमानित होता है, जो उस समय की वास्तुशिल्प परियोजनाओं के लिए पर्याप्त है (विशेष रूप से हिब्रू बाइबिल में सोलोमन के मंदिर के विवरण में भी परिलक्षित होता है)। बेबीलोनियों को पता था कि यह एक अनुमान था, और 1936 में सुसा के पास खुदाई की गई एक पुरानी बेबीलोनियाई गणितीय गोली (19वीं और 17वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच की) π का बेहतर अनुमान 25⁄8 = 3.125 के रूप में देती है, जो कि लगभग 0.528% कम है। सटीक मूल्य।

लगभग उसी समय, मिस्र का रिहंद गणितीय पेपिरस (द्वितीय मध्यवर्ती काल, लगभग 1600 ईसा पूर्व का, हालांकि इसे पुराने, मध्य साम्राज्य पाठ की एक प्रति कहा जाता है) का तात्पर्य 256⁄81 ≈ 3.16 ( अष्टकोण के सन्निकटन के माध्यम से एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करके 0.6 प्रतिशत तक सटीक)।

शतपथ ब्राह्मण (लगभग 6ठी शताब्दी ईसा पूर्व) में खगोलीय गणना 339⁄108 ≈ 3.139 के भिन्नात्मक अनुमान का उपयोग करती है।[13]

महाभारत (500 ईसा पूर्व - 300 सीई) भीष्म पर्व छंदों में दिए गए अनुपात में 3 का अनुमान प्रस्तुत करता है: 6.12.40-45।

...

स्मृति द्वारा चंद्रमा का व्यास ग्यारह हजार योजन बताया गया है। गणना करने पर इसकी परिधीय परिधि तैंतीस हजार योजन होती है।

...

सूर्य आठ हजार योजन तथा व्यास दो हजार योजन है। उससे इसकी परिधीय परिधि तीस हजार योजन के बराबर होती है।

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, आर्किमिडीज़ ने नियमित 96-गॉन (क्रमशः 2·10⁻⁴ और 4·10⁻⁴, की सटीकता) के माध्यम से तीव्र असमानताओं 223⁄71 < π < 22⁄7,को सिद्ध किया।

दूसरी शताब्दी ईस्वी में, टॉलेमी ने मान 377⁄120 का उपयोग किया, जो तीन दशमलव स्थानों (सटीकता 2·10⁻⁵) तक सटीक पहला ज्ञात अनुमान था। यह $3+8/60+30/60^{2},$ के बराबर है जो कि दो साठवाँ अंकों तक सटीक है।

263 ई. में चीनी गणितज्ञ लियू हुई ने 96-गॉन और 192-गॉन लिखकर 3.141024 और 3.142708 के बीच π की गणना की; इन दोनों मानों का औसत 3.141866 (सटीकता 9·10⁻⁵) है। उन्होंने यह भी सुझाव दिया कि व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए 3.14 एक अच्छा सन्निकटन था। उन्हें प्रायः बाद के और अधिक सटीक परिणाम का श्रेय भी दिया गया है, π ≈ 3927⁄1250 = 3.1416 (सटीकता 2·10⁻⁶), हालांकि कुछ विद्वानों का मानना है कि यह बाद के (5वीं शताब्दी) चीनी गणितज्ञ ज़ू के कारण है चोंगज़ी. ऐसा माना जाता है कि ज़ू चोंगज़ी ने π की गणना 3.1415926 और 3.1415927 के बीच की थी, जो सात दशमलव स्थानों तक सही थी। उन्होंने π के दो अन्य अनुमान भी दिए: π ≈ 22⁄7 और π ≈ 355⁄113, जो उनके दशमलव परिणाम जितने सटीक नहीं हैं। बाद वाला अंश अंश और हर में पांच से कम दशमलव अंकों का उपयोग करके π का सर्वोत्तम संभव तर्कसंगत अनुमान है। ज़ू चोंगज़ी के नतीजे हेलेनिस्टिक गणित में प्राप्त सटीकता से कहीं बेहतर हैं, और लगभग एक सहस्राब्दी तक इसमें सुधार नहीं होगा।

गुप्त-युग के भारत (छठी शताब्दी) में, गणितज्ञ आर्यभट्ट ने अपने खगोलीय ग्रंथ आर्यभट्ट में कहा:

100 में 4 जोड़ें, 8 से गुणा करें और 62,000 में जोड़ें। यह 'लगभग' एक वृत्त की परिधि है जिसका व्यास 20,000 है।

अनुमान करने वाले π चार दशमलव स्थानों तक: π ≈ 62832⁄20000 = 3.1416, आर्यभट्ट ने कहा कि उनका परिणाम लगभग (āsanna निकट आते हुए ) ने एक वृत्त की परिधि दी। उनके 15वीं सदी के टीकाकार नीलकण्ठा सोमयाजी (केरल खगोल विज्ञान और गणित स्कूल) ने तर्क दिया है कि इस शब्द का अर्थ न केवल यह है कि यह एक अनुमान है, बल्कि यह कि मान अपरिमेय संख्याअतुलनीय (तर्कहीन) है।

मध्य युग

14वीं शताब्दी तक, लगभग एक सहस्राब्दी तक आगे की प्रगति नहीं हुई, जब संगमग्राम के भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री माधव, जो केरल के खगोल विज्ञान और गणित स्कूल के संस्थापक थे, ने आर्कटेंजेंट के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला और फिर इसके लिए दो श्रृंखला (गणित) की खोज की। π. उनमें से एक को अब π|माधव-लीबनिज श्रृंखला के लिए लाइबनिज सूत्र के रूप में जाना जाता है, जो $\pi =4\arctan(1):$ पर आधारित है

$\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}...\right)$

दूसरे पर आधारित था $\pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):$

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

Comparison of the convergence of two Madhava series (the one with √12 in dark blue) and several historical infinite series for π. S_n is the approximation after taking n terms. Each subsequent subplot magnifies the shaded area horizontally by 10 times. (click for detail)

उन्होंने अनुमानित गणना करने के लिए पहले 21 शब्दों का उपयोग किया π 11 दशमलव स्थानों तक सही करें 3.14159265359.

उन्होंने एक सुधार सम्मिलित करके आर्कटान(1) पर आधारित सूत्र में भी सुधार किया:

$\pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...-{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}$

यह ज्ञात नहीं है कि उन्होंने यह सुधार कैसे किया। इसका उपयोग करके उन्होंने इसका एक अनुमान पाया π सटीकता के 13 दशमलव स्थानों तक जबn = 75.

जमशेद अल-काशी (काशानी), एक इस्लामी खगोल विज्ञान और इस्लामी गणित, ने 2 के भिन्नात्मक भाग की सही गणना की π1424 में 9 साठवाँ अंक तक, और इसे 16 दशमलव अंकों में अनुवादित किया दशमलव बिंदु के बाद:

$2\pi \approx 6.2831853071795864,$

जो दशमलव बिंदु के बाद π के लिए 16 सही अंक देता है:

$\pi \approx 3.1415926535897932$

उन्होंने 3×2²⁸ के साथ एक नियमित बहुभुज की परिधि की गणना करके सटीकता का यह स्तर हासिल किया पक्ष।

16वीं से 19वीं शताब्दी

16वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस वियेटे ने एक अनंत उत्पाद की खोज की जो कि परिवर्तित हो गया π वियेटे के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

जर्मन-डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन सेउलेन (लगभग 1600) ने पहले 35 दशमलव स्थानों की गणना की π 2 के साथ⁶²-गोन. उन्हें इस उपलब्धि पर इतना गर्व था कि उन्होंने इसे अपनी कब्र के पत्थर पर अंकित करवाया।

साइक्लोमेट्रिकस (1621) में, विलेब्रोर्ड स्नेलियस ने प्रदर्शित किया कि उत्कीर्ण बहुभुज की परिधि, संगत परिबद्ध बहुभुज की परिधि की तुलना में दोगुनी तेजी से परिधि पर अभिसरण करती है। इसे 1654 में क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने सिद्ध किया था। स्नेलियस 96-पक्षीय बहुभुज से π के सात अंक प्राप्त करने में सक्षम था।

1706 में, महिला नगर ने ग्रेगरी की श्रृंखला (आर्कटिक स्पर्शरेखा के लिए टेलर श्रृंखला) और मशीन जैसे सूत्र का उपयोग किया ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$ के 100 अंकों की गणना करने के लिए π (देखना मशीन जैसा फॉर्मूला § Notes नीचे)। 1719 में, थॉमस फैंटेट डी लैग्नी ने 127 अंकों (जिनमें से 112 सही थे) की गणना करने के लिए एक समान पहचान का उपयोग किया। 1789 में, स्लोवेनियाई गणितज्ञ जुरिज वेगा ने पहले 140 अंकों की गणना करने के लिए जॉन माचिन के सूत्र में सुधार किया, जिनमें से पहले 126 सही थे। 1841 में, विलियम रदरफोर्ड (गणितज्ञ) ने 208 अंकों की गणना की, जिनमें से पहले 152 सही थे।

ऐसी परिशुद्धता (152 दशमलव स्थान) के परिमाण को इस तथ्य से संदर्भ में रखा जा सकता है कि सबसे बड़ी ज्ञात वस्तु, अवलोकनीय ब्रह्मांड की परिधि की गणना उसके व्यास (93) से की जा सकती है अरब प्रकाश-वर्ष) एक प्लैंक लंबाई (पर) से कम की सटीकता के लिए 1.6162×10⁻³⁵ मीटरएस, लंबाई की सबसे छोटी इकाई जिसे सीधे मापने योग्य होने की उम्मीद है) का उपयोग करना π केवल 62 दशमलव स्थानों तक व्यक्त किया गया।

अंग्रेजी शौकिया गणितज्ञ विलियम शैंक्स, एक स्वतंत्र साधन वाले व्यक्ति ने गणना की π जनवरी 1853 में 530 दशमलव स्थानों तक, जिनमें से पहले 527 सही थे (राउंड-ऑफ त्रुटियों के कारण अंतिम कुछ गलत होने की संभावना है)। बाद में उन्होंने अप्रैल 1853 में अपनी गणना को 607 दशमलव स्थानों तक विस्तारित किया, लेकिन ठीक 530वें दशमलव स्थान पर हुई एक त्रुटि ने उनकी शेष गणना को ग़लत बना दिया; मशीन के सूत्र की प्रकृति के कारण, त्रुटि 528वें दशमलव स्थान तक फैल गई, जिससे एक बार फिर केवल पहले 527 अंक ही सही रह गए। बीस साल बाद, शैंक्स ने अप्रैल 1873 में अपनी गणना को 707 दशमलव स्थानों तक विस्तारित किया। यह उनकी पिछली गणना का विस्तार होने के कारण, सभी नए अंक भी ग़लत थे। कहा जाता है कि शैंक्स पूरी सुबह नए अंकों की गणना करता था और फिर पूरी दोपहर अपने सुबह के काम की जाँच करने में बिताता था। यह का सबसे लम्बा विस्तार था π तीन-चौथाई शताब्दी के बाद इलेक्ट्रॉनिक डिजिटल कंप्यूटर के आगमन तक।

20वीं और 21वीं सदी

Main article: π § इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर का युग (1949 से आगे) की गणना का कालानुक्रम

1910 में, भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने कई तेजी से परिवर्तित होने वाली अनंत श्रृंखलाओं की खोज की π, सम्मिलित

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

जो आगे के आठ दशमलव स्थानों की गणना करता है πश्रृंखला के प्रत्येक पद के साथ। उनकी श्रृंखला अब गणना के लिए वर्तमान में उपयोग किए जाने वाले सबसे तेज़ एल्गोरिदम का आधार है π. यहाँ तक कि केवल प्रथम पद का उपयोग करने से भी लाभ मिलता है

$\pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273$

रामानुजन-सातो श्रृंखला देखें।

20वीं सदी के मध्य से, की सभी गणनाएँ πकैलकुलेटर या कंप्यूटर की सहायता से किया गया है।

1944 में, डी. एफ. फर्ग्यूसन ने एक यांत्रिक कैलकुलेटर की सहायता से पाया कि विलियम शैंक्स ने 528वें दशमलव स्थान में गलती की थी, और सभी आगामी अंक गलत थे।

कंप्यूटर के प्रारंभिक वर्षों में, का विस्तार हुआ π को 100000 दशमलव स्थानों की गणना मैरीलैंड के गणितज्ञ डेनियल शैंक्स (उपरोक्त विलियम शैंक्स से कोई संबंध नहीं) और वाशिंगटन, डी.सी. में संयुक्त राज्य नौसेना अनुसंधान प्रयोगशाला में उनकी टीम द्वारा की गई थी। 1961 में, शैंक्स और उनकी टीम ने अंकों की गणना के लिए दो अलग-अलग घात श्रृंखलाओं का उपयोग किया था। π. एक के लिए, यह ज्ञात था कि कोई भी त्रुटि थोड़ा अधिक मूल्य उत्पन्न करेगी, और दूसरे के लिए, यह ज्ञात था कि कोई भी त्रुटि थोड़ा कम मूल्य उत्पन्न करेगी। और इसलिए, जब तक दोनों श्रृंखलाओं में समान अंक उत्पन्न होते थे, तब तक बहुत अधिक आत्मविश्वास था कि वे सही थे। के प्रथम 100,265 अंक π 1962 में प्रकाशित हुए थे। लेखकों ने बताया कि गणना करने के लिए क्या आवश्यक होगा π 1 मिलियन दशमलव स्थानों तक और निष्कर्ष निकाला कि यह कार्य उस दिन की तकनीक से परे था, लेकिन पांच से सात वर्षों में संभव होगा।

1989 में चुडनोव्स्की बंधुओं ने गणना की π रामानुजन की अनंत श्रृंखला की निम्नलिखित भिन्नता का उपयोग करके सुपर कंप्यूटर आईबीएम 3090 पर 1 अरब से अधिक दशमलव स्थानों तक π:

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.$

तब से सभी रिकॉर्ड चुडनोव्स्की एल्गोरिदम का उपयोग करके पूरे किए गए हैं।

1999 में, टोक्यो विश्वविद्यालय में एन्सेई कनाडा और उनकी टीम ने गणना की π रामानुजन की अनंत श्रृंखला की एक और भिन्नता का उपयोग करके सुपरकंप्यूटर HITACHI SR8000/MPP (128 नोड्स) पर 200 बिलियन से अधिक दशमलव स्थानों तक π. नवंबर 2002 में, यासुमासा कनाडा और 9 अन्य लोगों की एक टीम ने गणना करने के लिए 1 टेराबाइट मुख्य मेमोरी वाले 64-नोड सुपरकंप्यूटर हिताची SR8000 का उपयोग किया। π लगभग 600 घंटों में लगभग 1.24 ट्रिलियन अंक (25)।दिन)।

हाल के रिकॉर्ड

1. अगस्त 2009 में, T2K ओपन सुपरकंप्यूटर नामक एक जापानी सुपरकंप्यूटर ने गणना करके पिछले रिकॉर्ड को दोगुने से भी अधिक कर दिया π लगभग 73 घंटे और 36 मिनट में लगभग 2.6 ट्रिलियन अंक।
2. दिसंबर 2009 में, फैब्रिस बेलार्ड ने 2.7 ट्रिलियन दशमलव अंकों की गणना करने के लिए एक घरेलू कंप्यूटर का उपयोग किया π. गणना आधार 2 (बाइनरी) में की गई, फिर परिणाम को आधार 10 (दशमलव) में बदल दिया गया। गणना, रूपांतरण और सत्यापन चरणों में कुल 131 दिन लगे।
3. अगस्त 2010 में, शिगेरु कोंडो ने 5 ट्रिलियन अंकों की गणना करने के लिए अलेक्जेंडर यी के वाई-क्रंचर का उपयोग किया π. यह किसी भी प्रकार की गणना के लिए विश्व रिकॉर्ड था, लेकिन महत्वपूर्ण रूप से यह कोंडो द्वारा निर्मित घरेलू कंप्यूटर पर किया गया था। गणना 4 मई और 3 अगस्त के बीच की गई, जिसमें प्राथमिक और माध्यमिक सत्यापन में क्रमशः 64 और 66 घंटे लगे।
4. अक्टूबर 2011 में, शिगेरु कोंडो ने दस ट्रिलियन (10.) की गणना करके अपना ही रिकॉर्ड तोड़ दिया¹³) और पचास अंक उसी विधि का उपयोग करके लेकिन बेहतर हार्डवेयर के साथ।
5. दिसंबर 2013 में, कोंडो ने 12.1 ट्रिलियन अंकों π की गणना करके अपना ही रिकॉर्ड दूसरी बार तोड़ दिया
6. अक्टूबर 2014 में, सैंडन वान नेस ने छद्म नाम होउकोउंची से 13.3 ट्रिलियन π अंकों की गणना करने के लिए y-क्रंचर का उपयोग किया।
7. नवंबर 2016 में, पीटर ट्रूब और उनके प्रायोजकों ने y-क्रंचर पर गणना की और 22.4 ट्रिलियन अंकों को पूरी तरह से सत्यापित किया π (22,459,157,718,361 (π^e×10¹²)). गणना को पूरा होने में (तीन रुकावटों के साथ) 105 दिन लगे, आगे विस्तार की सीमा मुख्य रूप से भंडारण स्थान है। मार्च 2019 में, Google की एक कर्मचारी एम्मा हारुका इवाओ ने 31.4 (लगभग) की गणना की 10π) y-क्रंचर और गूगल क्लाउड प्लेटफार्म मशीनों का उपयोग करके π के ट्रिलियन अंक। इसे पूरा होने में 121 दिन लगे।
8. जनवरी 2020 में, टिमोथी मुल्लिकन ने 303 दिनों में 50 ट्रिलियन अंकों की गणना की घोषणा की।
9. 14 अगस्त 2021 को, ग्रिसन्स यूनिवर्सिटी ऑफ एप्लाइड साइंसेज की एक टीम (डीएवीआईएस) ने गणना पूरी करने की घोषणा की π से 62.8 (लगभग 20π) ट्रिलियन अंक।
10. 8 जून 2022 को, एम्मा हारुका इवाओ ने Google क्लाउड ब्लॉग पर 100 ट्रिलियन (10) की गणना की घोषणा की¹⁴) के अंक π अलेक्जेंडर यी के वाई-क्रंचर का उपयोग करते हुए 158 दिनों से अधिक।

व्यावहारिक सन्निकटन

गणना के उद्देश्य के आधार पर, {{π}गणना में आसानी के लिए भिन्नों का उपयोग करके } का अनुमान लगाया जा सकता है। ऐसे सबसे उल्लेखनीय अनुमान हैं 22⁄7 (लगभग 4·10⁻⁴ की सापेक्ष त्रुटि) और 355⁄113 (लगभग 8·10⁻⁸ की सापेक्ष त्रुटि).

की गैर-गणितीय परिभाषाएँ π

कुछ उल्लेखनीय कानूनी या ऐतिहासिक ग्रंथ हैं जो कथित तौर पर परिभाषित करते हैं π कुछ तर्कसंगत मूल्य रखने के लिए, जैसे 1897 का इंडियाना पाई बिल, जिसमें कहा गया था कि व्यास और परिधि का अनुपात पांच-चौथाई से चार है (जिसका अर्थ होगाπ = 3.2 ) और हिब्रू बाइबिल में एक अंश जिसका तात्पर्य यह है π = 3.

इंडियाना बिल

Main article: इंडियाना पाई बिल

1897 के तथाकथित "इंडियाना पाई बिल" को प्रायः "पाई के मूल्य को नियम बनाने" के प्रयास के रूप में चित्रित किया गया है। बल्कि, यह विधेयक ज्यामितीय रूप से "वृत्त को वर्गित करने" की समस्या के कथित समाधान से संबंधित है।

यह बिल यू.एस. में इंडियाना जनरल असेंबली द्वारा लगभग पारित कर दिया गया था, और दावा किया गया है कि यह π के लिए कई अलग-अलग मूल्यों को दर्शाता है, हालांकि यह स्पष्ट रूप से जोर देने के सबसे करीब यह शब्द है "व्यास और परिधि का अनुपात इस प्रकार है" पांच-चौथाई से चार", जो π = 16⁄5 = 3.2 बना देगा, जो लगभग 2 प्रतिशत की विसंगति है। सदन में पारित होने के बाद जिस दिन विधेयक को सीनेट में विचार के लिए लाया गया, उस दिन गणित के एक प्रोफेसर उपस्थित थे, जिन्होंने विधेयक को दूसरी बार पढ़ने पर पारित होने से रोकने में मदद की, जिसके बाद विधानसभा ने पहले इसका पूरी तरह से उपहास किया। इसे अनिश्चित काल के लिए स्थगित कर दिया गया है।

रोपित बाइबिल मूल्य

See also: पिघला हुआ_सागर π का अनुमान

कभी-कभी ऐसा दावा किया जाता हैकि हिब्रू बाइबिल का तात्पर्य यही हैπ एक अनुच्छेद के आधार पर तीन के बराबर है 1 Kings 7:23 और 2 Chronicles 4:2 यरूशलेम में मंदिर के सामने स्थित पिघले हुए समुद्र की माप देते हुए, इसका व्यास 10 हाथ और परिधि 30 हाथ है।

इस मुद्दे पर तल्मूड और रब्बीनिक साहित्य में चर्चा की गई है। कई स्पष्टीकरणों और टिप्पणियों में ये हैं:

• रब्बी नहेमायाह ने अपने मिश्नात हा-मिडॉट (ज्यामिति पर सबसे पुराना ज्ञात यहूदी पाठ, लगभग 150 सीई) में इसे यह कहकर समझाया कि व्यास को बाहरी रिम से मापा गया था जबकि परिधि को आंतरिक रिम के साथ मापा गया था। यह व्याख्या लगभग 0.225 हाथ (या, 18 इंच हाथ मानते हुए, कुछ 4 इंच) या एक तिहाई हाथ चौड़ाई, मोटी (सीएफ) का एक किनारा बताती है। NKJV और NKJV).
• मैमोनाइड्स का कहना है (लगभग 1168 ई.) कि π केवल लगभग ही जाना जा सकता है, इसलिए मान 3 धार्मिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त रूप से सटीक दिया गया था। यह कुछ लोगों द्वारा लिया गया है सबसे प्रारंभिक दावे के रूप में π तर्कहीन है.

बाइबिल विद्वता में इस अनुच्छेद पर अभी भी कुछ बहस चल रही है। बेसिन के कई पुनर्निर्माणों में दिए गए विवरण से मेल खाने के लिए एक व्यापक किनारा (या भड़का हुआ होंठ) कटोरे से कई इंच तक बाहर की ओर फैला हुआ दिखाई देता है। NKJV अगले छंदों में, रिम को हाथ भर मोटा बताया गया है; और उसका किनारा कटोरे के किनारे और सोसन के फूल के समान बना; उस में तीन हजार बत समाए। NKJV, जो एक ऐसी आकृति का सुझाव देता है जिसे किनारे की कुल लंबाई से छोटी डोरी से घेरा जा सकता है, उदाहरण के लिए, लिली फूल या चाय का कप।

कुशल सूत्रों का विकास

Main article: π से जुड़े सूत्रों की सूची

एक वृत्त का बहुभुज सन्निकटन

आर्किमिडीज़ ने अपने वृत्त के मापन में, की गणना के लिए पहला एल्गोरिदम बनाया π इस विचार पर आधारित है कि किसी वृत्त में अंकित किसी भी (उत्तल) बहुभुज की परिधि वृत्त की परिधि से कम होती है, जो बदले में, किसी भी परिबद्ध बहुभुज की परिधि से कम होती है। उन्होंने अंकित और परिचालित नियमित षट्भुजों से प्रारम्भ की, जिनकी परिधि आसानी से निर्धारित होती है। फिर वह दिखाता है कि एक ही वृत्त के चारों ओर अंकित और परिबद्ध दोगुनी भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों की परिधि की गणना कैसे की जाती है। यह एक पुनरावर्ती प्रक्रिया है जिसका वर्णन आज इस प्रकार किया जाएगा: चलो p_k और P_k नियमित बहुभुजों की परिधि को निरूपित करें k भुजाएँ जो क्रमशः एक ही वृत्त के चारों ओर अंकित और परिबद्ध हैं। तब,

$P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.$

आर्किमिडीज़ इसका उपयोग क्रमिक रूप से गणना करने के लिए करते हैं P₁₂, p₁₂, P₂₄, p₂₄, P₄₈, p₄₈, P₉₆ और p₉₆. इन अंतिम मूल्यों का उपयोग करके वह प्राप्त करता है

$3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.$

यह ज्ञात नहीं है कि आर्किमिडीज़ 96-भुजाओं वाले बहुभुज पर क्यों रुके; गणनाओं को विस्तारित करने के लिए केवल धैर्य की आवश्यकता होती है। अलेक्जेंड्रिया के हीरो ने अपनी मेट्रिका (लगभग 60 सीई) में रिपोर्ट दी है कि आर्किमिडीज़ ने एक खोई हुई किताब में गणना जारी रखी, लेकिन फिर उसे गलत मान दिया।

आर्किमिडीज़ इस गणना में किसी त्रिकोणमिति का उपयोग नहीं करता है और विधि को लागू करने में कठिनाई इसमें सम्मिलित वर्गमूलों के लिए अच्छे सन्निकटन प्राप्त करने में होती है। त्रिकोणमिति, एक वृत्त में जीवा की लंबाई की तालिका के रूप में, संभवतः क्लॉडियस टॉलेमीस द्वारा इसका मान प्राप्त करने के लिए उपयोग किया गया था π अल्मागेस्ट (लगभग 150 ई.पू.) में दिया गया है।

k सन्निकटन में प्रगति π (जब विधियाँ ज्ञात हों) गणना में प्रयुक्त बहुभुजों की भुजाओं की संख्या बढ़ाकर बनाई गईं। विलेब्रोर्ड स्नेलियस (1621) द्वारा एक त्रिकोणमितीय सुधार बहुभुज विधि से प्राप्त सीमाओं की एक जोड़ी से बेहतर सीमाएं प्राप्त करता है। इस प्रकार, कम भुजाओं वाले बहुभुजों से अधिक सटीक परिणाम प्राप्त हुए। 1593 में फ्रांकोइस वियत द्वारा प्रकाशित वियत का सूत्र, वियत द्वारा निकट से संबंधित बहुभुज विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया था, लेकिन बहुभुज की परिधि के स्थान पर क्षेत्रों के साथ, जिनकी भुजाओं की संख्या दो की घात है।

गणना करने का अंतिम प्रमुख प्रयास πइस विधि द्वारा 1630 में ग्रिएनबर्गर द्वारा 39 दशमलव स्थानों की गणना की गई थी π स्नेल के शोधन का उपयोग करना।

मशीन जैसा सूत्र

Main article: मशीन जैसा सूत्र

तेज़ गणना के लिए, कोई व्यक्ति मशीन जैसे सूत्रों का उपयोग कर सकता है:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

फ़ंक्शन आर्कटान (x) के टेलर श्रृंखला विस्तार के साथ। जटिल संख्याओं के ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके इस सूत्र को सबसे आसानी से सत्यापित किया जाता है, जिससे:

$(5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).$ ({x,y} = {239, 13²} पेल समीकरण का एक समाधान है x²−2y² = −1.)

इस प्रकार के फ़ॉर्मूले को मशीन-लाइक फ़ॉर्मूले के रूप में जाना जाता है। मशीन के विशेष सूत्र का उपयोग कंप्यूटर युग में अंकों की रिकॉर्ड संख्या की गणना के लिए किया जाता था। π, लेकिन हाल ही में अन्य समान फ़ार्मुलों का भी उपयोग किया गया है।

उदाहरण के लिए, डैनियल शैंक्स और उनकी टीम ने 1961 में पहले 100,000 अंकों की गणना करने के लिए निम्नलिखित मशीन-जैसे सूत्र का उपयोग किया था π:

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$ और उन्होंने मशीन जैसा एक और फॉर्मूला उपयोग किया,

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}$चेक के रूप में.

दिसंबर 2002 तक टोक्यो विश्वविद्यालय के यासुमासा कनाडा का रिकॉर्ड 1,241,100,000,000 अंकों का था। इसके लिए निम्नलिखित मशीन जैसे सूत्रों का उपयोग किया गया:

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

K। ताकानो (1982)।

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

कार्ल स्टॉर्मर|एफ. सी. एम. स्टॉर्मर (1896)।

अन्य शास्त्रीय सूत्र

अन्य सूत्र जिनका उपयोग अनुमानों की गणना के लिए किया गया है π सम्मिलित करना:

लियू हुई का π एल्गोरिदम (वियत का सूत्र भी देखें):${\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}$

संगमगर के माधव में:

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

आइजैक न्यूटन/यूलर अभिसरण परिवर्तन:

${\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}$

जहाँ m!! दोहरा भाज्य है, तक के धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल m समान समता (गणित) के साथ।

यूलर:

${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$

(के लिए पूर्ववर्ती श्रृंखला का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया arctan.)

रामानुजन:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

डेविड चुडनोव्स्की (गणितज्ञ) और ग्रेगरी चुडनोव्स्की:

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

π रामानुजन का काम चुडनोव्स्की एल्गोरिदम का आधार है, जो गणना करने के लिए सहस्राब्दी के अंत तक सबसे तेज़ एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है। .

आधुनिक एल्गोरिदम

का अत्यंत लंबा दशमलव विस्तार π की गणना सामान्यतः गॉस-लीजेंड्रे एल्गोरिदम और बोरवीन के एल्गोरिदम जैसे पुनरावृत्त सूत्रों के साथ की जाती है। उत्तरार्द्ध, जोनाथन बोरवेइन और पीटर बोरवीन द्वारा 1985 में पाया गया, बहुत तेजी से परिवर्तित होता है:

के लिए $y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$ और

$y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})$

जहाँ $f(y)=(1-y^{4})^{1/4}$, क्रम $1/a_{k}$ अभिसरण की दर π, तीन चरणों में लगभग 100 अंक और 20 चरणों के बाद एक ट्रिलियन से अधिक अंक देता है। गॉस-लीजेन्ड्रे एल्गोरिथ्म (समय जटिलता के साथ)। $O(n\log ^{2}n)$फ्यूरर के एल्गोरिदम#बेहतर एल्गोरिदम|हार्वे-होवेन गुणन एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, चुडनोव्स्की एल्गोरिदम (समय जटिलता के साथ) की तुलना में एसिम्प्टोटिक रूप से तेज़ है $O(n\log ^{3}n)$) - लेकिन इनमें से कौन सा एल्गोरिदम व्यवहार में काफी छोटे के लिए तेज़ है $n$ मेमोरी आकार और रैंडम एक्सेस मेमोरी जैसे तकनीकी कारकों पर निर्भर करता है। विश्व रिकॉर्ड तोड़ने के लिए, पुनरावृत्त एल्गोरिदम का उपयोग चुडनोव्स्की एल्गोरिदम की तुलना में कम किया जाता है क्योंकि वे स्मृति-गहन होते हैं।

के पहले दस लाख अंक π और 1⁄π प्रोजेक्ट गुटेनबर्ग से उपलब्ध हैं। टोक्यो विश्वविद्यालय के यासुमासा कनाडा का एक पूर्व गणना रिकॉर्ड (दिसंबर 2002) 1.24 ट्रिलियन अंकों का था, जिसकी गणना सितंबर 2002 में 64-नोड हिताची, लिमिटेड सुपरकंप्यूटर पर 1 टेराबाइट मुख्य मेमोरी के साथ की गई थी, जो प्रति सेकंड 2 ट्रिलियन ऑपरेशन करता है, जो पिछले रिकॉर्ड (206 बिलियन अंक) के लिए उपयोग किए गए कंप्यूटर से लगभग दोगुना है। इसके लिए निम्नलिखित मशीन जैसे सूत्रों का उपयोग किया गया:

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$ (किकुओ ताकानो | किकुओ ताकानो (1982))

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$ (कार्ल स्टॉर्मर|एफ.सी.एम.स्टॉर्मर(1896))।

इन सन्निकटनों में इतने अधिक अंक हैं कि नए सुपर कंप्यूटरों के परीक्षण के अतिरिक्त इनका अब कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं रह गया है। पाई की संभावित सामान्य संख्या जैसे गुण|π हमेशा अंत में अंकों की अनंत श्रृंखला पर निर्भर करेगा, किसी सीमित गणना पर नहीं।

विविध सन्निकटन

ऐतिहासिक रूप से, गणना के लिए मूलांक 60 का उपयोग किया जाता था। इस आधार में, π संख्या 3;8,29,44₆₀ के साथ आठ (दशमलव) महत्वपूर्ण अंकों तक अनुमानित किया जा सकता है, जो है

$3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}$

(अगला साठवाँ अंक 0 है, जिससे यहां काट-छांट करने से अपेक्षाकृत अच्छा सन्निकटन प्राप्त होता है।)

इसके अतिरिक्त, अनुमान लगाने के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का उपयोग किया जा सकता है π:

• तीन अंकों तक सटीक:

${\frac {22}{7}}=3.143^{+}$

• तीन अंकों तक सटीक:

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}$

कार्ल पॉपर ने अनुमान लगाया कि प्लेटो इस अभिव्यक्ति को जानता था, कि वह इसे बिल्कुल सही मानता था π, और यह गणितीय ज्यामिति की सर्वव्यापीता में प्लेटो के कुछ विश्वास के लिए जिम्मेदार है - और प्लेटो द्वारा विशेष समकोण त्रिभुजों की बार-बार की गई चर्चा जो या तो समद्विबाहु या समबाहु त्रिभुजों के आधे हैं।

${\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}$

• चार अंकों तक सटीक:

${\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}$

${\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}$

${\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}$

• चार अंकों (या पाँच महत्वपूर्ण अंकों) तक सटीक:

${\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}$

• रामानुजन द्वारा एक अनुमान, 4 अंकों (या पाँच महत्वपूर्ण अंकों) तक सटीक:

${\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}$

• पाँच अंकों तक सटीक:

${\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}$

${\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}$

• छह अंकों तक सटीक:

$\left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}$

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}$

$4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}$

• सात अंकों तक सटीक:

${\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}$

${\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}$

${\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}$ - रामानुजन श्रृंखला के प्रथम पद का व्युत्क्रम।

$\left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}$

• आठ अंकों तक सटीक:

${\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}$

${\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}$

${\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}$

$\left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}$

यह वह स्थिति है जिसे रामानुजन के अनुमान (22) से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

• नौ अंकों तक सटीक:

${\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}$

यह रामानुजन का है, जिन्होंने दावा किया था कि पंजीकरण तैयार है ने उन्हें सपने में दर्शन दिए थे और उन्हें इसका सही मूल्य बताया था। π.

• दस अंकों तक सटीक:

${\sqrt[{15}]{28658146}}$

• दस अंकों तक सटीक:

${\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}$

• दस अंकों (या ग्यारह महत्वपूर्ण अंक) तक सटीक:

${\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}$

यह विचित्र अनुमान इस अवलोकन का अनुसरण करता है कि 1/ की 193वीं घातπ अनुक्रम प्राप्त होता है 1122211125... 5 को 2 से बदलने से सही अंकों को कम किए बिना समरूपता पूरी हो जाती है π, एक केंद्रीय दशमलव बिंदु डालने पर उल्लेखनीय रूप से संबंधित परिमाण 10 पर स्थिर हो जाता है¹⁰⁰.

• ग्यारह अंकों तक सटीक:

${\sqrt[{18}]{888582403}}$

• बारह अंकों तक सटीक:

${\sqrt[{20}]{8769956796}}$

• 12 दशमलव स्थानों तक सटीक:

$\left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}$

यह चुडनोव्स्की श्रृंखला से प्राप्त किया गया है (श्रृंखला को छोटा करें (1.4) पहले कार्यकाल में और जाने दो E₆(τ₁₆₃)²/E₄(τ₁₆₃)³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• 16 अंकों तक सटीक:

${\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}$ - रामानुजन श्रृंखला के प्रथम दो पदों के योग का व्युत्क्रम।

${\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 897\ 934^{+}$

• 18 अंकों तक सटीक:

${\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}$<रेफरी नाम= सेटिनहकीमोग्लू-ब्राउन >"अंक शास्त्र".</ref>

यह मौलिक विभेदक d = 3(89) = 267 पर आधारित है जिसकी वर्ग संख्या h(-d) = 2 है जो डिग्री 2 की बीजगणितीय संख्याओं को समझाती है। मूल मूलक $\scriptstyle 5^{4}+53{\sqrt {89}}$ मूल इकाई $\scriptstyle U_{89}=500+53{\sqrt {89}}$ से 53 अधिक है +5389 जो पेल समीकरण x²-89y²=−1 का सबसे छोटा समाधान { x, y} = {500, 53} देता है।

• 18 दशमलव स्थानों तक सटीक:

$\left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}$

यह रामानुजन के पेपर में अनुमान (22) है साथ n = 253.

• 24 अंकों तक सटीक:

${\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}$ - रामानुजन श्रृंखला के प्रथम तीन पदों के योग का व्युत्क्रम।

• 25 दशमलव स्थानों तक सटीक:

${\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)$

यह रामानुजन के वर्ग अपरिवर्तनीय से लिया गया है g₁₀₀ = 2^5/8/(5^1/4−1).

• 30 दशमलव स्थानों तक सटीक:

${\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}$

रामानुजन स्थिरांक की पूर्णांक 640320 से निकटता से व्युत्पन्न³+744. यह पूर्णांकों में स्पष्ट सामान्यीकरण को स्वीकार नहीं करता है, क्योंकि बाइनरी द्विघात रूप h(−d) = 1 के साथ केवल सीमित संख्या में हीगनर संख्याएं और नकारात्मक विभेदक d हैं, और d = 163 निरपेक्ष मान में सबसे बड़ा है।

• 52 दशमलव स्थानों तक सटीक:

${\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}$

उपरोक्त की तरह, जे-अपरिवर्तनीय का परिणाम। वर्ग संख्या 2 वाले नकारात्मक विभेदकों में, यह निरपेक्ष मूल्य में सबसे बड़ा है।

• 52 दशमलव स्थानों तक सटीक:

${\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}$

यह रामानुजन के वर्ग अपरिवर्तनीय से लिया गया है G₃₈₅.*161 दशमलव स्थानों तक सटीक:

${\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}$

जहाँ u चार सरल चतुर्थक इकाइयों का गुणनफल है,

$u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})$

और,

${\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}$

डेनियल शैंक्स द्वारा पाए गए एक पर आधारित। पिछले दो के समान, लेकिन इस बार एक मॉड्यूलर रूप का भागफल है, अर्थात् डेडेकाइंड और फ़ंक्शन, और जहां तर्क सम्मिलित है $\tau ={\sqrt {-3502}}$. विवेचक d = 3502 में h(−d) = 16 है।

• का निरंतर अंश प्रतिनिधित्व π का उपयोग क्रमिक सर्वोत्तम तर्कसंगत सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। ये सन्निकटन सर्वोत्तम संभावित तर्कसंगत सन्निकटन हैं π उनके हर के आकार के सापेक्ष। इनमें से पहले तेरह की सूची यहां दी गई है:

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}$

यहाँ इन, ${\frac {355}{113}}$ इस क्रम में एकमात्र अंश है जो अधिक सटीक अंक देता है π (अर्थात 7) इसे अनुमानित करने के लिए आवश्यक अंकों की संख्या (अर्थात् 6) से अधिक। बड़े अंशों और हर वाले अन्य भिन्नों का उपयोग करके सटीकता में सुधार किया जा सकता है, लेकिन, ऐसे अधिकांश भिन्नों के लिए, परिणाम में प्राप्त सही महत्वपूर्ण अंकों की तुलना में सन्निकटन में अधिक अंकों की आवश्यकता होती है।

वृत्त के क्षेत्रफल का योग

का संख्यात्मक सन्निकटन π: चूँकि बिंदु इकाई वर्ग के अंदर बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं, कुछ इकाई वृत्त के भीतर आते हैं। वृत्त के अंदर बिंदुओं का अंश निकट आता है π/4 जैसे-जैसे अंक जुड़ते हैं।

पाई को एक वृत्त से प्राप्त किया जा सकता है यदि इसकी त्रिज्या और क्षेत्रफल संबंध का उपयोग करके ज्ञात हो:

$A=\pi r^{2}.$

यदि त्रिज्या वाला एक वृत्तr को इसके केंद्र के साथ बिंदु (0, 0) पर खींचा जाता है, कोई भी बिंदु जिसकी मूल से दूरी कम हैr घेरे के अंदर आ जायेगा. पाइथागोरस प्रमेय किसी भी बिंदु से दूरी बताता है (x, y) केंद्र के लिए:

$d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

गणितीय ग्राफ़ पेपर प्रत्येक कोशिका के चारों ओर केन्द्रित 1×1 ​​वर्ग की कल्पना करके बनाया जाता है (x, y), जहाँ x और y - के बीच पूर्णांक हैंr और r. वे वर्ग जिनका केंद्र वृत्त के अंदर या बिल्कुल सीमा पर स्थित है, उन्हें परीक्षण करके गिना जा सकता है कि क्या, प्रत्येक कोशिका के लिए (x, y),

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.$

इस प्रकार उस स्थिति को संतुष्ट करने वाली कोशिकाओं की कुल संख्या वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमान लगाती है, जिसका उपयोग अनुमानित गणना के लिए किया जा सकता है π. के बड़े मानों का उपयोग करके निकट सन्निकटन उत्पन्न किया जा सकता है r.

गणितीय रूप से, यह सूत्र लिखा जा सकता है:

$\pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}$

दूसरे शब्दों में, इसके लिए एक मान चुनकर प्रारम्भ करें r. सभी कोशिकाओं पर विचार करें (x, y) जिसमें दोनों x और y - के बीच पूर्णांक हैंr और r. 0 से प्रारम्भ करके, प्रत्येक सेल के लिए 1 जोड़ें जिसकी मूल से दूरी (0,0) से कम या उसके बराबर हैr. समाप्त होने पर, त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल को दर्शाते हुए योग को विभाजित करें r, द्वारा r²का सन्निकटन ज्ञात करना π. उदाहरण के लिए, यदि r 5 है, तो मानी गई कोशिकाएँ हैं:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

यह वृत्त मानो कार्तीय निर्देशांक ग्राफ पर खींचा गया होगा। कोशिकाओं (±3, ±4) और (±4, ±3) को लेबल किया गया है।

12 कोशिकाएँ (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) बिल्कुल वृत्त पर हैं, और 69 कोशिकाएँ पूरी तरह से अंदर हैं, इसलिए अनुमानित क्षेत्रफल 81 है, और π की गणना लगभग 3.24 है क्योंकि 81⁄5²=3.24. के कुछ मूल्यों के लिए परिणाम r नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए हैं:

r	area	approximation of π
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

संबंधित परिणामों के लिए देखें वृत्त समस्या: x^2 + y^2 <= n के साथ वर्गाकार जाली में बिंदुओं की संख्या (x,y)।

इसी प्रकार, अधिक जटिल सन्निकटन {{π}नीचे दिए गए } में किसी प्रकार की बार-बार की गई गणनाएँ सम्मिलित हैं, जिससे गणनाओं की बढ़ती संख्या के साथ निकट और निकट सन्निकटन प्राप्त होते हैं।

निरंतर भिन्न

इसके सरल निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व के अतिरिक्त [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,...], जो कोई स्पष्ट पैटर्न प्रदर्शित नहीं करता है, π में इन दोनों सहित, एक सरल नियम द्वारा उत्पन्न कई सामान्यीकृत निरंतर भिन्न निरूपण हैं।

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}$

π|माधव-लीबनिज श्रृंखला के लिए लाइबनिज सूत्र के शेष को निम्नानुसार सामान्यीकृत निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )$

ध्यान दें कि माधव का सुधार शब्द है

${\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}$.

सुप्रसिद्ध मूल्य 22⁄7 और 355⁄113 क्रमशः π का ​​दूसरा और चौथा निरंतर भिन्न सन्निकटन है। (अन्य अभ्यावेदन वोल्फ्राम फ़ंक्शंस साइट पर उपलब्ध हैं।)

त्रिकोणमिति

ग्रेगरी-लीबनिज़ श्रृंखला

पाई|ग्रेगरी-लीबनिज़ श्रृंखला के लिए लाइबनिज सूत्र

$\pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)$

आर्कटिक(x) के लिए विशेष घात श्रृंखला है x = 1. यह व्यावहारिक रुचि के लिए बहुत धीरे-धीरे एकत्रित होता है। हालाँकि, छोटे मानों के लिए घात श्रृंखला बहुत तेजी से परिवर्तित होती है $x$, जो सूत्रों की ओर ले जाता है $\pi$ तर्कसंगत स्पर्शरेखा वाले छोटे कोणों के योग के रूप में उत्पन्न होता है, जिसे मशीन-समान सूत्र के रूप में जाना जाता है।

आर्कटेंजेंट

Further information: दोहरा भाज्य

यह जानते हुए कि 4 आर्कटान 1 = π, सूत्र को प्राप्त करने के लिए सरल बनाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}$

ऐसे अभिसरण के साथ कि प्रत्येक अतिरिक्त 10 पद कम से कम तीन और अंक प्राप्त करें।

के लिए एक और फार्मूला $\pi$ आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन को सम्मिलित करना द्वारा दिया गया है

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,$

जहाँ $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ ऐसा है कि $a_{1}={\sqrt {2}}$. उदाहरण के लिए, तेजी से अभिसरण यूलर सूत्र का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है

$\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.$

वैकल्पिक रूप से, आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन की निम्नलिखित सरल विस्तार श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है

$\arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},$

जहाँ

${\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}$

अनुमान लगाना $\pi$ और भी अधिक तीव्र अभिसरण के साथ। इस आर्कटिक सूत्र में अभिसरण $\pi$ पूर्णांक के रूप में सुधार होता है $k$ बढ़ती है।

अटल $\pi$ इसे आर्कटेंजेंट फ़ंक्शंस के अनंत योग द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots$

और

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},$

जहाँ $F_{n}$ n-वाँ फाइबोनैचि संख्या है. हालाँकि, ये दो सूत्र हैं $\pi$ गणना में सम्मिलित आर्कटेंजेंट फ़ंक्शंस के सेट के कारण अभिसरण में बहुत धीमी हैं।

आर्क्साइन

एक समबाहु त्रिभुज का अवलोकन करना और उसे नोट करना

$\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}$

${\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}$

ऐसे अभिसरण के साथ कि प्रत्येक अतिरिक्त पाँच पदों से कम से कम तीन और अंक प्राप्त हों।

अंक निष्कर्षण विधियाँ

गणना के लिए बेली-बोरवीन-प्लौफ़े फॉर्मूला (बीबीपी)। π की खोज 1995 में साइमन प्लॉफ़े ने की थी। हेक्साडेसिमल का उपयोग करना|base 16गणित, सूत्र किसी भी विशेष अंक की गणना कर सकता है π-अंक का हेक्साडेसिमल मान लौटाना-बीच वाले अंकों की गणना किए बिना (अंक निष्कर्षण)।

$\pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}$

1996 में, साइमन प्लॉफ़े ने इसे निकालने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार किया n का दशमलव अंक π (आधार का उपयोग करके आधार निकालने के लिए 10 गणित10 अंक), और जो बेहतर गति O(n³(log n)³) के साथ ऐसा कर सकता है। एल्गोरिथम को किसी सरणी या मैट्रिक्स के भंडारण के लिए वस्तुतः किसी मेमोरी की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए दस लाखवां अंक π की गणना पॉकेट कैलकुलेटर का उपयोग करके की जा सकती है। हालाँकि, ऐसा करना काफी कठिन और अव्यवहारिक होगा।

$\pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}$

प्लॉफ़े के सूत्र की गणना गति में सुधार किया गया O(n²) फैब्रिस बेलार्ड द्वारा, जिन्होंने एक वैकल्पिक सूत्र निकाला (यद्यपि केवल आधार में)। 2 गणित) कंप्यूटिंग के लिए π.

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)$

कुशल विधियां

के लिए कई अन्य अभिव्यक्तियाँ π भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन द्वारा विकसित और प्रकाशित किए गए थे। उन्होंने कई वर्षों तक इंग्लैंड में गणितज्ञ गॉडफ्रे हेरोल्ड हार्डी के साथ काम किया।

का अत्यंत लंबा दशमलव विस्तार π की गणना सामान्यतः गॉस-लीजेंडर एल्गोरिदम और बोरवीन के एल्गोरिदम के साथ की जाती है; सलामिन-ब्रेंट एल्गोरिदम, जिसका आविष्कार 1976 में किया गया था, का भी उपयोग किया गया है।

1997 में, डेविड एच. बेली (गणितज्ञ)|डेविड एच. बेली, पीटर बोरवेइन और साइमन प्लॉफ़े ने बेली-बोरवेइन-प्लॉफ़े सूत्र पर एक पेपर (बेली, 1997) प्रकाशित किया π एक अनंत श्रृंखला के रूप में:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).$

यह सूत्र किसी को kth बाइनरी अंक प्रणाली या हेक्साडेसिमल अंक की आसानी से गणना करने की अनुमति देता है π, पूर्ववर्ती k − 1 अंक की गणना किए बिना। बेली की वेबसाइट इसमें विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में व्युत्पत्ति के साथ-साथ कार्यान्वयन भी सम्मिलित है। PiHex प्रोजेक्ट ने बड़ी संख्या वाले बिट के नामों के आसपास 64 बिट्स की गणना की π (जो 0 निकला)।

फैब्रिस बेलार्ड ने बेलार्ड के फॉर्मूले के साथ बीबीपी में और सुधार किया:

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)$

अन्य सूत्र जिनका उपयोग अनुमानों की गणना के लिए किया गया है π सम्मिलित करना:

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)$

आइजैक न्यूटन।

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

श्रीनिवास रामानुजन.

यह असाधारण तेजी से अभिसरण होता है। रामानुजन का कार्य सहस्राब्दी की प्रारम्भ में गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे तेज़ एल्गोरिदम का आधार है π.

1988 में, डेविड चुडनोव्स्की (गणितज्ञ) और ग्रेगरी चुडनोव्स्की ने और भी तेज़-अभिसरण श्रृंखला (चुडनोव्स्की एल्गोरिदम) पाई:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}$.

पाई से एन सही अंकों की गणना के लिए विभिन्न एल्गोरिदम की गति एसिम्प्टोटिक जटिलता के अवरोही क्रम में नीचे दिखाई गई है। M(n) नियोजित गुणन एल्गोरिथ्म की जटिलता है।

एल्गोरिदम	वर्ष	समय की जटिलता या गति
गॉस-लीजेंड्रे एल्गोरिदम	1975	$O(M(n)\log(n))$
चुडनोव्स्की एल्गोरिदम	1988	$O(n\log(n)^{3})$
मैकिन के सूत्र में आर्कटान श्रृंखला का द्विआधारी विभाजन		$O(M(n)(\log n)^{2})$
π के लिए लीबनिज सूत्र	1300s	अधोरेखीय अभिसरण। 10 सही दशमलव स्थानों के लिए पांच अरब पद

प्रोजेक्ट

पाइ हेक्स

पाइ हेक्स कई सौ कंप्यूटरों के वितरित नेटवर्क का उपयोग करके π के तीन विशिष्ट बाइनरी अंकों की गणना करने की एक परियोजना थी। 2000 में, दो वर्षों के बाद, परियोजना ने पाँच ट्रिलियनवें (5*10¹²), चालीस ट्रिलियनवें और क्वाड्रिलियनवें (10¹⁵) बिट्स की गणना समाप्त कर दी। उनमें से तीनों 0 निकले।

π गणना के लिए सॉफ्टवेयर

वर्षों से, पर्सनल कंप्यूटर पर π से कई अंकों तक की गणना के लिए कई प्रोग्राम लिखे गए हैं।

सामान्य उद्देश्य

अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ π और अन्य सामान्य गणितीय स्थिरांकों की किसी भी वांछित परिशुद्धता से गणना कर सकती हैं।

π की गणना के लिए फ़ंक्शन मनमाने ढंग से सटीक अंकगणित के लिए कई सामान्य पुस्तकालयों में भी सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए संख्याओं के लिए क्लास लाइब्रेरी, एमपीएफआर और सिम्पी।

विशेष प्रयोजन

π की गणना के लिए डिज़ाइन किए गए प्रोग्राम का प्रदर्शन सामान्य प्रयोजन गणितीय सॉफ़्टवेयर से बेहतर हो सकता है। वे सामान्यतः बेहद लंबे समय तक चलने वाली और मेमोरी-महंगी गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए चेकपॉइंटिंग और कुशल डिस्क स्वैपिंग लागू करते हैं।

• फैब्रिस बेलार्ड का टैचसपी वह प्रोग्राम है जिसका उपयोग उन्होंने 2009 में पाई के अंकों की विश्व रिकॉर्ड संख्या की गणना करने के लिए किया था।
• अलेक्जेंडर यी द्वारा y-क्रंचर वह प्रोग्राम है जिसका उपयोग 2010 में शिगेरु कोंडो के बाद से प्रत्येक विश्व रिकॉर्ड धारक ने अंकों की विश्व रिकॉर्ड संख्या की गणना करने के लिए किया है। y-क्रंचर का उपयोग अन्य स्थिरांकों की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है और उनमें से कई के लिए विश्व रिकॉर्ड रखता है।
• 2003 में ज़ेवियर गौर्डन का पाईफास्ट माइक्रोसॉफ्ट विंडोज़ के लिए सबसे तेज़ प्रोग्राम था। इसके लेखक के अनुसार, यह 2.4 GHz पेंटियम 4 पर 3.5 सेकंड में दस लाख अंकों की गणना कर सकता है। पाईफास्ट e और √2 जैसी अन्य अपरिमेय संख्याओं की भी गणना कर सकता है। यह बहुत कम मेमोरी (एक अरब (109) से अधिक अंकों की गणना करने के लिए कुछ दसियों मेगाबाइट तक) के साथ कम दक्षता पर भी काम कर सकता है। यह टूल ओवरक्लॉकिंग समुदाय में एक लोकप्रिय बेंचमार्क है। पाईफास्ट 4.4 Stu के π पेज पर उपलब्ध है। पाईफास्ट 4.3 गौरडन के पेज पर उपलब्ध है।
• विंडोज़ के लिए स्टीव पग्लियारुलो द्वारा क्विकपीआई 400 मिलियन अंकों से कम के रन के लिए पिफ़ास्ट से तेज़ है। संस्करण 4.5 नीचे स्टु के पाई पेज पर उपलब्ध है। पाईफास्ट की तरह, क्विकपाई अन्य अपरिमेय संख्याओं जैसे e, √2, और √3 की भी गणना कर सकता है। सॉफ्टवेयर पाई-हैक्स याहू! से प्राप्त किया जा सकता है। फोरम, या स्टु के पाई पेज से।
• टोक्यो विश्वविद्यालय में कनाडा प्रयोगशाला द्वारा सुपर पीआई माइक्रोसॉफ्ट विंडोज़ के लिए 16,000 से 33,550,000 अंकों तक चलने वाला कार्यक्रम है। यह पेंटियम 90 मेगाहर्ट्ज पर 40 मिनट में एक मिलियन अंक, 90 मिनट में दो मिलियन अंक और 220 मिनट में चार मिलियन अंक की गणना कर सकता है। सुपर पीआई संस्करण 1.9 सुपर पीआई 1.9 पृष्ठ से उपलब्ध है।

यह भी देखें

• मिलु
• माधव का सुधार शब्द
• पाई 3 है

संदर्भ

• Bailey, David H.; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
• Beckmann, Petr (1971). A History of π. New York: St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960. {{cite book}}: Check |title= value (help)
• Eves, Howard (1992). An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.). Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (New ed., London : Penguin ed.). London: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4.
• Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pyramid: Beyond Imagination. Inside the Great Pyramid of Giza. London: BBC. ISBN 9780563488033.
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004). Pi: a source book (3rd ed.). New York: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.