Π का अनुमान

गणित के इतिहास में गणितीय स्थिरांक (π) के अनुमान सामान्य युग की प्रारम्भ से पहले वास्तविक मान के 0.04% के भीतर सटीकता तक पहुँच गए थे। चीनी गणित में, इसे 5वीं शताब्दी तक लगभग सात दशमलव अंकों के अनुरूप सही सन्निकटन तक सुधार दिया गया था।

15वीं सदी तक (जमशेद अल-काशी के प्रयासों से) आगे प्रगति नहीं हुई थी। प्रारंभिक आधुनिक गणितज्ञ 17वीं शताब्दी (लुडोल्फ वैन सेउलेन) की प्रारम्भ तक 35 अंकों की सटीकता तक पहुंच गए, और 19वीं शताब्दी (ज्यूरिज वेगा) तक 126 अंकों तक पहुंच गए, जो शुद्ध गणित के बाहर किसी भी कल्पनीय अनुप्रयोग के लिए आवश्यक सटीकता को पार कर गया।

π के मैनुअल अनुमान का रिकॉर्ड विलियम शैंक्स के पास है, जिन्होंने 1853 में 527 अंकों की सही गणना की थी। 20वीं शताब्दी के मध्य से, π का सन्निकटन इलेक्ट्रॉनिक डिजिटल कंप्यूटरों का कार्य रहा है (एक व्यापक विवरण के लिए, π की गणना का कालक्रम देखें)। 8 जून 2022 को, वर्तमान रिकॉर्ड एम्मा हारुका इवाओ द्वारा अलेक्जेंडर यी के वाई-क्रंचर के साथ 100 ट्रिलियन (10¹⁴) अंकों के साथ स्थापित किया गया था।

प्रारंभिक इतिहास

सामान्य युग से पहले π के सबसे प्रसिद्ध अनुमान दो दशमलव स्थानों तक सटीक थे; इसमें विशेष रूप से चीनी गणित में पहली सहस्राब्दी के मध्य तक सात दशमलव स्थानों की सटीकता तक सुधार किया गया था। इसके बाद, मध्यकाल के उत्तरार्ध तक कोई और प्रगति नहीं हुई।

कुछ मिस्रविज्ञानियों ने दावा किया है कि प्राचीन मिस्रवासियों ने पुराने साम्राज्य के आरंभ से ही π का अनुमान 22⁄7 = 3.142857 (लगभग 0.04% बहुत अधिक) के रूप में उपयोग किया था। इस दावे को संदेह के साथ स्वीकार किया गया है।

बेबीलोनियाई गणित सामान्यतः π से 3 तक अनुमानित होता है, जो उस समय की वास्तुशिल्प परियोजनाओं के लिए पर्याप्त है (विशेष रूप से हिब्रू बाइबिल में सोलोमन के मंदिर के विवरण में भी परिलक्षित होता है)। बेबीलोनियों को पता था कि यह एक अनुमान था, और 1936 में सुसा के पास खुदाई की गई एक पुरानी बेबीलोनियाई गणितीय गोली (19वीं और 17वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच की) π का बेहतर अनुमान 25⁄8 = 3.125 के रूप में देती है, जो कि लगभग 0.528% कम है। सटीक मूल्य।

लगभग उसी समय, मिस्र का रिहंद गणितीय पेपिरस (द्वितीय मध्यवर्ती काल, लगभग 1600 ईसा पूर्व का, हालांकि इसे पुराने, मध्य साम्राज्य पाठ की एक प्रति कहा जाता है) का तात्पर्य 256⁄81 ≈ 3.16 ( अष्टकोण के सन्निकटन के माध्यम से एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करके 0.6 प्रतिशत तक सटीक)।

शतपथ ब्राह्मण (लगभग 6ठी शताब्दी ईसा पूर्व) में खगोलीय गणना 339⁄108 ≈ 3.139 के भिन्नात्मक अनुमान का उपयोग करती है।[13]

महाभारत (500 ईसा पूर्व - 300 सीई) भीष्म पर्व छंदों में दिए गए अनुपात में 3 का अनुमान प्रस्तुत करता है: 6.12.40-45।

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स्मृति द्वारा चंद्रमा का व्यास ग्यारह हजार योजन बताया गया है। गणना करने पर इसकी परिधीय परिधि तैंतीस हजार योजन होती है।

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सूर्य आठ हजार योजन तथा व्यास दो हजार योजन है। उससे इसकी परिधीय परिधि तीस हजार योजन के बराबर होती है।

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, आर्किमिडीज़ ने नियमित 96-गॉन (क्रमशः 2·10⁻⁴ और 4·10⁻⁴, की सटीकता) के माध्यम से तीव्र असमानताओं 223⁄71 < π < 22⁄7,को सिद्ध किया।

दूसरी शताब्दी ईस्वी में, टॉलेमी ने मान 377⁄120 का उपयोग किया, जो तीन दशमलव स्थानों (सटीकता 2·10⁻⁵) तक सटीक पहला ज्ञात अनुमान था। यह $3+8/60+30/60^{2},$ के बराबर है जो कि दो साठवाँ अंकों तक सटीक है।

263 ई. में चीनी गणितज्ञ लियू हुई ने 96-गॉन और 192-गॉन लिखकर 3.141024 और 3.142708 के बीच π की गणना की; इन दोनों मानों का औसत 3.141866 (सटीकता 9·10⁻⁵) है। उन्होंने यह भी सुझाव दिया कि व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए 3.14 एक अच्छा सन्निकटन था। उन्हें प्रायः बाद के और अधिक सटीक परिणाम का श्रेय भी दिया गया है, π ≈ 3927⁄1250 = 3.1416 (सटीकता 2·10⁻⁶), हालांकि कुछ विद्वानों का मानना है कि यह बाद के (5वीं शताब्दी) चीनी गणितज्ञ ज़ू के कारण है चोंगज़ी. ऐसा माना जाता है कि ज़ू चोंगज़ी ने π की गणना 3.1415926 और 3.1415927 के बीच की थी, जो सात दशमलव स्थानों तक सही थी। उन्होंने π के दो अन्य अनुमान भी दिए: π ≈ 22⁄7 और π ≈ 355⁄113, जो उनके दशमलव परिणाम जितने सटीक नहीं हैं। बाद वाला अंश अंश और हर में पांच से कम दशमलव अंकों का उपयोग करके π का सर्वोत्तम संभव तर्कसंगत अनुमान है। ज़ू चोंगज़ी के नतीजे हेलेनिस्टिक गणित में प्राप्त सटीकता से कहीं बेहतर हैं, और लगभग एक सहस्राब्दी तक इसमें सुधार नहीं होगा।

गुप्त-युग के भारत (छठी शताब्दी) में, गणितज्ञ आर्यभट्ट ने अपने खगोलीय ग्रंथ आर्यभट्ट में कहा:

100 में 4 जोड़ें, 8 से गुणा करें और 62,000 में जोड़ें। यह 'लगभग' एक वृत्त की परिधि है जिसका व्यास 20,000 है।

अनुमान करने वाले π चार दशमलव स्थानों तक: π ≈ 62832⁄20000 = 3.1416, आर्यभट्ट ने कहा कि उनका परिणाम लगभग (āsanna निकट आते हुए ) ने एक वृत्त की परिधि दी। उनके 15वीं सदी के टीकाकार नीलकण्ठा सोमयाजी (केरल खगोल विज्ञान और गणित स्कूल) ने तर्क दिया है कि इस शब्द का अर्थ न केवल यह है कि यह एक अनुमान है, बल्कि यह कि मान अपरिमेय संख्याअतुलनीय (तर्कहीन) है।

मध्य युग

14वीं शताब्दी तक, लगभग एक सहस्राब्दी तक आगे की प्रगति नहीं हुई, जब संगमग्राम के भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री माधव, जो केरल के खगोल विज्ञान और गणित स्कूल के संस्थापक थे, ने आर्कटेंजेंट के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला और फिर इसके लिए दो श्रृंखला (गणित) की खोज की। π. उनमें से एक को अब π|माधव-लीबनिज श्रृंखला के लिए लाइबनिज सूत्र के रूप में जाना जाता है, जो $\pi =4\arctan(1):$ पर आधारित है

$\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}...\right)$

दूसरे पर आधारित था $\pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):$

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

File:Comparison pi infinite series.svg

Comparison of the convergence of two Madhava series (the one with √12 in dark blue) and several historical infinite series for π. S_n is the approximation after taking n terms. Each subsequent subplot magnifies the shaded area horizontally by 10 times. (click for detail)

उन्होंने अनुमानित गणना करने के लिए पहले 21 शब्दों का उपयोग किया π 11 दशमलव स्थानों तक सही करें 3.14159265359.

उन्होंने एक सुधार सम्मिलित करके आर्कटान(1) पर आधारित सूत्र में भी सुधार किया:

$\pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...-{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}$

यह ज्ञात नहीं है कि उन्होंने यह सुधार कैसे किया। इसका उपयोग करके उन्होंने इसका एक अनुमान पाया π सटीकता के 13 दशमलव स्थानों तक जबn = 75.

जमशेद अल-काशी (काशानी), एक इस्लामी खगोल विज्ञान और इस्लामी गणित, ने 2 के भिन्नात्मक भाग की सही गणना की π1424 में 9 साठवाँ अंक तक, और इसे 16 दशमलव अंकों में अनुवादित किया दशमलव बिंदु के बाद:

$2\pi \approx 6.2831853071795864,$

जो दशमलव बिंदु के बाद π के लिए 16 सही अंक देता है:

$\pi \approx 3.1415926535897932$

उन्होंने 3×2²⁸ के साथ एक नियमित बहुभुज की परिधि की गणना करके सटीकता का यह स्तर हासिल किया पक्ष।

16वीं से 19वीं शताब्दी

16वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस वियेटे ने एक अनंत उत्पाद की खोज की जो कि परिवर्तित हो गया π वियेटे के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

जर्मन-डच गणितज्ञ लुडोल्फ वैन सेउलेन (लगभग 1600) ने पहले 35 दशमलव स्थानों की गणना की π 2 के साथ⁶²-गोन. उन्हें इस उपलब्धि पर इतना गर्व था कि उन्होंने �