3डी रोटेशन समूह

3डी रोटेशन समूह,शास्त्रीय यांत्रिकी और ज्यामिति में जिसे अधिकांशतः विशेष ऑर्थोगोनल समूह (3) से दर्शाया जाता है, त्रि-आयामी समिष्ट की उत्पत्ति (गणित) के बारे में सभी घुमावों का समूह (गणित) है। त्रि-आयामी समिष्ट $\mathbb {R} ^{3}$ फलन संरचना के संचालन के अनुसार आता है।

परिभाषा के अनुसार, मूल के बारे में घूर्णन परिवर्तन है जो मूल, यूक्लिडियन दूरी (इसलिए यह आइसोमेट्री है), और अभिविन्यास को संरक्षित करता है। दो घूर्णनों को संयोजित करने से एक और घूर्णन होता है, प्रत्येक घूर्णन में अद्वितीय व्युत्क्रम फलन घूर्णन होता है, और पहचान मानचित्र घूर्णन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों (मिश्रित घुमावों की साहचर्य संपत्ति के साथ) के कारण, सभी घुमावों का समूह संरचना के अनुसार समूह (गणित) है।

प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन उसके घूर्णन अक्ष (मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा) और उसके घूर्णन कोण द्वारा निर्धारित होता है। घूर्णन क्रमविनिमेय नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, x-y समतल में R 90° को यात्रा करने के बाद y-z समतल में S 90° को यात्रा करना R को यात्रा करने के समान नहीं है), जिससे 3डी घूर्णन समूह गैर-एबेलियन समूह बन जाता है। इसके अतिरिक्त, रोटेशन समूह में प्राकृतिक संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन सुचारू कार्य होता है, इसलिए यह वास्तव में लाइ समूह है। यह सघन समिष्ट है और इसका आयाम 3 है।

घूर्णन रैखिक परिवर्तन $\mathbb {R} ^{3}$ हैं और इसलिए इसे सदिश समष्टि के आधार पर बार आव्युह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ चुना गया है। विशेष रूप से, यदि हम लम्बवत आधार चुनते हैं $\mathbb {R} ^{3}$, प्रत्येक रोटेशन को ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा वर्णित किया गया है। ऑर्थोगोनल 3 × 3 आव्युह (अर्थात , वास्तविक प्रविष्टियों के साथ 3 × 3 आव्युह , जो इसके स्थानान्तरण से गुणा होने पर, पहचान आव्युह में परिणत होता है) निर्धारक 1 के साथ। समूह SO(3) इसलिए आव्युह गुणन के अनुसार इन आव्युह के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। इन आव्यूहों को विशेष ऑर्थोगोनल आव्यूह के रूप में जाना जाता है, जो संकेतन SO(3) की व्याख्या करते हैं।

समूह SO(3) का उपयोग किसी वस्तु की संभावित घूर्णी समरूपता, साथ ही समिष्ट में किसी वस्तु के संभावित अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसके समूह निरूपण भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं, जहां वे पूर्णांक स्पिन (भौतिकी) के प्राथमिक कणों का उत्पन्न होता है।

लंबाई और कोण

मात्र लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, घूर्णन सदिशों के बीच के कोणों को भी संरक्षित करता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि दो सदिश u और v के बीच मानक डॉट उत्पाद हो सकता है जो केवल लंबाई के पूर्ण रूप में लिखा जा सकता है।

$$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).$$

इसका परिणाम है कि $\mathbb {R} ^{3}$ में हर लंबाई संरक्षित रूपी रैखिक परिवर्तन डॉट उत्पन्न करता है, और इसलिए सदिश के बीच के कोण को भी संरक्षित करता है। घुमावों को अधिकांशतः रैखिक परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $\mathbb {R} ^{3}$ पर आंतरिक गुणन को संरक्षित रखने के रूप में, जो उन्हें लंबाई को संरक्षित रखने की आवश्यकता के समान है। इस अधिक सामान्य दृष्टिकोण के उपचार के लिए "शास्त्रीय समूह" देखें, जहाँ SO(3) विशेष स्थितियों के रूप में प्रकट होता है।

ऑर्थोगोनल और रोटेशन आव्युह

Main articles: ऑर्थोगोनल आव्युह and रोटेशन आव्युह

प्रत्येक घूर्णन $\mathbb {R} ^{3}$ लंबात्मक आधार का मानचित्रण करता है। किसी अन्य दैहिक आधार पर। परिमित-आयामी सदिश स्थानों के किसी भी रैखिक परिवर्तन की प्रकार , रोटेशन को सदैव आव्युह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना R दिया गया घुमाव हो। मानक आधार के संबंध में e₁, e₂, e₃ का $\mathbb {R} ^{3}$ के कॉलम R द्वारा दिए गए हैं (Re₁, Re₂, Re₃). चूँकि मानक आधार लम्बवत् है, और तब से R कोणों और लंबाई, स्तंभों को सुरक्षित रखता है R और लंबात्मक आधार बनाएं। इस रूढ़िबद्धता की स्थिति को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,$

जहाँ R^T के स्थानान्तरण को दर्शाता है R और I है 3 × 3 शिनाख्त सांचा। वे आव्युह जिनके लिए यह गुण धारण करता है, ऑर्थोगोनल आव्युह कहलाते हैं। सबका समूह 3 × 3 ऑर्थोगोनल आव्युह को दर्शाया गया है O(3), और इसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव सम्मलित हैं।

लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, उचित घुमाव को अभिविन्यास को भी संरक्षित करना रखना आवश्यक है। आव्युह का निर्धारक धनात्मक है या ऋधात्मक, इसके अनुसार आव्युह अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देगा। ऑर्थोगोनल आव्युह के लिए R, ध्यान दें कि det R^T = det R तात्पर्य (det R)² = 1, जिससे कि det R = ±1. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह का उपसमूह +1 को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है, जिसे दर्शाया गया है SO(3).

इस प्रकार प्रत्येक घुमाव को इकाई निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि घूर्णन की संरचना आव्युह गुणन से मेल खाती है, इसलिए घूर्णन समूह विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3) के समरूपी है।

अनुचित घुमाव निर्धारक −1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह के अनुरूप होते हैं, और वे समूह नहीं बनाते क्योंकि दो अनुचित घुमावों का गुणनफल उचित घुमाव होता है।

समूह संरचना

रोटेशन समूह फलन संरचना (या समकक्ष आव्युह उत्पाद) के अंतर्गत समूह (गणित) है। यह सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जिसमें वास्तविक समन्वय समिष्ट के सभी उलटा आव्युह रैखिक परिवर्तन सम्मलित हैं । वास्तविक 3-समिष्ट $\mathbb {R} ^{3}$.

इसके अतिरिक्त, घूर्णन समूह नॉनबेलियन समूह है। अर्थात्, घुमावों की रचना के क्रम से असमानता पड़ता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक x-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर और उसके बाद धनात्मक y-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर, पहले y और फिर x के चारों ओर घूमने से प्राप्त घुमाव से भिन्न घूर्णन है।

ऑर्थोगोनल समूह, जिसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव सम्मलित हैं, प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। प्रत्येक उचित घुमाव दो प्रतिबिंबों की संरचना है, जो कार्टन-ड्युडोने प्रमेय का विशेष स्थितियों है।

परिमित उपसमूहों का पूर्ण वर्गीकरण

के परिमित उपसमूह $\mathrm {SO} (3)$ पूर्णतः वर्गीकरण प्रमेय हैं।

प्रत्येक परिमित उपसमूह समतल सममिति के दो गणनीय अनंत परिवारों में से किसी के तत्व के लिए समरूपी होता है: चक्रीय समूह $C_{n}$ या डायहेड्रल समूह $D_{2n}$, या तीन अन्य समूहों में से एकचतुष्फलकीय समूह समूह $\cong A_{4}$, अष्टफलकीय समूह $\cong S_{4}$, या इकोसाहेड्रल समूह $\cong A_{5}$.

घूर्णन अक्ष

Main article: अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व

प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित घुमाव 3 आयामों में अद्वितीय 1-आयामी रैखिक उप-समिष्ट को ठीक करता है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है (यह यूलर का घूर्णन प्रमेय है)। ऐसा प्रत्येक घुमाव इस अक्ष के ओर्थोगोनल समतल में सामान्य 2-आयामी घुमाव के रूप में कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक 2-आयामी घुमाव को कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है, इच्छानुसार 3-आयामी घुमाव को इस अक्ष के चारों ओर घूमने के कोण के साथ-साथ घूर्णन की धुरी द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। (तकनीकी तौर पर, किसी को अक्ष के लिए अभिविन्यास निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है और क्या इस अभिविन्यास के संबंध में रोटेशन को [[दक्षिणावर्त और वामावर्त]] या वामावर्त माना जाता है)।

उदाहरण के लिए, कोण φ द्वारा धनात्मक z-अक्ष के बारे में वामावर्त घूर्णन द्वारा दिया जाता है

$R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

इकाई सदिश n दिया गया है $\mathbb {R} ^{3}$ और कोण φ, मान लीजिए R(φ, 'n') 'n' के माध्यम से अक्ष के बारे में वामावर्त घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है ('n' द्वारा निर्धारित अभिविन्यास के साथ)। तब

• R(0, 'n') किसी भी 'n' के लिए पहचान परिवर्तन है
• R(φ, 'n') = R(−φ, −'n')
• आर(π + φ, 'n') = R(π − φ, −'n').

इन गुणों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी घूर्णन को 0 ≤ φ ≤ की सीमा में अद्वितीय कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है। π और इकाई सदिश n ऐसा है

• n इच्छानुसार है यदि φ = 0
• n अद्वितीय है यदि 0 < φ < π
• n चिन्ह (गणित) तक अद्वितीय है यदि φ = π (अर्थात्, घूर्णन R(π, ±n) समान हैं)।

अगले अनुभाग में, घुमावों के इस प्रतिनिधित्व का उपयोग त्रि-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट के साथ स्थलीय रूप से SO(3) की पहचान करने के लिए किया जाता है।

टोपोलॉजी

Main article: घूर्णन का हाइपरस्फेयर

लाई समूह SO(3) वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट से भिन्नता है $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).$

ठोस गेंद पर विचार करें $\mathbb {R} ^{3}$ त्रिज्या का π (अर्थात, के सभी बिंदु $\mathbb {R} ^{3}$ दूरी का π या मूल से कम)। उपरोक्त को देखते हुए, इस गेंद में प्रत्येक बिंदु के लिए घूर्णन होता है, जिसमें अक्ष बिंदु और मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और घूर्णन कोण मूल से बिंदु की दूरी के समान होता है। पहचान घुमाव गेंद के केंद्र पर बिंदु से मेल खाता है। 0 और -π के बीच के कोणों से घूमना मूल बिंदु से समान अक्ष और दूरी पर किन्तु मूल के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु के अनुरूप। शेष मुद्दा यह है कि दो घूर्णन होते हैं और π इसके माध्यम से −π समान हैं। तो हम गेंद की सतह पर एंटीपोडल बिंदुओं को कोटिएंट समिष्ट (टोपोलॉजी) (या साथ गोंद) करते हैं। इस पहचान के बाद, हम रोटेशन समूह के लिए टोपोलॉजिकल समिष्ट होम्योमॉर्फिक पर पहुंचते हैं।

मुख्य रूप से, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद चिकनी मैनिफोल्ड है, और चिकनी कई गुना रोटेशन समूह के लिए भिन्नता है। यह वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान।वास्तविक 3-आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट से भिन्न भी है $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),$ इसलिए उत्तरार्द्ध रोटेशन समूह के लिए टोपोलॉजिकल मॉडल के रूप में भी काम कर सकता है।

ये पहचान दर्शाती हैं कि SO(3) जुड़ा हुआ समिष्ट है किन्तु केवल जुड़ा हुआ नहीं है। उत्तरार्द्ध के संबंध में, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे आंतरिक भाग से होते हुए दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाले पथ पर विचार करें। यह बंद लूप है, क्योंकि उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव की पहचान की जाती है। इस लूप को बिंदु तक छोटा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप लूप को कैसे विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु को एंटीपोडल रहना होगा, अन्यथा लूप टूट कर खुल जाएगा। घूर्णन के संदर्भ में, यह लूप z-अक्ष के बारे में घूर्णन के निरंतर अनुक्रम का प�