अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)

Not to be confused with अभिविन्यास(ज्यामिति).

बाएं हाथ का अभिविन्यास बाईं ओर दिखाया गया है, और दाएं हाथ का दाईं ओर।

एक वास्तविक सदिश समष्टि का अभिविन्यास(ओरिएंटेशन ऑफ़ रियल सदिश स्पेस) या एक सदिश समष्टि का अभिविन्यास मनमाना विकल्प है, जिसके क्रमबद्ध आधारक(रैखिक बीजगणित) सकारात्मक रूप तथा नकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होते हैं। त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, दक्षिणवर्ती आधारक को सामान्यतः, सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त घोषित किया गया है, लेकिन यह स्वेच्छाचारी विकल्प है, क्योंकि उन्हें नकारात्मक अभिविन्यास भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। चयनित अभिविन्यास के साथ एकसदिश स्थल को एक अभिविन्यस्त सदिश स्थल कहा जाता है, जबकि बिना अभिविन्यास चयनित सदिश स्थल को अनिश्चित स्थल कहा जाता है।

गणित में, अभिविन्यास एक व्यापक धारणा है, जो दो आयामों में, यह कहने की अनुमति देती है कि, जब एक विपाश(संस्थिलिकी) दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में घूमता है, और तीन आयामों में, जब कोई आकृति वामावर्त या दक्षिणावर्ती होती है। वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बीजगणित में, अभिविन्यास की धारणा, स्वेच्छाचारी परिमित आयाम में समझ में आती है, और यह एक प्रकार की असममिति(असिमेट्री) है, जो एक साधारण विस्थापन के माध्यम से प्रतिबिंब(गणित) कि प्रतिलिपि बनाने में असक्षम बना देता है। इस प्रकार, तीन आयामों में, एक मानव आकृति के वामावर्त को केवल विस्थापन लागू करके आकृति के दक्षिणावर्त में बनाना असंभव है,परन्तु दर्पण में आकृति को प्रतिबिंबित करके ऐसा करना संभव है। परिणाम स्वरुप, त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, दो संभावित आधारक अभिविन्यासों को दक्षिणावर्त एवं वामावर्त कहा जाता है(या दाएं-चिरल और बाएं-चिरल)।

परिभाषा

मान लीजिए V एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है, और मान लीजिए b₁ और b₂ , V के लिए दो आदेशित आधारक हैं। यह रैखिक बीजगणित में एक मानक परिणाम है, कि एक अद्वितीय रैखिक परिवर्तन मौजूद होता है: V → V जो b₁ को b₂ तक लेकर जाता है। b₁ और b₂ आधारक के लिए कहा जाता है, कि उनका एक ही अभिविन्यास है(या लगातार अभिविन्यस्त होना) यदि A एक सकारात्मक निर्धारक है; अन्यथा उनका विपरीत अभिविन्यास होता है। समान अभिविन्यास होने कि विशेशता V के लिए सभी क्रमित आधारकों के समुच्चय पर एकतुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। यदि V गैर-शून्य है, तो इस संबंध द्वारा निश्चित रूप से दो तुल्यता वर्ग निर्धारित होते हैं। V पर 'अभिविन्यास ', एक तुल्यता वर्ग के लिए +1 और दूसरे के लिए −1 का नियतन है।

प्रत्येक आदेशित आधारक किसी एक तुल्यता वर्ग या अन्य में रहता है। इस प्रकार V के लिए विशेषाधिकार तर्कसंग आधारक का विकल्प एक अभिविन्यास निर्धारित करता है: विशेषाधिकार प्राप्त आधारक के अभिविन्यास वर्ग को सकारात्मक घोषित किया गया है।

उदाहरण के लिए, Rⁿ पर मानक आधारक, Rⁿ पर 'मानक अभिविन्यास' प्रदान करता है(बदले में, मानक आधारक का अभिविन्यास, कार्तीय(कार्टेशियन) निर्देशांक प्रणाली के अभिविन्यास पर निर्भर करता है, जिस पर इसे बनाया गया है)। V और Rⁿ के बीच रैखिक समाकृतिकता का कोई भी विकल्प, तब V पर एक अभिविन्यास प्रदान करेगा।

आधारक में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है। भिन्न क्रम वाले दो आधारक कुछ क्रमचय से भिन्न होते हैं। इस क्रमचय कि समता(क्रमपरिवर्तन) ±1 है या नहीं, इसके अनुसार उनके समान/विपरीत अभिविन्यास होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि क्रमचय सारणी का निर्धारक संबंधित क्रमचय कि समता के बराबर होता है।

इसी तरह, मान लीजिए A सदिश समष्टि Rⁿ से Rⁿ का एक गैर-एकवचन रैखिक मानचित्रण है। यदि इसका निर्धारक सकारात्मक है, तो यह मानचित्रण 'अभिविन्यास-संरक्षण' है। उदाहरण के लिए, R³ में जेड कार्तीय अक्ष के चारों ओर α कोण से घूर्णन अभिविन्यास-संरक्षण है:

$$\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$$

जबकि एक्सवाई कार्तीय चनार द्वारा प्रतिबिंब अभिविन्यास-संरक्षण नहीं है:

$$\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$$

शून्य-आयामी स्थिति

अभिविन्यास कि अवधारणा शून्य-आयामी मामले में पतित हो जाती है। एक शून्य-आयामी सदिश समष्टि में केवल एक बिंदु होता है, जिसे शून्य सदिश कहते हैं। परिणाम स्वरुप, शून्य-आयामी सदिश स्थान का एकमात्र आधारक रिक्त समुच्चय है $\emptyset$। इसलिए, क्रमबद्ध आधारकों का एकल तुल्यता वर्ग है, अर्थात् वर्ग $\{\emptyset \}$ जिसका एकमात्र सदस्य खाली समुच्चय है। इसका मतलब है कि शून्य-आयामी समष्टि का अभिविन्यास एक फलन है।

$$\{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.$$

इसलिए एक बिंदु को दो अलग-अलग तरीकों से, सकारात्मक और नकारात्मक, अभिविन्यस्त करना संभव है।

क्योंकि केवल एक ही आदेशित आधारक $\emptyset$ है, एक शून्य-आयामी सदिश समष्टि, आदेशित आधारक के साथ, शून्य-आयामी सदिश समष्टि के समान होता है। $\{\emptyset \}\mapsto +1$ या $\{\emptyset \}\mapsto -1$ का चयन, इसलिए प्रत्येक शून्य-आयामी सदिश समष्टि के प्रत्येक आधारक का एक अभिविन्यास चुनता है। यदि सभी शून्य-आयामी सदिश समष्टि के लिए इस अभिविन्यास को समनुदेशित किया जाता है, तो, क्योंकि शून्य-आयामी सदिश समष्टि के बीच आदेशित आधारक को संरक्षित करता है, वे अभिविन्यास को भी संरक्षित करता है। यह उच्च-आयामी सदिश समष्टि के मामले में विपरीत है, जहां अभिविन्यास चुनने का कोई तरीका नहीं है ताकि यह सभी समाकृतिकता के अनुसार संरक्षित रहे।

चूंकि, ऐसी स्थितियां हैं, जहां अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग अभिविन्यास देना वांछनीय है। उदाहरण के लिए, यदि कलन की मूलभूत प्रमेय को, स्टोक्स की प्रमेय के उदाहरण के रूप में लिया जाये। एक बंद अंतराल [a, b] सीमा के साथ एक विमीय विविध है, और समुच्चय इसकी सीमा है {a, b}। कलन के मौलिक प्रमेय का सही कथन प्राप्त करने के लिए, बिंदु b सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होना चाहिए, जबकि बिंदु a नकारात्मक रूप में अभिविन्यस्त होना चाहिए।

संरेखीय

एक-विमीय स्थिति एक ऐसी रेखा से संबंधित है जिसमे दो दिशाओं में से एक में चंक्रमण किया जा सकता है। एक रेखा(ज्यामिति) के लिए दो अभिविन्यास होते हैं, जैसे कि एक चक्र में दो अभिविन्यास होते हैं। एक रेखा खंड(एक रेखा का एक जुड़ा हुआ उपसमुच्चय) के मामले में, दो संभावित अभिविन्यास के परिणामस्वरूप, दिष्‍ट रेखा खंड होते हैं। एक अभिविन्यसनीय सतह में कभी-कभी चयनित अभिविन्यास होता है, जो सतह पर लंबवत रेखा के अभिविन्यास द्वारा इंगित किया जाता है।

वैकल्पिक दृष्टिकोण

बहुरेखीय बीजगणित

किसी भी बहु-विमीय पूर्णतः सदिश समष्टि V के लिए हम V की kth-बाहरी शक्ति बना सकते हैं, जिसे Λ^KV द्वारा दर्शाया गया है। यह आयाम का वास्तविक सदिश समष्टि है${\tbinom {n}{k}}$| सदिश समष्टि ΛⁿV(जिसे शीर्ष बाहरी शक्ति कहा जाता है) का आयाम एक है। अर्थात, ΛⁿV केवल एक वास्तविक रेखा है। इस रेखा पर कौन सी दिशा सकारात्मक है इसका कोई प्राथमिक विकल्प नहीं है। अभिविन्यास ही सिर्फ एक ऐसा विकल्प है। कोई भी अशून्य रैखिक रूप ω पर, ΛⁿV, जहाँ(x) > 0, x को धनात्मक दिशा में घोषित करके, V का अभिविन्यास ढूंढता है। आधार बिंदु के दृष्टिकोण से जुड़ने के लिए हम कहते हैं कि सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त आधारक वे हैं, जिन पर ω सकारात्मक संख्या में मूल्यांकित होता है,(चूंकि ω एक n-फॉर्म है, हम इसे 'R' का तत्व देकर, n सदिश के आदेशित समुच्चय पर मूल्यांकित कर सकते हैं)। फॉर्म ω को 'अभिविन्यास फॉर्म' कहा जाता है। यदि {e_i} V के लिए एक विशेषाधिकार प्राप्त आधारक है और {e_i^∗} एक दोहरा आधारक है, तो मानक अभिविन्यास देने वाला अभिविन्यास रूप e₁^∗ ∧ e₂^∗ ∧ … ∧ e_n^∗ होगा।

निर्धारक दृष्टिकोण के साथ इसका संबंध है: एक अंतःरूपता का निर्धारक $T:V\to V$ कि व्याख्या शीर्ष बाहरी शक्ति पर प्रेरित क्रिया, के रूप में की जा सकती है।

लाय समूह सिद्धांत

मान लीजिए B,V के लिए सभी क्रमित आधारकों का समुच्चय है। सामान्य रैखिक समूह, GL(V) B पर स्वतंत्र एवं संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।(आधुनिक भाषा में, B, GL(V) - टोर्सर है)। इसका मतलब यह है कि अनेकों के रूप में, b , GL(V) से(गैर-विहित) समाकारी है। ध्यान दें कि समूह GL(V) जुड़ा हुआ नहीं है, बल्कि परिवर्तन का निर्धारक सकारात्मक या नकारात्मक है के अनुसार दो जुड़े हुए घटक हैं(GL₁₀ को छोड़कर, जो साधारण समूह है और इसलिए उसके पास एक जुड़ा हुआ घटक है; जो शून्य-आयामी सदिश समाष्टि पर विहित अभिविन्यास से मेल खाता है)। GL(V) के तत्समक घटक को GL⁺(V) द्वारा निरूपित किया जाता है और सकारात्मक निर्धारक के साथ उन परिवर्तनों से मिलकर बनता है। GL⁺(V) की कार्रवाई B पर सकर्मक नहीं है: दो कक्षाएँ हैं जो B के जुड़े घटकों के अनुरूप हैं। ये कक्षाएँ ठीक ऊपर उल्लिखित समकक्ष वर्ग हैं। चूँकि B का कोई विशिष्ट तत्व नहीं है(अर्थात एक विशेषाधिकार प्राप्त आधार) इसलिए कोई स्वाभाविक विकल्प नहीं है कि कौन सा घटक सकारात्मक है। इसकी तुलना यदि GL(V) से करें, जिसमें एक विशेषाधिकार प्राप्त घटक है: पहचान का घटक। b और जीएल(V) के बीच समरूपता का एक विशिष्ट विकल्प विशेषाधिकार प्राप्त आधार के विकल्प के बराबर है और इसलिए एक अभिविन्यास निर्धारित करता है।

अधिक औपचारिक रूप से: $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$,और $V$ में n-फ़्रेम्स के स्टिफ़ेल अनेकों, एक $\operatorname {GL} (V)$-टोरसर है, तो $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ एक टॉर्सर ओवर है $\{\pm 1\}$, अर्थात इसके 2 बिंदु, और उनमें से एक का चुनाव एक अभिविन्यास है।

ज्यामितीय बीजगणित

समान दृष्टिकोण, परिमाण और अभिविन्यास के समानांतर समतल खंड, सभी एक ही बायवेक्टर के अनुरूप हैं a ∧ b.

ज्यामितीय बीजगणित की विभिन्न वस्तुओं को तीन विशेषताओं से आवेशित किया जाता है: अभिवृत्ति, अभिविन्यास और परिमाण। उदाहरण के लिए, सदिश के पास उसके समानांतर एक सीधी रेखा द्वारा दी गयी अभिवृत्ति होती है, इसकी भावना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास(अधिकांशतः तीर के सिरे द्वारा इंगित किया जाता है) होता है और इसकी लंबाई द्वारा दिया गया एक परिमाण होता है। इसी तरह, तीन आयामों में एक बहु-सदिश के पास, इसके साथ जुड़े समष्टि(ज्यामिति) के परिवार द्वारा दी गयी अभिवृत्ति होती है(संभवतः इन समष्टि के लिए प्रसामान्य रेखा द्वारा निर्दिष्ट) ), एक अभिविन्यास(कभी-कभी समष्टि में एक घुमावदार तीर द्वारा चिह्नित) अपनी सीमा(इसके परिसंचरण) के चंक्रमण की भावना के विकल्प का संकेत देता है, और इसके दो सदिशों द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा दिया गया एक परिमाण होता है।

कई गुना पर अभिविन्यास

Main article: अभिविन्यासन

घनफल का अभिविन्यास इसकी सीमा पर अभिविन्यास द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, जो परिसंचारी तीरों द्वारा इंगित किया गया है।

बहु-आयामी अंतरीय अनेकों पर प्रत्येक बिंदु p में एक स्पर्शरेखा स्थान T_pM होता है, जो एक बहु-आयामी वास्तविक सदिश समष्टि है। इनमें से प्रत्येक सदिश समष्टि को निर्दिष्ट किया जा सकता है। कुछ अभिविन्यास, एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक आसानी से भिन्न होते हैं। कुछ सांस्थितिक प्रतिबंधों के कारण, यह हमेशा संभव नहीं होता है। एक विविध जो अपने स्पर्शरेखा समष्टि के लिए अभिविन्यास के एक सहज विकल्प को स्वीकार करता है, उसे अभिविन्यसनीय कहा जाता है।

यह भी देखें

• संकेत सम्मेलन
• तीन आयामों में क्रमावर्तन औपचारिकताएं
• इंगिता(गणित)
• दक्षिणहस्त नियम
• सम और विषम क्रमपरिवर्तन
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• छद्म सदिश
• एक सदिश समूह का अभिविन्यास

बाहरी संबंध

• "Orientation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]