कासिमिर तत्व

गणित में कासिमिर तत्व एक लाई बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण के केंद्र (रिंग थ्योरी) का एक विशिष्ट तत्व है। जिसे कासिमिर इनवेरिएंट या कासिमिर ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है। एक प्रोटोटाइपिकल उदाहरण स्क्वायर कोणीय गति ऑपरेटर है। जो त्रि-आयामी रोटेशन समूह SO(3) का कासिमिर तत्व है।

सामान्यतः कासिमिर तत्वों का उपयोग सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के केंद्र के किसी भी तत्व को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है। इन तत्वों के एक क्षेत्र पर बीजगणित को हरीश-चंद्र समरूपता के माध्यम से बहुपद बीजगणित के लिए समरूपता के रूप में भी जाना जाता है।

कासिमिर तत्व का नाम वैज्ञानिक हेंड्रिक कासिमिर के नाम पर रखा गया है। जिन्होंने 1931 में कठोर शरीर की गतिशीलता के अपने विवरण में उनकी पहचान का विवरण दिया था।

परिभाषा

सबसे अधिकत प्रयोग किया जाने वाला कासिमिर इनवेरिएंट द्विघात इनवेरिएंट है। यह परिभाषित करने के लिए सबसे सरल है और इसलिए पहले दिया गया है। चूंकि किसी के पास उच्च क्रम के कासिमिर इनवेरिएंट भी पाये जा सकते हैं। जो उच्च क्रम के सजातीय सममित बहुपदों के समान होते हैं।

द्विघात कासिमिर तत्व

माना कि ${\mathfrak {g}}$ एक $n$-आयामी लाई बीजगणित है। माना कि B एक नॉनडिजेनरेट ${\mathfrak {g}}$ पर द्विरेखीय रूप है। जो की ${\mathfrak {g}}$ पर आसन्न क्रिया के अनुसार अपरिवर्तनीय है। जिसका अर्थ यह है कि $B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0$, ${\mathfrak {g}}$ में सभी X, Y, Z के लिये . (B का सबसे सामान्य पसंद किलिंग रूप है। यदि ${\mathfrak {g}}$ सेमीसिंपल लाई बीजगणित है।)

माना कि-

$\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$

का कोई भी आधार (रैखिक बीजगणित) ${\mathfrak {g}}$ हो, और

$\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$

का B के संबंध में दोहरा आधार ${\mathfrak {g}}$ के साथ हो। 'कासिमिर तत्व' $\Omega$ लिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित B का तत्व है। जो कि $U({\mathfrak {g}})$ सूत्र द्वारा दिया गया है।

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.$

चूंकि परिभाषा लाई बीजगणित के आधार के विकल्प पर निर्भर करती है। यह प्रदर्शित करना सरल है कि Ω इस पसंद से स्वतंत्र है। दूसरी ओर Ω द्विरेखीय रूप B पर निर्भर करता है। B के व्युत्क्रम का अर्थ है कि कासिमिर तत्व लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के सभी तत्वों के साथ संचार करता है और इसलिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $U({\mathfrak {g}})$ के एक वलय के केंद्र में स्थित है।

एक रेखीय प्रतिनिधित्व और एक सुचारू क्रिया का द्विघात कासिमिर इनवेरिएंट

लाई बीजगणित निरूपण ρ का ${\mathfrak {g}}$ सदिश स्थान V पर दिया गया है। संभवतः अनंत-आयामी ρ का 'कैसिमिर इनवेरिएंट' ρ(Ω) के रूप में परिभाषित किया गया है। सूत्र द्वारा दिए गए V पर रैखिक संचालिका-

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).$

इस निर्माण का एक विशिष्ट रूप अंतर ज्यामिति और वैश्विक विश्लेषण में महत्वपूर्ण भूमिका प्रदर्शित करता है। माना कि लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के साथ एक जुड़ा लाई समूह G अलग-अलग कई गुना M पर समूह कार्रवाई करें। M पर सरल फलन के स्थान पर G के संबंधित प्रतिनिधित्व ρ पर विचार करें। फिर ${\mathfrak {g}}$ के तत्व M पर पहले क्रम के डिफरेंशियल ऑपरेटर्स द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। इस स्थिति में ρ का कासिमिर इनवेरिएंट उपरोक्त सूत्र द्वारा परिभाषित M पर G-इनवेरिएंट सेकेंड ऑर्डर डिफरेंशियल ऑपरेटर है।

आगे विशेषज्ञता यदि ऐसा प्रतीत होता है कि M में एक रिमेंनियन मीट्रिक है। जिस पर G आइसोमेट्रीज़ और स्टेबलाइज़र उपसमूह G_x द्वारा सकर्मक रूप से कार्य करता है। एक बिंदु x पर M के स्पर्शरेखा स्थान पर अनियमित रूप से कार्य करता है। फिर ρ का कासिमिर इनवेरिएंट मीट्रिक से आने वाले लाप्लासियन ऑपरेटर का एक अदिश गुणक है।

अधिक सामान्य कासिमिर आक्रमणकारियों को भी परिभाषित किया जा सकता है। जो सामान्यतः फ्रेडहोम सिद्धांत में छद्म-विभेदक संचालकों के अध्ययन में होता है।

उच्च क्रम के कासिमिर तत्व

यूनिवर्सल आवरण बीजगणित पर लेख कासिमिर ऑपरेटरों की एक विस्तृत, सटीक परिभाषा और उनके कुछ गुणों का एक विवरण देता है। सभी कासिमिर ऑपरेटर लाई बीजगणित के आसन्न प्रतिनिधित्व के सममित बीजगणित में सममित सजातीय बहुपदों $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.$ के अनुरूप हैं:

$C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}$

जहाँ m सममित टेंसर $\kappa ^{ij\cdots k}$ का क्रम है और यह $X_{i}$ का एक सदिश स्थान ${\mathfrak {g}}.$ आधार बनाते हैं। यह एक सममित सजातीय बहुपद के अनुरूप है।

$c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}$

में m अनिश्चित चर $t_{i}$ बहुपद बीजगणित में $K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]$ एक सतह के ऊपर स्थित हैं। समरूपता का कारण पीबीडब्ल्यू प्रमेय से निकलकर प्रदर्शित होता है और सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर आलेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

इसके अतिरिक्त एक कासिमिर तत्व को सार्वभौमिक आवरण वाले बीजगणित के केंद्र से संबंधित होना चाहिए अर्थात इसका पालन करना चाहिए।

$[C_{(m)},X_{i}]=0$

सभी आधार तत्वों $X_{i}.$ के लिए इसी सममित टेंसर $\kappa ^{ij\cdots k}$ के संदर्भ में ज्ञात है। यह स्थिति टेंसर के अपरिवर्तनीय होने के बराबर है:

$f_{ij}^k{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^{}$