होमोटोपी विश्लेषण विधि

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ऊपर दिखाए गए दो डैसेड पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण/आंशिक अंतर समीकरण को समाधान करने के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक विधि है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए टोपोलॉजी से टोपोलॉजी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसको प्रणाली में गैर-रैखिकताओं से निर्वृत होने के लिए होमोटॉपी-टेलर श्रृंखला का उपयोग करके सक्षम किया गया है।

एचएएम को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के लियाओ शिजुन ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था | [1] और सामान्य रूप में यह विभेदक प्रणाली पर होमोटॉपी का निर्माण करने के लिए गैर-शून्य सहायक मापदंड प्रस्तुत करने के लिए इसे 1997 में संशोधित किया गया था | [2], जिसे अभिसरण-नियंत्रण मापदंड , c0 के रूप में जाना जाता है। [3] अभिसरण-नियंत्रण मापदंड गैर-भौतिक वैरिएबल होता है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और प्रयुक्त करने का सरल विधि प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य होती है।

विशेषताएँ

एचएएम चार महत्वपूर्ण पक्ष में स्वयं को विभिन्न अन्य गणितीय विश्लेषण विधियों से भिन्न करता है। सबसे पूर्व, यह श्रृंखला (गणित) विस्तार विधि होती है जो प्रत्यक्ष रूप से लघु या विशाल भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक त्रुटिपूर्ण विधियों की अनेक अंतर्निहित सीमाओं से बढ़ कर, न सिर्फ अशक्त किंतु दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी प्रयुक्त होता है। इसका दूसरा, एचएएम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव कृत्रिम लघु मापदंड विधि, डेल्टा विस्तार विधि, एडोमियन अपघटन विधि के लिए एकीकृत विधि होती है | [4] और यह होमोटॉपी पर्टर्बेशन विधि के लिए एकीकृत विधि होती है। [5] [6] इसमें विधि की व्यापक व्यापकता प्रायः विशाल स्थानिक और मापदंड डोमेन पर समाधान के शक्तिशाली अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट स्मूथ होता है। यह वांछित समाधान के आधार कार्यो और होमोटॉपी के संबंधित सहायक रैखिक संचालक को स्वीकार की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। इस प्रकार अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों के विपरीत, एचएएम समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सुनिश्चित करने का सरल विधि प्रदान करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय अंतर समीकरणों जैसे वर्णक्रमीय विधियों और पैडे सन्निकटन में नियोजित अन्य विधियों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है। [7] इसे आगे कम्प्यूटेशनल विधियों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि सीमा तत्व विधि, रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों का समाधान करने की अनुमति देती है। होमोटॉपी निरंतरता की संख्यात्मक विधि से भिन्न होती हैं | होमोटॉपी विश्लेषण विधि भिन्न कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि होती है। इसके अतिरिक्त, एचएएम सिर्फ सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी मापदंड का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि गैर रेखीय प्रणाली को रैखिक प्रणाली के अनंत समुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिससे विश्लेषणात्मक रूप से समाधान किया जाता है | जबकि निरंतरता के विधियों के लिए भिन्न रैखिक प्रणाली को समाधान करने की आवश्यकता होती है क्योंकि गैर रेखीय प्रणाली का समाधान करने के लिए होमोटॉपी मापदंड भिन्न होता है।

अनुप्रयोग

पूर्व बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या का समाधान करने के लिए एचएएम का उपयोग किया गया है। [8] [9] उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में अनेक स्थिर-अवस्था प्रतिध्वनित तरंगें होती हैं | [10] यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की अनैतिक संख्या के तरंग प्रतिध्वनि मानदंड के साथ पाई गईं हैं | यह लघु आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की मानदंड से सहमत था। इसके अतिरिक्त, एचएएम के साथ प्रयुक्त एकीकृत तरंग मॉडल प्रयुक्त किया गया हैं ,[11] न सिर्फ पारंपरिक स्मूथ प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, किंतु सीमित पानी की गहराई में पैक्ड क्रेस्ट के साथ प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात स्मूथ तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को अनेक अन्य गैर-रेखीय समस्याओं पर प्रयुक्त किया गया है | [12] जैसे कि गैर-रेखीय गर्मी हस्तांतरण, गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों का सीमा चक्र, होती हैं [13] और यह अमेरिकी पुट विकल्प होता हैं | [14] यह स्पष्ट नेवियर-स्टोक्स समीकरण होता हैं | [15] स्टोकेस्टिक अस्थिरता के अनुसार इसमें विकल्प मूल्य निर्धारण होते हैं | [16] यह इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक प्रवाह होता हैं | [17] जिसमे अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण पाये जाते हैं। [18]

संक्षिप्त गणितीय विवरण

डोनट (टोरस्र्स ) में कॉफी कप की आइसोटोपी।

एक सामान्य अरेखीय अवकल समीकरण पर विचार करें

,

जहां अरेखीय संचालक है। मान लीजिए कि क्रमशः सहायक रैखिक संचालक, u0(x) u(x) का प्रारंभिक अनुमान, और c0 स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण मापदंड कहा जाता है) दर्शाता है। होमोटोपी सिद्धांत से एम्बेडिंग मापदंड q ∈ [0,1] का उपयोग करके, अनेक समीकरणों का परिवार बन सकता है,

शून्य-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जिसका समाधान एम्बेडिंग मापदंड q ∈ [0,1] के संबंध में निरंतर परिवर्तन होता रहता है। यह रैखिक समीकरण होता है |

यह ज्ञात है कि प्रारंभिक अनुमान U(x; 0) = u0(x) के साथ जब q = 0 होता हैं | किन्तु मूल अरेखीय समीकरण के सामान्य U(x; 1) = u(x)) है, और जब q = 1 होता हैं। इसलिए, जैसे-जैसे q 0 से 1 तक बढ़ता है | शून्य-क्रम विरूपण समीकरण का समाधान U(x; q) चुने गए प्रारंभिक अनुमान u0(x) से विचारित अरेखीय समीकरण के समाधान u(x) तक परिवर्तित (या विकृत) होता है।

q = 0 के बारे में टेलर श्रृंखला में U(x; q) का विस्तार करने पर, हमें होमोटॉपी-मैकलॉरिन श्रृंखला मिलती है |

यह मानते हुए कि शून्य-क्रम विरूपण समीकरण के तथाकथित अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 को सही प्रकार से चुना गया है कि उपरोक्त श्रृंखला q = 1 पर अभिसरण होती है | और हमारे समीप समरूप-श्रृंखला समाधान होता है |

शून्य-क्रम विरूपण समीकरण से, कोई प्रत्यक्ष रूप से um(x) का गवर्निंग समीकरण प्राप्त कर सकता है |

mवें-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जहां k > 1 के लिए और होता हैं | और दाहिनी ओर Rm सिर्फ ज्ञात परिणामों u0, u1, ..., um − 1 पर निर्भर होता है और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ्टवेयर का उपयोग करके सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, किंतु यह बिना किसी लघु/विशाल भौतिक मापदंडों की धारणा के होती हैं।

चूँकि एचएएम समरूपता आधारित होता है | किसी को प्रारंभिक अनुमान u0(x), सहायक रैखिक संचालक होता हैं | और शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 स्वीकार करने की बड़ी स्वतंत्रता होती है। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को स्वीकार करने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। यह अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 का इष्टतम मान चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक संचालक के लिए सामान्य रूप समाधान होने के पश्चात् नियंत्रित समीकरणों और सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 होमोटोपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की प्रभाव देने की सरल विधि होती है और यह एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से भिन्न करता है। पूर्ण रूप से यह विधि समरूपता की अवधारणा को उपयोगी सामान्यीकरण देती है।

एचएएम और कंप्यूटर बीजगणित

एचएएम विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि होती है जिसे कंप्यूटर युग के लिए "संख्याओं के अतिरिक्त कार्यों के साथ कंप्यूटिंग" के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। मेथेमेटिका या मेपल (सॉफ्टवेयर) जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति सिर्फ अनेक ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से इच्छानुसार उच्च क्रम में अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में एचएएम के वर्तमान सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, एचएएम पर आधारित गणित पैकेज हैं | जिसे बी.वी.पी.एच कहा जाता है | इसको गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को समाधान करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [4]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए सॉल्वर पैकेज होता है जिसमें विलक्षणता, एकाधिक समाधान और परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है | और इसमें अनेक प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन सम्मिलित होता है। [8] इसमें अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान का समाधान करने के लिए और एचएएम-आधारित मैथमैटिका कोड, एपीओएच तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध होता है [5]।

नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण

एचएएम को वर्तमान में गैर-रेखीय आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोगी बताया गया है। इस प्रकार के समाधान विभिन्न गैर-रेखीय व्यवहारों जैसे सख्त-प्रकार, नरम-प्रकार या ऑसिलेटर के मिश्रित व्यवहार को आकर्षित करने में सक्षम होते हैं। [19] [20] यह विश्लेषणात्मक समीकरण गैर-रेखीय प्रणालियों में अव्यवस्था के पूर्वानुमान में भी उपयोगी होता हैं। [21]


संदर्भ

  1. ↑ Liao, S.J. (1992), The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems, PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University
  2. ↑ Liao, S.J. (1999), "An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems", International Journal of Non-Linear Mechanics, 34 (4): 759–778, Bibcode:1999IJNLM..34..759L, doi:10.1016/S0020-7462(98)00056-0
  3. ↑ Liao, S.J. (2003), Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method, Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1[1]
  4. ↑ Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers.
  5. ↑ Liang, Songxin; Jeffrey, David J. (2009), "Comparison of homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14 (12): 4057–4064, Bibcode:2009CNSNS..14.4057L, doi:10.1016/j.cnsns.2009.02.016
  6. ↑ Sajid, M.; Hayat, T. (2008), "Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear heat conduction and convection equations", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 9 (5): 2296–2301, doi:10.1016/j.nonrwa.2007.08.007
  7. ↑ Motsa, S.S.; Sibanda, P.; Awad, F.G.; Shateyi, S. (2010), "A new spectral-homotopy analysis method for the MHD Jeffery–Hamel problem", Computers & Fluids, 39 (7): 1219–1225, doi:10.1016/j.compfluid.2010.03.004
  8. ↑ 8.0 8.1 Liao, S.J. (2012), Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations, Berlin & Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-7-04-032298-9 [2]
  9. ↑ Vajravelu, K.; Van Gorder (2013), Nonlinear Flow Phenomena and Homotopy Analysis, Berlin & Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3-642-32102-3 [3]
  10. ↑ Xu, D.L.; Lin, Z.L.; Liao, S.J.; Stiassnie, M. (2012), "On the steady-state fully resonant progressive waves in water of finite depth", Journal of Fluid Mechanics, 710: 379–418, Bibcode:2012JFM...710..379X, doi:10.1017/jfm.2012.370, S2CID 122094345
  11. ↑ Liao, S.J. (2013), "Do peaked solitary water waves indeed exist?", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 19 (6): 1792–1821, arXiv:1204.3354, Bibcode:2014CNSNS..19.1792L, doi:10.1016/j.cnsns.2013.09.042, S2CID 119203215
  12. ↑ Abbasbandy, S. (2006), "The application of homotopy analysis method to nonlinear equations arising in heat transfer", Physics Letters A, 360 (1): 109–113, Bibcode:2006PhLA..360..109A, doi:10.1016/j.physleta.2006.07.065
  13. ↑ Chen, Y.M.; Liu, J.K. (2009), "Uniformly valid solution of limit cycle of the Duffing–van der Pol equation", Mechanics Research Communications, 36 (7): 845–850, doi:10.1016/j.mechrescom.2009.06.001
  14. ↑ Zhu, S.P. (2006), "An exact and explicit solution for the valuation of American put options", Quantitative Finance, 6 (3): 229–242, doi:10.1080/14697680600699811, S2CID 121851109
  15. ↑ Turkyilmazoglu, M. (2009), "Purely analytic solutions of the compressible boundary layer flow due to a porous rotating disk with heat transfer", Physics of Fluids, 21 (10): 106104–106104–12, Bibcode:2009PhFl...21j6104T, doi:10.1063/1.3249752
  16. ↑ Park, Sang-Hyeon; Kim, Jeong-Hoon (2011), "Homotopy analysis method for option pricing under stochastic volatility", Applied Mathematics Letters, 24 (10): 1740–1744, doi:10.1016/j.aml.2011.04.034
  17. ↑ Mastroberardino, A. (2011), "Homotopy analysis method applied to electrohydrodynamic flow", Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat., 16 (7): 2730–2736, Bibcode:2011CNSNS..16.2730M, doi:10.1016/j.cnsns.2010.10.004
  18. ↑ Nassar, Christopher J.; Revelli, Joseph F.; Bowman, Robert J. (2011), "Application of the homotopy analysis method to the Poisson–Boltzmann equation for semiconductor devices", Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 16 (6): 2501–2512, Bibcode:2011CNSNS..16.2501N, doi:10.1016/j.cnsns.2010.09.015
  19. ↑ Tajaddodianfar, Farid (2017). "Nonlinear dynamics of MEMS/NEMS resonators: analytical solution by the homotopy analysis method". Microsystem Technologies. 23 (6): 1913–1926. doi:10.1007/s00542-016-2947-7. S2CID 113216381.
  20. ↑ Tajaddodianfar, Farid (March 2015). "On the dynamics of bistable micro/nano resonators: Analytical solution and nonlinear behavior". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 20 (3): 1078–1089. Bibcode:2015CNSNS..20.1078T. doi:10.1016/j.cnsns.2014.06.048.
  21. ↑ Tajaddodianfar, Farid (January 2016). "Prediction of chaos in electrostatically actuated arch micro-nano resonators: Analytical approach". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 30 (1–3): 182–195. doi:10.1016/j.cnsns.2015.06.013.


बाहरी संबंध

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