होमोटॉपी

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ऊपर दिखाए गए दो धराशायी पथ (सांस्थिति) उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानी हैं। सजीवता एक संभावित होमोटॉपी का प्रतिनिधित्व करता है।

सांस्थितिकी में, गणित की शाखा, एक सांस्थितिकी स्थल से दूसरे में दो निरंतर कार्यो को समस्थानी कहा जाता हैं यद्यपि एक को दूसरे में निरंतर विकृत किया जा सकता है, तो ऐसी विकृति को दो कार्यों के बीच होमोटॉपी कहा जाता है । होमोटॉपी (समस्थेयता) का एक उल्लेखनीय उपयोग होमोटॉपी समूहों और कोहोमोटॉपी समूहों की परिभाषा है,जो बीजगणितीय सांस्थितिकी में महत्वपूर्ण व् अपरिवर्तनीय है।

कार्यप्रणाली में, कुछ स्थानों के साथ होमोटॉपी का उपयोग करने में तकनीकी कठिनाइयाँ हैं। बीजगणितीय सांस्थितिकीय सघन रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान, सीडब्ल्यू परिसरों या वर्णक्रम के साथ काम करते हैं।

औपचारिक परिभाषा

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आर में स्थूलक्र्स के दो अंतःस्थापन के बीच एक होमोटॉपी³: एक डोनट की सतह के रूप में और एक कॉफी मग की सतह के रूप में। यह भी एक #आइसोटोपी का उदाहरण है।

औपचारिक रूप से, से दो निरंतर फलन f और g के बीच एक होमोटॉपी

सांस्थितिक स्थल X से सांस्थितिक स्थल Y को एक निरंतर कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $H:X\times [0,1]\to Y$ इकाई अंतराल [0, 1] के साथ स्थल X के उत्पाद सांस्थिति से Y तक $H(x,0)=f(x)$ और $H(x,1)=g(x)$ सभी के लिए $x\in X$.

यद्यपि हम समय के रूप में H के दूसरे मापदण्ड के विषय में सोचते हैं तो H g में g के निरंतर विरूपण का वर्णन करता है: समय 0 पर हमारे पास फलन f होता है और समय 1 पर हमारे पास फलन g होता है। हम दूसरे मापदण्ड को सर्पक नियंत्रण के रूप में भी सोच सकते हैं जो हमें f से g तक आसानी से संपर्क करने की अनुमति देता है क्योंकि सर्पक 0 से 1 तक चलता है, परन्तु इसके विपरीत है।

वैकल्पिक संकेतन का यह कहना है कि दो निरंतर कार्यों के बीच एक होमोटॉपी $f,g:X\to Y$ निरंतर कार्यों का एक परिवार है $h_{t}:X\to Y$ के लिए $t\in [0,1]$ ऐसा है कि $h_{0}=f$ और $h_{1}=g$, और Map_(गणित) $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ से निरन्तर है $X\times [0,1]$ को $Y$. दो संस्करण समायोजन से मेल खाते हैं $h_{t}(x)=H(x,t)$. प्रत्येक मानचित्र की आवश्यकता के लिए पर्याप्त नहीं है $h_{t}(x)$ निरंतर किया जाना। सजीवता जो ऊपर दाईं ओर चक्रित किया गया है, स्थूलक के दो अंतःस्थापन, f और g के बीच एक होमोटॉपी का उदाहरण प्रदान करता है R³. X स्थूलक है, Y है R³, f स्थूलक से R तक कुछ निरंतर कार्य है³ जो स्थूलक को डोनट आकार की अन्तःस्थापित सतह पर ले जाता है जिसके साथ सजीवता शुरू होता है; g कुछ निरंतर कार्य है जो स्थूलक को एक कॉफी-मग आकार की अन्तःस्थापित सतह पर ले जाता है। सजीवता H की छवि प्रदर्शित करता है_t(x) मापदण्ड टी के एक समारोह के रूप में, जहां टी सजीवता चक्रण के प्रत्येक चक्र पर 0 से 1 के समय के साथ बदलता रहता है। यह रुकता है, फिर छवि प्रदर्शित करता है क्योंकि टी 1 से 0 तक भिन्न होता है, रुकता है और इस चक्र को दोहराता है।

गुण

निरंतर कार्य f और g को समस्थानी कहा जाता है यदि ऊपर बताए गए के अनुसार f को g पर ले जाने वाला होमोटॉपी H है।समना X से Y तक सभी निरंतर कार्यों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है। यह होमोटॉपी संबंध निम्नलिखित अर्थों में कार्य रचना के अनुकूल है: यदि f₁, g₁ : X → Y समस्थानी हैं, और f₂, g₂ : Y → Z समस्थानी हैं, तो उनकी रचनाएँ f₂ ∘ f₁ और g₂ ∘ g₁ : X → Z समस्थानी हैं।

उदाहरण

• यदि $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ द्वारा दिए गए हैं $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ और $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$, फिर मैप $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ द्वारा दिए गए $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$ उनके बीच एक होमोटॉपी है।
• अधिक प्रायः, यदि $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ यूक्लिडियन स्थल का एक उत्तल समुच्चय सबसमुच्चय है और $f,g:[0,1]\to C$ पथ एक ही समापन बिंदु के साथ हैं, जो एक रैखिक होमोटॉपी है तो सरल रेखा होमोटॉपी द्वारा दिया गया

  ${\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}$

  • माना ${\mathrm{id}}_{B^n}:B^n$