हार्मोनिक मैप

This article is about रीमानियन मैनिफोल्ड्स के बीच हार्मोनिक मानचित्र. For हार्मोनिक कार्य, see हार्मोनिक कार्य.

अंतर ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, रीमैनियन कई गुना के बीच निर्बाध मैप को हार्मोनिक कार्य जाता है यदि इसके समन्वय प्रतिनिधि निश्चित अरेखीय आंशिक विभेदक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। मानचित्रण के लिए यह आंशिक अवकल समीकरण प्रकार्यात्मक के यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में भी उत्पन्न होता है जिसे डाइरिचलेट ऊर्जा कहा जाता है। इस प्रकार, हार्मोनिक मानचित्रों के सिद्धांत में रिमेंनियन ज्यामिति में जियोडेसिक इकाई-गति जियोडेसिक्स के सिद्धांत और हार्मोनिक कार्यों के सिद्धांत दोनों सम्मिलित हैं।

अनौपचारिक रूप से, मानचित्रण की डिरिचलेट ऊर्जा f रिमेंनियन मैनिफोल्ड से M रिमेंनियन मैनिफोल्ड के लिए N को कुल राशि के रूप में माना जा सकता है f खिंचता है M इसके प्रत्येक तत्व को बिंदु पर आवंटित करने में N. उदाहरण के लिए, बिना फैला हुआ रबर बैंड और सुचारू पत्थर दोनों को स्वाभाविक रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के रूप में देखा जा सकता है। पत्थर पर रबर बैंड को खींचने के किसी भी विधि को इन मैनिफोल्ड के बीच मैपिंग के रूप में देखा जा सकता है, और इसमें सम्मिलित कुल तनाव को डिरिचलेट ऊर्जा द्वारा दर्शाया जाता है। इस तरह के मानचित्रण की सामंजस्यता का अर्थ है कि दिए गए खिंचाव को शारीरिक रूप से विकृत करने के किसी भी काल्पनिक विधि को देखते हुए, विरूपण प्रारंभ होने पर तनाव (जब समय के कार्य के रूप में माना जाता है) का पहला व्युत्पन्न शून्य के समान होता है।

हार्मोनिक मानचित्रों का सिद्धांत 1964 में जेम्स एल्स और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा प्रारंभ किया गया था, जिन्होंने दिखाया था कि कुछ ज्यामितीय संदर्भों में, इच्छानुसार नक्शे हार्मोनिक मानचित्रों में होमोटॉपी हो सकते हैं। उनका काम रिचर्ड एस. हैमिल्टन के रिक्की प्रवाह पर प्रारंभिक काम के लिए प्रेरणा था। ज्यामितीय विश्लेषण के क्षेत्र में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए विषयों में हार्मोनिक मानचित्र और संबंधित हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह स्वयं में और हैं।

जोनाथन सैक्स और करेन उहलेनबेक के कारण हार्मोनिक मानचित्रों के अनुक्रमों की बुलबुले की खोज, विशेष रूप से प्रभावशाली रहा है, क्योंकि उनका विश्लेषण कई अन्य ज्यामितीय संदर्भों के लिए अनुकूलित किया गया है। विशेष रूप से, यांग-मिल्स क्षेत्रों के बबलिंग की उहलेनबेक की समानांतर खोज साइमन डोनाल्डसन के चार-आयामी मैनिफोल्ड्स पर काम में महत्वपूर्ण है, और मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव की स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र के बुलबुले की बाद की खोज सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति और क्वांटम कोहोलॉजी के अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण है। हार्मोनिक मानचित्रों के नियमितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए रिचर्ड स्कोन और उहलेनबेक द्वारा उपयोग की जाने वाली विधि इसी तरह ज्यामितीय विश्लेषण में कई विश्लेषणात्मक विधि के विकास की प्रेरणा रही हैं।

मैनिफोल्ड्स के बीच मैपिंग की ज्यामिति

यहां स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के बीच निर्बाध मानचित्रण की ज्यामिति को स्थानीय निर्देशांक के माध्यम से और समकक्ष रूप से रैखिक बीजगणित के माध्यम से माना जाता है। ऐसा मानचित्रण पहले मौलिक रूप और दूसरे मौलिक रूप दोनों को परिभाषित करता है। लाप्लासियन (जिसे तनाव क्षेत्र भी कहा जाता है) को दूसरे मौलिक रूप के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और इसका विलुप्त होना मानचित्र के हार्मोनिक होने की स्थिति है। छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की निर्धारण में संशोधन के बिना परिभाषाएँ विस्तारित होती हैं।

स्थानीय निर्देशांक

U को ℝ^m का एक खुला उपसमुच्चय होने दें और V को ℝⁿ का एक खुला उपसमुच्चय होने दें। 1 और n के बीच प्रत्येक i और j के लिए, g_ij को U पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन होने दें, जैसे कि U में प्रत्येक p के लिए, एक के पास m × m मैट्रिक्स [g_ij (p)] और सकारात्मक-निश्चित है . 1 और m के बीच प्रत्येक α और β के लिए, h_αβ को V पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान कार्य होने दें, जैसे कि V में प्रत्येक q के लिए, n × n मैट्रिक्स[h_αβ (q)] सममित और सकारात्मक-निश्चित है . प्रतिलोम आव्यूहों को [g^ij (p)] और [h^αβ (q)] से निरूपित करें।

प्रत्येक के लिए i, j, k 1 और के बीच n और प्रत्येक α, β, γ 1 और के बीच m क्रिस्टोफेल प्रतीकों को परिभाषित करें Γ(g)^k_ij : U → ℝ और Γ(h)^γ_αβ : V → ℝ द्वारा

${\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\end{aligned}}$

एक सुचारू नक्शा दिया f से U को V, इसका दूसरा मूलभूत रूप प्रत्येक के लिए परिभाषित करता है i और j 1 और के बीच m और प्रत्येक के लिए α 1 और के बीच n वास्तविक-मूल्यवान कार्य ∇(df)^α_ij पर U द्वारा

$\nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.$

इसका लाप्लासियन प्रत्येक के लिए परिभाषित करता है α 1 और के बीच n वास्तविक-मूल्यवान कार्य (∆f)^α पर U द्वारा

${(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{g}^{ij}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$