स्केल इनवेरियन

वीनर प्रक्रिया स्केल-इनवेरिएंट है

भौतिकी, गणित और सांख्यिकी में, स्केल इनवेरियन वस्तुओं या कानूनों की एक विशेषता है जो लंबाई, ऊर्जा या अन्य चर के पैमाने को एक सामान्य कारक से गुणा करने पर नहीं बदलता है, और इस प्रकार एक सार्वभौमिकता का प्रतिनिधित्व करता है।

इस परिवर्तन (गणित) के लिए तकनीकी शब्द एक फैलाव (जिसे तनुकरण भी कहा जाता है) है। फैलाव एक बड़े अनुरूप समरूपता का हिस्सा बन सकता है।

• गणित में, स्केल इनवेरियन आमतौर पर व्यक्तिगत फ़ंक्शन (गणित) या घटता के एक इनवेरियन को संदर्भित करता है। एक निकट से संबंधित अवधारणा स्व-समानता है, जहां फैलाव के असतत उपसमुच्चय के तहत एक फ़ंक्शन या वक्र अपरिवर्तनीय है। यादृच्छिक प्रक्रियाओं के संभाव्यता वितरण के लिए इस तरह के स्केल इनवेरियन या स्व-समानता को प्रदर्शित करना भी संभव है।
• शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में, स्केल इनवेरियन सबसे आम तौर पर तनुकरण के तहत एक संपूर्ण सिद्धांत के इनवेरियन पर लागू होता है। इस तरह के सिद्धांत आमतौर पर शास्त्रीय भौतिक प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं, जिनमें कोई विशिष्ट लंबाई का पैमाना नहीं होता है।
• क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, स्केल इनवेरियन की कण भौतिकी के संदर्भ में व्याख्या है। स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत में, कण अंतःक्रियाओं की शक्ति शामिल कणों की ऊर्जा पर निर्भर नहीं करती है।
• सांख्यिकीय यांत्रिकी में, स्केल इनवैरियंस चरण संक्रमण की एक विशेषता है। मुख्य अवलोकन यह है कि एक चरण संक्रमण या महत्वपूर्ण बिंदु (ऊष्मप्रवैगिकी) के पास, उतार-चढ़ाव सभी लंबाई के पैमाने पर होते हैं, और इस प्रकार घटना का वर्णन करने के लिए एक स्पष्ट रूप से स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत की तलाश करनी चाहिए। इस तरह के सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत हैं, और औपचारिक रूप से स्केल-इनवेरिएंट क्वांटम फील्ड सिद्धांतों के समान हैं।
• सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियां) यह अवलोकन है कि व्यापक रूप से विभिन्न सूक्ष्म प्रणालियां एक चरण संक्रमण पर समान व्यवहार प्रदर्शित कर सकती हैं। इस प्रकार कई अलग-अलग प्रणालियों में चरण संक्रमणों को एक ही अंतर्निहित स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
• सामान्य तौर पर, आयाम रहित मात्राएँ स्केल इनवेरिएंट होती हैं। आँकड़ों में अनुरूप अवधारणा मानकीकृत क्षण हैं, जो एक चर के स्केल इनवेरिएंट आँकड़े हैं, जबकि गैर-मानकीकृत क्षण नहीं हैं।

स्केल-इनवेरिएंट कर्व्स और सेल्फ-समानता

गणित में, कोई फ़ंक्शन (गणित) या वक्र के स्केलिंग गुणों पर विचार कर सकता है f (x) चर के पुनर्विक्रय के तहत x. अर्थात्, के आकार में रुचि रखता है f (λx) कुछ पैमाने के कारक के लिए λ, जिसे लम्बाई या आकार में वृद्धि के रूप में लिया जा सकता है। के लिए आवश्यकता f (x) सभी पुनर्विक्रय के तहत अपरिवर्तनीय होने के लिए आमतौर पर लिया जाता है

$f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)$

प्रतिपादक के कुछ विकल्प के लिए Δ, और सभी फैलाव के लिए λ. यह इसके बराबर है f डिग्री का एक सजातीय कार्य होना Δ.

स्केल-इनवेरिएंट फ़ंक्शंस के उदाहरण एकपद हैं $f(x)=x^{n}$, जिसके लिए Δ = n, उसमें स्पष्ट रूप से

$f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.$

स्केल-इनवेरिएंट वक्र का एक उदाहरण लघुगणकीय सर्पिल है, एक प्रकार का वक्र जो अक्सर प्रकृति में प्रकट होता है। ध्रुवीय निर्देशांक में (r, θ), सर्पिल के रूप में लिखा जा सकता है

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.$

वक्र के घूर्णन की अनुमति देते हुए, यह सभी पुनर्विक्रय के तहत अपरिवर्तनीय है λ; वह है, θ(λr) के घुमाए गए संस्करण के समान है θ(r).

प्रक्षेपी ज्यामिति

एक मोनोमियल के स्केल इनवेरियन का विचार एक सजातीय बहुपद के विचार के लिए उच्च आयामों में सामान्यीकृत होता है, और आमतौर पर एक सजातीय कार्य के लिए। सजातीय कार्य प्रक्षेपण स्थान के प्राकृतिक डेनिजन्स हैं, और सजातीय बहुपदों का अध्ययन प्रोजेक्टिव ज्यामिति में प्रोजेक्टिव किस्मों के रूप में किया जाता है। प्रक्षेपी ज्यामिति गणित का विशेष रूप से समृद्ध क्षेत्र है; अपने सबसे अमूर्त रूपों में, योजना की ज्यामिति (गणित), इसमें स्ट्रिंग सिद्धांत में विभिन्न विषयों के संबंध हैं।

भग्न

एक कोच वक्र स्व-समान होता है।

कभी-कभी यह कहा जाता है कि भग्न स्केल-इनवेरिएंट होते हैं, हालांकि अधिक सटीक रूप से, किसी को यह कहना चाहिए कि वे स्व-समान हैं। एक फ्रैक्टल आमतौर पर मूल्यों के केवल असतत सेट के लिए स्वयं के बराबर होता है λ, और फिर भी फ्रैक्टल को अपने आप से मिलान करने के लिए एक अनुवाद और रोटेशन लागू करना पड़ सकता है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, कोच वक्र के साथ तराजू ∆ = 1, लेकिन स्केलिंग केवल के मानों के लिए है λ = 1/3ⁿ पूर्णांक के लिए n. इसके अलावा, कोच वक्र न केवल मूल पर, बल्कि एक निश्चित अर्थ में, हर जगह: स्वयं की लघु प्रतियां वक्र के साथ पाई जा सकती हैं।

कुछ भग्नों में एक साथ कई स्केलिंग कारक हो सकते हैं; इस तरह के स्केलिंग का अध्ययन बहु-भग्न विश्लेषण के साथ किया जाता है।

आवधिक बाहरी किरण अपरिवर्तनीय वक्र हैं।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में स्केल इनवेरियन

अगर P(f ) अपेक्षा मूल्य है | आवृत्ति पर औसत, अपेक्षित शक्ति f , तो शोर पैमाने के रूप में

$P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)$

साथ Δ सफेद शोर के लिए = 0, Δ = -1 गुलाबी शोर के लिए, और Δ = -2 एक प्रकार कि गति के लिए (और अधिक सामान्यतः, ब्राउनियन गति)।

अधिक सटीक रूप से, स्टोकेस्टिक सिस्टम में स्केलिंग सभी संभावित यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन के सेट से एक विशेष कॉन्फ़िगरेशन को चुनने की संभावना से संबंधित है। यह संभावना संभाव्यता वितरण द्वारा दी गई है।

स्केल-इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन के उदाहरण परेटो वितरण और जिपफियन वितरण हैं।

स्केल इनवेरिएंट ट्वीडी वितरण

ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन एक्सपोनेंशियल फैलाव मॉडल का एक विशेष मामला है, सांख्यिकीय मॉडल का एक वर्ग सामान्यीकृत रैखिक मॉडल के लिए त्रुटि वितरण का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है और एडिटिव और रिप्रोडक्टिव कनवल्शन के साथ-साथ स्केल ट्रांसफॉर्मेशन के तहत क्लोजर (गणित) द्वारा विशेषता है। इनमें कई सामान्य वितरण शामिल हैं: सामान्य वितरण, प्वासों वितरण और गामा वितरण, साथ ही यौगिक पॉइसन-गामा वितरण, सकारात्मक स्थिर वितरण और चरम स्थिर वितरण जैसे अधिक असामान्य वितरण। उनके निहित स्केल इनवेरियन ट्वीडी अनियमित परिवर्तनशील वस्तु्स के परिणामस्वरूप Y एक झगड़ा var(Y) प्रदर्शित करता है जिसका मतलब E(Y) पावर लॉ है:

${\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}$,

जहाँ a और p धनात्मक स्थिरांक हैं। शक्ति कानून के अर्थ में यह भिन्नता भौतिकी साहित्य में 'उतार-चढ़ाव स्केलिंग' के रूप में जानी जाती है, और पारिस्थितिकी साहित्य में टेलर के नियम के रूप में। ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन द्वारा शासित और ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन द्वारा मूल्यांकन किए गए रैंडम सीक्वेंस, मतलब पावर लॉ और पावर लॉ ऑटो सहसंबंध के विचरण के बीच एक तार्किक द्विसशर्त रिलेशनशिप को प्रदर्शित करते हैं। वीनर-खिनचिन प्रमेय का अर्थ यह भी है कि किसी भी अनुक्रम के लिए जो इन शर्तों के तहत औसत शक्ति कानून में भिन्नता प्रदर्शित करता है, गुलाबी शोर भी प्रकट होगा। 1/f शोर। ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन फ्लक्चुएशन स्केलिंग और 1/f शोर की व्यापक अभिव्यक्ति के लिए एक काल्पनिक व्याख्या प्रदान करता है।

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स

स्केल-इनवेरिएंट QFT का एक सरल उदाहरण आवेशित कणों के बिना परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है। इस सिद्धांत में वास्तव में कोई युग्मन पैरामीटर नहीं है (चूंकि फोटॉन द्रव्यमान रहित और गैर-अंतःक्रियात्मक हैं) और इसलिए शास्त्रीय सिद्धांत की तरह स्केल-इनवेरिएंट है।

हालाँकि, प्रकृति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों जैसे आवेशित कणों से जुड़ा होता है। फोटॉन और आवेशित कणों की परस्पर क्रियाओं का वर्णन करने वाला QFT क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED) है, और यह सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट नहीं है। हम इसे बीटा-फ़ंक्शन#क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|QED बीटा-फ़ंक्शन से देख सकते हैं। यह हमें बताता है कि बढ़ती ऊर्जा के साथ विद्युत आवेश (जो सिद्धांत में युग्मन पैरामीटर है) बढ़ता है। इसलिए, जबकि आवेशित कणों के बिना परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र स्केल-इनवेरिएंट है, QED स्केल-इनवेरिएंट नहीं है।

द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र सिद्धांत

मुक्त, द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) में कोई युग्मन पैरामीटर नहीं है। इसलिए, शास्त्रीय संस्करण की तरह, यह स्केल-इनवेरिएंट है। पुनर्सामान्यीकरण समूह की भाषा में, इस सिद्धांत को गॉसियन निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है।

हालाँकि, भले ही शास्त्रीय द्रव्यमान रहित φ⁴ सिद्धांत डी = 4 में स्केल-इनवेरिएंट है, परिमाणित संस्करण 'नहीं' स्केल-इनवेरिएंट है। हम इसे युग्मन पैरामीटर, जी के लिए बीटा-फ़ंक्शन से देख सकते हैं।

भले ही परिमाणित द्रव्यमान रहित φ⁴ स्केल-इनवेरिएंट नहीं है, गॉसियन फिक्स्ड पॉइंट के अलावा स्केल-इनवेरिएंट क्वांटाइज़्ड स्केलर फील्ड सिद्धांत मौजूद हैं। एक उदाहरण नीचे विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु है।

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

स्केल-इनवेरिएंट QFT पूर्ण अनुरूप समरूपता के तहत लगभग हमेशा अपरिवर्तनीय होते हैं, और ऐसे QFTs का अध्ययन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (CFT) है। सीएफटी में ऑपरेटर (भौतिकी) के पास एक अच्छी तरह से परिभाषित स्केलिंग आयाम है, स्केलिंग आयाम के अनुरूप, ऊपर चर्चा की गई शास्त्रीय क्षेत्र की। हालांकि, सीएफटी में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयाम आम तौर पर इसी शास्त्रीय सिद्धांत के क्षेत्रों से भिन्न होते हैं। सीएफटी में दिखाई देने वाले अतिरिक्त योगदानों को विषम स्केलिंग आयामों के रूप में जाना जाता है।

स्केल और अनुरूप विसंगतियाँ

φ⁴ उपरोक्त सिद्धांत उदाहरण दर्शाता है कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन पैरामीटर स्केल-निर्भर हो सकते हैं भले ही संबंधित शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट (या अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय) हो। यदि यह स्थिति है, तो क्लासिकल स्केल (या अनुरूप) व्युत्क्रम को अनुरूप विसंगति कहा जाता है। क्लासिकल स्केल इनवेरिएंट फील्ड थ्योरी, जहां क्वांटम प्रभाव से स्केल इनवेरियन टूट जाता है, प्रारंभिक ब्रह्मांड के लगभग घातीय विस्तार का एक अन्वेषण प्रदान करता है जिसे इन्फ्लेशन (ब्रह्मांड विज्ञान) कहा जाता है, जब तक सिद्धांत को गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से अध्ययन किया जा सकता है।

चरण संक्रमण

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, जैसा कि एक प्रणाली एक चरण संक्रमण से गुजरती है, इसके उतार-चढ़ाव को पैमाने-अपरिवर्तनीय सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जाता है। संतुलन में एक प्रणाली के लिए (अर्थात समय-स्वतंत्र) में D स्थानिक आयाम, संबंधित सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत औपचारिक रूप से एक के समान है D-आयामी सीएफटी। ऐसी समस्याओं में स्केलिंग आयामों को आमतौर पर महत्वपूर्ण घातांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सिद्धांत रूप में इन घातांकों की उचित सीएफटी में गणना की जा सकती है।

ईज़िंग मॉडल

एक उदाहरण जो इस लेख में कई विचारों को एक साथ जोड़ता है, वह ईज़िंग मॉडल का चरण संक्रमण है, जो लौहिक पदार्थों का एक सरल मॉडल है। यह एक सांख्यिकीय यांत्रिकी मॉडल है, जिसमें अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में भी विवरण है। सिस्टम में जाली साइटों की एक सरणी होती है, जो एक बनाती है D-आयामी आवधिक जाली। प्रत्येक जाली साइट के साथ संबद्ध एक चुंबकीय क्षण या स्पिन (भौतिकी) है, और यह स्पिन या तो मान +1 या -1 ले सकता है। (इन राज्यों को क्रमशः ऊपर और नीचे भी कहा जाता है।)

मुख्य बिंदु यह है कि ईज़िंग मॉडल में एक स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन है, जो इसे दो आसन्न स्पिनों को संरेखित करने के लिए ऊर्जावान रूप से अनुकूल बनाता है। दूसरी ओर, थर्मल उतार-चढ़ाव आमतौर पर स्पिन के संरेखण में एक यादृच्छिकता का परिचय देते हैं। कुछ महत्वपूर्ण तापमान पर, T_c , स्वतःस्फूर्त चुंबकीयकरण होने के लिए कहा जाता है। इसका मतलब है कि नीचे T_c स्पिन-स्पिन इंटरेक्शन हावी होना शुरू हो जाएगा, और दो दिशाओं में से एक में स्पिन का कुछ शुद्ध संरेखण होता है।

इस महत्वपूर्ण तापमान पर जिस तरह की भौतिक मात्राओं की गणना करना चाहते हैं, उसका एक उदाहरण एक दूरी से अलग किए गए स्पिनों के बीच संबंध है r. इसका सामान्य व्यवहार है:

$G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},$

के कुछ विशेष मूल्य के लिए $\eta$, जो एक महत्वपूर्ण प्रतिपादक का एक उदाहरण है।

सीएफटी विवरण

तापमान में उतार-चढ़ाव T_c स्केल-इनवेरिएंट हैं, और इसलिए इस चरण के संक्रमण पर ईज़िंग मॉडल को स्केल-इनवेरिएंट स्टैटिस्टिकल फील्ड थ्योरी द्वारा वर्णित किए जाने की उम्मीद है। वास्तव में, यह सिद्धांत विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु है, एक विशेष स्केल-इनवेरिएंट स्केलर फील्ड (क्वांटम फील्ड थ्योरी)।

इस संदर्भ में, G(r) अदिश क्षेत्रों के सहसंबंध समारोह के रूप में समझा जाता है,

$\langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.$

अब हम पहले से देखे गए कई विचारों को एक साथ फिट कर सकते हैं।

ऊपर से, कोई देखता है कि महत्वपूर्ण प्रतिपादक, η, इस चरण के संक्रमण के लिए भी एक विषम आयाम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अदिश क्षेत्र का शास्त्रीय आयाम,

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