श्रेणीबद्ध वलय

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, श्रेणीबद्ध वलय एक ऐसा वलय होता है जिसमें अंतर्निहित योगात्मक समूह एबेलियन समूहों $R_{i}$ का प्रत्यक्ष योग ,जो कि $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ होता है। सूचकांक समूह सामान्यतः अतिरिक्त-नकारात्मक पूर्णांकों का समूह या पूर्णांकों का समूह होता है, लेकिन कोई भी मोनोइड हो सकता है। प्रत्यक्ष योग अपघटन को सामान्यतः श्रेणीकरण या श्रेणीबद्ध के रूप में जाना जाता है।

श्रेणीबद्ध मापांक को इसी तरह परिभाषित किया गया है (सटीक परिभाषा के लिए नीचे देखें)। यह श्रेणीबद्ध दिष्‍ट रिक्त स्थान का सामान्यीकरण करता है। श्रेणीबद्ध मापांक जो एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, श्रेणीबद्ध बीजगणित कहलाता है। श्रेणीबद्ध वलय को $\mathbb {Z}$-बीजगणित श्रेणीबद्ध के रूप में भी देखा जा सकता है।

श्रेणीबद्ध वलय की परिभाषा में साहचर्यता महत्वपूर्ण नहीं है (वास्तव में इसका उपयोग बिल्कुल नहीं किया गया है); इसलिए, यह धारणा अतिरिक्त-सहयोगी बीजगणित पर भी लागू होती है; उदाहरण के लिए, कोई श्रेणीबद्ध अवस्थित बीजगणित पर विचार कर सकता है।

प्रथम गुण

सामान्यतः, श्रेणीबद्ध वलय के सूचकांक समूह को अतिरिक्त-नकारात्मक पूर्णांकों का समूह माना जाता है, जब तक कि स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट न किया गया हो। इस लेख में यही स्थिति है।

श्रेणीबद्ध वलय एक ऐसा वलय है जो प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है

$R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots$ का

योगात्मक समूह, जैसे कि

$R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}$

सभी अतिरिक्त-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $m$ और $n$.

का एक अशून्य तत्व $R_{n}$ को घात $n$ का सजातीय कहा जाता है। प्रत्यक्ष योग की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक अतिरिक्त-शून्य तत्व $a$ का $R$ को विशिष्ट रूप से $a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$ योग के रूप में लिखा जा सकता है। जहां प्रत्येक $a_{i}$ या तो 0 है या घात $i$ का सजातीय है, शून्येतर $a_{i}$ के सजातीय घटक $a$ हैं।

कुछ आधार भूत गुण हैं जैसे की

• $R_{0}$ का एक $R$ उपवलय है, विशेष रूप से, गुणात्मक पहचान $1$ घात शून्य का सजातीय तत्व है।
• किसी के लिए $n$, $R_{n}$ दोतरफा $R_{0}$-मापांक है, और प्रत्यक्ष योग अपघटन का प्रत्यक्ष योग $R_{0}$-मापांक है।
• $R$ एक $R_{0}$-बीजगणित सहयोगी है।

आदर्श (वलय सिद्धांत) $I\subseteq R$ सजातीय है, यदि प्रत्येक के लिए $a\in I$, के सजातीय घटक $a$ का भी संबंध $I$ है। (समकक्ष रूप से, यदि $R$ एक श्रेणीबद्ध उप मापांक है देखें § श्रेणीबद्ध मापांक।) एक सजातीय आदर्श का प्रतिच्छेदन $I$ साथ में $R_{n}$ एक $R_{0}$-उप मापांक का $R_{n}$ घात का $n$ का $I$ सजातीय भाग कहलाता है . एक सजातीय आदर्श उसके सजातीय भागों का प्रत्यक्ष योग है।

अगर $I$ में दोतरफा सजातीय आदर्श $R$ है , तब $R/I$ एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, जो विघटित होता है

$R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},$

जहाँ घात $n$ का $I$ सजातीय भाग का $I_{n}$ है।

आधार भूत उदाहरण

• किसी भी (अतिरिक्त-वर्गीकृत) वलय R को i ≠ 0 के लिए $R_{0}=R$, और $R_{i}=0$ का श्रेणीकरण दिया जा सकता है। इसे R पर क्षुद्र श्रेणीकरण' कहा जाता है।
• बहुपद वलय $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ एक बहुपद की घात द्वारा वर्गीकृत किया गया है,इसका प्रत्यक्ष योग $R_{i}$ है यह घात I के सजातीय बहुपद से मिलकर बना है।
• मान लीजिए कि S श्रेणीबद्ध अभिन्न डोमेन R में सभी अतिरिक्त-शून्य सजातीय तत्वों का समूह है। फिर S के संबंध में R की वलय का स्थानीयकरण $$