कप उत्पाद

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय संस्थितिविज्ञान में, कप उत्पाद डिग्री p और q के दो सहचक्रों को जोड़ने की एक विधि है, डिग्री p + q के एक समग्र सहचक्र बनता है। यह सह समरूपता में एक सहयोगी (और वितरण) श्रेणीबद्ध क्रमविनिमेय उत्पाद संचालन को परिभाषित करता है, एक समष्टि X के सह समरूपता को श्रेणीबद्ध वलय, H^∗(X), जिसे सह समरूपता वलय कहा जाता है। कप उत्पाद 1935-1938 तक जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर, एडुआर्ड सीच और हस्लर व्हिटनी के काम में प्रस्तावित किया गया था, और, पूर्ण सामान्यता में, 1944 में सैमुअल एलेनबर्ग द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

परिभाषा

विलक्षण सह समरूपता में, कप उत्पाद एक रचना है जो एक सांस्थितिक समष्टि X के श्रेणीबद्ध सह समरूपता वलय H^∗(X) पर एक उत्पाद देता है।

रचना कोचेन (बीजीय संस्थितिविज्ञान) के उत्पाद से साथ प्रारंभ होता है: यदि $\alpha ^{p}$ एक p-कोचेन है और $\beta ^{q}$ एक q-कोचैन है, तो

$(\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

जहां σ एक विलक्षण (p + q) -संकेतन है और $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ S द्वारा विस्तरित किए गए संकेतन का विहित अंतःस्थापित है $(p+q)$-संकेतन जिसका शीर्षों को $\{0,...,p+q\}$ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।

अनौपचारिक रूप से, $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$ p-वाँ अग्र फलक है और $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$ क्रमशः σ का q-वाँ पार्श्व फलक है।

कोचेन $\alpha ^{p}$ और $\beta ^{q}$ के कप उत्पाद की सहसीमा किसके द्वारा दी गई है

$\delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).$

दो सह चक्र का कप उत्पाद फिर से एक सह चक्र है, और एक सह चक्र के साथ एक सहसीमा का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक सहसीमा है। कप उत्पाद संचालन सह समरूपता पर द्विरैखिक संचालन को प्रेरित करता है,

$H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).$

गुण

सह समरूपता में कप उत्पाद संचालन अस्मिता को संतुष्ट करता है

$\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})$

ताकि संबंधित गुणन श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय हो।

कप उत्पाद क्रियात्मक है, निम्नलिखित अर्थों में: यदि

$f\colon X\to Y$

एक सतत फलन है, और

$f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)$

सह समरूपता में प्रेरित समरूपता है, तब

$f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),$

H ^*(Y) में सभी वर्गों α, β के लिए है। दूसरे शब्दों में, f ^* एक (श्रेणीबद्ध) वलय समरूपता है।

व्याख्या

कप उत्पाद को देखना संभव है $\smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)$ जैसा कि निम्नलिखित संयोजना से प्रेरित है:

$C^{\bullet <!--\; \bullet \; -->}(X$