एकवचन समरूपता

Not to be confused with सार बीजगणितीय विविधताओं की एकवचन समरूपता.

बीजगणितीय सांस्थितिकी में, अद्वितीय समरूपता एक सांस्थितिक समष्टि 'x' के बीजगणितीय अचरों के एक निश्चित समुच्चयों के अध्ययन को संदर्भित करता है, तथाकथित समरूपता समूह $H_{n}(X)$ है। सहज रूप से, अद्वितीय समरूपता की गणना करता है, प्रत्येक आयाम n के लिए, समष्टि की n-आयामी रिक्तियां है। अद्वितीय समरूपता एक समरूपता सिद्धांत का एक विशेष उदाहरण है, जो अब सिद्धांतों का एक व्यापक संग्रह बन गया है। विभिन्न सिद्धांतों में से, यह समझने के लिए कदाचित सबसे सरल सिद्धांतों में से एक है, काफी ठोस निर्माणों पर बनाया जा रहा है (संबंधित सिद्धांत सरल समरूपता भी देखें)।

संक्षेप में, मानक n-संकेतन के प्रतिचित्रों को सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी में ले जाकर किया जाता है और और उन्हें औपचारिक योगों में संयोजित कर अद्वितीय समरूपता का निर्माण किया जाता है, जिसे अद्वितीय श्रृंखला कहा जाता है। सीमा संचालन - प्रत्येक n-विमीय संकेतन को उसके (n-1) -विमीय सीमा संचालक से प्रतिचित्रण करना - अद्वितीय श्रृंखला समष्टि को प्रेरित करता है। अद्वितीय समरूपता तब श्रृंखला समष्टि की समरूपता है। परिणामी समरूपता समूह सभी समस्थेयता समतुल्य समष्टियों के लिए समान हैं, जो उनके अध्ययन का कारण है। इन निर्माणों को सभी सांस्थितिक समष्टियों पर अनुप्रयुक्त किया जा सकता है और इसलिए अद्वितीय समरूपता को सांस्थितिक समष्टियों की श्रेणी से श्रेणीबद्ध अबेलियन समूहों की श्रेणी के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।

अद्वितीय सरलता

File:2D-simplex.svg

R³ में मानक 2-संकेतन Δ² है।

एक सांस्थितिक समष्टि X में अद्वितीय n-संकेतन एक सांतत्य फलन है (जिसे प्रतिचित्र भी कहा जाता है) मानक $\sigma$ संकेतन से $\Delta ^{n}$ x के लिए, लिखित $\sigma :\Delta ^{n}\to X$ हैं। इस प्रतिचित्र को अंतःक्षेपक की आवश्यकता नहीं है और x में समान छवि के साथ गैर-समकक्ष अद्वितीय सरलताएं हो सकती हैं।

$\sigma$ की सीमा, $\partial _{n}\sigma$ के रूप में निरूपित अद्वितीय (n − 1)-सरलताओं के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है - जो कि प्रतिबंध द्वारा दर्शाए गए हैं। मानक n-संकेतन के पार्श्व पर $\sigma$ , अभिविन्यास को ध्यान में रखने के लिए एक वैकल्पिक संकेत के साथ है। औपचारिक योग सरलता पर मुक्त अबेलियन समूह का एक तत्व है। समूहों के लिए आधार सभी संभावित अद्वितीय सरलताओं का अनंत समुच्चय है। समूह संचालन "योग" है और संकेतन b के साथ संकेतन a का योग सामान्यतः केवल a + b निर्दिष्ट किया जाता है, परन्तु a + a = 2a और इसी तरह है। प्रत्येक संकेतन a में ऋणात्मक -a है। इस प्रकार, यदि हम $\sigma$ के शीर्ष द्वारा निर्दिष्ट करते हैं:

$[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]$

शीर्षों $e_{k}$ के अनुरूप मानक n-संकेतन $\Delta ^{n}$ हैं (जो निश्चित रूप से निर्मित अद्वितीय संकेतन $\sigma$ को पूर्णतया से निर्दिष्ट नहीं करता है), तब

$\partial _{n}\sigma =\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}}$

एक विशिष्ट तरीके से निर्दिष्ट संकेतन छवि के पार्श्व का एक औपचारिक योग है (अर्थात, किसी विशेष पार्श्व $\sigma$ का प्रतिबंध होना चाहिए, एक पार्श्व $\Delta ^{n}$ के लिए जो उस क्रम पर निर्भर करता है जिसके शीर्ष सूचीबद्ध हैं)। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, $\sigma =[p_{0},p_{1}]$ की सीमा (एक वक्र $p_{0}$ से $p_{1}$को जा रहा है) औपचारिक योग (या औपचारिक अंतर) $[p_{1}]-[p_{0}]$है।

अद्वितीय श्रृंखला समष्टि

सरलता के औपचारिक योगों को परिभाषित करके अद्वितीय समरूपता का सामान्य निर्माण आगे बढ़ता है, जिसे एक मुक्त अबेलियन समूह के तत्वों के रूप में समझा जा सकता है और फिर दर्शा रहा है कि हम एक निश्चित समूह को परिभाषित कर सकते हैं, सांस्थितिक समष्टि के समरूपता समूह, जिसमें सीमा संचालक सम्मिलित है।

पहले सभी संभव अद्वितीय n-सरलताओं $\sigma _{n}(X)$ के समुच्चय एक सांस्थितिक समष्टि X पर विचार करें। इस समुच्चय का उपयोग एक मुक्त अबेलियन समूह के आधार के रूप में किया जा सकता है, ताकि प्रत्येक अद्वितीय n-संकेतन समूह का जनक हो। जनक का यह समुच्चय निश्चित रूप से अनंत है, प्रायः अगणनीय होता है, क्योंकि एक विशिष्ट सांस्थितिक समष्टि में एक संकेतन को प्रतिचित्रण करने के कई तरीके हैं। इस आधार से उत्पन्न मुक्त अबेलियन समूह को सामान्य रूप $C_{n}(X)$ से निरूपित किया जाता है। घटक $C_{n}(X)$ को अद्वितीय n-श्रृंखला कहा जाता है; वे पूर्णांक गुणांक वाले अद्वितीय सरलीकरण के औपचारिक योग हैं।

सीमा $\partial$ अद्वितीय n-श्रृंखला पर कार्य करने के लिए सरलता से बढ़ाया जाता है। विस्तार, जिसे सीमा संचालक कहा जाता है, इस रूप में लिखा गया है,

$\partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}$

समूहों की एक समरूपता है। सीमा संचालक $C_{n}$के साथ में, अबेलियन समूहों की एक श्रृंखला समष्टि बनाते हैं, जिसे अद्वितीय समष्टि कहा जाता है। इसे प्रायः $(C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })$ या अधिक सरलता से