सेलुलर समरूपता

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी में सेलुलर होमोलॉजी (सेलुलर सजातीयता) सीडब्ल्यू-सम्मिश्र की श्रेणी के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत है। यह एकवचन होमोलॉजी से सहमत है, और होमोलॉजी मॉड्यूल की गणना का एक प्रभावी साधन प्रदान कर सकता है।

परिभाषा

अगर $X$ n-स्केलेटन|n-स्केलेटन वाला एक सीडब्ल्यू-सम्मिश्र है $X_{n}$, सेलुलर-होमोलॉजी मॉड्यूल को होमोलॉजी समूह H_i के रूप में परिभाषित किया गया सेलुलर श्रृंखका सम्मिश्र हैl

$\cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,$

जहाँ $X_{-1}$ रिक्त समुच्चय माना जाता है।

समूह

${C_{n}}(X_{n},X_{n-1})$

निःशुल्क मॉड्यूल है, जनरेटर के साथ जिसे पहचाना जा सकता है $n$-की सेल $X$. होने देना $e_{n}^{\alpha }$ सेम $n$-की कोशिका $X$, और जाने $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}$ संलग्न मानचित्र हो. फिर रचना पर विचार करें

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},$

जहां पहला मानचित्र पहचान करता है $\mathbb {S} ^{n-1}$ साथ $\partial e_{n}^{\alpha }$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $\Phi _{n}^{\alpha }$ का $e_{n}^{\alpha }$, जो वस्तु $e_{n-1}^{\beta }$ एक $(n-1)$-X का कक्ष, तीसरा मानचित्र $q$ वह भागफल मानचित्र है जो ढह जाता है $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ एक बिंदु तक (इस प्रकार लपेटना $e_{n-1}^{\beta }$ एक गोले में $\mathbb {S} ^{n-1}$), और अंतिम मानचित्र पहचान करता है $X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)$ साथ $\mathbb {S} ^{n-1}$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $\Phi _{n-1}^{\beta }$ का $e_{n-1}^{\beta }$.

सीमा मानचित्र

$\partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$

फिर सूत्र द्वारा दिया जाता है

$$