यादृच्छिक उपाय

संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक माप एक माप (गणित) -मूल्यवान यादृच्छिक तत्व होता है।यादृच्छिक उपाय उदाहरण के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में उपयोग किए जाते हैं, जहां वे पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं और कॉक्स प्रक्रियाओं जैसे कई महत्वपूर्ण बिंदु प्रक्रियाएं बनाते हैं।

परिभाषा

यादृच्छिक उपायों को संक्रमण गुठली या यादृच्छिक तत्वों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। दोनों परिभाषाएँ समकक्ष हैं। परिभाषाओं के लिए, आइए $E$ एक वियोज्य स्थान पूर्ण मीट्रिक स्थान बनें और दें ${\mathcal {E}}$ इसका बोरेल सिग्मा बीजगणित हो | बोरेल $\sigma$-बीजगणित। (एक वियोज्य पूर्ण मीट्रिक स्थान का सबसे आम उदाहरण है $\mathbb {R} ^{n}$)

एक संक्रमण कर्नेल

एक यादृच्छिक उपाय $\zeta$ एक (अधिकतर निश्चित रूप से | a.s.) एक (अमूर्त) संभाव्यता स्थान से स्थानीय रूप से परिमित माप संक्रमण कर्नेल है $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ को $(E,{\mathcal {E}})$.

ट्रांज़िशन कर्नेल होने का अर्थ है कि

• किसी निश्चित के लिए $B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}$, मैपिंग

$\omega \mapsto \zeta (\omega ,B)$

से मापने योग्य कार्य है $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ को $(E,{\mathcal {E}})$

• हर तय के लिए $\omega \in \Omega$, मैपिंग

$B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})$

एक माप (गणित) है $(E,{\mathcal {E}})$

स्थानीय रूप से परिमित होने का अर्थ है कि उपाय

$B\mapsto \zeta (\omega ,B)$

संतुष्ट करना $\zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty$ सभी परिबद्ध औसत अंकिते के सेट के लिए ${\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}$ और सभी के लिए $\omega \in \Omega$ कुछ को छोड़कर $P$-शून्य सेट

अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया के संदर्भ में, स्टोकेस्टिक कर्नेल, संभाव्यता कर्नेल और मार्कोव कर्नेल की संबंधित अवधारणा है।

एक यादृच्छिक तत्व के रूप में

परिभाषित करना

${\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}$

और के माध्यम से स्थानीय रूप से परिमित उपायों का सबसेट

${\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}$

मापने योग्य सभी के लिए ${\tilde {B}}$, मैपिंग को परिभाषित करें

$I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})$

से ${\tilde {\mathcal {M}}}$ को $\mathbb {R}$. होने देना ${\tilde {\mathbb {M} }}$ हो $\sigma$ मैपिंग के माध्यम से प्रेरित बीजगणित $I_{\tilde {B}}$ पर ${\tilde {\mathcal {M}}}$ और $\mathbb {M}$ $\sigma$ मैपिंग के माध्यम से प्रेरित बीजगणित $I_{\tilde {B}}$ पर ${\mathcal {M}}$. ध्यान दें कि ${\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M}$.

एक यादृच्छिक माप एक यादृच्छिक तत्व है $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ को $({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})$ यह अधिकतर निश्चित रूप से मान लेता है $({\mathcal {M}},\mathbb {M} )$

बुनियादी संबंधित अवधारणाएँ

तीव्रता माप

Main article: तीव्रता माप

एक यादृच्छिक उपाय के लिए $\zeta$, पैमाना $\operatorname {E} \zeta$ संतुष्टि देने वाला

$\mathrm{E}<!--\; \; -->[\int <!--\; \int \; -->f(x)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(\mathrm{d}$