यादृच्छिक तत्व

प्रायिकता सिद्धांत में, यादृच्छिक तत्व सरल वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक जटिल स्थानों के लिए यादृच्छिक चर की अवधारणा का सामान्यीकरण है। इस अवधारणा को मौरिस फ्रेचेट (1948) द्वारा पेश किया गया था जिन्होंने टिप्पणी की कि "प्रायिकता सिद्धांत के विकास और इसके अनुप्रयोगों के क्षेत्र के विस्तार ने उन योजनाओं से गुजरने की आवश्यकता को जन्म दिया है जहां (यादृच्छिक) प्रयोगों के परिणामों को संख्या या संख्याओं के परिमित समुच्चय द्वारा वर्णित किया जा सकता है संख्याओं की, योजनाओं के लिए जहां प्रयोगों के परिणाम प्रतिनिधित्व करते हैं, उदाहरण के लिए यादृच्छिक सदिश, फलन (गणित), प्रक्रियाओं, क्षेत्र (गणित), श्रृंखला (गणित), परिवर्तन (ज्यामिति), और समुच्चय (गणित) या समुच्चय के संग्रह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

"यादृच्छिक तत्व" का आधुनिक उपयोग अधिकांशतः मान लेता है कि मान का समष्टि एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है, अधिकांशतः उपसमुच्चय के निर्दिष्ट प्राकृतिक सिग्मा बीजगणित के साथ बनच या हिल्बर्ट समष्टि होता है।

परिभाषा

मान ले $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ प्रायिकता समष्टि है, और $(E,{\mathcal {E}})$ मापने योग्य समष्टि है। E में मानों वाला यादृच्छिक तत्व फलन है X: Ω→E जो $({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})$-मापने योग्य है। यही है, फलन X ऐसा है कि किसी के लिए भी $B\in {\mathcal {E}}$, B की पूर्वकल्पना निहित ${\mathcal {F}}$ है।

कभी-कभी यादृच्छिक तत्वों में मान के साथ $E$, $E$-महत्वपूर्ण यादृच्छिक चर कहा जाता है।

ध्यान दें यदि $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ इसका बोरेल σ-बीजगणित है, तो यादृच्छिक तत्व की परिभाषा यादृच्छिक चर की चिरसम्मत परिभाषा है।

यादृच्छिक तत्व की परिभाषा $X$ बनच समष्टि में मान के साथ $B$ सामान्यतः सबसे छोटे का उपयोग करने के लिए समझा जाता है $\sigma$-बीजगणित B पर जिसके लिए प्रत्येक बाध्य रैखिक कार्यात्मक औसत दर्जे का है। एक समतुल्य परिभाषा, इस मामले में, उपरोक्त के लिए, वह मानचित्र है $X:\Omega \rightarrow B$, प्रायिकता समष्टि से, यादृच्छिक तत्व है यदि $f\circ X$ प्रत्येक परिबद्ध रैखिक फलन f, या, समतुल्य, के लिए यादृच्छिक चर है $X$ दुर्बल रूप से मापने योग्य है।

यादृच्छिक तत्वों के उदाहरण

यादृच्छिक चर

Main article: यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर सबसे सरल प्रकार का यादृच्छिक तत्व है। यह एक नक्शा है $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ संभावित परिणामों $\Omega$ को $\mathbb {R}$ के समुच्चय से मापने योग्य फलन है।

वास्तविक-महत्वपूर्ण फलन के रूप में, $X$ अधिकांशतः किसी दी गई घटना की कुछ संख्यात्मक मात्रा का वर्णन करता है। उदाहरण एक निश्चित संख्या में सिक्के पलटने के बाद शीर्ष की संख्या; विभिन्न लोगों की ऊंचाई है।

जब की छवि (गणित) (या श्रेणी), $X$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, यादृच्छिक चर को असतत यादृच्छिक चर कहा जाता है और इसके वितरण को प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो छवि $X$ में प्रत्येक मान को प्रायिकता प्रदान करता है, यदि छवि असंख्य अनंत है तो $X$ सतत यादृच्छिक चर कहा जाता है। विशेष मामले में कि यह बिल्कुल निरंतर है, इसके वितरण को प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अंतरालों को संभावनाएं प्रदान करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक अलग-अलग बिंदु में बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए आवश्यक रूप से शून्य प्रायिकता होनी चाहिए। सभी निरंतर यादृच्छिक चर बिल्कुल निरंतर नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए मिश्रण वितरण ऐसे यादृच्छिक चरों को प्रायिकता घनत्व या प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

यादृच्छिक सदिश

Main article: यादृच्छिक वेक्टर

यादृच्छिक सदिश एक कॉलम सदिश सदिश स्थल $\mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}$ (या इसका स्थानान्तरण, जो पंक्ति सदिश है) जिसके घटक अदिश (गणित) हैं - समान प्रायिकता समष्टि पर यादृच्छिक चर $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, जहाँ $\Omega$ नमूना समष्टि है, ${\mathcal {F}}$ सिग्मा-बीजगणित (सभी घटनाओं का संग्रह) है, और $P$ प्रायिकता माप है (प्रत्येक ईवेंट की प्रायिकता लौटाने वाला फलन)।

यादृच्छिक सदिश अधिकांशतः विभिन्न प्रकार के कुल यादृच्छिक चर के अंतर्निहित कार्यान्वयन के रूप में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण यादृच्छिक मैट्रिक्स, यादृच्छिक ट्री, यादृच्छिक क्रम, यादृच्छिक प्रक्रिया, आदि हैं।

यादृच्छिक आव्यूह

Main article: यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत

यादृच्छिक आव्यूह एक आव्यूह(गणित) -महत्वपूर्ण यादृच्छिक तत्व है। भौतिक प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण गुणों को गणितीय रूप से आव्यूह समस्याओं के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जाली मॉडल (भौतिकी) की तापीय चालकता की गणना जाली के भीतर कण-कण अंतःक्रियाओं के गतिशील आव्यूहसे की जा सकती है।

यादृच्छिक फलन

Main article: यादृच्छिक कार्य

यादृच्छिक फलन एक प्रकार का यादृच्छिक तत्व है जिसमें फलन के कुछ परिवार से एक परिणाम का चयन किया जाता है, जहां परिवार में फलन के प्रांत से कोडोमेन तक सभी मानचित्रों के कुछ वर्ग होते हैं। उदाहरण के लिए, कक्षा सभी निरंतर फलन या सभी चरण फलन तक सीमित हो सकती है। एक ही बोध से विभिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए यादृच्छिक फलन द्वारा निर्धारित मान सामान्यतः सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं होंगे, लेकिन मॉडल के आधार पर, अलग-अलग बोध से समान या अलग-अलग बिंदुओं पर निर्धारित मान को स्वतंत्र माना जा सकता है।

यादृच्छिक प्रक्रिया

Main article: यादृच्छिक प्रक्रिया

यादृच्छिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का संग्रह है, जो समय के साथ यादृच्छिक मान की कुछ प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करती है। यह नियतात्मक प्रक्रिया (या नियतात्मक प्रणाली) का प्रायिकतात्मक समकक्ष है। एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करने के अतिरिक्त जो केवल एक ही तरीके से विकसित हो सकती है (उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण के समाधान के मामले में), यादृच्छिक या यादृच्छिक प्रक्रिया में कुछ अनिश्चितता होती है: भले ही प्रारंभिक स्थिति (या प्रारंभिक बिंदु) ) ज्ञात है, ऐसी कई (अधिकांशतः असीम रूप से कई) दिशाएँ हैं जिनमें प्रक्रिया विकसित हो सकती है।

असतत-समय प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के साधारण मामले में, सतत-समय प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के विपरीत, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम में यादृच्छिक चर का अनुक्रम (गणित) और इन यादृच्छिक चर से जुड़ी समय श्रृंखला सम्मिलित होती है (उदाहरण के लिए, मार्कोव श्रृंखला भी देखें) असतत-समय मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है)।

यादृच्छिक क्षेत्र

Main article: यादृच्छिक क्षेत्र

प्रायिकता समष्टि दिया गया $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ और मापने योग्य समष्टि X, X-वैल्यू यादृच्छिक क्षेत्र टोपोलॉजिकल स्पेसT में तत्वों द्वारा अनुक्रमित X-वैल्यू यादृच्छिक चर का एक संग्रह है।। अर्थात, यादृच्छिक क्षेत्र F एक संग्रह है

$\{F_{t}:t\in T\}$

जहां प्रत्येक $F_{t}$ एक X-महत्वपूर्ण यादृच्छिक चर है।

मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र (एमआरएफ), गिब्स यादृच्छिक क्षेत्र (जीआरएफ), सशर्त यादृच्छिक क्षेत्र (सीआरएफ), और गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र सहित कई प्रकार के यादृच्छिक क्षेत्र सम्मिलित हैं। एक एमआरएफ मार्कोवियन संपत्ति प्रदर्शित करता है

$P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,$

जहाँ $\partial _{i}$ यादृच्छिक चर X_i के निकटतम का एक समूह है, दूसरे शब्दों में, प्रायिकता है कि यादृच्छिक चर मान लेता है अन्य यादृच्छिक चर पर केवल उन लोगों के माध्यम से निर्भर करता है जो इसके निकटतम हैं। एक एमआरएफ में यादृच्छिक चर की प्रायिकता द्वारा दी जाती है

$P(X_i=x_i|{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i)=\frac{P(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}{}$