बिंदु प्रक्रिया

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, बिंदु प्रक्रिया या बिंदु क्षेत्र मुख्य रूप से गणित में बिंदुओं का संग्रह है, जो गणितीय समष्टि जैसे वास्तविक रेखा या यूक्लिडियन समष्टि पर यादृच्छिक रूप से स्थित होता है।

समष्टििक डेटा विश्लेषण के लिए बिंदु प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है, जो इस प्रकार वानिकी, पादप पारिस्थितिकी, महामारी विज्ञान, भूगोल, भूकंप विज्ञान, सामग्री विज्ञान, खगोल विज्ञान, दूरसंचार, कम्प्यूटरीकृत तंत्रिका विज्ञान जैसे विविध विषयों जैसे अर्थशास्त्र और दूसरे विमें रुचि रखता है।

किसी बिंदु प्रक्रिया की विभिन्न गणितीय व्याख्याएँ होती हैं, जैसे यादृच्छिक गिनती माप या यादृच्छिक समुच्चय इत्यादि। कुछ लेखक बिंदु प्रक्रिया और स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को दो अलग-अलग वस्तुओं के रूप में मानते हैं जैसे कि बिंदु प्रक्रिया यादृच्छिक वस्तु है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से उत्पन्न होती है या उससे जुड़ी होती है, चूंकि इस प्रकार यह टिप्पणी की गई है कि बिंदु प्रक्रियाओं और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के बीच अंतर स्पष्ट नहीं है। इसके लिए अन्य लोगों ने बिंदु प्रक्रिया को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में माना हैं, जहाँ प्रक्रिया को अंतर्निहित समष्टि के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है, जैसे वास्तविक रेखा या $n$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि इसके प्रमुख उदाहरण हैं। इस प्रकार बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं जैसे नवीकरण और गिनती प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है। कभी-कभी बिंदु प्रक्रिया शब्द को प्राथमिकता नहीं दी जाती है, क्योंकि इस प्रकार ऐतिहासिक रूप से प्रक्रिया शब्द समय में किसी प्रणाली के विकास को दर्शाता है, इसलिए बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र भी कहा जाता है।

वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रियाएं महत्वपूर्ण विशेष स्थिति बनाती हैं जिसका अध्ययन विशेष रूप से किया जा सकता है, क्योंकि इस प्रकार बिंदुओं को प्राकृतिक विधि से क्रमबद्ध किया जाता है, और संपूर्ण बिंदु प्रक्रिया को बिंदुओं के बीच (यादृच्छिक) अंतराल द्वारा पूर्ण रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इन बिंदु प्रक्रियाओं को अधिकांशतः समय में यादृच्छिक घटनाओं के लिए प्रारूप के रूप में उपयोग किया जाता है, जैसे किसी श्रेणी में ग्राहकों का आगमन (कतार सिद्धांत), न्यूरॉन में आवेगों (कम्प्यूटरीकृत तंत्रिका विज्ञान), गीगर काउंटर में कण, रेडियो स्टेशनों का समष्टि दूरसंचार नेटवर्क या विश्वव्यापी वेब पर की जाने वाली विभिन्न खोजों का व्यापक रूप हैं।

सामान्य बिंदु प्रक्रिया का सिद्धांत

गणित में, बिंदु प्रक्रिया यादृच्छिक अवयव है जिसका मान समुच्चय (गणित) एस पर बिंदु स्वरूप हैं। जबकि इस प्रकार सही प्रकार से यदि कहें तो गणितीय परिभाषा में बिंदु स्वरूप को समष्टिीय रूप से परिमित माप गिनती माप के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, यह अधिक लागू उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है बिंदु स्वरूप को S के गणनीय समुच्चय उपसमुच्चय के रूप में सोचें जिसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है।

परिभाषा

सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं को परिभाषित करने के लिए, हम संभाव्यता समष्टि $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ से प्रारंभ करते हैं,

और मापने योग्य समष्टि $(S,{\mathcal {S}})$ जहाँ $S$ समष्टिीय रूप से सघन समष्टि है,

द्वितीय-गणनीय समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि और ${\mathcal {S}}$ क्या ऐसी बात है,

बोरेल सिग्मा-बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित अब पूर्णांक-मान समष्टिीय रूप से परिमित कर्नेल $\xi$ पर विचार करें, जिससे इस प्रकार $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ में $(S,{\mathcal {S}})$ का मानचित्रण $\Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}$ ऐसा है कि:

1. हरएक के लिए $\omega \in \Omega$, $\xi (\omega ,\cdot )$ पर समष्टिीय रूप से सीमित उपाय $S$ है।
2. हरएक के लिए $B\in {\mathcal {S}}$, $\xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}$ यादृच्छिक चर $\mathbb {Z} _{+}$ है।

यह कर्नेल यादृच्छिक माप को निम्नलिखित विधि से परिभाषित करता है। यहाँ पर इस प्रकार हम $\xi$ के लिए सोचना चाहेंगे,

किसी मैपिंग को परिभाषित करने के रूप में जो $\omega \in \Omega$ उपाय के लिए इस प्रकार $\xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$ मैप करता है,

(अर्थात्, $\Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$),

जहाँ ${\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$ सभी समष्टिीय रूप से परिमित उपायों का समुच्चय $S$ है।

अब, इस मानचित्रण को मापने योग्य बनाने के लिए, हमें $\sigma$-फ़ील्ड ओवर ${\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$ के लिए इसे परिभाषित करने की आवश्यकता है।

यह $\sigma$-फ़ील्ड का निर्माण न्यूनतम बीजगणित के रूप में किया गया है जिससे कि प्रपत्र के सभी मानांकन मानचित्र $\pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)$, जहाँ $B\in {\mathcal {S}}$ अपेक्षाकृत सघन उपसमुच्चय है, जो मापने योग्य हैं। इससे सुसज्जित $\sigma$-फ़ील्ड, फिर $\xi$ यादृच्छिक अवयव है, जहाँ हर किसी के लिए $\omega \in \Omega$, $\xi _{\omega }$ समष्टिीय रूप से सीमित माप $S$ है।

अब, बिंदु प्रक्रिया द्वारा $S$ हमारा मतलब बस पूर्णांक-मान यादृच्छिक माप (या समकक्ष, पूर्णांक-मान) है।

कर्नेल $\xi$ उपरोक्तानुसार से निर्मित होता हैं।

स्टेट समष्टि S के लिए सबसे सरल उदाहरण यूक्लिडियन स्पेस 'R'ⁿ है या उसका उपसमुच्चय, जहाँ इस प्रकार विशेष रूप से दिलचस्प विशेष स्थिति वास्तविक अर्ध-पंक्ति [0,∞) द्वारा दिया जाता है। चूंकि, बिंदु प्रक्रियाएँ इन उदाहरणों तक सीमित नहीं हैं और अन्य चीजों के अतिरिक्त इसका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब बिंदु स्वयं 'R'ⁿ के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय हों। इस स्थिति में ξ को सामान्यतः कण प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

यह नोट किया गया है कि यदि S वास्तविक रेखा का उपसमुच्चय नहीं है, तो इस प्रकार बिंदु प्रक्रिया शब्द बहुत अच्छा नहीं है, क्योंकि इससे यह सुझाव मिल सकता है कि ξ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। चूंकि इस प्रकार यह शब्द सामान्य स्थिति में भी अच्छे प्रकार से स्थापित और निर्विरोध है।

प्रतिनिधित्व

किसी बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक उदाहरण (या घटना) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$\xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},$

जहाँ $\delta$ डिराक माप को दर्शाता है, n पूर्णांक-मान यादृच्छिक चर है और इस प्रकार $X_{i}$ S के यादृच्छिक अवयव हैं, इसके कारण यदि $X_{i}$ लगभग निश्चित रूप से भिन्न (या समकक्ष, लगभग निश्चित रूप से $\xi (x)\leq 1$ सभी के लिए $x\in \mathbb {R} ^{d}$) हैं, तो इस प्रकार बिंदु प्रक्रिया को सरल बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

किसी घटना का और अलग अपितु उपयोगी प्रतिनिधित्व (घटना समष्टि में घटना, यानी अंकों की श्रृंखला) गिनती संकेतन है, जहाँ इस प्रकार प्रत्येक उदाहरण को के रूप में दर्शाया जाता है $N(t)$ फलन, सतत फलन जो पूर्णांक मान लेता है: $N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}$:

$N(t_1,t_2)={\int <!--\; \int \; -->}_{{}_{}}^{}$