संभाव्यता स्थान

संभाव्यता सिद्धांत में, एक संभाव्यता स्थान या संभाव्यता त्रिक $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ एक गणितीय निर्माण है जो यादृच्छिकता प्रक्रिया या "प्रयोग" का एक औपचारिक प्रतिरूप प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, कोई एक संभाव्यता स्थान को परिभाषित कर सकता है जो पासे को फेंकने का प्रतिरूप बनाता है।

संभाव्यता स्थान में तीन तत्व होते हैं:

1. एक प्रतिदर्श स्थान, $\Omega$, जो सभी संभावित परिणामों (संभावना) का समुच्चय है।
2. एक इवेंट स्पेस, जो इवेंट, ${\mathcal {F}}$ (संभावना सिद्धांत) का एक समुच्चय है, एक घटना प्रतिदर्श स्थान में परिणामों का एक समुच्चय है।
3. एक संभाव्यता माप, $P$, जो घटना स्थान में प्रत्येक घटना को एक संभावना निर्दिष्ट करता है, जो 0 और 1 के बीच की एक संख्या है।

संभाव्यता का एक विवेकपूर्ण प्रतिरूप प्रदान करने के लिए, इन तत्वों को इस लेख में विस्तृत कई सिद्धांतों को पूरा करना होगा।

एक मानक पासे को फेंकने के उदाहरण में, हम प्रतिदर्श स्थान $\{1,2,3,4,5,6\}$ लेंगे। इवेंट स्पेस के लिए, हम बस प्रतिदर्श स्थान के सभी उपसमुच्चय का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें $\{5\}$ (पांसा 5 पर उतरता है) जैसी साधारण इवेंट सम्मिलित होंगे, साथ ही साथ जटिल घटनाएँ जैसे $\{2,4,6\}$ (पासा सम संख्या पर गिरता है) भी सम्मिलित होंगे। अंत में, संभाव्यता फलन के लिए, हम प्रत्येक घटना को उस घटना के परिणामों की संख्या को 6 से विभाजित करके मैप करेंगे - इसलिए उदाहरण के लिए, $\{5\}$ को $1/6$ पर मैप किया जाएगा, और $\{2,4,6\}$ को $3/6=1/2$ पर मैप किया जाएगा।

जब कोई प्रयोग किया जाता है, तो हम कल्पना करते हैं कि "प्रकृति" प्रतिदर्श स्थान $\Omega$ से एकल परिणाम, $\omega$, का "चयन" करती है। इवेंट स्पेस ${\mathcal {F}}$ में वे सभी घटनाएँ जिनमें चयनित परिणाम $\omega$ सम्मिलित हैं, को "घटित" कहा जाता है। यह "चयन" इस तरह से होता है कि यदि प्रयोग कई बार दोहराया जाता है, तो प्रत्येक घटना की घटनाओं की संख्या, प्रयोगों की कुल संख्या के एक अंश के रूप में, संभावना फलन $P$ द्वारा उस घटना को सौंपी गई संभावना की ओर प्रवृत्त होगी।

सोवियत गणितज्ञ एंड्री कोलमोगोरोव ने 1930 के दशक में, संभाव्यता के अन्य सिद्धांतों के साथ, संभाव्यता स्थान की धारणा निवेदित किया। आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत में स्वयंसिद्धीकरण के लिए कई वैकल्पिक दृष्टिकोण हैं - उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर का बीजगणित।

परिचय

एक पासे को लगातार दो बार फेंकने के लिए संभाव्यता स्थान: प्रतिदर्श स्थान $\Omega$ में सभी 36 संभावित परिणाम निहित हैं; तीन अलग-अलग घटनाओं (रंगीन बहुभुज) को उनकी संबंधित संभावनाओं (एक अलग समान वितरण मानते हुए) के साथ दिखाया गया है।

संभाव्यता स्थान एक गणितीय त्रिक $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ है जो वास्तविक दुनिया की स्थितियों के एक विशेष वर्ग के लिए एक गणितीय प्रतिरूप प्रस्तुत करता है। अन्य प्रतिरूपों की तरह, इसका लेखक अंततः परिभाषित करता है कि $\Omega$, ${\mathcal {F}}$, और $P$ में कौन से तत्व सम्मिलित होंगे।

• प्रतिदर्श स्थान $\Omega$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है। एक परिणाम (संभावना) प्रतिरूप के एकल निष्पादन का परिणाम है। परिणाम प्रकृति की स्थितियाँ, संभावनाएँ, प्रयोगात्मक परिणाम आदि हो सकते हैं। वास्तविक दुनिया की स्थिति (या प्रयोग चलाने) के प्रत्येक उदाहरण को बिल्कुल एक परिणाम उत्पन्न करना चाहिए। यदि किसी प्रयोग के अलग-अलग दौर के परिणाम किसी भी मायने में भिन्न होते हैं, तो वे अलग-अलग परिणाम होते हैं। कौन सा अंतर मायने रखता है यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम किस प्रकार का विश्लेषण करना चाहते हैं। इससे प्रतिदर्श स्थान के विभिन्न विकल्प सामने आते हैं।
• σ-बीजगणित ${\mathcal {F}}$ यह उन सभी घटनाओं (संभावना सिद्धांत) का एक संग्रह है जिन पर हम विचार करना चाहेंगे। इस संग्रह में प्रत्येक प्राथमिक फलन सम्मिलित हो भी सकता है और नहीं भी। यहां, एक घटना शून्य या अधिक परिणामों का एक समूह है; वह है, प्रतिदर्श स्थान का उपसमुच्चय। किसी घटना को प्रयोग के दौरान घटित तब माना जाता है जब प्रयोग का परिणाम घटना का एक तत्व होता है। चूँकि एक ही परिणाम कई घटनाओं का सदस्य हो सकता है, इसलिए एक ही परिणाम के साथ कई घटनाओं का घटित होना संभव है। उदाहरण के लिए, जब परीक्षण में दो पासे फेंकने होते हैं, तो 7 पिप (गिनती) के योग के साथ सभी परिणामों का उपसमुच्चय एक घटना बन सकता है, जबकि विषम संख्या में पिप्स के साथ परिणाम एक और घटना बन सकते हैं। यदि परिणाम पहले पासे पर दो पिप्स और दूसरे पासे पर पांच पिप्स की प्राथमिक घटना का तत्व है, तो दोनों घटनाएं, 7 पिप्स और विषम संख्या में पिप्स, घटित मानी जाती हैं।
• संभाव्यता माप $P$ एक फलन समुच्चय है जो किसी घटना की संभावना लौटाता है। संभाव्यता शून्य (असंभव घटनाओं की संभाव्यता शून्य होती है, हालांकि संभाव्यता-शून्य घटनाएं आवश्यक रूप से असंभव नहीं होती हैं) और एक (घटना लगभग निश्चित रूप से, लगभग पूर्ण निश्चितता के साथ घटित होती है) के बीच की एक वास्तविक संख्या होती है। इस प्रकार $P$ एक फलन $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ है। संभाव्यता माप फलन को दो सरल आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए: पहला, परस्पर अनन्य घटनाओं के गणनीय समुच्चय संघ की संभावना इनमें से प्रत्येक घटना की संभावनाओं के गणनीय योग के बराबर होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, परस्पर एक सिक्के को उछालने के यादृच्छिक प्रयोग ${\text{Head}}$ और ${\text{Tail}}$ में अनन्य घटनाओं के मिलन की संभावन, $P({\text{Head}}\cup {\text{Tail}})$, के लिए संभाव्यता ${\text{Head}}$ और इसकी संभावना ${\text{Tail}}$ का योग, $P({\text{Head}})+P({\text{Tail}})$ है। दूसरा, प्रतिदर्श स्थान $\Omega$ की संभावना 1 के बराबर होना चाहिए (जो इस तथ्य को दर्शाता है कि, प्रतिरूप के निष्पादन को देखते हुए, कुछ परिणाम अवश्य घटित होने चाहिए)। पिछले उदाहरण में परिणामों के समुच्चय की संभावना $P(\{{\text{Head}},{\text{Tail}}\})$ एक के बराबर होना चाहिए, क्योंकि यह पूरी तरह से निश्चित है कि परिणाम कोई एक ही होगा ${\text{Head}}$ या ${\text{Tail}}$ (प्रतिरूप किसी अन्य संभावना की उपेक्षा करता है) एक ही सिक्के को उछालने में।

प्रतिदर्श स्थान $\Omega$ के प्रत्येक उपसमुच्चय को आवश्यक रूप से एक घटना माना जाना चाहिए: कुछ उपसमुच्चय बिल्कुल रुचि के नहीं हैं, अन्य को "मापा" नहीं जा सकता है। सिक्का उछालने जैसे स्थिति में यह इतना स्पष्ट नहीं है। एक अलग उदाहरण में, कोई भाला फेंक की लंबाई पर विचार कर सकता है, जहां घटनाएं आम तौर पर "60 और 65 मीटर के बीच" के अंतराल और ऐसे अंतराल के संघ होती हैं, लेकिन "60 और 65 मीटर के बीच अपरिमेय संख्याओं" की तरह समुच्चय नहीं होती हैं।

परिभाषा

संक्षेप में, संभाव्यता स्थान एक माप स्थान है जिस्से कि संपूर्ण स्थान का माप एक के बराबर होता है।

विस्तारित परिभाषा निम्नलिखित है: संभाव्यता स्थान एक त्रिगुण $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ है जिसमें निम्न निहित हैं:

• प्रतिदर्श स्थान $\Omega$ - एक स्वेच्छाचारी गैर-रिक्त समुच्चय,
• σ-बीजगणित ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ (जिसे σ-फ़ील्ड भी कहा जाता है) - $\Omega$ के उप समुच्चय का एक समुच्चय, जिसे घटनाएँ (संभावना सिद्धांत) कहा जाता है, जैसे कि:
  • ${\mathcal {F}}$ प्रतिदर्श स्थान में सम्मिलित है: $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$