जनक फलन

गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को आकारनिष्ठ घात श्रृंखला के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका (a_n) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर अनिश्चित रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था। संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।

विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।

औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है

किसी फलन के कार्यक्षेत्र से कोडोमेन तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है, इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।

परिभाषाएँ

'जनक फलन एक यंत्र है जो कुछ हद तक एक बैग के समान होता है। बहुत सी छोटी वस्तुओं को अलग-अलग ले जाने के स्थान पर, जो लज्जाजनक हो सकता है, हम उन सभी को एक बैग में रख देते हैं, और फिर हमारे पास ले जाने के लिए केवल एक ही वस्तु होती है, बैग.

— जॉर्ज पोल्या, गणित और विश्वसनीय तर्क (1954)

जनक फलन एक अलगनी है जिस पर हम प्रदर्शन के लिए संख्याओं का एक क्रम लटकाते हैं.

— हर्बर्ट विल्फ, जनकफंक्शनोलॉजी (1994)

साधारण जनक फलन (OF)

अनुक्रम का सामान्य जनक फलन a_n है

$$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$$

जब बिना किसी योग्यता के जनन फलन शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः सामान्य जनन फलन के रूप में लिया जाता है।

अगर a_n एक असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है, तो इसके साधारण जनन फलन को प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला फलन कहा जाता है।

साधारण जनक फलन को कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी सरणी का सामान्य जनक फलन a_m,n (जहाँ n और m प्राकृतिक संख्याएँ हैं) है

$$G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.$$

घातीय जनक फलन (ईजीएफ)

किसी अनुक्रम का चरघातांकी जनन फलन a_n है

$$\operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

घातीय जनक फलन सामान्यतः संयुक्त गणना समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं। घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम {f_n} लें जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध f_n+2 = f_n+1 + f_n को संतुष्ट करता है। संबंधित घातीय जनक फलन का रूप है

$$\operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}$$

और इसके व्युत्पादित को अवकलन समीकरण को संतुष्ट करने के लिए उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध के साथ प्रत्यक्ष अनुरूप के रूप में EF″(x) = EF′(x) + EF(x) आसानी से दिखाया जा सकता है। इस दृष्टि से, भाज्य शब्द n! व्युत्पादित संचालक को सामान्य करने के लिए केवल एक विपरीत-अवधि xⁿ है।

पोइसन जनक फलन

एक अनुक्रम का पोइसन जनक फलन a_n है

$$\operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).$$

लैम्बर्ट श्रृंखला

Main article: लैम्बर्ट श्रृंखला

अनुक्रम की लैम्बर्ट श्रृंखला a_n है

$$\operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.$$

घात श्रेणी विस्तार में लैम्बर्ट श्रृंखला गुणांक

$$b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)$$

पूर्णांकों के लिए n ≥ 1 भाजक योग से संबंधित हैं

$$b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.$$

मुख्य लेख संख्या सिद्धांत में विशेष अंकगणितीय कार्यों से संबंधित कई और शास्त्रीय, या कम से कम प्रसिद्ध उदाहरण प्रदान करता है।

लैम्बर्ट श्रृंखला में तालिका n 1 से प्रारम्भ होता है, 0 से नहीं, क्योंकि पहला पद अन्यथा अपरिभाषित होगा।

बेल श्रृंखला

एक क्रम की बेल श्रृंखला a_n एक अनिश्चित दोनों के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति x है और एक प्रधान p निम्न द्वारा दिया गया है

$${\mathrm{BG}}_p<!--\; \; -->$$