अंकगणितीय कार्य

संख्या सिद्धांत में, एक अंकगणितीय, अंकगणितीय, या संख्या-सैद्धांतिक कार्य अधिकांश लेखकों के लिए है। कोई भी फलन (गणित) f(n) जिसका प्रांत प्राकृत संख्या है और जिसका विस्तार सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय है। हार्डी एंड राइट ने अपनी परिभाषा में इस आवश्यकता को सम्मिलित किया है कि एक अंकगणितीय फलन n की कुछ अंकगणितीय संपत्ति को व्यक्त करता है। एक अंकगणितीय फलन का एक उदाहरण विभाजक फलन है। जिसका मान धनात्मक पूर्णांक n पर n के विभाजकों की संख्या के समान है।

संख्या-सैद्धांतिक कार्यों का एक बड़ा वर्ग है। जो उपरोक्त परिभाषा में फिट नहीं होता है, उदाहरण के लिए, अभाज्य-गणना कार्य यह आलेख दोनों वर्गों के कार्यों के लिंक प्रदान करता है।

अंकगणितीय कार्य अधिकांशतः अत्यंत अनियमित होते हैं (कुछ अंकगणितीय कार्यों के पहले 100 मान देखें), किन्तु उनमें से कुछ में रामानुजन के योग के संदर्भ में श्रृंखला विस्तार है।

गुणक और योगात्मक कार्य

एक अंकगणितीय फलन a है।

• 'पूर्ण योग फलन' यदि a(mn) = a(m) + a(n) सभी प्राकृत संख्याओं m और n के लिए है।
• 'पूरी तरह से गुणा फलन' यदि a(mn) = a(m)a(n) सभी प्राकृत संख्याओं m और n के लिए है।

दो पूर्ण संख्याएँ m और n सहअभाज्य कहलाती हैं यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है, अर्थात यदि कोई अभाज्य संख्या नहीं है। जो दोनों को विभाजित करती है।

तब एक अंकगणितीय फलन a है

• 'योगात्मक फलन' यदि a(mn) = a(m) + a(n) सभी कोप्राइम प्राकृत संख्याओं m और n के लिए है।
• 'गुणात्मक फलन' यदि a(mn) = a(m)a(n) सभी सहअभाज्य प्राकृतिक संख्याओं m और n के लिए है।

नोटेशन

इस आलेख में, ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$ और ${\textstyle \prod _{p}f(p)}$ इसका कारण है कि योग या उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

$$\sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots$$

और

$$\prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .$$

इसी प्रकार, ${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$ और ${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$ इसका कारण है कि योग या उत्पाद पूरी तरह से सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ सभी प्रमुख शक्तियों से अधिक है। (इसलिए k = 0 सम्मिलित नहीं है):

$$\sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .$$

अंकन ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$ और ${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$ इसका अर्थ है कि योग या गुणनफल n के सभी धनात्मक विभाजकों से अधिक है, जिसमें 1 और n सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, यदि n = 12, तब

$$\prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).$$

नोटेशन ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$ और ${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$ को जोड़ा जा सकता है। इसका कारण है कि योग या उत्पाद n के सभी प्रमुख विभाजकों से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि n = 18, तब

$$\underset{p\mid <!--\; \mid \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}$$