द्विपद प्रकार

गणित में बहुपद अनुक्रम अर्थात गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित बहुपदों का क्रम ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$ होता हैं। जिसमें प्रत्येक बहुपद का सूचकांक बहुपद की अपनी डिग्री के बराबर होता है, इसे द्विपद प्रकार कहा जाता है इस प्रकार यदि यह पहचान के अनुक्रम को संतुष्ट करता है तो उक्त समीकरण द्वारा हम इमें प्रदर्शित कर सकते हैं।

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).$

इस प्रकार यह कई क्रमों में संलग्न होते हैं। इस प्रकार से सभी अनुक्रमों का समुच्चय उम्ब्रल रचना के संचालन के अनुसार असत्य समूह बनाता है, जिसे नीचे संदर्भित किया गया है। बेल बहुपद के संदर्भ में द्विपद प्रकार के प्रत्येक क्रम को व्यक्त किया जा सकता है। द्विपद प्रकार का प्रत्येक क्रम शेफ़र अनुक्रम होते है (किन्तु अधिकांश शेफ़र अनुक्रम द्विपद प्रकार के नहीं हैं)। बहुपद अनुक्रमों ने अम्ब्रल कैलकुलस की अस्पष्टता 19वीं शताब्दी की धारणाओं को मजबूती से स्थापित किया गया है।

उदाहरण

• इस परिभाषा के फलस्वरूप द्विपद प्रमेय को अनुक्रम कहकर किया जा सकता है, यहाँ पर $\{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}$ द्विपद प्रकार का उदाहरण है।
• कम भाज्य के अनुक्रम को नीचे दिए गए समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
  $$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).$$
  (विशेष फंक्शनों के लिए दिए गए सिद्धांतों में अंकन मुख्य रूप से ऊपरी क्रमगुणों को दर्शाता है, किन्तु यह वर्तमान उपयोग साहचर्य के बीच सार्वभौमिक रूप से उपयोग किया जाता हैं।) उत्पाद को समीकरण 1 से समझा जा सकता है, इस प्रकार यदि n = 0 हो तब यह इस स्थिति में रिक्त उत्पाद बनाता है। यह बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का है।
• इसी प्रकार ऊपरी भाज्य
  $$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)$$
  द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम हैं।
• हाबिल बहुपद
  $$p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}$$
  द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम हैं।
• टौचर्ड बहुपद
  $$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}$$
• जहाँ $S(n,k)$ आकार के समुच्चय के विभाजन की संख्या है, इस प्रकार $n$ में $k$ के विसंधित गैर-रिक्त उपसमुच्चय को अलग करना द्विपद प्रकार के बहुपद का अनुक्रम है। इस प्रकार एरिक टेम्पल बेल ने इन्हें घातीय बहुपद कहा और यह शब्द कभी-कभी साहित्य में भी देखा जाता है। गुणांक $S(n,k)$ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को प्रदर्शित करता हैं। इस अनुक्रम का प्वासों वितरण के साथ संबंध रखता हैं: यदि $X$ अपेक्षित मान के साथ प्वासों बंटन वाला यादृच्छिक चर $\lambda$ है, तब $E(X^{n})=p_{n}(\lambda )$ विशेष रूप से, $\lambda =1$ होने पर हम देखते हैं कि $n$ अपेक्षित मान के साथ प्वासों बंटन का $n$वां क्षण आकार के समुच्चय के विभाजन की संख्या 1 रहती है, इसको कॉल किया गया $n$वें बेल नंबर के अनुसार इस तथ्य के बारे में $n$ उस विशेष प्वासों बंटन का वां क्षण है जिसे बेल संख्या या डोबिंस्की के सूत्र द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं।

डेल्टा ऑपरेटरों द्वारा लक्षण वर्णन

यह दिखाया जा सकता है कि बहुपद अनुक्रम {p_n(x): n = 0, 1, 2, … } द्विपद प्रकार का है यदि और केवल यदि निम्नलिखित तीनों शर्तें लागू होती हैं:

• x में बहुपदों के स्थान पर रैखिक परिवर्तन को प्रदर्शित करते हैं जिसकी विशेषता है-
  $$p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)$$
  शिफ्ट-समतुल्य है, और
• P₀(x) = 1 सभी x के लिए, और
• P_n(0) = 0 n > 0 के लिए संलग्न होते हैं।

(यह कथन कि यह ऑपरेटर शिफ्ट-समतुल्य है, यह कहने के समान है कि बहुपद अनुक्रम शेफ़र का अनुक्रम हैं, द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समुच्चय शेफ़र अनुक्रमों के समुच्चय के भीतर ठीक से सम्मिलित है।)

डेल्टा ऑपरेटर

वह रैखिक परिवर्तन स्पष्ट रूप से डेल्टा ऑपरेटर है, अर्थात x में बहुपदों के स्थान पर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक परिवर्तन जो बहुपदों की डिग्री को 1 से कम कर देता है। डेल्टा ऑपरेटरों के सबसे स्पष्ट उदाहरण अंतर ऑपरेटर और भेदभाव हैं। यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक डेल्टा ऑपरेटर को प्रपत्र की शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है

$Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}$

जहाँ D अवकलन है (ध्यान दें कि योग की निचली सीमा 1 है)। प्रत्येक डेल्टा ऑपरेटर Q में मूल बहुपदों का एक अनूठा क्रम होता है, अर्थात, एक बहुपद अनुक्रम संतोषजनक होता है

1. $p_{0}(x)=1,$
2. $p_n(0)=0\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}$