चेबिशेव बहुपद

Not to be confused with असतत चेबिशेव बहुपद.

चेबिशेव बहुपद त्रिकोणमितीय फलन साइन और कोसाइन से संबंधित बहुपदों के दो अनुक्रम हैं जिन्हें $T_{n}(x)$ और $U_{n}(x)$ के रूप में प्रदर्शित किया गया है। इन्हे कई अन्य समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है जिनमें से एक त्रिकोणमितीय फलन से प्रारम्भ होता है:

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद $T_{n}$ द्वारा परिभाषित किए गए हैं:

$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).$

इसी प्रकार, दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपद $U_{n}$ द्वारा परिभाषित किए गए हैं:

$U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.$

ये व्यंजक बहुपदों को परिभाषित करते हैं और $\cos \theta$ पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद से स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन पुनर्लेखन के बाद $\cos(n\theta )$ और $\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}$ होता है और डीमोइवर (गणितज्ञ) के सूत्र का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची का उपयोग करके कोण योग और अवकल सर्वसमिकाओं के लिए $\cos$ और $\sin$ के समीकरण के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची युग्म कोण सूत्र जो कोण योग सूत्रों से प्रत्यक्ष रूप से अनुसरण करते हैं तथा $T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1$ और $U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta$, का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो क्रमशः $\cos \theta$ में बहुपद और $\cos \theta$ में $\sin \theta$ से गुणा किए गए बहुपद हैं। इस प्रकार $T_{2}(x)=2x^{2}-1$ और $U_{1}(x)=2x$. T_n(x) की एक महत्वपूर्ण और सुविधाजनक धारणा यह है कि वे आंतरिक उत्पाद के संबंध में लंबकोणीय हैं:

$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

और U_n(x) नीचे दिए गए अन्य समान आंतरिक उत्पाद के संबंध में लंबकोणीय फलन हैं।

चेबिशेव बहुपद T_n बहुपद हैं जिनमें सबसे बड़ा संभावित प्रमुख गुणांक है जिसका अंतराल पर निरपेक्ष मान [−1, 1] 1 से सम्बद्ध है। वे कई अन्य गुणों के लिए पूर्ण बहुपद हैं।

सन्निकटन सिद्धांत में चेबिशेव बहुपद महत्वपूर्ण हैं क्योंकि T_n(x) की घात जिन्हें चेबिशेव नोड्स भी कहा जाता है बहुपद अंतःक्षेप को अनुकूलित करने के लिए मिलान बिंदु के रूप में उपयोग की जाती हैं। जो परिणामी अंतर्वेशन बहुपद की घटना की समस्या को न्यूनतम करता है और एक सन्निकटन प्रदान करता है जो अधिकतम मानदंड के अंतर्गत एक सतत फलन के लिए सबसे अच्छा बहुपद सन्निकटन है, जिसे अल्प न्यूनतम बहुपद कहा जाता है। इसको सन्निकटन सिद्धान्त मे प्रत्यक्ष क्लेंशॉ-कर्टिस चतुर्भुज की विधि के रूप मे प्रयुक्त किया जाता है।

इन बहुपदों का नाम "पफन्युटी चेबिशेव" के नाम पर रखा गया था। बहुपद T का उपयोग चेबिशेव नाम के वैकल्पिक लिप्यंतरण के कारण चेबीचेफ, चेबीशेव (फ्रेंच) या शेबीशॉ (जर्मन) के रूप में किया जाता है।

परिभाषाएँ

पुनरावृत्ति परिभाषा

File:Chebyshev Polynomials of the First Kind.svg

पहले पांच का प्लॉट T_n चेबिशेव बहुपद (प्रथम प्रकार के बहुपद)

प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपद पुनरावर्तन संबंध से प्राप्त किए जाते हैं।

$\begin{array}{rl}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_{n+1}(x)& =2x{T}_n(\end{array}$