गतिशील बिलियर्ड्स

बनिमोविच स्टेडियम के भीतर प्रसिद्ध अराजक बिलियर्ड कण घूर्णन कर रहा है। इस प्रकार का एनिमेशन बनाने के लिए सॉफ्टवेयर अनुभाग देखें।

डायनैमिकल बिलियर्ड डायनैमिकल प्रणाली होती है जिसमें कण सीमा से मुक्त गति (सामान्यतः सरल रेखा के रूप में) और स्पेक्युलर प्रतिबिंब के मध्य वैकल्पिक होता है। जब कण सीमा का प्रतिरोध करता है तो यह बिना गति की हानि के (अर्थात् प्रत्यास्थ संघट्ट) उससे परावर्तित हो जाता है। बिलियर्ड्स क्रीड़ा के हैमिल्टनियन आदर्शीकरण हैं, किन्तु सीमा द्वारा समाहित क्षेत्र में आयताकार के अतिरिक्त अन्य आकार भी हो सकते हैं जिनमें बहुआयामी भी सम्मिलित हैं। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर डायनैमिकल बिलियर्ड्स का भी अध्ययन किया जा सकता है; वास्तव में, बिलियर्ड्स के प्रथम अध्ययन ने निरंतर ऋणात्मक वक्रता की सतह पर अपने एर्गोडिक सिद्धांत को स्थापित किया था। ऐसे बिलियर्ड्स का अध्ययन जो किसी क्षेत्र में रखे जाने के अतिरिक्त क्षेत्र से बाहर रखे जाते हैं उन्हें बाह्य बिलियर्ड सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

बिलियर्ड में कण की गति सीमा के साथ परावर्तन के मध्य स्थिर ऊर्जा वाली सरल रेखा होती है (यदि बिलियर्ड टेबल की रिमेंनियन मीट्रिक समतल नहीं है तो यह जियोडेसिक होगी)। सभी परावर्तन (भौतिकी) स्पेक्युलर परावर्तन होते हैं: संघट्‍टन से पूर्व आपतन कोण (ऑप्टिक्स) संघट्‍टन के पश्चात परावर्तन के कोण के समान होता है। प्रतिबिंबों के क्रम को बिलियर्ड मानचित्र द्वारा वर्णित किया गया है जो कण की गति को पूर्ण रूप से दर्शाता है।

बिलियर्ड्स अपने पोनकारे मानचित्र को निर्धारित करने के लिए गति के समीकरणों को एकीकृत करने की कठिनाइयों के बिना, एकीकृत प्रणाली से अराजकता सिद्धांत तक हैमिल्टनियन प्रणालियों की सभी जटिलताओं को देखते हैं। जॉर्ज डेविड बिरखॉफ ने दर्शाया कि दीर्घवृत्त तालिका के साथ बिलियर्ड प्रणाली पूर्णांकीय है।

गति के समीकरण

किसी सतह पर घर्षण के अतिरिक्त स्वतंत्र रूप से गतिमान द्रव्यमान m के कण के लिए हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है:

$H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)$

जहाँ $V(q)$ क्षेत्र $\Omega$ के भीतर शून्य होने के लिए डिज़ाइन की गई क्षमता है, जिसमें कण गति कर सकता है, अन्यथा अनंत हो सकता है:

$V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}$

इस प्रकार क्षमता का यह रूप सीमा पर विशिष्ट प्रतिबिंब का आश्वासन देता है। गतिज पद यह आश्वासन देता है कि कण ऊर्जा में किसी भी परिवर्तन के बिना सरल रेखा में गति करता है। यदि कण ​​गैर-यूक्लिडियन मैनिफोल्ड पर गति करता है, तो हैमिल्टनियन को निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

$H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)$

जहाँ $g_{ij}(q)$ बिंदु $q\;\in \;\Omega$ पर मीट्रिक टेंसर है। इस हेमिल्टनियन की अत्यधिक सरल संरचना के कारण, कण के लिए गति के समीकरण, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक समीकरणों के अतिरिक्त अन्य कुछ नहीं हैं: कण जियोडेसिक्स के साथ गति करता है।

उल्लेखनीय बिलियर्ड्स और बिलियर्ड कक्षाएं

हैडमर्ड के बिलियर्ड्स

Main article: हैडामर्ड की गतिशील प्रणाली

हैडमार्ड के बिलियर्ड्स निरंतर ऋणात्मक वक्रता की सतह पर मुक्त बिंदु कण की गति के साथ, विशेष रूप से, ऋणात्मक वक्रता वाली सबसे सरल कॉम्पैक्ट रीमैन सतह तथा जीनस 2 की सतह (दो छिद्र वाले डोनट) से संबंधित हैं। मॉडल पूर्णतः समाधान योग्य है, और सतह पर जियोडेसिक प्रवाह द्वारा प्रदान किया जाता है। 1898 में जैक्स हैडमार्ड द्वारा प्रस्तुत किये जाने के पश्चात, यह अध्ययन किए गए नियतात्मक अराजकता का सर्वप्रथम उदाहरण है।

आर्टिन के बिलियर्ड्स

Main article: आर्टिन बिलियर्ड

आर्टिन का बिलियर्ड निरंतर ऋणात्मक वक्रता की सतह पर बिंदु कण की मुक्त गति एवं सरल गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह पर विचार करता है। यह पूर्णतः समाधान योग्य होने के साथ न केवल एर्गोडिक किन्तु दृढ़ता से मिश्रण (गणित) करने के लिए उल्लेखनीय है। यह एनोसोव प्रणाली का उदाहरण है। इस प्रणाली का अध्ययन सर्वप्रथम एमिल आर्टिन ने 1924 में किया था।

डिस्पर्सिंग और सेमी-डिस्पर्सिंग बिलियर्ड्स

मान लीजिए कि M बिना किसी सीमा के पूर्ण रूप से स्मूथ रीमैनियन मैनिफोल्ड है, जिसकी अधिकतम अनुभागीय वक्रता K से अधिक नहीं है और और इंजेक्टिविटी त्रिज्या $\rho >0$ के साथ है। n भूगणितीय रूप से उत्तल उपसमुच्चय (दीवार) $B_{i}\subset M$, $i=1,\ldots ,n$, के संग्रह पर विचार करें, जैसे कि उनकी सीमाएं कोडिमेंशन की स्मूथ सबमैनीफोल्ड हैं। मान लीजिए

$B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))$, जहाँ $\operatorname {Int} (B_{i})$ समुच्चय $B_{i}$ के आंतरिक भाग को दर्शाता है। समुच्चय $B\subset M$ को बिलियर्ड टेबल कहा जाता है।

अब कण पर विचार करें जो जियोडेसिक तथा इकाई गति के साथ समुच्चय B के भीतर गति करता है जब तक कि यह समुच्चय B_i तक नहीं पहुंच जाता है (इस प्रकार की घटना को संघट्‍टन कहा जाता है) जहां यह नियम के अनुसार प्रतिबिंबित होता है जिसमें "आपतन कोण परावर्तन कोण के समान होता है" (यदि यह समुच्चय $B_{i}\cap B_{j}$, $i\neq j$ में से किसी एक पर पहुंचता है, तो उस क्षण के पश्चात प्रक्षेपवक्र परिभाषित नहीं होता है)। इस प्रकार की डायनैमिकल प्रणाली को अर्ध-प्रकीर्णन बिलियर्ड कहा जाता है। यदि दीवारें उत्तल हैं, तो बिलियर्ड को प्रकीर्णन कहा जाता है। नामकरण इस अवलोकन से प्रेरित है कि प्रक्षेप पथ की स्थानीय समानांतर किरण दीवार के दृढ़ता से उत्तल भाग के साथ संघट्टय के पश्चात वितरित हो जाती है, किन्तु दीवार के समतल खंड के साथ संघट्टय के पश्चात स्थानीय रूप से समानांतर रहती है।

प्रकीर्णन सीमा बिलियर्ड्स के लिए वही भूमिका निभाती है जो ऋणात्मक वक्रता जियोडेसिक प्रवाह के लिए करती है क्योंकि हैमिल्टनियन प्रवाह गतिकी की घातीय अस्थिरता का कारण बनता है। यह वास्तव में प्रकीर्णन तंत्र है जो प्रकीर्णन बिलियर्ड्स को स्थिर अराजक गुण देता है, जिसे याकोव जी. सिनाई द्वारा स्थापित किया गया था। अर्थात्, बिलियर्ड्स एर्गोडिक, मिक्सिंग (गणित), बर्नौली स्कीम हैं, जिसमें सकारात्मक कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रापी और सहसंबंधों का तीव्रता से घातीय क्षय होता है।

सामान्य अर्ध-प्रकीर्णन बिलियर्ड्स के अराजक गुणों का अध्ययन उचित रूप से नहीं किया गया है, चूँकि, महत्वपूर्ण प्रकार के अर्ध-प्रकीर्णन बिलियर्ड्स, हार्ड बॉल गैस का 1975 से कुछ विवरणों में अध्ययन किया गया है (अग्र भाग देखें)।

दिमित्री बुरागो और सर्ज फेरलेगर के सामान्य परिणाम द्वारा गैर-पतित अर्ध-प्रकीर्णन बिलियर्ड्स में संघट्‍टनों की संख्या पर एकसमान अनुमान से इसकी टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी की परिमितता स्थापित करने की अनुमति मिलती है और आवधिक प्रक्षेपवक्रों की घातीय वृद्धि से अधिक कुछ नहीं है। इसके विपरीत, पतित अर्ध-प्रकीर्णन बिलियर्ड्स में अनंत टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी हो सकती है।

लॉरेंज गैस के प्रति ​​सिनाव बिलियर्ड्स

सिनाई बिलियर्ड के भीतर घूर्णन करता हुआ कण, जिसे लोरेंत्ज़ गैस भी कहा जाता है।

लोरेंत्ज़ गैस (जिसे सिनाई बिलियर्ड के रूप में भी जाना जाता है) की तालिका वर्ग है जिसके केंद्र से डिस्क विस्थापित कर दी गई है; तालिका समतल है, जिसमें कोई वक्रता नहीं है। बिलियर्ड वर्ग के भीतर बाउंस करती हुई दो इंटरैक्टिंग डिस्क के व्यवहार का अध्ययन करने से उत्पन्न होता है, जो वर्ग की सीमाओं और एक-दूसरे को प्रतिबिंबित करता है। कॉन्फ़िगरेशन चर के रूप में द्रव्यमान के केंद्र को समाप्त करके, दो इंटरेक्टिंग डिस्क की डायनैमिकलता सिनाई बिलियर्ड में डायनैमिकलता को कम कर देती है।

बिलियर्ड को याकोव जी. सिनाई द्वारा अंतःक्रियात्मक हैमिल्टनियन प्रणाली के उदाहरण के रूप में प्रस्तुत किया गया था जो भौतिक थर्मोडायनामिक गुणों को प्रदर्शित करता है: इसके संभावित प्रक्षेपवक्र के लगभग सभी (शून्य माप तक) एर्गोडिक हैं और इसमें सकारात्मक ल्यपुनोव प्रतिपादक है।

इस मॉडल के साथ सिनाई की महान उपलब्धि यह दर्शाना था कि आदर्श गैस के लिए बोल्ट्जमैन-गिब्स समवेत अनिवार्य रूप से अधिकतम अराजक हैडमार्ड बिलियर्ड्स है।

बनीमोविच स्टेडियम

बनीमोविच स्टेडियम नामक तालिका अर्धवृत्त द्वारा आच्छादित आयत आकृति है, जिसे स्टेडियम (ज्यामिति) कहा जाता है। जब तक इसे लियोनिद बनीमोविच द्वारा प्रस्तुत नहीं किया गया था, तब तक सकारात्मक ल्यपुनोव प्रतिपादकों वाले बिलियर्ड्स को कक्षाओं के घातीय विचलन का उत्पादन करने के लिए सिनाई बिलियर्ड में डिस्क जैसे उत्तल स्कैटर की आवश्यकता होती थी। बनीमोविच ने दर्शाया कि अवतल क्षेत्र के फोकस बिंदु से बाहर कक्षाओं पर विचार करके घातीय विचलन प्राप्त करना संभव था।

चुंबकीय बिलियर्ड्स

लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के साथ सिनाई बिलियर्ड के भीतर आवेशित कण का संचलन।

चुंबकीय बिलियर्ड्स उन बिलियर्ड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं जहां आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में प्रचार कर रहा है। परिणामस्वरूप, कण प्रक्षेपवक्र सरल रेखा से वृत्त के चाप में परिवर्तित हो जाता है। इस वृत्त की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इस प्रकार के बिलियर्ड्स वास्तविक विश्व अनुप्रयोगों में उपयोगी रहे हैं, सामान्यतः जो नैनोटेक्नोलॉजी मॉडलिंग करते हैं (अनुप्रयोग देखें)।

सामान्यीकृत बिलियर्ड्स

सामान्यीकृत बिलियर्ड्स (जीबी) खंड के अनुसार स्मूथ सीमा $\Gamma$ के साथ संवृत डोमेन $\Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}$ के भीतर द्रव्यमान बिंदु (कण) की गति का वर्णन करता है। सीमा $\Gamma$ पर बिंदु के वेग को सामान्यीकृत बिलियर्ड नियम के अंतर्गत कण के रूप में रूपांतरित किया जाता है। जीबी को सामान्य स्थिति में लेव डी. पुस्टिलनिकोव द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और इस स्थिति में $\Pi$ ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के औचित्य के संबंध में समानांतर चतुर्भुज है। भौतिक दृष्टिकोण से, जीबी गैस का वर्णन करता है जिसके अंतर्गत बर्तन में अनेक कण होते हैं, जबकि बर्तन की दीवारें गर्म या ठंडी होती हैं। सामान्यीकरण का सार निम्नलिखित है। जैसे ही कण सीमा $\Gamma$ का प्रतिरोध करता है, इसका वेग निम्नलिखित नियम के अनुसार, प्रत्यक्ष उत्पाद $\Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}$ (जहाँ $\mathbb {R} ^{1}$ वास्तविक रेखा है, $\gamma \,\in \,\Gamma$ सीमा का बिंदु है और $t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}$ समय है) पर परिभाषित किये गए फलन $f(\gamma ,\,t)$ की सहायता से परिवर्तित हो जाता है। मान लीजिए कि कण का प्रक्षेपवक्र, जो वेग $v$ के साथ गति करता है, समय $t^{*}$ पर $\Gamma$ को बिंदु $\gamma \,\in \,\Gamma$ पर प्रतिच्छेद करता है। तब समय $t^{*}$ पर कण वेग $v^{*}$ प्राप्त कर लेता है, मानो उस पर असीम रूप से भारयुक्त तल $\Gamma ^{*}$ से प्रत्यास्थ बल प्रयुक्त किया गया हो, जो बिंदु $\gamma$ पर $\Gamma$ की स्पर्शरेखा है, और समय $t^{*}$ पर $\gamma$ वेग $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})$ के साथ सामान्य से $\Gamma$ की ओर गति करता है। हम इस बात पर बल देते हैं कि सीमा की स्थिति स्वयं नियत है, जबकि कण पर इसकी क्रिया को फलन $f$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

हम तल $\Gamma ^{*}$ की गति की सकारात्मक दिशा को $\Pi$ के आंतरिक भाग की ओर मानते हैं। इस प्रकार यदि अवकलज $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0$ है, तो कण प्रभाव के पश्चात तीव्र हो जाता है।

यदि उपरोक्त परावर्तन नियम के परिणामस्वरूप कण द्वारा अर्जित वेग $v^{*}$ को डोमेन $\Pi$ के आंतरिक भाग की ओर निर्देशित किया जाता है, तब कण सीमा को त्याग देगा और $\Gamma$ के साथ अग्र संघट्‍टन तक $\Pi$ में गति करता रहेगा। यदि वेग $v^{*}$ को $\Pi$ के बाहर की ओर निर्देशित किया जाता है, तो कण बिंदु $\gamma$ से $\Gamma$ पर तब तक बना रहता है जब तक कि समय सीमा ${\tilde {t}}\;>\;t^{*}$ के साथ अंतःक्रिया कण को इसे त्यागने के लिए बाध्य नहीं कर देती।

यदि फलन $f(\gamma ,\,t)$ समय $t$ पर निर्भर नहीं करता है; अर्थात $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0$, सामान्यीकृत बिलियर्ड वास्तविक के साथ युग्मित होता है।

यह सामान्यीकृत प्रतिबिंब नियम अधिक स्वाभाविक होता है। सर्वप्रथम, यह इस प्रकार के स्पष्ट तथ्य को दर्शाता है कि गैस वाले बर्तन की दीवारें गतिहीन हैं। दूसरा, कण पर दीवार की क्रिया अभी भी प्रत्यास्थ आघात है। संक्षेप में, हम दिए गए वेगों के साथ असीम रूप से गतिमान सीमाओं पर विचार करते हैं।

इसे वास्तविक यांत्रिकी (न्यूटोनियन स्थिति) और सापेक्षता के सिद्धांत (सापेक्षतावादी स्थिति) दोनों की संरचना में सीमा $\Gamma$ से प्रतिबिंब माना जाता है।

मुख्य परिणाम: न्यूटोनियन स्थिति में कण की ऊर्जा परिबद्ध है, गिब्स एंट्रॉपी स्थिर है, (नोट्स में) और सापेक्षिक स्थिति में कण की ऊर्जा, गिब्स एंट्रॉपी, चरण मात्रा के संबंध में एंट्रॉपी (नोट्स में) सामान्यीकृत बिलियर्ड्स के संदर्भ में अनंत तक विस्तारित होती है।

क्वांटम अराजकता

बिलियर्ड्स के क्वांटम संस्करण का विभिन्न विधियों द्वारा सरलता से अध्ययन किया जाता है। ऊपर दिए गए बिलियर्ड्स के हैमिल्टनियन को स्थिर-अवस्था श्रोडिंगर समीकरण $H\psi \;=\;E\psi$ या, अधिक त्रुटिहीन रूप से, निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)$

जहाँ $\nabla ^{2}$ लाप्लासियन है। वह क्षमता जो क्षेत्र $\Omega$ के बाहर अनंत है किन्तु इसके भीतर शून्य है, डिरिचलेट सीमा स्थितियों में परिवर्तित हो जाती है:

$\psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega$

सदैव की भाँति, तरंग फलन को ऑर्थोनॉर्मल माना जाता है:

$\int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}$

विचित्र रूप से, फ्री-फील्ड श्रोडिंगर समीकरण हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के समान है,

$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi =0$

के साथ

$k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}$

इसका तात्पर्य यह है कि दो और तीन आयामी क्वांटम बिलियर्ड्स को किसी दिए गए आकार के रडार गुहा के अनुनाद मोड द्वारा मॉडल किया जा सकता है, इस प्रकार प्रायोगिक सत्यापन के लिए द्वार विवृत हो जाता है। (रडार कैविटी मोड का अध्ययन अनुप्रस्थ चुंबकीय (टीएम) मोड तक सीमित होना चाहिए, क्योंकि ये डिरिचलेट सीमा स्थितियों का पालन करते हैं)।

अर्ध-शास्त्रीय सीमा $\hbar \;\to \;0$ से युग्मित होती है जिसे $m\;\to \;\infty$ द्रव्यमान में वृद्धि के समान देखा जा सकता है जिससे यह शास्त्रीय रूप से व्यवहार कर सकती है।

सामान्य कथन के रूप में, कोई यह कह सकता है कि जब भी गति के शास्त्रीय समीकरण पूर्णांक (जैसे आयताकार या वृताकार बिलियर्ड टेबल) होते हैं, तो बिलियर्ड्स का क्वांटम-यांत्रिक संस्करण पूर्ण रूप से समाधान योग्य होता है। जब शास्त्रीय प्रणाली अस्त-व्यस्त होती है, तो क्वांटम प्रणाली सामान्यतः पूर्ण रूप से समाधान योग्य नहीं होती है, और इसके परिमाणीकरण यह मूल्यांकन में कई कठिनाइयाँ प्रस्तुत करती हैं। अराजक क्वांटम प्रणाली का सामान्य अध्ययन क्वांटम अराजकता के रूप में जाना जाता है।

तथाकथित क्वांटम मृगतृष्णा के अवलोकन द्वारा एलिप्टिकल टेबल पर चिन्ह का विशेष रूप से आकर्षक उदाहरण दिया गया है।

अनुप्रयोग

क्वांटम और शास्त्रीय दोनों बिलियर्ड्स को भौतिकी के कई क्षेत्रों में अधिक विविध वास्तविक विश्व प्रणालियों को मॉडल करने के लिए प्रारम्भ किया गया है। उदाहरणों में ज्यामितीय प्रकाशिकी, लेज़र, ध्वनिकी, ऑप्टिकल फाइबर (जैसे डबल-क्लैड फाइबर ), या क्वांटम-शास्त्रीय पत्राचार आदि सम्मिलित हैं। उनके निरंतर अनुप्रयोगों में नैनो उपकरणों के भीतर गतिमान कणों को मॉडल करना है, जिनके उदाहरण में क्वांटम डॉट्स, पी-एन जंक्शन, एंटीडॉट सुपरलैटिस, और भी अन्य सम्मिलित हैं। भौतिक मॉडल के रूप में बिलियर्ड्स की इस व्यापक रूप से विस्तृत प्रभावशीलता का कारण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि कम मात्रा में अव्यवस्था वाली स्थितियों में, उदाहरण के लिए गति होती है। इलेक्ट्रॉन, या प्रकाश किरण जैसे कण, बिलियर्ड्स में बिंदु-कणों की गति के समान होते हैं। इसके अतिरिक्त, कण संघट्‍टन की ऊर्जा संरक्षण प्रकृति हैमिल्टनियन यांत्रिकी के ऊर्जा संरक्षण का प्रत्यक्ष प्रतिबिंब है।

सॉफ्टवेयर

विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए बिलियर्ड्स का अनुकरण करने के लिए ओपन सोर्स सॉफ़्टवेयर उपस्थित है। नवीन से प्राचीन तक, उपस्थित सॉफ़्टवेयर हैं: डायनामिकलबिलियर्ड्स.जेएल (जूलिया), pii/S0010465515003744?via%3Dihub Bill2D (C++) और बिलियर्ड सिम्युलेटर (मतलब)। इस पृष्ठ पर उपस्थित एनिमेशन डायनामिकलबिलियर्ड्स.जेएल के साथ किए गए थे।

यह भी देखें

• फर्मी-उलम मॉडल (दोलन दीवारों के साथ बिलियर्ड्स)
• ल्यूबचेवस्की-स्टिलिंगर संपीड़न एल्गोरिथम आकार में वृद्धि के समय न केवल सीमाओं के साथ किन्तु परस्पर संघट्‍टन करते हुए कठोर क्षेत्रों का अनुकरण करता है
• अंकगणित बिलियर्ड्स
• प्रकाश की समस्या

संदर्भ

सिनाई के बिलियर्ड्स

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बनीमोविच स्टेडियम

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• फ्लैश एनीमेशन अराजक बनीमोविच स्टेडियम को दिखाता है

सामान्यीकृत बिलियर्ड्स

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बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Billiards". MathWorld.
• Scholarpedia entry on Dynamical Billiards (Leonid Bunimovich)
• Introduction to dynamical systems using billiards, Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems