क्लेनियन समूह

Not to be confused with क्लेन चार-समूह, क्रम 2 के चक्रीय समूह की दो प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद.

गणित में, क्लेनियन समूह अतिशयोक्तिपूर्ण 3-स्थान वाले अभिविन्यास-संरक्षण नियम के अनुसार आइसोमेट्री के समूह (गणित) का अलग उपसमूह H³ है, इसके पश्चात, PSL(2,C) के साथ या PSL(2, C) के साथ इसे पहचाना जा सकता है, इसके [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] द्वारा निर्धारक 1 के 2 बटा 2 जटिल संख्या आव्यूह (गणित) का भागफल समूह प्राप्त होता है, जिसमें पहचाने गए इस आव्यूह और इसके उत्पाद उपस्थिति होते हैं, इस प्रकार −1. PSL(2, C) रीमैन क्षेत्र के अभिविन्यास-संरक्षण अनुरूप परिवर्तन के रूप में और संवृत इकाई गेंद के अभिविन्यास-संरक्षण अनुरूप परिवर्तनों के रूप में प्राकृतिक प्रतिनिधित्व B³ में R³ को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार मोबियस परिवर्तन के समूह या मोबियस परिवर्तन गैर-अभिविन्यास-संरक्षण आइसोमेट्री समूह के रूप H³, PGL(2, C). में भी संबंधित है, इसके आधार पर यह या तो क्लेनियन समूह को इनमें से किसी स्थान पर अलग उपसमूह समूह प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है।

इतिहास

सामान्य क्लेनियन समूहों के सिद्धांत की स्थापना किसके द्वारा की गई थी? फेलिक्स क्लेइन (1883) और हेनरी पोइनकेयर (1883), जिन्होंने उनका नाम फ़ेलिक्स क्लेन के नाम पर रखा था। इस प्रकार शॉट्की समूहों की विशेष स्थितियों का अध्ययन कुछ वर्ष पहले 1877 में, शॉट्की द्वारा किया गया था।

परिभाषाएँ

क्लेनियन समूह की आधुनिक परिभाषा ऐसे समूह के रूप में है जो 3-बॉल पर $B^{3}$ कार्य करता है, इस प्रकार हाइपरबोलिक आइसोमेट्रीज़ के अलग समूह के रूप में प्राप्त होते हैं। इसका कारण यह हैं कि हाइपरबोलिक 3-स्पेस की प्राकृतिक सीमाएँ होती है, इस प्रकार बॉल प्रारूप में, इसे 2-गोलो की सहायता से पहचाना जा सकता है। हम इसे अनंत पर गोला कहते हैं और इसे $S_{\infty }^{2}$ से निरूपित करते हैं, इस प्रकार हाइपरबोलिक आइसोमेट्री अनंत पर गोले के अनुरूप होमियोमोर्फिज्म तक फैली हुई है, और इसके विपरीत, अनंत पर गोले पर प्रत्येक अनुरूप होमियोमोर्फिज्म पोंकारे विस्तार द्वारा गेंद पर हाइपरबोलिक आइसोमेट्री तक विशिष्ट रूप से विस्तारित होता है। यह जटिल विश्लेषण से मानक परिणाम है जो अनुरूप होमियोमोर्फिज्म पर आधारित है। इस प्रकार रीमैन क्षेत्र वास्तव में मोबियस परिवर्तन है, इसके कारण मोबियस परिवर्तन, जिसे आगे प्रक्षेप्य रैखिक समूह पीजीएल (2, सी) के तत्वों के रूप में पहचाना जा सकता है। इस प्रकार, क्लेनियन समूह को पीजीएल (2, सी) के उपसमूह Γ के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, मौलिक रूप से, क्लेनियन समूह को रीमैन क्षेत्र के संवृत उपसमूह पर उचित रूप से असंतत रूप से कार्य करने की आवश्यकता थी, अपितु आधुनिक उपयोग किसी भी अलग उपसमूह की अनुमति देता है।

जब Γ मौलिक समूह के लिए $\pi _{1}$ का मान समरूपी होता है, इस प्रकार अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड का, फिर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) H³/Γ मैनिफोल्ड का क्लेनियन प्रारूप बन जाता है। कई लेखक क्लेनियन प्रारूप और क्लेनियन समूह शब्दों का परस्पर उपयोग करते हैं, जिससे को दूसरे के लिए खड़ा किया जाता है।

विसंगति का तात्पर्य है कि हाइपरबोलिक 3-स्पेस के आंतरिक भाग में बिंदुओं में परिमित स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत), और समूह Γ के अंतर्गत असतत कक्षा (समूह सिद्धांत) है। इसी प्रकार इसके दूसरी ओर, बिंदु p की कक्षा Γp सामान्यतः विवृत गेंद की सीमा पर संचय बिंदु ${\bar {B}}^{3}$ होगा।

अपोलोनियन गैसकेट क्लेनियन समूह के सीमा समुच्चय का उदाहरण है

Γp के संचय बिंदुओं का समुच्चय $S_{\infty }^{2}$ का सीमा समुच्चय कहा जाता है, और सामान्यतः इसे $\Lambda (\Gamma )$ द्वारा दर्शाया जाता है, यहाँ पर पूरक $\Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )$ असंततता का क्षेत्र या साधारण समुच्चय या नियमित समुच्चय कहा जाता है। इसके अनुसार अहलफ़ोर्स की परिमितता प्रमेय का तात्पर्य यह है कि यदि समूह परिमित रूप $\Omega (\Gamma )/\Gamma$ से उत्पन्न होता है, जिसकी परिमित प्रकार की रीमैन सतह इसकी विभिन्न कक्षाओं द्वारा प्रदर्शित होती हैं।

यूनिट बॉल B³ अपनी अनुरूप संरचना के साथ पोंकारे अर्ध-तल प्रारूप है | इसके कारण हाइपरबोलिक 3-स्पेस का पोंकारे का प्रारूप हैं। इस प्रकार जब हम इसके बारे में मीट्रिक के साथ, मीट्रिक के साथ सोचते हैं, तो हमें यह समीकरण प्राप्त होता हैं।

$ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}$

यह 3-आयामी हाइपरबोलिक स्पेस H³ का प्रारूप है, इस प्रकार B³H³ के अनुरूप स्व-मानचित्रों का समुच्चय के सममिति अर्ताथ दूरी-संरक्षण मानचित्र के समुच्चय बन जाता है, इस पहचान के अनुसार ऐसे मानचित्र अनुरूप स्व-मानचित्रों $S_{\infty }^{2}$ तक सीमित होते हैं, जो मोबियस का परिवर्तन हैं। इस प्रकार समरूपताएँ इस समीकरण द्वारा प्रदर्शित होती हैं-

$\operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).$

इन समूहों के उपसमूह, जिनमें अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन सम्मिलित हैं, इस प्रकार प्रक्षेप्य आव्यूह समूह के सभी समरूपी हैं: यहाँ पर PSL(2,C) जटिल प्रक्षेप्य रेखा P¹(C) के साथ इकाई क्षेत्र की सामान्य पहचान के माध्यम से की जाती हैं।

विविधताएं

क्लेनियन समूह की परिभाषा में कुछ भिन्नताएँ हैं: कभी-कभी क्लेनियन समूहों को PSL(2, C).2 अर्थात, जटिल संयुग्मन द्वारा विस्तारित PSL(2, C) के उपसमूह होने की अनुमति है, दूसरे शब्दों में, तत्वों को उलटने वाले अभिविन्यास के लिए, और कभी-कभी उन्हें परिमित रूप से माना जाता है, इस प्रकार से उत्पन्न होने वाले समूहों, और कभी-कभी उन्हें रीमैन क्षेत्र के गैर-रिक्त संवृत उपसमुच्चय पर उचित रूप से असंतत रूप से कार्य करने की आवश्यकता होती है।

प्रकार

• एक क्लेनियन समूह को परिमित प्रकार का कहा जाता है, यदि इसके असंतत क्षेत्र में समूह क्रिया के अनुसार घटकों की कक्षाओं की सीमित संख्या होती है, और इसके स्टेबलाइज़र द्वारा प्रत्येक घटक का भागफल कॉम्पैक्ट रीमैन सतह होता है, जिसमें कई बिंदु हटा दिए जाते हैं, और आवरण अनेक बिंदुओं पर व्याप्त है।
• एक क्लेनियन समूह को परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है, यदि इसमें जनरेटर की संख्या सीमित है। इस प्रकार अहलफोर्स परिमितता प्रमेय कहता है कि ऐसा समूह परिमित प्रकार का होता है।
• एक क्लेनियन समूह Γ में परिमित सहआयतन होता है, यदि H³/Γ का आयतन सीमित है। परिमित कोवॉल्यूम का कोई भी क्लेनियन समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है।
• एक क्लेनियन समूह को ज्यामितीय रूप से परिमित कहा जाता है, यदि इसमें मौलिक बहुफलक (अतिपरवलयिक 3-स्थान में) और परिमित रूप से कई भुजाएँ रहती हैं। इस प्रकार अहलफोर्स ने दिखाया कि यदि निर्धारित सीमा संपूर्ण रीमैन क्षेत्र नहीं है तो इसका माप 0 है।
• एक क्लेनियन समूह Γ को अंकगणित कहा जाता है, यदि यह चतुर्धातुक बीजगणित ए के क्रम के समूह मानदंड 1 तत्वों के साथ तुलनीय है, जो संख्या क्षेत्र के पर सभी वास्तविक स्थानों पर बिल्कुल जटिल स्थान के साथ जुड़ा हुआ है। इसके अंकगणितीय क्लेनियन समूहों में परिमित सहआयतन होती है।
• एक क्लेनियन समूह Γ को कोकॉम्पैक्ट कहा जाता है, यदि H³/Γ सघन है, या समकक्ष SL(2, C)/Γ सघन है। कोकॉम्पैक्ट क्लेनियन समूहों में सीमित मात्रा होती है।
• एक क्लेनियन समूह को स्थलीय रूप से वश में कहा जाता है यदि यह परिमित रूप से उत्पन्न होता है और इसका हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड सीमाओं के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के इंटीरियर के लिए होमियोमॉर्फि�