कैसस इरेड्यूसीबिलिस

बीजगणित में, कैसस इरेड्यूसिबिलिस या कैसस अपरिवर्तनीयता (अलघुकरणीय कारक के लिए लैटिन) उन स्थितियों में से एक है, जो डिग्री 3 या उच्च बहुपदों को बीजगणितीय रूप से संख्यात्मक के विपरीत पूर्णांक गुणांक के साथ हल करने में उत्पन्न हो सकता है, अर्थात उन संख्याओ को प्राप्त करके, जिन्हें पूर्णांक के साथ व्यक्त किया गया है। यह दर्शाता है कि कई बीजगणितीय संख्याएँ वास्तविक मान हैं, लेकिन सम्मिश्र संख्याओं को प्रस्तुत किए बिना मूलांक में व्यक्त नहीं की जा सकतीं है। कैसस अपरिवर्तनीयता की सबसे उल्लेखनीय घटना त्रिविमीय बहुपदों के स्थिति में होती है, जिसमें तीन वास्तविक संख्याए होती हैं। जिसे 1843 में पियरे वांजेल द्वारा सिद्ध किया गया था।^[1] कार्डानो के सूत्र के माध्यम से कोई यह देखा जा सकता है कि क्या दिया गया घन बहुपद विभेदक कैसस अपरिवर्तनीयता में उपस्थित है।^[2]

विभेदक की तीन स्थितिया

माना कि

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

$a\neq 0$ के साथ एक घन समीकरण है। तब विभेदक द्वारा दिया जाता है।

D:={\bigl (}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3}){\bigr )}^{2}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d~.

यह बीजगणितीय हल में प्राप्त होता है, जो उत्पाद का एक वर्ग है।

\Delta :=\prod _{j<k}(x_{j}-x_{k})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\qquad \qquad {\bigl (}\!=\pm {\sqrt {D}}{\bigr )}

${\tbinom {3}{2}}=3$ के 3 संख्याओ के अंतर $x_{1},x_{2},x_{3}$ .^[3]

यदि $D < 0$ , तब बहुपद का एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र अवास्तविक मूल होते हैं। $\Delta \in i\mathbb {R} ^{\times }$ पूर्ण रुप से काल्पनिक होता है।
यद्यपि ऋणात्मक विभेदक के साथ घन बहुपद हैं, जो आधुनिक अर्थों में अपरिवर्तनीय होता हैं। तथा कैसस अपरिवर्तनीयता मे लागू नहीं होता है।^[4]
यदि $D = 0$ , तब $\Delta =0$ और तीन वास्तविक मूल हैं। उनमें से दो बराबर हैं। या $D = 0$ वर्ग-मुक्त बहुपद द्वारा पता लगाया जा सकता है, यदि ऐसा है तो द्विघात सूत्र द्वारा संख्याए इसके अतिरिक्त, सभी संख्याए वास्तविक हैं और वास्तविक पूर्ण द्वारा अभिव्यक्त की जा सकती हैं। शून्य विभेदक वाले सभी घन बहुपदों को घटाया जा सकता है।
यदि $D > 0$ , फिर $\Delta \in \mathbb {R} ^{\times }$ गैर-शून्य और वास्तविक है तथा तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याए हैं, जो दो सम्मिश्र संयुग्मों का योग हैं।
क्योंकि उन्हें सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता होती है। समय की समझ में: गैर-वास्तविक संख्याओं से घनमूल, अर्थात वर्ग से ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग उन्हें मूलांक में व्यक्त करने के लिए 16 वीं शताब्दी में इस स्थिति को कैसस अपरिवर्तनीयता कहा गया है।^[5]

औपचारिक का कथन और प्रमाण

अधिक समान्यतः मान लीजिए कि F एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है और वह $p (x) \in F [x]$ का एक घन बहुपद है, अलघुकरणीय से अधिक $F$ लेकिन तीन वास्तविक वर्गमूल (वास्तविक संवृत होने का वर्ग $F$ ). तब कैसस अपरिवर्तनीयता कहता है कि p(x) = 0 के हल को पूर्णांक ∈ F वाले मूलक द्वारा व्यक्त करना असंभव होता है।

यह सिद्ध करने के लिए^[6] ध्यान दें कि विभेदक $D$ धनात्मक है। $F (\sqrt D) = F (∆)$ क्षेत्र-विस्तार तैयार करें। चूंकि यह $F$ या $F$ का द्विघात विस्तार है। (यह इस पर निर्भर करता है कि D, $F$ में एक वर्ग है या नहीं) क्योकि $p (x)$ इसमें अप्रासंगिक रहता है। इसके फलस्वरूप के गाल्वा समूह $p (x)$ पर $F (\sqrt D)$ चक्रीय समूह $C 3$ है। मान लीजिये कि $p (x) = 0$ वास्तविक मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है। फिर $p (x)$ चक्रीय विस्तार के स्तम्भ द्वारा क्षेत्र को विभाजित किया जा सकता है।

F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})

टॉवर के अंतिम चरण में $p (x)$ अंतिम क्षेत्र $K$ में अप्रासंगिक है, लेकिन कुछ $α$ के लिए $K (3 \sqrt α)$ में विभाजित होता है। लेकिन यह एक चक्रीय क्षेत्र विस्तार है, और इसलिए इसमें $3 \sqrt α$ का संयुग्मी तत्व होना चाहिए।इसलिए एकता का एक प्राथमिक तीसरा मूल होता है।

हालांकि, वास्तविक संवृत क्षेत्र में एकता की कोई प्राथमिक तीसरा वर्ग नहीं हैं। मान लीजिए कि ω एकता का प्राथमिक तीसरा मूल है। फिर, एक आदेशित क्षेत्र को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों द्वारा, ω और ω² दोनों घनात्मक हैं, क्योंकि अन्यथा उनका घन (=1) घनात्मक होगा। लेकिन यदि ω²>ω के दोनों पक्षों का घन करने पर 1>1 एक प्रतिवाद मिलता है। तब इसी प्रकार यदि ω>ω² को हल कर सकते है।

अवास्तविक पूर्ण मे हल

कार्डानो का हल

समीकरण $ax 3 + bx 2 + cx + d = 0$ को $a$ से विभाजित करके और $x = t − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/3a$ चिरनहॉस परिवर्तन को प्रतिस्थापित करके एक मोनिक त्रिपदी में घटाया जा सकता है। जिससे समीकरण $t 3 + pt + q = 0$ प्राप्त होता है। जहाँ पर

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

फिर वास्तविक मूलों की संख्या की अपेक्षा किए बिना, कार्डानो के हल द्वारा तीन मूल दिये जाते हैं।

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}

जहाँ पर $\omega _{k}$ (k=1, 2, 3) 1 का घनमूल है। $\omega _{1}=1$ , $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ , तथा $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ , जहाँ $i$ काल्पनिक इकाई है। यहां यदि घनमूल के अंतर्गत पूर्णांक अवास्तविक हैं, तो पूर्णांक द्वारा व्यक्त घनमूलों को सम्मिश्र संयुग्मी घनमूलों के किसी भी युग्म के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि यदि वे वास्तविक हैं। तब इन घनमूलों को वास्तविक घनमूलों के रूप में परिभाषित किया जाता है। कैसस अपरिवर्तनीयता तब होती है। जब तीनों वर्गमूल अलग और वास्तविक होते हैं। तीन अलग-अलग वास्तविक वर्गमूल की स्थितिया होती है। केवल यदि $q 2 / 4 + p 3 / 27 < 0$ , जिस स्थिति में कार्डानो के सूत्र में पहले एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना सम्मिलित है, जो कि काल्पनिक संख्या है और फिर एक सम्मिश्र संख्या का घनमूल लेना (घनमूल को स्वयं के रूप में नहीं रखा जा सकता है) $α + βi$ के लिए वास्तविक nth मूल में विशेष रूप से दिए गए भावों के साथ $α$ तथा $β$ क्योंकि ऐसा करने के लिए मूल घन को स्वतंत्र रूप से हल करने की आवश्यकता होती है। यहां तक कि कम करने योग्य स्थिति में जिसमें तीन वास्तविक वर्गमूल में से एक तर्कसंगत है। इसलिए बहुपद का लंबे विभाजन से इसका पता लगाया जा सकता है। कि कार्डानो का सूत्र इस स्थिति में अनावश्यक रूप से उस वर्गमूल और अन्य को अवास्तविक मूलांक के संदर्भ में व्यक्त करता है।

उदाहरण

घन समीकरण

2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0

अलघुकरणीय होता है क्योंकि यदि इसका गुणनखंड किया जाता है तो एक परिमेय हल देने वाला एक रैखिक कारक प्राप्त होता है। जबकि परिमेय मूल परीक्षण द्वारा दिए गए, संभावित मूलों में से कोई भी वास्तव मूल नहीं है। चूंकि इसका विभेदक धनात्मक है। तथा इसके तीन वास्तविक वर्गमूल हैं, इसलिए यह कैसस अपरिवर्तनीयता का एक उदाहरण है। जिससे इन वर्गमूलो को व्यक्त किया जा सकता है।

t_{k}={\frac {3-\omega _{k}{\sqrt[{3}]{39-26i}}-\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}

$k\in \left\{1,2,3\right\}$ के लिये पूर्णांक हल हैं। और इसमें समिश्र संयुग्म संख्याओं के घनमूल सम्मलित हैं।

वास्तविक मात्रा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय हल

जबकि कैसस अपरिवर्तनीयता को वास्तविक मात्रा के संदर्भ में बीजगणितीय हल नहीं किया जा सकता है। इसे वास्तविक मात्रा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय रूप से हल किया जा सकता है।^[7] जिसे विशेष रूप से डिप्रेस्ड मोनिक घन समीकरण $t^{3}+pt+q=0$ द्वारा हल किया जाता है।

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.

ये हल वास्तविक मात्रा के संदर्भ में हैं, यदि केवल ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$ अर्थात, यदि केवल तीन वास्तविक मूल हैं। सूत्र में एक कोण से प्रारम्भ करना सम्मिलित है। जिसकी कोज्या(cosine) ज्ञात है। कोण को 1/3 से गुणा करके और परिणामी कोण के कोज्या को लेकर पैमाने के लिए समायोजन करके किया जा सकता है।

यद्यपि कोज्या और इसका व्युत्क्रम फलन ट्रांससेंडेंटल फलन होता हैं। तो यह हल इस अर्थ में बीजगणितीय है कि $\cos \left[\arccos \left(x\right)/3\right]$ एक बीजगणितीय फलन है, जो कोण त्रिविभाजन के तुल्य है।

कोण त्रिभाजन से संबंध

तीन वास्तविक वर्गमूल के साथ लघुकरणीय और अलघुकरणीय घन स्थिति के बीच का अंतर इस परिणाम से संबंधित है, कि क्या कोई कोण परिधि के परस्परिक माध्यमों और अचिह्नित किनारों द्वारा त्रिविभाज्य है या नहीं। किसी भी कोण θ के लिए, इस कोण के एक तिहाई भाग $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ⁄3$ में एक कोसाइन होता है, जो कि तीन हलों में से एक है।

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

वैसे ही, $θ ⁄ 3$ में एक ज्या(sine) है, जो तीन वास्तविक हलों में से एक है।

4y^{3}-3y+\sin(\theta )=0.

किसी भी स्थिति में, यदि परिमेय मूल परीक्षण एक परिमेय हल प्राप्त करता है, तो $x$ या $y$ घटाकर उस मूल को बाईं ओर बहुपद से गुणनखंडित किया जा सकता है। तथा एक द्विघात को छोड़ते हुए, जिसे वर्गमूल के संदर्भ में शेष दो वर्गमूलों के लिए हल किया जा सकता है। तब ये सभी वर्गमूल प्रतिष्ठित रूप से रचनात्मक होते हैं, क्योंकि वे वर्गमूल से अधिक में अभिव्यक्त नहीं होते हैं, इसलिए विशेष रूप से $cos(θ ⁄ 3)$ या $sin(θ ⁄ 3)$ रचनात्मक होता है। इसलिए संबंधित कोण $θ ⁄ 3$ है। दूसरी ओर, यदि परिमेय मूल परीक्षण दिखाता है कि कोई परिमेय मूल नहीं है, तो कैसस अपरिवर्तनीयता लागू होती है। $cos(θ ⁄ 3)$ या $sin(θ ⁄ 3)$ रचनात्मक नहीं है, कोण $θ ⁄ 3$ निर्माण योग्य नहीं है, और कोण $θ$ प्रतिष्ठित रूप से त्रिविभाजित नहीं है।

एक उदाहरण के रूप में, जबकि एक 180° के कोण को तीन 60° के कोणों में समत्रिभाजित किया जा सकता है। एक 60° के कोण को केवल दिशा मे और सीधी भुजा से समत्रिभाजित नहीं किया जा सकता है। त्रि-कोण सूत्रों का उपयोग करके कोई यह देख सकता है कि $cos π / 3 = 4 x 3 - 3 x$ जहां $x = cos(20°)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर $8 x 3 - 6 x - 1 = 0$ प्राप्त होता है, जो परिमेय मूल परीक्षण को विफल कर देता है, क्योंकि प्रमेय द्वारा हल की गई कोई भी परिमेय संख्या वास्तव में मूल नहीं है। इसलिए, $cos(20°)$ के न्यूनतम बहुपद की डिग्री 3 है, जबकि किसी भी रचनात्मक संख्या के न्यूनतम बहुपद की 2 डिग्री की ताकत होनी चाहिए।

व्यक्त $cos(20°)$ पूर्ण में परिणाम होता है।

\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}

जिसमें सम्मिश्र संख्याओं का घनमूल निकालना सम्मिलित है। समानता पर ध्यान दें कि $e iπ /3 = 1+ i \sqrt 3 / 2$ तथा $e -iπ /3 = 1- i \sqrt 3 / 2$ .

तर्कसंगत मूलों और त्रिविभाजन के बीच संबंध को कुछ स्थितियों में भी बढ़ाया जा सकता है, जहां दिए गए कोण के साइन और कोसाइन अपरिमेय हैं। एक उदाहरण के रूप में उस स्थिति पर विचार करें। जहां दिया गया कोण $θ$ एक नियमित पंचभुज का एक शीर्ष कोण है, तथा एक बहुभुज जिसे प्रतिष्ठित रूप से बनाया जा सकता है। इस कोण के लिए $5θ/3$ 180° है, और दी गई मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं निम्न है।

\cos(\theta )+\cos(\theta /3)=2\cos(\theta /3)\cos(2\theta /3)=-2\cos(\theta /3)\cos(\theta )

इस प्रकार

\cos(\theta /3)=-\cos(\theta )/(1+2\cos(\theta )).

त्रिकोणीय कोण के कोसाइन को दिए गए, कोण के कोसाइन के संदर्भ में एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, इसलिए एक नियमित पंचभुज के शीर्ष कोण को त्रिविभाजित किया जा सकता है। (यांत्रिक रूप से, केवल एक विकर्ण खींचकर।)

सामान्यीकरण

कैसस अपरिवर्तनीयता को निम्नानुसार उच्च डिग्री बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए कि $p \in F [x]$ एक अलघुकरणीय बहुपद है। जो औपचारिक रूप से F के वास्तविक विस्तार R में विभक्त होता है अर्थात्, $p$ के केवल वास्तविक मूल होते हैं। मान लें कि $p$ का मूल $K\subseteq R$ है, जो पूर्ण द्वारा F का विस्तार है। फिर $p$ की डिग्री 2 है और इसका विभाजन क्षेत्र $F$ का पुनरावृत्त द्विघात विस्तार है।^[8]^[9]^{: 571–572}

इस प्रकार किसी भी अलघुकरणीय बहुपद के लिए जिसकी डिग्री 2 की घात नहीं है और जिसके सभी मूल वास्तविक हैं, वास्तविक पूर्ण के संदर्भ में किसी भी मूल को शुद्ध रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात यह इस लेख के 16वीं शताब्दी के अर्थ में एक कैसस अपरिवर्तनीयता है। इसके अतिरिक्त, यदि बहुपद की डिग्री 2 की घात है और सभी मूल वास्तविक हैं, तो यदि कोई मूल है, जिसे वास्तविक मूलांक में व्यक्त किया जा सकता है। तब इसे वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तथा उच्च-स्तरीय मूलों के रूप में नहीं, जैसा कि हो सकता है अन्य मूल और इसलिए मूल प्रतिष्ठित रूप से रचनात्मक हो सकते हैं।

डमिट द्वारा पंचक फलन बहुपदों के लिए कैसस अपरिवर्तनीयता पर चर्चा की गई है।^[10]^: 17

कोण पेंटासेक्शन (पंचक) और उच्चतर से संबंध

पांच वास्तविक मूलो के साथ लघुकरणीय और अलघुकरणीय घन स्थितियों के बीच का अंतर इस परिणाम से संबंधित है कि क्या तर्कसंगत कोसाइन या तर्कसंगत साइन के साथ एक कोण पंच समुदाय है। पांच बराबर भागों में विभाजित होने में सक्षम दिशा सूचक और अचिह्नित के प्रतिष्ठित माध्यमों द्वारा सीधे बढ़त किसी भी कोण θ के लिए, इस कोण के पांचवें भाग में कोसाइन होता है, जो समीकरण के पांच वास्तविक मूलों में से एक होता है

16x^{5}-20x^{3}+5x-\cos(\theta )=0.

वैसे ही, $θ / 5$ में एक ज्या है, जो समीकरण के पाँच वास्तविक मूलों में से एक है।

16y^{5}-20y^{3}+5y-\sin(\theta )=0.

किसी भी स्थिति में, यदि परिमेय मूल परीक्षण एक परिमेय मूल x₁ देता है, तो पेंटासेक्शन कम हो जाता है, क्योंकि इसे गुणक (x-x₁) गुणा चतुर्थक बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन यदि परीक्षण से पता चलता है कि कोई परिमेय मूल नहीं है, तो बहुपद अलघुकरणीय हो सकता है, जिस स्थिति में कैसस अपरिवर्तनीयता लागू होता है, $cos(θ ⁄ 5)$ तथा $sin(θ ⁄ 5)$ रचनात्मक नहीं हैं, कोण $θ ⁄ 5$ नहीं है। रचनात्मक और कोण $θ$ प्रतिष्ठित रूप से पेंटेसेक्टिबल नहीं है। इसका एक उदाहरण है कि जब कोई दिशा सूचक और सीधे किनारे के साथ 25-गॉन (आइकोसिपेंटागन) बनाने का प्रयास करता है। जबकि एक पंचभुज का निर्माण करना अपेक्षाकृत आसान होता है। तथा एक 25-गॉन को कोण पंचक्षेत्रक की आवश्यकता होती है, क्योंकि $cos(14.4°)$ के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 10 होती है।

{\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\\16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}&=0\qquad \qquad x=\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)&=0\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)^{2}+2\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)-1&=0\\1024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.\end{aligned}}

इस प्रकार,

{\begin{aligned}e^{2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\e^{-2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)&={\frac {{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{2{\sqrt[{5}]{4}}}}.\end{aligned}}

↑ Wantzel, Pierre (1843), "Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique" (PDF), Nouvelles Annales de Mathématiques (in french), 2: 117–127{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Cox (2012), Theorem 1.3.1, p. 15.
↑ $\Delta$ is closely related to the Vandermonde polynomial.
↑ The polynomial $x^{3}+x+1$ with discriminant $D = -31 < 0$ is easily seen to be irreducible, because according the rational root theorem it would have to have roots $\in \{-1,1\}$ which it does not have.

↑ James Pierpont in Annals of Mathematics 1900-1901 on p. 42: „To Cardan and his contemporaries who had no idea how such cube roots could be found this case was highly paradoxical. Since that time mathematicians have attempted to present these real roots as sums of real radicals. As their efforts were unsuccessful, the case when D > 0 was known as the casus irreducibilis.“
Artur Ekert Complex and unpredictable Cardano takes Cardano’s example

x^{3}-15x-4=0

having

{\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}

and writes on p. 9: „Cardano knew that

x=4

was one of the solutions and yet it was a casus irreducibilis“. This shows that in the 16th century „irreducibilis“ must have meant something like „not reducible to real radicals“.
On the other hand, Cardano’s example may be used to show how real roots can arise from cube roots of non-real numbers:

We have	$p=-15,\;q=-4$ ,
which yields	$d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ,
from which	$-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .
In the 16th century it was difficult („verè sophistica“) to find that
	${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$
and	${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ,
so that	$t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$
	$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .
This means in detail:
1st root	$t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$
	$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$
	$=4$ ,
2nd root	$t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)-{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2-{\sqrt {3}}$ ,
3rd root	$t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2+{\sqrt {3}}$ .

It may be noticed that ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ is not the discriminant $D$ ; it is $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ with the sign inverted. Interestingly ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ occurs in Cardano’s formula (as well as the primitive 3rd roots of unity $\omega _{2,3}$ with their $i{\sqrt {3}}$ ), although ${\sqrt {D}}~,$ and not ${\sqrt {d}}~,$ is necessarily an element of the splitting field.

↑ B.L. van der Waerden, Modern Algebra (translated from German by Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, p. 180.
↑ Cox (2012), Section 1.3B Trigonometric Solution of the Cubic, pp. 18–19.
↑ Cox (2012), Theorem 8.6.5, p. 222.
↑ I. M. Isaacs, "Solution of polynomials by real radicals", American Mathematical Monthly 92 (8), October 1985, 571–575,
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics

संदर्भ

Cox, David A. (2012), Galois Theory, Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9. See in particular Section 1.3 Cubic Equations over the Real Numbers (pp. 15–22) and Section 8.6 The Casus Irreducibilis (pp. 220–227).
van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Modern Algebra I, F. Blum, J.R. Schulenberg, Springer, ISBN 978-0-387-40624-4

बाहरी संबंध

casus irreducibilis at PlanetMath.

[Wantzel-1] Wantzel, Pierre (1843), "Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique" (PDF), Nouvelles Annales de Mathématiques (in french), 2: 117–127{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[2] Cox (2012), Theorem 1.3.1, p. 15.

[3] $\Delta$ is closely related to the Vandermonde polynomial.

[4] The polynomial $x^{3}+x+1$ with discriminant $D = -31 < 0$ is easily seen to be irreducible, because according the rational root theorem it would have to have roots $\in \{-1,1\}$ which it does not have.

[5] James Pierpont in Annals of Mathematics 1900-1901 on p. 42: „To Cardan and his contemporaries who had no idea how such cube roots could be found this case was highly paradoxical. Since that time mathematicians have attempted to present these real roots as sums of real radicals. As their efforts were unsuccessful, the case when D > 0 was known as the casus irreducibilis.“
Artur Ekert Complex and unpredictable Cardano takes Cardano’s example $x^{3}-15x-4=0$ having ${\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}$ and writes on p. 9: „Cardano knew that $x=4$ was one of the solutions and yet it was a casus irreducibilis“. This shows that in the 16th century „irreducibilis“ must have meant something like „not reducible to real radicals“.
On the other hand, Cardano’s example may be used to show how real roots can arise from cube roots of non-real numbers:

We have $p=-15,\;q=-4$ ,

which yields $d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ,

from which $-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .

In the 16th century it was difficult („verè sophistica“) to find that

${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$

and ${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ,

so that $t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .

This means in detail:

1st root $t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$

$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$

$=4$ ,

2nd root $t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$

$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)-{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$

$=-2-{\sqrt {3}}$ ,

3rd root $t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$

$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$

$=-2+{\sqrt {3}}$ .

It may be noticed that ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ is not the discriminant $D$ ; it is $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ with the sign inverted. Interestingly ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ occurs in Cardano’s formula (as well as the primitive 3rd roots of unity $\omega _{2,3}$ with their $i{\sqrt {3}}$ ), although ${\sqrt {D}}~,$ and not ${\sqrt {d}}~,$ is necessarily an element of the splitting field.

[6] B.L. van der Waerden, Modern Algebra (translated from German by Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, p. 180.

[7] Cox (2012), Section 1.3B Trigonometric Solution of the Cubic, pp. 18–19.

[8] Cox (2012), Theorem 8.6.5, p. 222.

[Isaacs-9] I. M. Isaacs, "Solution of polynomials by real radicals", American Mathematical Monthly 92 (8), October 1985, 571–575,

[10] David S. Dummit Solving Solvable Quintics

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