काल्पनिक संख्या

i की सभी शक्तियाँ मान ग्रहण करती हैं नीले क्षेत्र से

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

i एकता की चौथी जड़ है

एक काल्पनिक संख्या एकवास्तविक संख्या है जिसे काल्पनिक इकाई i से गुणा किया जाता है, [नोट 1] जो इसकी संपत्ति i² = −1 द्वारा परिभाषित किया गया है। एक काल्पनिक संख्या कावर्ग (बीजगणित) bi है −b²।उदाहरण के लिए, 5i एक काल्पनिक संख्या है, और इसका वर्ग है −25।परिभाषा के अनुसार,0 को वास्तविक और काल्पनिक दोनों माना जाता है।

मूल रूप से 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था एक अपमानजनक शब्द के रूप में और काल्पनिक या बेकार माना जाता है, अवधारणा ने लियोनहार्ड यूलर (18 वीं शताब्दी में) और ऑगस्टिन-लुइस कॉची और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (19 वीं शताब्दी की शुरुआत में) के काम के बाद व्यापक स्वीकृति प्राप्त की।

एक काल्पनिक संख्या bi एक वास्तविक संख्या में जोड़ा जा सकता है a फॉर्म की एक जटिल संख्या बनाने के लिए a + bi, जहां असली संख्याएँ a और b क्रमशः, वास्तविक भाग और जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा कहा जाता है।

इतिहास

जटिल विमान का एक चित्रण।काल्पनिक संख्याएं ऊर्ध्वाधर समन्वय अक्ष पर हैं।

यद्यपि ग्रीक गणितज्ञ अलेक्जेंड्रिया का नायक इंजीनियर हीरो को एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को शामिल करने वाली गणना प्रस्तुत करने वाले पहले व्यक्ति के रूप में जाना जाता है, वह राफेल बॉम्बेली थे, जिन्होंने पहली बार 1572 में जटिल संख्याओं के गुणन के लिए नियम निर्धारित किए थे। अवधारणा पहले प्रिंट में दिखाई दी थी, जैसे किगेरोलमो कार्डानो द्वारा काम में। उस समय, काल्पनिक संख्या और नकारात्मक संख्या को खराब तरीके से समझा गया था और कुछ लोगों द्वारा काल्पनिक या बेकार माना जाता था, जितना कि एक बार शून्य था।कई अन्य गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस सहित काल्पनिक नंबरों के उपयोग को अपनाने के लिए धीमा थे, जिन्होंने अपने ला गोमेरी में उनके बारे में लिखा था जिसमें उन्होंने काल्पनिक शब्द गढ़ा और इसका मतलब अपमानजनक था। लियोनहार्ड यूलर (1707–1783) और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के काम तक काल्पनिक संख्याओं के उपयोग को व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया था। एक विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं के ज्यामितीय महत्व को पहलेकैस्पर वेसल (1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था।

1843 में,विलियम रोवन हैमिल्टन ने विमान में काल्पनिक संख्याओं की एक धुरी के विचार को क्वाटरनियन परिभाषा के चार-आयामी स्थान पर बढ़ाया, जिसमें तीन आयाम जटिल क्षेत्र में काल्पनिक संख्याओं के अनुरूप हैं।

ज्यामितीय व्याख्या

जटिल विमान में 90 डिग्री घुमाव

ज्यामितीय रूप से, काल्पनिक संख्याएँ जटिल संख्या समतल के ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पाई जाती हैं, जो उन्हें वास्तविक अक्ष के लंबवत प्रस्तुत करने की अनुमति देती हैं। काल्पनिक संख्याओं को देखने का एक तरीका एक मानक संख्या रेखा पर विचार करना है जो परिमाण में दाईं ओर सकारात्मक रूप से बढ़ रही है और बाईं ओर परिमाण में नकारात्मक रूप से बढ़ रही है। x-अक्ष पर 0 पर, एक y-अक्ष को "सकारात्मक" दिशा के साथ ऊपर की ओर खींचा जा सकता है; "सकारात्मक" काल्पनिक संख्याएँ तब ऊपर की ओर परिमाण में वृद्धि करती हैं, और "ऋणात्मक" काल्पनिक संख्याएँ परिमाण में नीचे की ओर बढ़ती हैं। इस ऊर्ध्वाधर अक्ष को अक्सर "काल्पनिक अक्ष" कहा जाता है और इसे $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$ या ℑ के रूप में दर्शाया जाता है।

इस निरूपण में, -1 से गुणा मूल बिंदु के बारे में 180 डिग्री के घूर्णन के अनुरूप है, जो एक आधा वृत्त है। गुणा मैं मूल के बारे में 90 डिग्री के रोटेशन से मेल खाती है जो एक वृत्त का एक चौथाई है। ये दोनों संख्याएँ $1$ के मूल हैं: $(-1)^{2}=1$, $i^{4}=1$। जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, हर के लिए $n\in \mathbb {N}$, $1$ है $n$ वें जड़ें $\varphi _{n}$, अर्थ $\varphi _{n}^{n}=1$,एकता की जड़ कहा जाता है। पहले से गुणा करना $n$ एकता की जड़ एक रोटेशन का कारण बनती है ${\frac {360}{n}}$ डिग्री का रोटेशन होता है।

एक जटिल संख्या से गुणा करना जटिल संख्या केतर्क (जटिल विश्लेषण) द्वारा मूल के चारों ओर घूमने के समान है, इसके बाद इसके परिमाण द्वारा एक स्केलिंग है।

नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ें

काल्पनिक संख्याओं के साथ काम करते समय देखभाल का उपयोग किया जाना चाहिए जो नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ों के प्रमुख मूल्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं:

$6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.$

यह कभी -कभी लिखा जाता है:

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.$

गणितीय पतन समानता के रूप में होता है ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ जब चर उपयुक्त नहीं होते हैं तो विफल रहता है।उस स्थिति में, समानता को पकड़ने में विफल रहता है क्योंकि संख्या दोनों नकारात्मक हैं, जिसका प्रदर्शन किया जा सकता है:

${\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},$

दोनों कहाँ x और y सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं।

यह भी देखें

• अक्टूबर
• -

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