आघूर्ण (भौतिकी)

भौतिकी में, आघूर्ण गणितीय ऐसी अभिव्यक्ति है जिसमें दूरी एवं भौतिक मात्रा का गुणनफल सम्मिलित होता है। आघूर्णों को सामान्यतः निश्चित संदर्भ बिंदु के संबंध में परिभाषित किया जाता है एवं यह दूरी पर स्थित भौतिक मात्राओं को संदर्भित करता है। इस प्रकार, यह आघूर्ण मात्रा के स्थान या व्यवस्था का विवरण होता है। उदाहरण के लिए, बल का आघूर्ण, जिसे प्रायः टॉर्क कहा जाता है, ये किसी वस्तु पर बल का उत्पाद एवं संदर्भ बिंदु से वस्तु तक की दूरी होती है। सिद्धांत रूप में, किसी भी भौतिक राशि को आघूर्ण उत्पन्न करने के लिए दूरी से गुणा किया जा सकता है। सामान्यतः उपयोग की जाने वाली मात्राओं में बल, द्रव्यमान एवं विद्युत आवेश वितरण सम्मिलित होते हैं।

विस्तार

अपने सबसे मूलभूत रूप में, आघूर्ण बिंदु की दूरी का गुणनफल (गणित) है, जिसे शक्ति तक बढ़ाया जाता है, एवं भौतिक मात्रा (जैसे बल या विद्युत आवेश) उस बिंदु पर है,

$\mu _{n}=r^{n}\,Q$

जहाँ $Q$ भौतिक मात्रा है जैसे कि बिंदु पर प्रस्तावित बल, या बिंदु आवेश, या बिंदु द्रव्यमान, आदि है। यदि मात्रा केवल बिंदु पर केंद्रित नहीं है, तो आघूर्ण अंतरिक्ष पर उस मात्रा के घनत्व का अभिन्न अंग है:

$\mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr$

जहाँ $\rho$ आवेश, द्रव्यमान, या मात्रा के घनत्व का वितरण है।

अधिक जटिल रूप दूरी एवं भौतिक मात्रा के मध्य कोणीय संबंधों को ध्यान में रखते हैं, परन्तु उपरोक्त समीकरण आघूर्ण की आवश्यक विशेषता हैं, अर्थात् अंतर्निहित का अस्तित्व $r^{n}\rho (r)$ या समकक्ष शब्द होता है। इसका तात्पर्य है कि कई आघूर्ण हैं (n के प्रत्येक मान के लिए) एवं आघूर्ण सामान्यतः उस संदर्भ बिंदु पर निर्भर करता है जिससे दूरी $r$ मापा जाता है, चूँकि कुछ आघूर्णों के लिए (प्रौद्यौगिक रूप से, सबसे अल्प अन्य-शून्य आघूर्ण) यह निर्भरता विलुप्त हो जाती है एवं आघूर्ण संदर्भ बिंदु से स्वतंत्र हो जाता है।

n का प्रत्येक मान भिन्न आघूर्ण से युग्मित होता है: प्रथम आघूर्ण n = 1, दूसरे आघूर्ण से n = 2, आदि है। 0वें आघूर्ण (n = 0) को कभी-कभी मोनोपोल आघूर्ण कहा जाता है; प्रथम आघूर्ण (n = 1) को कभी-कभी द्विध्रुवीय आघूर्ण कहा जाता है, एवं विशेष रूप से विद्युत आवेश वितरण के संदर्भ में दूसरे आघूर्ण (n = 2) को कभी-कभी चतुष्कोणीय आघूर्ण कहा जाता है।

उदाहरण

• बल का आघूर्ण, या बलाघूर्ण, पहला आघूर्ण है: $\mathbf {\tau } =rF$, या, अधिक सामान्यतः, $\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ है।
• इसी प्रकार, कोणीय संवेग का पहला आघूर्ण है: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$. ध्यान दें कि संवेग स्वयं में आघूर्ण नहीं है।
• वैद्युत द्विध्रुव आघूर्ण भी प्रथम आघूर्ण है: $\mathbf {p} =q\,\mathbf {d}$ दो विपरीत बिंदु आवेशों के लिए या ${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ आवेश घनत्व के साथ वितरित शुल्क के लिए $\rho (\mathbf {r} )$ है।

द्रव्यमान के आघूर्ण:

• पूर्ण द्रव्यमान द्रव्यमान का शून्य आघूर्ण होता है।
• द्रव्यमान का केंद्र द्रव्यमान का प्रथम आघूर्ण होता है जिसे पूर्ण द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है: ${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$, बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या ${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ बड़े स्तर पर वितरण वाली वस्तु के लिए $\rho (\mathbf {r} )$ होता है।
• जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान का दूसरा आघूर्ण है: $I=r^{2}m$ बिंदु द्रव्यमान के लिए, $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}$