सामान्य वितरण

Normal distribution
	Probability density function The red curve is the standard normal distribution
	Cumulative distribution function
Notation
Parameters	= mean (location); = variance (squared scale);
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सांख्यिकी में, एक सामान्य वितरण या गॉसियन वितरण एक वास्तविक मान यादृच्छिक चर के लिए निरंतर प्रायिकता वितरण का एक प्रकार है और जबकि इसकी चर की प्रायिकता घनत्व फलन का सामान्य प्रकार है

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

पैरामीटर $\mu$ वितरण का औसत माध्य अपेक्षित मान है और इसकी माध्यिका और मोड सांख्यिकी पद्धति है, जबकि पैरामीटर $\sigma$ इसका मानक विचलन है और इस प्रकार वितरण का वेरिएंस $\sigma ^{2}$ के रूप में है, गाऊसी वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर को सामान्य वितरण कहा जाता है और इसे सामान्य विचलन भी कहा जाता है।

सामान्य वितरण आंकड़ों में महत्वपूर्ण होते हैं और अधिकांशतः प्राकृतिक विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में वास्तविक-मान वाले यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं जिनके वितरण ज्ञात नहीं होते हैं।^[1]^[2] और इस प्रकार उनका महत्व आंशिक रूप से केंद्रीय सीमा प्रमेय के कारण होता है। इसमें कहा गया है कि, कुछ शर्तों के अनुसार परिमित माध्य और वेरिएंस के साथ एक यादृच्छिक चर के कई नमूनों टिप्पणियों का औसत स्वयं एक यादृच्छिक चर है, जिसका वितरण अभिसरण नमूने की संख्या बढ़ने पर सामान्य वितरण में होता है। इसलिए, भौतिक मात्राएँ जो कई स्वतंत्र प्रक्रियाओं का योग होने की आशंका की जाती हैं, जैसे माप त्रुटियां, अधिकांशतः ऐसे वितरण होते हैं जो लगभग सामान्य रूप में होते है।^[3]

इसके अतिरिक्त, गॉसियन वितरण में कुछ अद्वितीय गुण हैं जो विश्लेषणात्मक अध्ययनों के रूप में मान हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य विचलन के निश्चित संग्रह का कोई भी रैखिक संयोजन एक सामान्य विचलन है। इस प्रकार कई परिणाम और विधियाँ, जैसे कि अनिश्चितता का प्रसार और कम से कम वर्ग पैरामीटर फिटिंग विश्लेषणात्मक रूप से स्पष्ट रूप से प्राप्त की जा सकती हैं जब प्रासंगिक चर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।

एक सामान्य वितरण को कभी-कभी अनौपचारिक रूप से बेल कर्व कहा जाता है।^[4] चूंकि, कई अन्य वितरण बेल के आकार के होते हैं, जैसे कॉची छात्र का t-वितरण और लॉजिस्टिक वितरण इत्यादि के रूप में होते है। अन्य नामों के लिए नेमिंग देखते हैं।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण में सदिश के लिए और आव्यूह सामान्य वितरण में मेट्रिसेस के लिए यूनीवेरिएट प्रायिकता वितरण सामान्यीकृत किया जाता है।

परिभाषाएँ

मानक सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन

सामान्य वितरण का सबसे सरल स्थिति मानक सामान्य वितरण या इकाई सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है। यह एक विशेष स्थिति है जब u = 0 और $\sigma =1$ और इसे इस प्रायिकता घनत्व फलन (या घनत्व) द्वारा वर्णित किया गया है

\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}

चर z का माध्य 0 है और वेरिएंस और मानक विचलन घनत्व 1 है $\varphi (z)$ इसका शीर्ष $1/{\sqrt {2\pi }}$ पर $z=0$ है और मोड़ बिंदु $z=+1$ और $z=-1$ .के रूप में है

यद्यपि उपरोक्त घनत्व को सामान्यतः सामान्य मानक के रूप में जाना जाता है, कुछ लेखकों ने उस शब्द का उपयोग सामान्य वितरण के अन्य संस्करणों का वर्णन करने के लिए किया है। उदाहरण के लिए, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने एक बार मानक को सामान्य के रूप में परिभाषित किया था

\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}

जिसमें 1/2 का वेरिएंस होता है और स्टीफन स्टिगलर^[5] एक बार मानक सामान्य के रूप में परिभाषित किया गया है

\varphi (z)=e^{-\pi z^{2}}

जिसका एक सरल फलन ात्मक रूप और $\sigma ^{2}=1/(2\pi )$ एक वेरिएंस है

सामान्य सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन

प्रत्येक सामान्य वितरण मानक सामान्य वितरण का एक संस्करण है, जिसका डोमेन एक कारक $\sigma$ मानक विचलन द्वारा बढ़ाया गया है और फिर $\mu$ द्वारा औसत मान का अनुवाद किया गया है:

f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)

प्रायिकता घनत्व $1/\sigma$ द्वारा स्केल किया जाना चाहिए जिससे की समाकलन 1 के रूप में होता है।

यदि $Z$ एक मानक सामान्य विचलन के रूप में है, तो $X=\sigma Z+\mu$ अपेक्षित मान के साथ एक सामान्य वितरण होता है $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ . के बराबर है और मानक सामान्य वितरण $Z$ के एक कारक द्वारा विस्तारित किया जा सकता है और इस प्रकार $\sigma$ द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, एक भिन्न सामान्य वितरण प्राप्त करने के लिए $\mu$ द्वारा स्थानांतरित किया जा सकता है, जिसे $X$ कहा जाता है. इसके विपरीत यदि $X$ पैरामीटर के साथ एक सामान्य विचलन $\mu$ और $\sigma ^{2}$ के रूप में है फिर यह $X$ वितरण को फिर से बढ़ाया जा सकता है और सूत्र के माध्यम से स्थानांतरित किया जा सकता है $Z=(X-\mu )/\sigma$ इसे मानक सामान्य वितरण में बदलने के लिए इस चर को $X$ का मानकीकृत रूप भी कहा जाता है.

अंकन

मानक गाऊसी वितरण की प्रायिकता घनत्व को अधिकांशतः ग्रीक अक्षर $\phi$ से निरूपित किया जाता है, इस प्रकार मानक सामान्य वितरण शून्य माध्य और इकाई प्रसरण के साथकिया जा सकता है।^[6] ग्रीक अक्षर फी का वैकल्पिक रूप, $\varphi$ , भी अधिकांशतः प्रयोग किया जाता है।

सामान्य वितरण को अधिकांशतः $N(\mu ,\sigma ^{2})$ या ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ कहा जाता है.^[7] इस प्रकार जब एक यादृच्छिक चर $X$ सामान्य रूप से माध्य $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ , के साथ वितरित किया जाता है, तो कोई

X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).

लिख सकता है

वैकल्पिक मानकीकरण

कुछ लेखक विचलन $\sigma$ या वेरिएंस $\sigma ^{2}$ के अतिरिक्त वितरण की चौड़ाई को परिभाषित करने वाले पैरामीटर के रूप में अच्छे $\tau$ का उपयोग करने की वकालत करते हैं और इस प्रकार परिशुद्धता को सामान्यतः वेरिएंस $1/\sigma ^{2}$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,^[8] तब इस प्रकार वितरण का सूत्र बन जाता है,

f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.

इस विकल्प का संख्यात्मक संगणना में लाभ होने का दावा किया जाता है $\sigma$ शून्य के बहुत निकटतम होता है और कुछ संदर्भों में सूत्रों को सरल करता है, जैसे बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण वाले चर के बायेसियन आंकड़ों में करते हैं।

वैकल्पिक रूप से, मानक विचलन का व्युत्क्रम $\tau ^{\prime }=1/\sigma$ परिशुद्धता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिस स्थिति में सामान्य वितरण की अभिव्यक्ति बन जाती है

f(x)={\frac {\tau ^{\prime }}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ^{\prime })^{2}(x-\mu )^{2}/2}.

स्टिगलर के अनुसार, यह सूत्रीकरण बहुत सरल और याद रखने में आसान सूत्र और वितरण की मात्राओं के लिए सरल अनुमानित सूत्रों के कारण लाभप्रद है।

सामान्य वितरण प्राकृतिक $\textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}$ और $\textstyle \theta _{2}={\frac {-1}{2\sigma ^{2}}}$ , पैरामीटर और प्राकृतिक सांख्यिकी x और x^{2 के साथ एक चरघातांकी फॅमिली बनाते हैं। सामान्य वितरण के लिए दोहरी अपेक्षा पैरामीटर η₁ = μ और η₂ = μ² + σ².के रूप में होते है,}

संचयी वितरण फलन

मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन (सीडीएफ), सामान्यतः बड़े ग्रीक अक्षर $\Phi$ फाई से दर्शाया जाता है, जो अभिन्न रूप में है

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt

संबंधित त्रुटि फलन $\operatorname {erf} (x)$ एक यादृच्छिक चर की प्रायिकता देता है, इस प्रकार माध्य 0 के सामान्य वितरण के साथ और भिन्नता 1/2 सीमा में गिरती है $[-x,x]$ . इस प्रकार है:

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt

इन समाकलन को प्रारंभिक फलन के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और अधिकांशतः इन्हें विशेष फलन कहा जाता है। चूंकि, कई संख्यात्मक सन्निकटन ज्ञात हैं और इस प्रकार अधिक के लिए सामान्य सीडीएफ और सामान्य क्वांटाइल फलन के लिए संख्यात्मक सन्निकटन देखें।

दो फलन निकट सेसंबंधित हैं, अर्थात्

\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]

घनत्व के साथ सामान्य सामान्य वितरण के लिए $f$ , अर्थ $\mu$ और विचलन $\sigma$ , संचयी वितरण फलन के रूप में होते है

F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]

मानक सामान्य सीडीएफ का पूरक, $Q(x)=1-\Phi (x)$ , अधिकांशतः Q फलन कहा जाता है, विशेष रूप से इंजीनियरिंग टेक्स्ट में,^[9]^[10] यह प्रायिकता देता है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर का मान $X$ के रूप में अधिक हो जाता है $x$ : $P(X>x)$ . की अन्य परिभाषाएँ $Q$ -फलन जिनमें से सभी सरल रूपांतरण हैं $\Phi$ , का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।^[11]

मानक सामान्य सीडीएफ के एक फलन का ग्राफ $\Phi$ बिंदु (0,1/2) के चारों ओर 2 गुना घूर्णी समरूपता है; वह है, $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ . इसका प्रतिपक्षी (अनिश्चितकालीन अभिन्न) निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है,

\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.

मानक सामान्य वितरण के सीडीएफ को एक श्रृंखला में भागों द्वारा एकीकरण द्वारा विस्तारित किया जा सकता है,

\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2}\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+\cdots \right]

जहाँ $!!$ डबल क्रमगुणित को दर्शाता है।

बड़े x के लिए सीडीएफ का एक ऐसिम्टाटिक विस्तार द्वारा एकीकरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है और इस प्रकार अधिक जानकारी के लिए, त्रुष्टि फलन #एसिम्प्टोटिक विस्तार देखते है।^[12]

टेलर श्रृंखला सन्निकटन का उपयोग करके मानक सामान्य वितरण सीडीएफ के लिए एक त्वरित सन्निकटनके रूप में पाये जाते है,

$\Phi (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {\left(-1\right)^{k}x^{\left(2k+1\right)}}{2^{k}k!\left(2k+1\right)}}$

मानक विचलन और कवरेज

सामान्य वितरण के लिए, सेट के 68.27% के लिए औसत खाते से दूर एक मानक विचलन से कम मान; जबकि औसत खाते से दो मानक विचलन 95.45% हैं; और तीन मानक विचलन 99.73% हैं।

एक सामान्य वितरण से निकाले गए लगभग 68% मान एक मानक विचलन σ माध्य से दूर होते हैं और इस प्रकार लगभग 95% मान दो मानक विचलन के भीतर होते हैं और लगभग 99.7% तीन मानक विचलन के भीतर होते हैं।^[4] इस तथ्य को 68–95–99.7 एम्पिरिकल नियम या 3-सिग्मा नियम के रूप में जाना जाता है।

अधिक अच्छे रूप से, एक सामान्य विचलन के बीच की सीमा में होने की प्रायिकता $\mu -n\sigma$ और $\mu +n\sigma$ द्वारा दिया गया है

F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).

12 महत्वपूर्ण अंकों के लिए, $n=1,2,\ldots ,6$ का मान इस प्रकार हैं,

n

p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )

{\text{i.e. }}1-p

{\text{or }}1{\text{ in }}p

OEIS

1

0.682689492137

0.317310507863

3	.15148718753

OEIS: A178647

2

0.954499736104

0.045500263896

21	.9778945080

OEIS: A110894

3

0.997300203937

0.002699796063

370	.398347345

OEIS: A270712

4

0.999936657516

0.000063342484

15787

.1927673

5

0.999999426697

0.000000573303

1744277

.89362

6

0.999999998027

0.000000001973

506797345

.897

बड़े $n$ के लिए कोई सन्निकटन मान $1-p\approx {\frac {e^{-n^{2}/2}}{n{\sqrt {\pi /2}}}}$ .का उपयोग किया जा सकता है

क्वांटाइल फलन

किसी वितरण का क्वांटाइल फलन संचयी वितरण फलन का व्युत्क्रम होता है। मानक सामान्य वितरण के क्वांटाइल फलन को प्रोबिट फलन कहा जाता है और इसे व्युत्क्रम त्रुटि फलन के रूप में संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है,

\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).

औसत के साथ एक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए $\mu$ और वेरिएंस $\sigma ^{2}$ क्वांटाइल फलन के रूप में है

F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).

क्वांटाइल $\Phi ^{-1}(p)$ मानक सामान्य वितरण का सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है $z_{p}$ . इन मानों का उपयोग हाइपोथिसिस परीमोमेंट , कॉन्फिडेंस अंतराल के निर्माण और Q-Q प्लॉट में किया जाता है। एक सामान्य यादृच्छिक चर $X$ अधिक हो जाता है, इस प्रकार $\mu +z_{p}\sigma$ प्रायिकता के साथ $1-p$ अंतराल के बाहर होता है $\mu \pm z_{p}\sigma$ प्रायिकता के साथ $2(1-p)$ . विशेष रूप से, क्वांटाइल $z_{0.975}$ 1.96 है; इसलिए केवल 5% स्थितियो में एक सामान्य यादृच्छिक चर अंतराल $\mu \pm 1.96\sigma$ के बाहर होता है।

निम्न तालिका क्वांटाइल $z_{p}$ इस प्रकार देती है कि $X$ एक निर्दिष्ट प्रायिकता $p$ . के साथ श्रेणी $\mu \pm z_{p}\sigma$ के रूप में निर्दिष्ट होता है, ये मान नमूना औसत और ऐसिम्टाटिक रूप से सामान्य वितरण वाले अन्य सांख्यिकीय अनुमानकों के लिए टॉलरेंस अंतराल निर्धारित करने के लिए उपयोगी होते है। ध्यान दें कि निम्न तालिका दिखाती है ${\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)$ , नहीं $\Phi ^{-1}(p)$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

$p$	$z_{p}$	$p$	$z_{p}$
0.80	1.281551565545	0.999	3.290526731492
0.90	1.644853626951	0.9999	3.890591886413
0.95	1.959963984540	0.99999	4.417173413469
0.98	2.326347874041	0.999999	4.891638475699
0.99	2.575829303549	0.9999999	5.326723886384
0.995	2.807033768344	0.99999999	5.730728868236
0.998	3.090232306168	0.999999999	6.109410204869

छोटे के लिए $p$ , क्वांटाइल फलन में उपयोगी ऐसिम्टाटिक विस्तार के रूप में होते है

 $\Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).$ ^[13]

गुण

सामान्य वितरण ही एकमात्र ऐसा वितरण है जिसके पहले दो से परे संचयी शून्य होते हैं। अर्थात् माध्य और प्रसरण के अतिरिक्त यह निर्दिष्ट माध्य और वेरिएंस के लिए अधिकतम एन्ट्रापी प्रायिकता वितरण के साथ निरंतर वितरण है।^[14]^[15] गीरी ने मानते हुए यह दिखाया है कि माध्य और वेरिएंस परिमित रूप में होते है और सामान्य वितरण ही एकमात्र वितरण है जहां स्वतंत्र ड्रा के सेट से गणना की गई माध्य और वेरिएंस एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।^[16]^[17]

सामान्य वितरण दीर्घवृत्ताकार वितरण का एक उपवर्ग है। सामान्य वितरण अपने माध्य के बारे में सममित वितरण है और संपूर्ण वास्तविक रेखा पर गैर-शून्य है। जैसे कि यह उन चरों के लिए उपयुक्त मॉडल नहीं हो सकता है जो स्वाभाविक रूप से धनात्मक या दृढ़ता से विषम हैं, जैसे किसी व्यक्ति का वजन या शेयर (वित्त) की कीमत इत्यादि। ऐसे चरों को अन्य वितरण द्वारा अच्छे से वर्णित किया जा सकता है, जैसे लॉग-सामान्य वितरण या पारेटो वितरण इत्यादि।

सामान्य वितरण का मान व्यावहारिक रूप से शून्य होता है जब मान $x$ माध्य से कुछ मानक विचलनों से अधिक दूर स्थित होता है, उदाहरण के लिए, तीन मानक विचलनों का प्रसार कुल वितरण के 0.27% को छोड़कर सभी को कवर करता है। इसलिए, यह एक उपयुक्त मॉडल नहीं हो सकता है जब कोई आउटलेर्स मानों के एक महत्वपूर्ण अंश की अपेक्षा करता है जो कई मानक विचलन को माध्य से दूर करते हैं और कम से कम वर्ग और अन्य सांख्यिकीय अनुमान विधियां जो सामान्य रूप से वितरित चर के लिए इष्टतम हैं, ऐसे डेटा के लिए अधिकांशतः इस प्रकार प्रयुक्त होने पर अत्यधिक अविश्वसनीय हो जाती हैं। उन स्थितियो में, अधिक भारी टेल्ड वाले वितरण की कल्पना की जानी चाहिए और उचित मजबूत सांख्यिकीय अनुमान विधियों को प्रयुक्त किया जाना चाहिए।

गॉसियन वितरण स्टेबल वितरण के फॅमिली से संबंधित है, जो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योगों के आकर्षण हैं | इस प्रकार स्वतंत्र, समान रूप से वितरित वितरण माध्य या वेरिएंस परिमित होते है या नहीं। गॉसियन को छोड़कर जो एक सीमित स्थिति में सभी स्टेबल वितरण में भारी टेल्ड और अनंत वेरिएंस होता है। यह उन कुछ वितरण में से एक है जो स्टेबल हैं और जिनमें प्रायिकता घनत्व फलन के रूप में हैं, जिन्हें विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है, अन्य कॉची वितरण और लेवी वितरण हैं।

समरूपता और डेरिवेटिव

घनत्व के साथ सामान्य वितरण $f(x)$ (अर्थ $\mu$ और मानक विचलन $\sigma >0$ ) के निम्नलिखित गुण हैं

यह बिंदु $x=\mu ,$ के चारों ओर सममित है, जो एक ही समय में बहुलक सांख्यिकी, माध्यिका और वितरण का माध्य है।^[18]
यह अनिमॉडल है इसका पहला यौगिक $x<\mu ,$ के लिए धनात्मक है और $x>\mu ,$ के लिए ऋणात्मक और $x=\mu .$ पर केवल शून्य के रूप में है
वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र इकाई है अर्थात एक के बराबर है।
इसकी पहली अवकलज $f^{\prime }(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).$ के रूप में है
इसके घनत्व में दो विभक्ति बिंदु होते हैं जहाँ दूसरा अवकलज होता है $f$ शून्य है और चिह्न बदलता है, इसका अर्थ एक मानक विचलन दूर स्थित है, अर्थात् $x=\mu -\sigma$ और $x=\mu +\sigma .$ ^[18]
इसका घनत्व लघुगणकीय रूप से अवतल फलन है।^[18]
- इसका घनत्व असीम रूप से भिन्न फलन है, वास्तव में ऑर्डर 2 का सुपरस्मूथ है।^[19]

इसके अतिरिक्त घनत्व $\varphi$ मानक सामान्य वितरण में निम्नलिखित गुण भी हैं, अर्थात $\mu =0$ और $\sigma =1$ )

इसकी पहली अवकलज है $\varphi ^{\prime }(x)=-x\varphi (x).$
इसका दूसरा अवकलज है $\varphi ^{\prime \prime }(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)$
अधिक सामान्यतः, इसकी $n$ वें अवकलज है $\varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),$ जहाँ $\operatorname {He} _{n}(x)$ $n$ (प्रायिकतात्मक ) हर्मिट बहुपद है।^[20]
प्रायिकता है कि एक सामान्य रूप से वितरित चर $X$ ज्ञात के साथ $\mu$ और $\sigma$ एक विशेष सेट में है, इस तथ्य का उपयोग करके गणना की जा सकती है कि भिन्न $Z=(X-\mu )/\sigma$ एक मानक सामान्य वितरण है।

मोमेंट

चर $X$ के अपेक्षित मान का प्लैन और निरपेक्ष मोमेंट $X^{p}$ और $|X|^{p}$ गणित के रूप में होते है। यदि अपेक्षित मान $\mu$ का $X$ शून्य है, इन पैरामीटर को केंद्रीय मोमेंट कहा जाता है; अन्यथा इन पैरामीटर को गैर-केंद्रीय मोमेंट कहा जाता है। सामान्यतः हम केवल पूर्णांक क्रम वाले मोमेंट $\ p$ .में रुचि रखते हैं

यदि $X$ एक सामान्य वितरण है, गैर-केंद्रीय मोमेंट के रूप में उपस्थित हैं और किसी $p$ के लिए परिमित हैं जिसका वास्तविक भाग −1 से बड़ा है। किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $p$ के लिए प्लैन केंद्रीय मोमेंट इस प्रकार हैं^[21]

\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}

यहाँ $n!!$ दोहरे क्रमगुणन को दर्शाता है, अर्थात सभी संख्याओं का गुणनफल $n$ से 1 तक जिसमें $n.$ समान समानता है

केंद्रीय निरपेक्ष मोमेंट सभी समान क्रम के लिए प्लैन मोमेंट के साथ मेल खाते हैं, लेकिन विषम क्रमागत के लिए अशून्य हैं। किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $p,$ के लिए इस रूप में होते है

{\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}

अंतिम सूत्र किसी भी गैर-पूर्णांक $p>-1.$ के लिए मान्य होते है, अर्थात जब $\mu \neq 0,$ प्लैन और निरपेक्ष मोमेंट को कॉन्फ़्लूएंट हाइपरज्यामितीय फलन ${}_{1}F_{1}$ और $U.$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

{\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot (-i{\sqrt {2}})^{p}U\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right),\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right).\end{aligned}}

ये अभिव्यक्ति मान्य रहते हैं यदि $p$ पूर्णांक नहीं है। सामान्यीकृत हर्माइट बहुपद भी देखें।

Order	Non-central moment	Central moment
1	$\mu$	$0$
2	$\mu ^{2}+\sigma ^{2}$	$\sigma ^{2}$
3	$\mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}$	$0$
4	$\mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}$	$3\sigma ^{4}$
5	$\mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}$	$0$
6	$\mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}$	$15\sigma ^{6}$
7	$\mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}$	$0$
8	$\mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}$	$105\sigma ^{8}$

गणितीय $X$ की अपेक्षा उस घटना पर आधारित थी सशर्त $X$ अन्तराल में $[a,b]$ द्वारा दिया गया है

\operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}

जहाँ $f$ और $F$ क्रमशः घनत्व और संचयी वितरण फलन $X$ . के लिए $b=\infty$ के रूप में होता है, इसे व्युत्क्रम मिल्स अनुपात के रूप में जाना जाता है। ध्यान दें कि ऊपर, घनत्व $f$ का $X$ व्युत्क्रम मिल्स अनुपात में मानक सामान्य घनत्व के अतिरिक्त प्रयोग किया जाता है, इसलिए यहां हमारे पास $\sigma ^{2}$ के अतिरिक्त $\sigma$ . हैं।

फूरियर रूपांतरण और विशिष्ट फलन

एक सामान्य घनत्व का फूरियर रूपांतरण $f$ माध्य के साथ $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ के रूप में है^[22]

{\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}}

जहाँ $i$ काल्पनिक इकाई है। यदि माध्य $\mu =0$ , पहला कारक 1 है और फूरियर ट्रांसफॉर्म एक स्टेबल कारक के अतिरिक्त आवृत्ति डोमेन पर एक सामान्य घनत्व है, इस प्रकार 0 और मानक विचलन के साथ $1/\sigma$ . विशेष रूप से, मानक सामान्य वितरण $\varphi$ एक फूरियर रूपांतरण का एक अभिलक्षणिक फलन है।

प्रायिकता सिद्धांत में, एक वास्तविक-मान यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण का फूरियर रूपांतरण $X$ विशेष फलन प्रायिकता सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है $\varphi _{X}(t)$ उस चर के रूप में होते है, जिसके अपेक्षित मान $e^{itX}$ के रूप में परिभाषित किया गया है वास्तविक चर के एक फलन के रूप में $t$ फूरियर रूपांतरण की आवृत्ति पैरामीटर के रूप में होते है। इस परिभाषा को विश्लेषणात्मक रूप से एक सम्मिश्र -मान $t$ चर तक बढ़ाया जा सकता है^[23] दोनों के बीच संबंध इस प्रकार है,

\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)

मोमेंट और संचयी जनरेटिंग फलन

एक वास्तविक यादृच्छिक चर का मोमेंट जनरेटिंग फलन $X$ का अपेक्षित मान $e^{tX}$ है और इस प्रकार वास्तविक पैरामीटर के एक फलन के रूप में $t$ . घनत्व के साथ सामान्य वितरण के लिए $f$ , अर्थ $\mu$ और विचलन $\sigma$ , मोमेंट जनरेटिंग फलन के रूप में उपस्थित है और इसके बराबर है

M(t)=\operatorname {E} [e^{tX}]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}

संचयी जनरेटिंग फलन मोमेंट जनरेटिंग फलन का लघुगणक है, अर्थात्

g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}

चूँकि यह एक द्विघात बहुपद $t$ के रूप में होते है, केवल पहले दो संचयी अशून्य हैं, अर्थात् माध्य $\mu$ और भिन्नता $\sigma ^{2}$ .के रूप में होते है

स्टीन ऑपरेटर और वर्ग

स्टीन की विधि के भीतर स्टीन ऑपरेटर और एक यादृच्छिक चर का वर्ग $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ हैं ${\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)$ और ${\mathcal {F}}$ सभी बिल्कुल निरंतर फलन का वर्ग $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\mathbb {E} [|f'(X)|]<\infty$ .के रूप में होता है

शून्य वेरिएंस सीमा

सीमा में (गणित) जब $\sigma$ शून्य हो जाता है, प्रायिकता घनत्व $f(x)$ अंततः शून्य हो जाता है $x\neq \mu$ , लेकिन यदि $x=\mu$ ,बिना सीमा के बढ़ता है जबकि इसका समाकल 1 के बराबर रहता है। इसलिए, सामान्य वितरण को साधारण फलन (गणित) के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता जब $\sigma =0$ होता है

चूंकि, सामान्य वितरण को एक सामान्यीकृत फलन के रूप में शून्य वेरिएंस के साथ परिभाषित किया जा सकता है; विशेष रूप से, डिराक का डेल्टा फलन के रूप में $\delta$ माध्यम से अनुवादित $\mu$ है, $f(x)=\delta (x-\mu ).$ इसका सीडीएफ तब माध्य $\mu$ ,द्वारा अनुवादित हैवीसाइड स्टेप फलन है,

F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu \end{cases}}

अधिकतम एन्ट्रापी

एक निर्दिष्ट माध्य के साथ वास्तविक पर सभी प्रायिकता वितरण में से $\mu$ और वेरिएंस $\sigma ^{2}$ , सामान्य वितरण $N(\mu ,\sigma ^{2})$ अधिकतम एंट्रॉपी प्रायिकता वितरण वाला एक है।^[24] यदि $X$ प्रायिकता घनत्व फलन के साथ एक सतत यादृच्छिक चर $f(x)$ है और इस प्रकार फिर $X$ एन्ट्रापी को परिभाषित किया जाता है^[25]^[26]^[27]

H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\log f(x)\,dx

जहाँ $f(x)\log f(x)$ कभी भी शून्य समझा जाता है $f(x)=0$ . इस फलन कार्यात्मकता को अधिकतम किया जा सकता है, इस शर्त के अधीन कि वितरण उचित रूप से सामान्यीकृत है और इसमें वैरिएबल कैलकुलस का उपयोग करके एक निर्दिष्ट भिन्नता है। दो लैग्रेंज गुणक वाले एक फलन को परिभाषित किया गया है

L=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda \left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)

जहाँ $f(x)$ अभी के लिए, माध्य के साथ कुछ घनत्व फलन के रूप में माना जाता है $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ .के रूप में होता है

अधिकतम एन्ट्रापी पर, एक छोटा बदलाव $\delta f(x)$ के बारे में $f(x)$ भिन्नता उत्पन्न करता है, $\delta L$ के बारे में $L$ जो 0 के बराबर होता है

0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(\ln(f(x))+1+\lambda _{0}+\lambda (x-\mu )^{2}\right)\,dx

चूंकि यह किसी भी छोटे $\delta f(x)$ के लिए होना चाहिए, कोष्ठक में शब्द शून्य के रूप में होता है और $f(x)$ यील्ड के लिए हल करना चाहिए:

f(x)=e^{-\lambda _{0}-1-\lambda (x-\mu )^{2}}

$\lambda _{0}$ और $\lambda$ को हल करने के लिए कॉन्सट्रेंट समीकरणों का उपयोग करने से सामान्य वितरण का घनत्व प्राप्त होता है:

f(x,\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}

एक सामान्य वितरण की एन्ट्रॉपी बराबर होती है

H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\log(2\sigma ^{2}\pi ))

अन्य गुण

यदि किसी यादृच्छिक चर $\phi _{X}$ का अभिलक्षणिक फलन $X$ रूप का है $\phi _{X}(t)=\exp ^{Q(t)}$ , जहां $Q(t)$ एक बहुपद है, तो जोज़ेफ़ मार्सिंकीविज़ के नाम पर मार्सिंकीविज़ प्रमेय का दावा है कि $Q$ अधिक से अधिक एक द्विघात बहुपद हो सकता है, और इसलिए $X$ एक सामान्य यादृच्छिक चर है। इस परिणाम का परिणाम यह है कि सामान्य वितरण गैर-शून्य संचयकों की सीमित संख्या (दो) वाला एकमात्र वितरण है।
यदि $X$ और $Y$ संयुक्त रूप से सामान्य और असंबंधित हैं, तो वे स्वतंत्र हैं। यह आवश्यक है कि $X$ और $Y$ संयुक्त रूप से सामान्य रूप में होते है और इस प्रकार गुणधर्म टिक नहीं पाती। गैर सामान्य यादृच्छिक चर के लिए असंबद्धता का अर्थ स्वतंत्र नहीं होता है।
एक सामान्य वितरण $X_{1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ का दूसरे $X_{2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ से कुल्बैक-लीब्लर विचलन द्वारा दिया जाता है,
सामान्य वितरण के लिए फिशर सूचना मैट्रिक्स wrt गणित> \ mu</ गणित>और >\sigma^2</math> विकर्ण है और फार्म लेता है गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \mathcal I (\mu, \sigma^2) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sigma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sigma^4} \end{ pmatrix} </ गणित> सामान्य वितरण के लिए फिशर सूचना मैट्रिक्स wrt गणित> \ mu</ गणित>और >\sigma^2</math> विकर्ण है और फार्म लेता है।
एक सामान्य बंटन के माध्य से पहले का संयुग्मी एक अन्य सामान्य बंटन है।^[28] विशेष रूप से, अगर $x_{1},\ldots ,x_{n}$ आईआईडी हैं $\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ और पूर्व है $\mu \sim N(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})$ , फिर के अनुमानक के लिए पश्च वितरण $\mu$ होगा $\mu \mid x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\mu _{0}+\sigma _{0}^{2}{\bar {x}}}{{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\sigma _{0}^{2}}},\left({\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}\right)^{-1}\right)$
सामान्य वितरण की फॅमिली न केवल घातीय फॅमिली (EF) बनाता है, जिससे कि वास्तव में द्विघात विस्थापन फलन (NEF) के साथ एक प्राकृतिक घातीय फॅमिली (NEF) बनाता है। सामान्य वितरण के कई गुण NEF-QVF वितरण, NEF वितरण या EF वितरण के सामान्य गुणों के अनुसार होते हैं।एन NEF or EF के वितरण में 6 फॅमिली के रूप में सम्मलित हैं, जिनमें पॉइसन, गामा, द्विपद और ऋणात्मक द्विपद वितरण के रूप में सम्मलित हैं, जबकि कई सामान्य फॅमिली संभावना और सांख्यिकी में अध्ययन कर रहे हैं
सूचना ज्यामिति में, सामान्य वितरण की फॅमिली निरंतर वक्रता के साथ एक सांख्यिकीय कई गुना बनाता है $-1$ . (±1)-कनेक्शन के संबंध में एक ही फॅमिली कई गुना फ्लैट है $\nabla ^{(e)}$ और $\nabla ^{(m)}$ .^[29]

सांख्यिकीय निष्कर्ष

पैरामीटर का अनुमान

अधिकांशतः ऐसा होता है कि हम सामान्य वितरण के पैरामीटर को नहीं जानते हैं, बल्कि इसके अतिरिक्त उन्हें अनुमान सिद्धांत से करना चाहते हैं। अर्थात एक सामान्य से $N(\mu ,\sigma ^{2})$ जनसंख्या से एक नमूना $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ लेकर हम पैरामीटर के अनुमानित मानों को सीखना चाहते है और इस प्रकार $\mu$ और $\sigma ^{2}$ . इस समस्या का मानक दृष्टिकोण अधिकतम प्रायिकता विधि है, जिसके लिए लॉग-लाइबिलिटी फलन को अधिकतम करने की आवश्यकता होती है

\ln {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2})=\sum _{i=1}^{n}\ln f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})=-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {n}{2}}\ln \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.

$\mu$ और $\sigma ^{2}$ के संबंध में अवकलन लेने और पहले क्रम की स्थितियों की परिणामी प्रणाली को हल करने से अधिकतम प्रायिकता अनुमान प्राप्त होता है,

{\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.

नमूना मतलब

एस्टीमेटर $\mu$ को नमूना माध्य कहा जाता है, क्योंकि यह सभी अवलोकनों का अंकगणितीय माध्य है। आँकड़ा $x$ , $\mu$ के लिए पूर्ण और पर्याप्त है और इसलिए लेहमैन-शेफ़े प्रमेय के अनुसार $\mu$ समान रूप से न्यूनतम विचरण निष्पक्ष (यूएमवीयू) एस्टीमेटर है।.^[43] परिमित नमूनों में यह सामान्य रूप से वितरित किया जाता है:

{\hat {\mu }}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n).

इस एस्टीमेटर का प्रसरण व्युत्क्रम फिशर सूचना आव्यूह $I-1$ के μμ-तत्व के बराबर है। इसका तात्पर्य है कि एस्टीमेटर परिमित नमूना कुशल रूप में होते है। इस प्रकार व्यावहारिक महत्व का तथ्य यह है कि $\mu$ की मानक त्रुटि (सांख्यिकी) $1/{\sqrt {n}}$ के समानुपातिक होता है, अर्थात यदि कोई मानक त्रुटि को 10 के गुणक से घटाना चाहता है, तो उसे नमूने में अंकों की संख्या 100 के गुणक से बढ़ानी होती है। यह तथ्य जनमत सर्वेक्षणों के लिए नमूना आकार और मोंटे कार्लो सिमुलेशन में परीक्षणों की संख्या को निर्धारित करने में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

ऐसिम्टाटिक सिद्धांत (सांख्यिकी) के दृष्टिकोण से $\mu$ संगत एस्टीमेटर है, अर्थात, यह प्रायिकता में अभिसरण $\mu$ के रूप में है, जैसा $n\rightarrow \infty$ . एस्टीमेटर भी ऐसिम्टाटिक सामान्यता है, जो इस तथ्य का एक सरल परिणाम है कि यह परिमित नमूनों में सामान्य है:

{\sqrt {n}}({\hat {\mu }}-\mu )\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}).

नमूना वेरिएंस

एस्टीमेटर <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:0 >\textstyle\hat\sigma^2</math> को नमूना प्रसरण कहा जाता है, क्योंकि यह नमूने का प्रसरण है ( गणित>(x_1, \ldots, x_n)</गणित>)। व्यवहार में, <गणित शैली = लंबवत-संरेखण: 0>\textstyle\hat\sigma^2</math> के अतिरिक्त अधिकांशतः एक अन्य एस्टीमेटर का उपयोग किया जाता है। यह अन्य एस्टीमेटर निरूपित है $s^{2}$ , और इसे नमूना वेरिएंस भी कहा जाता है, जो शब्दावली में एक निश्चित अस्पष्टता का प्रतिनिधित्व करता है; इसका वर्गमूल $s$ नमूना मानक विचलन कहा जाता है। एस्टीमेटर $s^{2}$ <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:0 >\textstyle\hat\sigma^2</math> से भिन्न है (n − 1) भाजक में n के अतिरिक्त (तथाकथित बेसेल का सुधार):

s^{2}={\frac {n}{n-1}}{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.

बीच में अंतर $s^{2}$ और <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:0 >\textstyle\hat\sigma^2</math> बड़े n के लिए नगण्य रूप से छोटा हो जाता है'एस। चूंकि परिमित नमूनों में, के उपयोग के पीछे की प्रेरणा $s^{2}$ यह है कि यह अंतर्निहित पैरामीटर का निष्पक्ष एस्टीमेटर है $\sigma ^{2}$ , जबकि <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:0 >\textstyle\hat\sigma^2</math> पक्षपातपूर्ण है। इसके अतिरिक्त , लेहमन-शेफ़े प्रमेय द्वारा एस्टीमेटर गणित> एस ^ 2 </ गणित> समान रूप से न्यूनतम भिन्नता निष्पक्ष है (न्यूनतम-भिन्नता निष्पक्ष अनुमानक),^[43]जो इसे सभी निष्पक्ष लोगों के बीच सबसे अच्छा एस्टीमेटर बनाता है। चूंकि यह दिखाया जा सकता है कि पक्षपाती एस्टीमेटर <गणित शैली = लंबवत-संरेखण: 0>\textstyle\hat\sigma^2</math> से अच्छे से है गणित> एस ^ 2 </ गणित> औसत चुकता त्रुटि (एमएसई) मानदंड के संदर्भ में। परिमित नमूनों में दोनों गणित>s^2</math> और <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:0 >\textstyle\hat\sigma^2</math> के साथ स्केल किया हुआ ची-वर्ग वितरण है (n − 1) स्वतंत्र की कोटियां:

s^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\cdot \chi _{n-1}^{2},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot \chi _{n-1}^{2}.

इन भावों में से पहला दर्शाता है कि का वेरिएंस $s^{2}$ के बराबर है $2\sigma ^{4}/(n-1)$ , जो उलटा फ़िशर सूचना आव्यूह <गणित शैली = लंबवत-संरेखण: 0>\textstyle\mathcal{I}^{-1}</math> के σσ-तत्व से थोड़ा अधिक है। इस प्रकार, $s^{2}$ के लिए एक कुशल आकलनकर्ता नहीं है $\sigma ^{2}$ , और इसके अतिरिक्त , चूंकि $s^{2}$ UMVU है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परिमित-नमूना कुशल एस्टीमेटर के लिए $\sigma ^{2}$ उपस्थित नहीं होना।

ऐसिम्टाटिक सिद्धांत को प्रयुक्त करना, दोनों एस्टीमेटर $s^{2}$ और <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:0 >\textstyle\hat\sigma^2</math> संगत हैं, अर्थात वे प्रायिकता में अभिसरण करते हैं गणित>\sigma^2</math> नमूना आकार के रूप में गणित>n\rightarrow\infty</math>. दो एस्टीमेटर भी दोनों ऐसिम्टाटिक रूप से सामान्य हैं:

{\sqrt {n}}({\hat {\sigma }}^{2}-\sigma ^{2})\simeq {\sqrt {n}}(s^{2}-\sigma ^{2})\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{4}).

विशेष रूप से, दोनों एस्टीमेटर विषम रूप से कुशल हैं $\sigma ^{2}$ .

कॉन्फिडेंस अंतराल

कोचरन के प्रमेय के अनुसार, सामान्य वितरण के लिए नमूने का मतलब <गणित शैली= लंबवत-संरेखण:-.3em >\textstyle\hat\mu</math> और नमूना प्रसरण s² स्वतंत्र ( प्रायिकता सिद्धांत) हैं, जिसका अर्थ है कि उनके संयुक्त वितरण पर विचार करने से कोई लाभ नहीं हो सकता है। एक विलोम प्रमेय भी है: यदि एक नमूने में नमूना माध्य और नमूना वेरिएंस स्वतंत्र हैं, तो नमूना सामान्य वितरण से आया होता है । तथाकथित टी-सांख्यिकी के निर्माण के लिए <गणित शैली = ऊर्ध्वाधर-संरेखण: -3em>\textstyle\hat\mu</math> और s के बीच की स्वतंत्र को नियोजित किया जा सकता है:

गणित>

 t = \frac{\hat\mu-\mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{1}{n(n-1) )}\sum(x_i-\overline{x})^2}} \sim t_{n-1}
 </ गणित>

इस क्वांटाइल t में छात्र का t-वितरण है (n − 1) स्वतंत्र की डिग्री, और यह एक सहायक आँकड़ा है (पैरामीटर के मान से स्वतंत्र)। इस t-सांख्यिकी के वितरण को बदलने से हमें μ के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल का निर्माण करने की अनुमति मिलेगी;^[44] इसी तरह, χ को उल्टा करना² आँकड़ों का वितरण ² हमें σ के लिए कॉन्फ़िडेंस इंटरवल देगा²:^[45]

\mu \in \left[{\hat {\mu }}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {1}{\sqrt {n}}}s,{\hat {\mu }}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {1}{\sqrt {n}}}s\right],

\sigma ^{2}\in \left[{\frac {(n-1)s^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}},{\frac {(n-1)s^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}\right],

जहां टी_k,pऔर χ 2
k,p t- और χ के pth मात्राएँ हैं²-वितरण क्रमशः। ये कॉन्फिडेंस इंटरवल आत्मकॉन्फिडेंस स्तर के होते हैं 1 − α, जिसका अर्थ है कि सच्चे मान μ और σ² प्रायिकता (या सार्थकता स्तर) α के साथ इन अंतरालों के बाहर आते हैं। व्यवहार में लोग सामान्यतः लेते हैं α = 5%, जिसके परिणामस्वरूप 95% कॉन्फिडेंस अंतराल होता है।

अनुमानित सूत्र $\textstyle {\hat {\mu }}$ और s के असिम्प्टोटिक वितरण से प्राप्त किए जा सकते हैं।²:

\mu \in \left[{\hat {\mu }}-|z_{\alpha /2}|{\frac {1}{\sqrt {n}}}s,{\hat {\mu }}+|z_{\alpha /2}|{\frac {1}{\sqrt {n}}}s\right],

\sigma ^{2}\in \left[s^{2}-|z_{\alpha /2}|{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {n}}}s^{2},s^{2}+|z_{\alpha /2}|{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {n}}}s^{2}\right],

अनुमानित सूत्र n के बड़े मानों के लिए मान्य हो जाते हैं, और मानक सामान्य क्वांटाइल्स z के बाद से मैन्युअल गणना के लिए अधिक सुविधाजनक होते हैं_α/2 एन पर निर्भर न हों। विशेष रूप से, का सबसे लोकप्रिय मान α = 5%, का परिणाम |z_0.025| = 1.96.

सामान्यता परीमोमेंट

सामान्यता परीमोमेंट इस प्रायिकता का आकलन करते हैं कि दिए गए डेटा सेट {x₁, ..., एक्स_n} सामान्य वितरण से आता है। आम तौर पर अशक्त हाइपोथिसिस एच₀ यह है कि प्रेमोमेंट सामान्य रूप से अनिर्दिष्ट माध्य μ और वेरिएंस σ के साथ वितरित किए जाते हैं², बनाम वैकल्पिक H_aकि वितरण यादृच्छिक है। इस समस्या के लिए कई परीमोमेंट (40 से अधिक) तैयार किए गए हैं। उनमें से अधिक प्रमुख नीचे उल्लिखित हैं:

'नैदानिक प्लॉट' अधिक सहज रूप से आकर्षक लेकिन एक ही समय में व्यक्तिपरक होते हैं, क्योंकि वे अशक्त हाइपोथिसिस को स्वीकार या अस्वीकार करने के लिए अनौपचारिक मानवीय निर्णय पर भरोसा करते हैं।

q -q प्लॉट, जिसे सामान्य प्रायिकता प्लॉट या रैंकिट प्लॉट के रूप में भी जाना जाता है - मानक सामान्य वितरण से संबंधित मात्राओं के अपेक्षित मानों के विरुद्ध डेटा सेट से क्रमबद्ध मानों का एक प्लॉट है। यही है, यह फॉर्म के बिंदु का एक प्लॉट है (Φ^-1(पृ_k), एक्स_(k)), जहां प्लॉटिंग पॉइंट पी_kपी के बराबर हैं_k= (k − α)/(n + 1 − 2α) और α एक समायोजन स्टेबल ांक है, जो 0 और 1 के बीच कुछ भी हो सकता है। यदि शून्य हाइपोथिसिस सत्य है, तो प्लॉट किए गए बिंदुओं को लगभग एक सीधी रेखा पर स्थित होना चाहिए।
पी-पी प्लॉट - q -q प्लॉट के समान, लेकिन बहुत कम बार उपयोग किया जाता है। इस पद्धति में बिंदुओं की साजिश रचने के होते हैं (Φ(z_(k)), पी_k), जहाँ $\textstyle z_{(k)}=(x_{(k)}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }}$ . सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए यह प्लॉट (0, 0) और (1, 1) के बीच 45° रेखा पर स्थित होना चाहिए।

अच्छाई के योग्य परीमोमेंट :

मोमेंट -आधारित परीमोमेंट :

डी'ऑगस्टिनो का के-स्क्वेर्ड परीमोमेंट
जर्क-बेरा परीमोमेंट
शापिरो-विल्क परीमोमेंट : यह इस तथ्य पर आधारित है कि q -q प्लॉट में रेखा का ढलान σ है। परीमोमेंट नमूना वेरिएंस के मान के साथ उस ढलान के कम से कम वर्गों के अनुमान की तुलना करता है, और यदि ये दो मात्राएँ महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हैं, तो अशक्त हाइपोथिसिस को अस्वीकार कर देता है।

प्रयोगसिद्ध वितरण फलन के आधार पर परीमोमेंट :

एंडरसन-डार्लिंग परीमोमेंट
लिलिफ़ोर्स परीमोमेंट (कोल्मोगोरोव-स्मिर्नोव परीमोमेंट का एक रूपांतर)

सामान्य वितरण का बायेसियन विश्लेषण

सामान्य रूप से वितरित डेटा का बायेसियन विश्लेषण कई भिन्न -भिन्न संभावनाओं से सम्मिश्र है जिन पर विचार किया जा सकता है:

या तो माध्य, या प्रसरण, या दोनों में से किसी को भी निश्चित क्वांटाइल नहीं माना जा सकता है।
जब भिन्नता अज्ञात होती है, तो विश्लेषण सीधे भिन्नता के संदर्भ में, या परिशुद्धता (सांख्यिकी), भिन्नता के पारस्परिक के संदर्भ में किया जा सकता है। सूत्रों को सटीकता के रूप में व्यक्त करने का कारण यह है कि अधिकांश स्थितियो का विश्लेषण सरल है।
दोनों अविभाज्य और बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण स्थितियो पर विचार करने की आवश्यकता है।
अज्ञात चर पर या तो संयुग्म पूर्व या अनुचित पूर्व वितरण रखा जा सकता है।
बायेसियन रैखिक प्रतिगमन में स्थितियो का एक अतिरिक्त सेट होता है, जहां मूल मॉडल में डेटा को सामान्य रूप से वितरित माना जाता है, और सामान्य पुजारियों को प्रतिगमन गुणांक पर रखा जाता है। परिणामी विश्लेषण स्वतंत्र रूप से वितरित डेटा के मूल स्थितियो के समान है।

गैर-रैखिक-प्रतिगमन स्थितियो के सूत्रों को संयुग्मित पूर्व लेख में संक्षेपित किया गया है।

दो द्विघातों का योग

अदिश रूप

निम्नलिखित सहायक सूत्र पश्च वितरण अद्यतन समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोगी है, जो अन्यथा बहुत कठिन हो जाते हैं।

a(x-y)^{2}+b(x-z)^{2}=(a+b)\left(x-{\frac {ay+bz}{a+b}}\right)^{2}+{\frac {ab}{a+b}}(y-z)^{2}

यह समीकरण वर्गों का विस्तार करके, x में पदों को समूहित करके, और वर्ग को पूरा करके x में दो द्विघातों के योग को फिर से लिखता है। कुछ शर्तों से जुड़े सम्मिश्र निरंतर कारकों के बारे में निम्नलिखित पर ध्यान दें:

कारण ${\frac {ay+bz}{a+b}}$ y और z के भारित औसत का रूप है।
${\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}=(a^{-1}+b^{-1})^{-1}.$ इससे पता चलता है कि इस कारक को एक ऐसी स्थिति के परिणामस्वरूप माना जा सकता है जहां मात्राओं के गुणक व्युत्क्रम a और b सीधे जुड़ते हैं, इसलिए a और b को संयोजित करने के लिए, परिणाम को फिर से प्राप्त करना, जोड़ना और पुनः प्राप्त करना आवश्यक है। मूल इकाइयाँ। यह अच्छे उसी तरह का ऑपरेशन है जो अनुकूल माध्य द्वारा किया जाता है, इसलिए यह आश्चर्यजनक नहीं है ${\frac {ab}{a+b}}$ a और b का आधा हार्मोनिक माध्य है।

सदिश रूप

दो सदिश चतुष्कोणों के योग के लिए एक समान सूत्र लिखा जा सकता है: यदि x, y, z लंबाई k के सदिश हैं, और A और B सममित आव्यूह हैं, आकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूह $k\times k$ , तब

{\begin{aligned}&(\mathbf {y} -\mathbf {x} )'\mathbf {A} (\mathbf {y} -\mathbf {x} )+(\mathbf {x} -\mathbf {z} )'\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {z} )\\={}&(\mathbf {x} -\mathbf {c} )'(\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {x} -\mathbf {c} )+(\mathbf {y} -\mathbf {z} )'(\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {B} ^{-1})^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {z} )\end{aligned}}

जहाँ

\mathbf {c} =(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {B} \mathbf {z} )

ध्यान दें कि रूप x′ A x को द्विघात रूप कहा जाता है और यह एक अदिश (गणित) है:

\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {x} =\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}

दूसरे शब्दों में, यह x से तत्वों के जोड़े के उत्पादों के सभी संभावित संयोजनों को जोड़ता है, प्रत्येक के लिए एक भिन्न गुणांक के साथ। इसके अतिरिक्त , चूंकि $x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}$ , केवल योग $a_{ij}+a_{ji}$ ए के किसी भी ऑफ-डायगोनल तत्वों के लिए मायने रखता है, और यह मानने में व्यापकता का कोई नुकसान नहीं है कि ए सममित आव्यूह है। इसके अतिरिक्त , यदि ए सममित है, तो फॉर्म $\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {y} =\mathbf {y} '\mathbf {A} \mathbf {x} .$

माध्य से भिन्नताओं का योग

एक अन्य उपयोगी सूत्र इस प्रकार है:

\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}

जहाँ

{\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}

ज्ञात वेरिएंस के साथ

i.i.d के एक सेट के लिए सामान्य रूप से वितरित डेटा बिंदु X का आकार n है जहां प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु x अनुसरण करता है $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ज्ञात वेरिएंस σ के साथ², संयुग्म पूर्व वितरण भी सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।

प्रसरण को परिशुद्धता (सांख्यिकी) के रूप में फिर से लिखकर, अर्थात τ = 1/σ का उपयोग करके इसे अधिक आसानी से दिखाया जा सकता है^{2</उप>। तो यदि $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1/\tau )$ और $\mu \sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},1/\tau _{0}),$ हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं।}

सबसे पहले, प्रायिकता फलन है (उपरोक्त सूत्र का उपयोग माध्य से मतभेदों के योग के लिए):

{\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\tau )&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right].\end{aligned}}

फिर, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

\begin{aligned} p (μ ∣ X) & \propto p (X ∣ μ) p (μ) \\ = {(\frac{τ}{2 π})}^{n / 2} \exp [- \frac{1}{2} τ (\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} + n {(\bar{x} - μ)}^{2})] \sqrt{\frac{τ_{0}}{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} τ_{0} {(μ - μ_{0})}^{2}) \\ \propto \exp (- \frac{1}{2} (τ (\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} + n {(\bar{x} - μ)}^{2}) + τ_{0} {(μ - μ_{0})}^{2})) \\ \propto \exp (- \frac{1}{2} (n τ {(\bar{x} - μ)}^{2} + τ_{0} {(μ - μ_{0})}^{2})) \\ = \exp (- \frac{1}{2} (n τ + τ_{0}) (μ - n τ \bar{x} + \end{aligned}

उपरोक्त अवकलज में, हमने दो द्विघातों के योग के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया और μ को सम्मलित न करने वाले सभी स्टेबल कारकों को हटा दिया। परिणाम औसत के साथ सामान्य वितरण का कर्नेल (सांख्यिकी) है

{\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}

और सटीकता

n\tau +\tau _{0}

, अर्थात।

p(\mu \mid \mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}},{\frac {1}{n\tau +\tau _{0}}}\right)

इसे पूर्व पैरामीटर के संदर्भ में पश्च पैरामीटर के लिए बायेसियन अद्यतन समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखा जा सकता है:

{\begin{aligned}\tau _{0}'&=\tau _{0}+n\tau \\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}

अर्थात nτ की कुल सटीकता के साथ n डेटा बिंदुओं को संयोजित करने के लिए (या समकक्ष, n/σ का कुल प्रसरण²) और मानों का माध्य ${\bar {x}}$ , डेटा की कुल सटीकता को पूर्व कुल परिशुद्धता में जोड़कर एक नई कुल सटीकता प्राप्त करें, और एक सटीक-भारित औसत के माध्यम से एक नया मतलब बनाएं, अर्थात डेटा का भारित औसत और पूर्व माध्य, प्रत्येक द्वारा भारित संबंधित कुल परिशुद्धता। यह तार्किक समझ में आता है यदि सटीकता को टिप्पणियों की निश्चितता के संकेत के रूप में माना जाता है: पश्च माध्य के वितरण में, प्रत्येक इनपुट घटक को इसकी निश्चितता से भारित किया जाता है, और इस वितरण की निश्चितता व्यक्तिगत निश्चितताओं का योग है . (इसके अंतर्ज्ञान के लिए, अभिव्यक्ति की तुलना करें (या नहीं है) इसके भागों के योग से अधिक है। इसके अतिरिक्त , विचार करें कि पश्च का ज्ञान पूर्व और प्रायिकता के ज्ञान के संयोजन से आता है, इसलिए यह समझ में आता है कि हम इसके किसी भी घटक की तुलना में इसके बारे में अधिक निश्चित हैं।)

उपरोक्त सूत्र से पता चलता है कि सटीकता के संदर्भ में सामान्य वितरण के लिए संयुग्मित पुरोहितों का बायेसियन विश्लेषण करना अधिक सुविधाजनक क्यों है। पश्च परिशुद्धता केवल पूर्व और प्रायिकता की सटीकता का योग है, और पश्च माध्य की गणना एक सटीक-भारित औसत के माध्यम से की जाती है, जैसा कि ऊपर वर्णित है। समान सूत्रों को वेरिएंस के रूप में लिखा जा सकता है, सभी पूर्वसूचकों का आदान-प्रदान करके, अधिक कुरूप सूत्रों का जनरेटिंग किया जा सकता है

{\begin{aligned}{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {1}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {{\frac {n{\bar {x}}}{\sigma ^{2}}}+{\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}

ज्ञात माध्य के साथ

i.i.d के एक सेट के लिए सामान्य रूप से वितरित डेटा बिंदु X का आकार n है जहां प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु x अनुसरण करता है $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ज्ञात माध्य μ के साथ, वेरिएंस से पहले के संयुग्म में एक व्युत्क्रम गामा वितरण या एक स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण होता है। भिन्न -भिन्न पैरामीटर होने के अतिरिक्त दोनों समान हैं। यद्यपि प्रतिलोम गामा का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, हम सुविधा के लिए स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग का उपयोग करते हैं। σ के लिए पूर्व² इस प्रकार है:

p(\sigma ^{2}\mid \nu _{0},\sigma _{0}^{2})={\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\nu _{0}/2}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\propto {\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}

ऊपर से प्रायिकता फलन , वेरिएंस के संदर्भ में लिखा गया है:

{\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\sigma ^{2})&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}

जहाँ

S=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.

तब:

{\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \sigma ^{2})p(\sigma ^{2})\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]{\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\frac {\nu _{0}}{2}}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\\&\propto \left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{n/2}{\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}+n}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}

ऊपर भी एक स्केल्ड इनवर्स ची-स्क्वेर्ड वितरण है जहाँ

{\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\end{aligned}}

या समकक्ष

{\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu _{0}+n}}\end{aligned}}

व्युत्क्रम गामा वितरण के संदर्भ में पुनर्मान ांकन, परिणाम है:

{\begin{aligned}\alpha '&=\alpha +{\frac {n}{2}}\\\beta '&=\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\end{aligned}}

अज्ञात माध्य और अज्ञात वेरिएंस के साथ

i.i.d के एक सेट के लिए सामान्य रूप से वितरित डेटा बिंदु X का आकार n है जहां प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु x अनुसरण करता है $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ अज्ञात माध्य μ और अज्ञात वेरिएंस σ के साथ², एक संयुक्त (बहुभिन्नरूपी) संयुग्म पूर्व को माध्य और वेरिएंस पर रखा गया है, जिसमें सामान्य-उलटा-गामा वितरण सम्मलित है। तार्किक रूप से, यह निम्नानुसार उत्पन्न होता है:

अज्ञात माध्य लेकिन ज्ञात वेरिएंस वाले स्थितियो के विश्लेषण से, हम देखते हैं कि अद्यतन समीकरणों में डेटा बिंदुओं के माध्य और डेटा बिंदुओं के कुल वेरिएंस से युक्त डेटा से पर्याप्त आँकड़े सम्मलित होते हैं, जिन्हें ज्ञात से बदले में गणना की जाती है डेटा बिंदुओं की संख्या से वेरिएंस विभाजित।
अज्ञात वेरिएंस लेकिन ज्ञात माध्य वाले स्थितियो के विश्लेषण से, हम देखते हैं कि अद्यतन समीकरणों में डेटा बिंदुओं की संख्या और चुकता विचलन के योग वाले डेटा पर पर्याप्त आँकड़े सम्मलित हैं।
ध्यान रखें कि जब आगे के डेटा को हैंडल किया जाता है तो पश्च अद्यतन मान पूर्व वितरण के रूप में फलन करता है। इस प्रकार, हमें तार्किक रूप से अपने पूर्ववर्तियों के बारे में पर्याप्त आंकड़ों के संदर्भ में सोचना चाहिए, जितना संभव हो उतना समान शब्दार्थों को ध्यान में रखते हुए।
उस स्थितियो को संभालने के लिए जहां माध्य और वेरिएंस दोनों अज्ञात हैं, हम माध्य और वेरिएंस पर स्वतंत्र प्राथमिकताएं रख सकते हैं, औसत माध्य के निश्चित अनुमानों के साथ, कुल वेरिएंस , पूर्व में वेरिएंस की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले डेटा बिंदुओं की संख्या, और चुकता का योग विचलन। चूंकि ध्यान दें कि वास्तव में, माध्य का कुल वेरिएंस अज्ञात वेरिएंस पर निर्भर करता है, और चुकता विचलन का योग जो वेरिएंस में जाता है (प्रकट होता है) अज्ञात माध्य पर निर्भर करता है। व्यवहार में, बाद की निर्भरता अपेक्षाकृत महत्वहीन है: वास्तविक माध्य को स्थानांतरित करने से उत्पन्न अंक एक समान राशि से बदल जाते हैं, और औसतन चुकता विचलन समान रहेगा। चूंकि , माध्य के कुल वेरिएंस के साथ ऐसा नहीं है: जैसे ही अज्ञात वेरिएंस बढ़ता है, माध्य का कुल वेरिएंस आनुपातिक रूप से बढ़ जाएगा, और हम इस निर्भरता को पकड़ना चाहेंगे।
इससे पता चलता है कि हम अज्ञात वेरिएंस पर माध्य से पहले एक सशर्त बनाते हैं, जिसमें एक हाइपरपैरामीटर पूर्व से जुड़े छद्म-अवलोकन के माध्य को निर्दिष्ट करता है, और एक अन्य पैरामीटर छद्म-टिप्पणियों की संख्या को निर्दिष्ट करता है। यह संख्या भिन्नता पर स्केलिंग पैरामीटर के रूप में फलन करती है, जिससे वास्तविक भिन्नता पैरामीटर के सापेक्ष माध्य के समग्र भिन्नता को नियंत्रित करना संभव हो जाता है। वेरिएंस के पूर्व में भी दो हाइपरपरमेटर्स होते हैं, एक पूर्व से जुड़े छद्म-अवलोकनों के वर्ग विचलन के योग को निर्दिष्ट करता है, और दूसरा एक बार फिर से छद्म-टिप्पणियों की संख्या को निर्दिष्ट करता है। ध्यान दें कि प्रत्येक पूर्व में छद्म-अवलोकन की संख्या निर्दिष्ट करने वाला एक हाइपरपैरामीटर होता है, और प्रत्येक स्थितियो में यह उस पूर्व के सापेक्ष भिन्नता को नियंत्रित करता है। इन्हें दो भिन्न -भिन्न हाइपरपैरामीटर के रूप में दिया जाता है जिससे की दो पुरोहितों के प्रसरण (अर्थात् विश्वास) को भिन्न -भिन्न नियंत्रित किया जा सके।
यह तुरंत सामान्य-उलटा-गामा वितरण की ओर ले जाता है, जो अभी-अभी परिभाषित दो वितरण का गुणन है, जिसमें संयुग्मित पुजारियों का उपयोग किया जाता है (वेरिएंस पर एक उलटा गामा वितरण , और माध्य पर एक सामान्य वितरण , वेरिएंस पर सशर्त) और उन्हीं चार पैरामीटर के साथ अभी-अभी परिभाषित किया गया है।

प्राथमिकताओं को सामान्य रूप से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}p(\mu \mid \sigma ^{2};\mu _{0},n_{0})&\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2}/n_{0})\\p(\sigma ^{2};\nu _{0},\sigma _{0}^{2})&\sim I\chi ^{2}(\nu _{0},\sigma _{0}^{2})=IG(\nu _{0}/2,\nu _{0}\sigma _{0}^{2}/2)\end{aligned}}

अद्यतन समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं, और निम्नानुसार देखें:

{\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\\\mu _{0}'&={\frac {n_{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{n_{0}+n}}\\n_{0}'&=n_{0}+n\\\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n_{0}n}{n_{0}+n}}(\mu _{0}-{\bar {x}})^{2}\end{aligned}}

छद्म प्रेमोमेंट की संबंधित संख्या वास्तविक प्रेमोमेंट की संख्या को उनके साथ जोड़ती है। नया माध्य हाइपरपैरामीटर एक बार फिर भारित औसत है, इस बार अवलोकनों की सापेक्ष संख्या द्वारा भारित किया गया है। अंत में, के लिए अद्यतन $\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'$ ज्ञात माध्य के स्थितियो के समान है, लेकिन इस स्थितियो में चुकता विचलन का योग सही माध्य के अतिरिक्त देखे गए डेटा माध्य के संबंध में लिया जाता है, और परिणामस्वरूप एक नई अंतःक्रिया शब्द को देखभाल करने के लिए जोड़ा जाना चाहिए पूर्व और डेटा माध्य के बीच विचलन से उपजी अतिरिक्त त्रुटि स्रोत।

Proof

The prior distributions are

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} p(\mu\mid\sigma^2; \mu_0, n_0) &\sim \mathcal{N}(\mu_0,\sigma^2/n_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\frac{\sigma^2}{n_0}}} \exp\बाएं(-\frac{n_0}{2\sigma^2}(\mu-\mu_0)^2\दाएं) \\ &\propto (\sigma^2)^{-1/2} \exp\बाएं(-\frac{n_0}{2\sigma^2}(\mu-\mu_0)^2\दाएं) \\ p(\sigma^2; \nu_0,\sigma_0^2) &\sim I\chi^2(\nu_0,\sigma_0^2) = IG(\nu_0/2, \nu_0\sigma_0^2/2) \ \ &= \frac{(\sigma_0^2\nu_0/2)^{\nu_0/2}}{\Gamma(\nu_0/2)}~\frac{\exp\left[ \frac{-\nu_0 \sigma_0 ^2}{2 \sigma^2}\right]}{(\sigma^2)^{1+\nu_0/2}} \\ &\propto {(\sigma^2)^{-(1+\nu_0/2)}} \exp\बाएं[ \frac{-\nu_0 \sigma_0^2}{2 \sigma^2}\right]. \end{संरेखित करें}}

इसलिए, संयुक्त पूर्व है

गणित>\शुरू {संरेखित करें} p(\mu,\sigma^2; \mu_0, n_0, \nu_0,\sigma_0^2) &= p(\mu\mid\sigma^2; \mu_0, n_0)\,p(\sigma^2; \nu_0,\sigma_0^2) \\ &\propto (\sigma^2)^{-(\nu_0+3)/2} \exp\बाएं[-\frac 1 {2\sigma^2}\बाएं (\nu_0\sigma_0^2 + n_0(\ mu-\mu_0)^2\दाएं)\दाएं]। \end{संरेखित करें}</math>

ज्ञात विचरण के साथ उपरोक्त खंड से संभावना कार्य है:

गणित>\शुरू {संरेखित करें} p(\mathbf{X}\mid\mu,\sigma^2) &= \बाएं(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{n/2} \exp\बाएं [ -\frac{1}{2\sigma^2} \बाएं(\sum_{i=1}^n(x_i -\mu)^2\दाएं)\दाएं] \end{संरेखित करें}</math>

इसे परिशुद्धता के बजाय विचरण के रूप में लिखने पर, हमें यह मिलता है:

गणित>\शुरू {संरेखित करें} p(\mathbf{X}\mid\mu,\sigma^2) &= \बाएं(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{n/2} \exp\बाएं [ -\frac{1}{2\sigma^2} \बाएं(\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 + n(\बार{x} -\mu)^2 \सही सही] \\ &\propto {\sigma^2}^{-n/2} \exp\बाएं[-\frac{1}{2\sigma^2} \बाएं (S + n(\bar{x} -\mu) ^2\दाएं)\दाएं] \end{संरेखित करें}</math> कहाँ गणित प्रदर्शन = इनलाइन> S = \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2।</math>

इसलिए, पश्च है (हाइपरपैरामीटर को कंडीशनिंग कारकों के रूप में छोड़ना):

गणित>\शुरू {संरेखित करें} p(\mu,\sigma^2\mid\mathbf{X}) और \propto p(\mu,\sigma^2) \, p(\mathbf{X}\mid\mu,\sigma^2) \ \ & \propto (\sigma^2)^{-(\nu_0+3)/2} \exp\बाएं[-\frac{1}{2\sigma^2}\बाएं(\nu_0\sigma_0^2 + n_0 (\mu-\mu_0)^2\दाएं)\दाएं] {\सिग्मा^2}^{-n/2} \exp\बाएं[-\frac{1}{2\सिग्मा^2} \बाएं(एस + n(\bar{x} -\mu)^2\right)\right] \\ &= (\sigma^2)^{-(\nu_0+n+3)/2} \exp\बाएं[-\frac{1}{2\sigma^2}\बाएं (\nu_0\sigma_0^2 + एस + n_0(\mu-\mu_0)^2 + n(\बार{x} -\mu)^2\दाएं)\दाएं] \\ &= (\sigma^2)^{-(\nu_0+n+3)/2} \exp\बाएं[-\frac{1}{2\sigma^2}\बाएं (\nu_0\sigma_0^2 + एस + \frac{n_0 n}{n_0+n}(\mu_0-\bar{x})^2 + (n_0+n)\बाएं(\mu-\frac{n_0\mu_0 + n\bar{x} {n_0 + n}\दाएं)^2\दाएं)\दाएं] \\ & \propto (\sigma^2)^{-1/2} \exp\बाएं[-\frac{n_0+n}{2\sigma^2}\बाएं (\mu-\frac{n_0\mu_0 + n \bar{x

{n_0 + n}\right)^2\right] \\

& \quad\times (\sigma^2)^{-(\nu_0/2+n/2+1)} \exp\बाएं[-\frac{1}{2\sigma^2}\बाएं(\nu_0 \sigma_0^2 + S + \frac{n_0 n}{n_0+n}(\mu_0-\bar{x})^2\right)\right] \\ & = \mathcal{N}_{\mu\mid\sigma^2}\left(\frac{n_0\mu_0 + n\bar{x}}{n_0 + n}, \frac{\sigma^2}{ n_0+n}\दाएं) \cdot {\rm IG} _{\sigma^2}\बाएं (\frac12(\nu_0+n), \frac12\बाएं (\nu_0\sigma_0^2 + S + \frac{ n_0 n}{n_0+n}(\mu_0-\bar{x})^2\right)\right). \end{संरेखित करें}</math>

दूसरे शब्दों में, पश्च वितरण में p(μ) पर सामान्य वितरण के गुणन का रूप होता है|पी²) p(σ) पर प्रतिलोम गामा वितरण से गुना²), पैरामीटर के साथ जो उपरोक्त अद्यतन समीकरणों के समान हैं। }}

घटना और अनुप्रयोग

व्यावहारिक समस्याओं में सामान्य वितरण की घटना को मोटे तौर पर चार श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

बिल्कुल सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन ;
लगभग सामान्य कानून, उदाहरण के लिए जब इस तरह के सन्निकटन को केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा उचित ठहराया जाता है; और
वितरण सामान्य के रूप में तैयार किया गया - सामान्य वितरण किसी दिए गए माध्य और वेरिएंस के लिए अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत के साथ वितरण है।
प्रतिगमन समस्याएं - व्यवस्थित प्रभावों के बाद पाए जाने वाले सामान्य वितरण को पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से प्रतिरूपित किया गया है।

अच्छे सामान्यता

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी अवस्था में गॉसियन वितरण होता है।

भौतिकी में कुछ मात्राएँ सामान्य रूप से वितरित की जाती हैं, जैसा कि पहले जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा प्रदर्शित किया गया था। ऐसी मात्राओं के उदाहरण हैं:

एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर में जमीनी अवस्था का प्रायिकता घनत्व फलन ।
एक कण की स्थिति जो विसरण का अनुभव करती है। यदि प्रारंभ में कण एक विशिष्ट बिंदु पर स्थित है (अर्थात इसका प्रायिकता वितरण डिराक डेल्टा फलन है), तो समय टी के बाद इसका स्थान वेरिएंस टी के साथ एक सामान्य वितरण द्वारा वर्णित किया गया है, जो [[प्रसार समीकरण]] को संतुष्ट करता है ${\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,t)$ . यदि प्रारंभिक स्थान एक निश्चित घनत्व फलन द्वारा दिया गया है $g(x)$ , फिर समय टी पर घनत्व जी और सामान्य पीडीएफ का कनवल्शन है।

अनुमानित सामान्यता

लगभग सामान्य वितरण कई स्थितियों में होते हैं, जैसा कि केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा समझाया गया है। जब परिणाम कई छोटे प्रभावों से जोड़कर और स्वतंत्र रूप से फलन करता है, तो इसका वितरण सामान्य के निकटतम होता है । सामान्य सन्निकटन मान्य नहीं होता है यदि प्रअभिव्यक्ति गुणात्मक रूप से फलन करते हैं (योगात्मक के बजाय), या यदि कोई बाहरी प्रअभिव्यक्ति है जो बाकी प्रभावों की तुलना में बहुत बड़ा परिमाण है।

गिनती की समस्याओं में, जहां केंद्रीय सीमा प्रमेय में असतत-से-निरंतर सन्निकटन सम्मलित है और जहां अनंत विभाज्यता और अविघटनीय वितरण वितरण सम्मलित हैं, जैसे
- द्विपद वितरण , द्विआधारी प्रतिक्रिया चर के साथ जुड़ा हुआ है;
- पॉसन वितरण , दुर्लभ घटनाओं से जुड़ा;
ऊष्मीय विकिरण में बोस-आइंस्टीन आँकड़े हैं | बोस-आइंस्टीन वितरण बहुत कम समय के पैमाने पर, और केंद्रीय सीमा प्रमेय के कारण लंबे समय के पैमाने पर एक सामान्य वितरण ।

अनुमानित सामान्यता

फिशर के आइरिस फूल डेटा सेट से आइरिस वर्सीकलर के लिए सीमोमेंट चौड़ाई का हिस्टोग्राम, सुपरइम्पोज़्ड बेस्ट-फिटिंग नॉर्मल वितरण के साथ।

I can only recognize the occurrence of the normal curve – the Laplacian curve of errors – as a very abnormal phenomenon. It is roughly approximated to in certain distributions; for this reason, and on account for its beautiful simplicity, we may, perhaps, use it as a first approximation, particularly in theoretical investigations.
— Pearson (1901)

प्रयोगसिद्ध रूप से उस धारणा का परीमोमेंट करने के लिए सांख्यिकीय तरीके हैं; ऊपर #सामान्यता परीमोमेंट अनुभाग देखें।

जीव विज्ञान में, विभिन्न चरों के लघुगणक का सामान्य वितरण होता है, अर्थात, उनके पास एक लॉग-सामान्य वितरण होता है (पुरुष/महिला उप-जनसंख्या पर भिन्न होने के बाद), उदाहरणों सहित:
- जीवित ऊतक के आकार के माप (लंबाई, ऊंचाई, त्वचा क्षेत्र, वजन);^[46]
- वृद्धि की दिशा में जैविक नमूनों के अक्रिय उपांगों (बाल, पंजे, नाखून, दांत) की लंबाई; संभवतः पेड़ की छाल की मोटाई भी इसी श्रेणी में आती है;
- कुछ शारीरिक माप, जैसे वयस्क मनुष्यों का रक्तचाप।
वित्त में, विशेष रूप से ब्लैक-स्कोल्स मॉडल, विनिमय दरों, मान सूचकांकों और शेयर बाजार सूचकांकों के लघुगणक में परिवर्तन को सामान्य माना जाता है (ये चर चक्रवृद्धि ब्याज की तरह व्यवहार करते हैं, साधारण ब्याज की तरह नहीं, और इसलिए गुणक हैं)। बेनोइट मंडेलब्रॉट जैसे कुछ गणितज्ञों ने तर्क दिया है कि लेवी तिरछा अल्फा-स्टेबल वितरण | लॉग-लेवी वितरण , जिसमें भारी टेल्ड होती है, एक अधिक उपयुक्त मॉडल होता है , विशेष रूप से स्टॉक मार्केट क्रैश के विश्लेषण के लिए। नसीम निकोलस तालेब ने अपने फलन में वित्तीय मॉडल में होने वाले सामान्य वितरण की धारणा के उपयोग की भी आलोचना की है।
भौतिक प्रयोगों में अनिश्चितता का प्रसार अधिकांशतः सामान्य वितरण द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है। सामान्य वितरण के इस प्रयोग का अर्थ यह नहीं है कि कोई यह मान रहा है कि माप त्रुटियां सामान्य रूप से वितरित की जाती हैं, बल्कि सामान्य वितरण का उपयोग करने से त्रुटियों के माध्य और वेरिएंस के बारे में केवल ज्ञान दिया जा सकता है।^[47]
मानकीकृत परीमोमेंट (सांख्यिकी) में, परिणामों को या तो प्रश्नों की संख्या और कठिनाई (इंटेलिजेंस भागफल के रूप में) का चयन करके या सामान्य वितरण में फिट करके कच्चे परीमोमेंट स्कोर को आउटपुट स्कोर में बदलकर सामान्य वितरण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, SAT की 200-800 की पारंपरिक सीमा 500 के माध्य और 100 के मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण पर आधारित है।

फ़ाइल:FitNormDistr.tif|thumb|220px|सज्जित संचयी सामान्य वितरण अक्टूबर वर्षा के लिए, वितरण फिटिंग देखें

कई अंक सामान्य वितरण से प्राप्त होते हैं, जिनमें प्रतिशतक रैंक (प्रतिशत या मात्रा), सामान्य वक्र समकक्ष, स्टैनिन, मानक स्कोर | जेड-स्कोर और टी-स्कोर सम्मलित हैं। इसके अतिरिक्त, कुछ व्यवहारिक सांख्यिकीय प्रक्रियाएं मानती हैं कि स्कोर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं; उदाहरण के लिए, विद्यार्थी का t-परीमोमेंट |t-परीमोमेंट और प्रसरण का विश्लेषण। बेल वक्र ग्रेडिंग स्कोर के सामान्य वितरण के आधार पर संबंधित ग्रेड प्रदान करती है।
जल विज्ञान में लंबी अवधि के नदी प्रवाह या वर्षा का वितरण , उदा। मासिक और वार्षिक योग, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार अधिकांशतः व्यावहारिक रूप से सामान्य माना जाता है।^[48] CumFreq के साथ बनाई गई नीली तस्वीर, द्विपद वितरण के आधार पर 90% आत्मकॉन्फिडेंस बेल्ट दिखाते हुए अक्टूबर की बारिश के लिए सामान्य वितरण को फिट करने का एक उदाहरण दिखाती है। संचयी बारंबारता विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा के आंकड़ों को साजिश रचने की स्थिति द्वारा दर्शाया जाता है।

पद्धति संबंधी समस्याएं और सहकर्मी समीक्षा

Xoin Ioannidis का तर्क है कि सामान्य रूप से वितरित मानक विचलन का उपयोग अनुसंधान निष्कर्षों को मान्य करने के लिए मानकों के रूप में उन घटनाओं के बारे में मिथ्यात्व छोड़ देता है जो सामान्य रूप से वितरित नहीं होते हैं। इसमें सम्मलित हैं, उदाहरण के लिए, ऐसी घटनाएँ जो केवल तब प्रकट होती हैं जब सभी आवश्यक शर्तें उपस्थित होती हैं और एक दूसरे के लिए एक अतिरिक्त तरीके से और ऐसी घटनाओं का विकल्प नहीं हो सकता है जो यादृच्छिक रूप से वितरित नहीं होती हैं। Ioannidis का तर्क है कि मानक विचलन-केंद्रित सत्यापन परिकल्पनाओं और सिद्धांतों को वैधता का एक झूठा रूप देता है जहां कुछ लेकिन सभी गलत भविष्यवाणियां सामान्य रूप से वितरित नहीं की जाती हैं क्योंकि गलत अनुमानों के हिस्से के बाद से सबूत हो सकता है और कुछ स्थितियो में गैर-सामान्य रूप से हो सकता है मिथ्याकरणीय भविष्यवाणियों की श्रेणी के वितरित हिस्से, साथ ही निराधार रूप से उन परिकल्पनाओं को खारिज करना जिनके लिए कोई भी मिथ्यापूर्ण भविष्यवाणियां सामान्य रूप से वितरित नहीं की जाती हैं जैसे कि वे असत्य थीं जब वास्तव में वे मिथ्यावाचक भविष्यवाणियां करती हैं। Ioannidis द्वारा यह तर्क दिया जाता है कि अनुसंधान पत्रिकाओं द्वारा मान्यता प्राप्त पारस्परिक रूप से अनन्य सिद्धांतों के कई स्थितियो गैर-सामान्य रूप से वितरित भविष्यवाणियों के प्रयोगसिद्ध मिथ्याकरण में पत्रिकाओं की विफलता के कारण होते हैं, और इसलिए नहीं कि पारस्परिक रूप से अनन्य सिद्धांत सत्य हैं, जो वे नहीं कर सकते हो सकता है, चूंकि दो परस्पर अनन्य सिद्धांत दोनों गलत हो सकते हैं और तीसरा सही हो सकता है।^[49]

कम्प्यूटेशनल तरीके

सामान्य वितरण से मान उत्पन्न करना

बीन मशीन, फ्रांसिस गैल्टन द्वारा आविष्कृत एक उपकरण, को सामान्य यादृच्छिक चर का पहला जनरेटर कहा जा सकता है। इस मशीन में पिनों की इंटरलीव्ड पंक्तियों के साथ एक वर्टिकल बोर्ड होता है। छोटी गेंदों को ऊपर से गिराया जाता है और फिर पिनों से टकराते ही बेतरतीब ढंग से बाएँ या दाएँ उछलते हैं। गेंदों को नीचे डिब्बे में एकत्र किया जाता है और गॉसियन वक्र के समान पैटर्न में व्यवस्थित किया जाता है।

कंप्यूटर सिमुलेशन में, विशेष रूप से मोंटे-कार्लो पद्धति के अनुप्रयोगों में, सामान्य रूप से वितरित मानों को उत्पन्न करना अधिकांशतः वांछनीय होता है। नीचे सूचीबद्ध सभी एल्गोरिदम मानक सामान्य विचलन उत्पन्न करते हैं, क्योंकि a $N (μ, σ 2)$ के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है $X = μ + σZ$ , जहां Z मानक सामान्य है। ये सभी एल्गोरिदम एक समान वितरण (निरंतर) यादृच्छिक चर उत्पन्न करने में सक्षम एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर यू की उमोमेंट ब्धता पर भरोसा करते हैं।

सबसे सीधी विधि प्रायिकता अभिन्न परिवर्तन प्रॉपर्टी पर आधारित है: यदि U को (0,1) पर समान रूप से वितरित किया जाता है, तो Φ⁻¹(U) का मानक सामान्य वितरण होता है । इस पद्धति का दोष यह है कि यह प्रोबिट फलन Φ की गणना पर निर्भर करता है^-1, जो विश्लेषणात्मक रूप से नहीं किया जा सकता। में कुछ अनुमानित विधियों का वर्णन किया गया है Hart (1968) और त्रुटि फलन आलेख में। विचुरा इस फलन को 16 दशमलव स्थानों पर गणना करने के लिए एक तेज़ एल्गोरिद्म देता है,^[50] जिसका उपयोग आर प्रोग्रामिंग भाषा द्वारा सामान्य वितरण के यादृच्छिक चर की गणना करने के लिए किया जाता है।
इरविन-हॉल वितरण #सामान्य वितरण का अनुमान लगाना|एक आसान-से-प्रोग्राम अनुमानित दृष्टिकोण जो केंद्रीय सीमा प्रमेय पर निर्भर करता है, इस प्रकार है: 12 समान U(0,1) विचलन उत्पन्न करें, उन सभी को जोड़ें, और 6 घटाएं - परिणामी यादृच्छिक चर का लगभग मानक सामान्य वितरण होता है । वास्तव में, वितरण इरविन-हॉल वितरण होता है | इरविन-हॉल, जो सामान्य वितरण के लिए 12-खंड ग्यारहवें-क्रम बहुपद सन्निकटन है। इस यादृच्छिक विचलन की सीमित सीमा (-6, 6) होगी।^[51] ध्यान दें कि एक सामान्य सामान्य वितरण में, सभी नमूनों का केवल 0.00034% ±6σ से बाहर होता है ।
बॉक्स-मुलर रूपांतरण | बॉक्स-मुलर विधि दो स्वतंत्र यादृच्छिक संख्या यू और वी (0,1) पर वितरित समान वितरण (निरंतर) का उपयोग करती है। फिर दो यादृच्छिक चर X और Y $X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V),\qquad Y={\sqrt {-2\ln U}}\,\sin(2\pi V).$ दोनों का मानक सामान्य वितरण होता है , और स्वतंत्र होगी ( प्रायिकता सिद्धांत)। यह सूत्रीकरण इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि द्विभाजित सामान्य यादृच्छिक सदिश (X, Y) के लिए चुकता मानदंड $X 2 + Y 2$ स्वतंत्र की दो डिग्री के साथ ची-वर्ग वितरण होता है , जो इन समीकरणों में -2ln(U) क्वांटाइल के अनुरूप आसानी से उत्पन्न घातांक वितरण है और कोण को चक्र के चारों ओर समान रूप से वितरित किया जाता है, जिसे यादृच्छिक चर V द्वारा चुना जाता है।
मार्सग्लिया ध्रुवीय विधि बॉक्स-मुलर विधि का एक संशोधन है जिसमें साइन और कोसाइन फलन की गणना की आवश्यकता नहीं होती है। इस विधि में, U और V एकसमान (−1,1) वितरण से निकाले जाते हैं, और फिर $S = U 2 + V 2$ गणना की जाती है। यदि S 1 से अधिक या बराबर है, तो विधि फिर से शुरू होती है, अन्यथा दो मात्राएँ $X=U{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}},\qquad Y=V{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}}$ वापस कर दिए जाते हैं। दोबारा, एक्स और वाई स्वतंत्र, मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं।
अनुपात विधि^[52] अस्वीकृति पद्धति है। एल्गोरिथ्म निम्नानुसार आगे बढ़ता है:
- दो स्वतंत्र वर्दी यू और वी उत्पन्न करें;
- कंप्यूट एक्स = √8/e (वी - 0.5)/यू;
- वैकल्पिक: यदि X² ≤ 5 − 4e^1/4यू फिर एक्स को स्वीकार करते हैं और एल्गोरिथम को समाप्त करते हैं;
- वैकल्पिक: यदि X² ≥ 4e^{-1.35/U + 1.4 फिर X को अस्वीकार करें और चरण 1 से शुरू करें;}
- यदि एक्स² ≤ −4 lnU फिर X को स्वीकार करें, अन्यथा एल्गोरिथम पर प्रारंभ करें।
दो वैकल्पिक चरण अंतिम चरण में लघुगणक के मान ांकन की अनुमति देते हैं, जिससे अधिकांश स्थितियो में बचा जा सकता है। इन कदमों में बहुत सुधार किया जा सकता है^[53] जिससे की लघुगणक का मान ांकन विरले ही किया जा सके।
ज़िगगुरैट एल्गोरिथम^[54] बॉक्स-मुलर रूपांतरण से तेज़ है और अभी भी अच्छे है। लगभग 97% स्थितियो में यह केवल दो यादृच्छिक संख्याओं, एक यादृच्छिक पूर्णांक और एक यादृच्छिक वर्दी, एक गुणन और एक if-test का उपयोग करता है। केवल 3% स्थितियो में, जहां उन दोनों का संयोजन जिगगुराट के कोर के बाहर पड़ता है (लघुगणक का उपयोग करके एक प्रकार का अस्वीकृति नमूनाकरण), घातांक करते हैं और अधिक समान यादृच्छिक संख्याओं को नियोजित करना पड़ता है।
पूर्णांक अंकगणित का उपयोग मानक सामान्य वितरण से नमूने के लिए किया जा सकता है।^[55] यह विधि इस अर्थ में अच्छे है कि यह आदर्श सन्निकटन की शर्तों को संतुष्ट करती है;^[56] अर्थात , यह मानक सामान्य वितरण से एक वास्तविक संख्या का नमूना लेने और इसे निकटतम प्रतिनिधित्व योग्य फ़्लोटिंग पॉइंट नंबर पर गोल करने के बराबर है।
कुछ जांच भी है^[57] तेजी से हैडमार्ड परिवर्तन और सामान्य वितरण के बीच संबंध में, क्योंकि परिवर्तन केवल जोड़ और घटाव को नियोजित करता है और केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा लगभग किसी भी वितरण से यादृच्छिक संख्या सामान्य वितरण में बदल दी जाएगी। इस संबंध में सामान्य रूप से वितरित डेटा में स्वैच्छिक डेटा सेट को चालू करने के लिए हैडमार्ड रूपांतरणों की एक श्रृंखला को यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन के साथ जोड़ा जा सकता है।

सामान्य सीडीएफ और सामान्य क्वांटाइल फलन के लिए संख्यात्मक अनुमान

मानक सामान्य संचयी वितरण फलन वैज्ञानिक और सांख्यिकीय कंप्यूटिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

मान Φ(x) को विभिन्न तरीकों से बहुत अच्छे रूप से अनुमानित किया जा सकता है, जैसे कि संख्यात्मक एकीकरण, टेलर श्रृंखला, एसिम्प्टोटिक श्रृंखला और गॉस का निरंतर अंश # Kummer के कॉन्फ़्लूएंट हाइपरजियोमेट्रिक फलन का। सटीकता के वांछित स्तर के आधार पर विभिन्न अनुमानों का उपयोग किया जाता है।

Zelen & Severo (1964) पूर्ण त्रुटि के साथ x > 0 के लिए Φ(x) का सन्निकटन दें $| ε (x) | < 7.5\cdot10 -8$ (एल्गोरिदम 26.2.17): $\Phi (x)=1-\varphi (x)\left(b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+b_{4}t^{4}+b_{5}t^{5}\right)+\varepsilon (x),\qquad t={\frac {1}{1+b_{0}x}},$ जहां ϕ(x) मानक सामान्य PDF है, और b₀ = 0.2316419, बी₁ = 0.319381530, बी₂ = -0.356563782, ख₃ = 1.781477937, बी₄ = -1.821255978, ख₅ = 1.330274429.
Hart (1968) कुछ दर्जनों अनुमानों को सूचीबद्ध करता है - तर्कसंगत फलन के माध्यम से, घातांक के साथ या बिना - के लिए erfc() फलन । उनके एल्गोरिदम 24 अंकों की अधिकतम पूर्ण सटीकता के साथ सम्मिश्र ता की डिग्री और परिणामी सटीकता में भिन्न होते हैं। द्वारा एक एल्गोरिथ्म West (2009) 16 अंकों की सटीकता के साथ एक तेज संगणना एल्गोरिदम प्रदान करने के लिए टेल में एक निरंतर अंश सन्निकटन के साथ हार्ट के एल्गोरिथ्म 5666 को जोड़ता है।
Cody (1969) याद करने के बाद Hart68 समाधान erf के लिए अनुकूल नहीं है, erf और erfc दोनों के लिए एक समाधान देता है, तर्कसंगत फलन के माध्यम से अधिकतम सापेक्ष त्रुटि सीमा के साथ।
Marsaglia (2004) एक सरल एल्गोरिथ्म का सुझाव दिया^{[note 1]} टेलर श्रृंखला विस्तार के आधार पर $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots \right)$ गणना के लिए $Φ(x)$ यादृच्छिक ढंग से सटीकता के साथ। इस एल्गोरिदम की कमी अपेक्षाकृत धीमी गणना समय है (उदाहरण के लिए 16 अंकों की सटीकता के साथ फलन की गणना करने के लिए 300 से अधिक पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है जब $x = 10$ ).
जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय हार्ट के एल्गोरिदम और चेबिशेव बहुपदों के साथ सन्निकटन का उपयोग करके मानक सामान्य सीडीएफ के मानों की गणना करती है।

नॉइज़ (1982) ने सरल सन्निकटन पेश किए जिन्हें इंजीनियरिंग और संचालन अनुसंधान के स्टोकेस्टिक अनुकूलन मॉडल में सम्मलित किया जा सकता है, जैसे विश्वसनीयता इंजीनियरिंग और इन्वेंट्री विश्लेषण। दर्शाने $p = Φ(z)$ क्वांटाइल फलन के लिए सबसे सरल सन्निकटन है:

z=\Phi ^{-1}(p)=5.5556\left[1-\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{0.1186}\right],\qquad p\geq 1/2

यह सन्निकटन z के लिए 0.026 की अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि प्रदान करता है (के लिए

0.5 \leq p \leq 0.9999

, तदनुसार

0 \leq z \leq 3.719

). के लिए

p < 1/2

p से बदलें

1 - p

और परिवर्तन चिह्न। एक और सन्निकटन, कुछ हद तक कम सटीक, एकल-पैरामीटर सन्निकटन है:

z=-0.4115\left\{{\frac {1-p}{p}}+\log \left[{\frac {1-p}{p}}\right]-1\right\},\qquad p\geq 1/2

उत्तरार्द्ध ने सामान्य वितरण के नुकसान अभिन्न के लिए एक सरल सन्निकटन प्राप्त करने का काम किया था, जिसे परिभाषित किया गया था

{\begin{aligned}L(z)&=\int _{z}^{\infty }(u-z)\varphi (u)\,du=\int _{z}^{\infty }[1-\Phi (u)]\,du\\[5pt]L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)-z,&p<1/2,\\\\0.4115\left({\dfrac {1-p}{p}}\right),&p\geq 1/2.\end{cases}}\\[5pt]{\text{or, equivalently,}}\\L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left\{1-\log \left[{\frac {p}{1-p}}\right]\right\},&p<1/2,\\\\0.4115{\dfrac {1-p}{p}},&p\geq 1/2.\end{cases}}\end{aligned}}

यह सन्निकटन विशेष रूप से सही दूर-टेल्ड (10 की अधिकतम त्रुटि) के लिए अच्छे है^-3 z≥1.4 के लिए)। प्रतिक्रिया मॉडलिंग पद्धति (आरएमएम, शोर, 2011, 2012) के आधार पर सीडीएफ के लिए बेहद अच्छे अनुमान नॉइज़ (2005) में दिखाए गए हैं।

कुछ और सन्निकटन यहां देखे जा सकते हैं: त्रुष्टि फलन #प्राथमिक फलन के साथ सन्निकटन। विशेष रूप से, सीडीएफ के लिए पूरे डोमेन पर छोटी सापेक्ष त्रुटि $\Phi$ और क्वांटाइल फलन $\Phi ^{-1}$ साथ ही, 2008 में सर्गेई विनित्ज़की द्वारा स्पष्ट रूप से उल्टे सूत्र के माध्यम से प्राप्त किया गया है।

इतिहास

विकास

कुछ लेखक^[58]^[59] सामान्य वितरण की खोज का श्रेय अब्राहम डी मोइवरे को देते हैं, जिन्होंने 1738 में^{[note 2]} द डॉक्ट्रिन ऑफ चांस के दूसरे संस्करण में द्विपद विस्तार में गुणांक के अध्ययन में प्रकाशित $(a + b) n$ . डी मोइवर ने साबित किया कि इस विस्तार में मध्य पद का अनुमानित परिमाण है ${\textstyle 2^{n}/{\sqrt {2\pi n}}}$ , और वह यदि एम या 1/2n एक क्वांटाइल असीम रूप से महान हो, तो अनुपात का लघुगणक, जो अंतराल ℓ द्वारा मध्य से दूर एक शब्द, मध्य अवधि के लिए है, है ${\textstyle -{\frac {2\ell \ell }{n}}}$ .^[60] यद्यपि इस प्रमेय को सामान्य प्रायिकता नियम के लिए पहली अस्पष्ट अभिव्यक्ति के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, स्टीफन स्टिगलर बताते हैं कि डी मोइवर ने स्वयं अपने परिणामों की व्याख्या द्विपद गुणांकों के लिए अनुमानित नियम से अधिक कुछ भी नहीं की, और विशेष रूप से डी मोइवर में इस अवधारणा का अअभिव्यक्ति था। प्रायिकता घनत्व फलन की।^[61]

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1809 में कम से कम वर्गों की विधि को युक्तिसंगत बनाने के तरीके के रूप में सामान्य वितरण की खोज की।

1823 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपना मोनोग्राफ प्रकाशित किया थ्योरीया कॉम्बिनेशनिस ऑब्जर्वेशनम त्रुष्टि िबस मिनिमिस ऑबनोक्सिया जहां उन्होंने कई महत्वपूर्ण सांख्यिकीय अवधारणाओं को प्रस्तुत किया, जैसे कि कम से कम की विधि वर्ग, अधिकतम प्रायिकता की विधि और सामान्य वितरण । गॉस ने एम का इस्तेमाल किया, M′, M′′, ... कुछ अज्ञात क्वांटाइल V के माप को निरूपित करने के लिए, और उस क्वांटाइल के सबसे संभावित एस्टीमेटर की मांग की: वह जो प्रायिकता को अधिकतम करता है $φ (M - V) \cdot φ (M' - V) \cdot φ (M'' - V) \cdot ...$ देखे गए प्रयोगात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए। उनके अंकन में φΔ परिमाण Δ की माप त्रुटियों की प्रायिकता घनत्व फलन है। फलन φ के बारे में नहीं जानते हुए, गॉस की आवश्यकता है कि उनकी विधि को प्रसिद्ध उत्तर तक कम करना चाहिए: मापा मानों का अंकगणितीय माध्य।^{[note 3]} इन सिद्धांतों से शुरू करते हुए, गॉस दर्शाता है कि स्थान पैरामीटर के एस्टीमेटर के रूप में अंकगणितीय माध्य की पसंद को युक्तिसंगत बनाने वाला एकमात्र नियम त्रुटियों का सामान्य नियम है:^[62]

\varphi {\mathit {\Delta }}={\frac {h}{\surd \pi }}\,e^{-\mathrm {hh} \Delta \Delta },

जहाँ h प्रेमोमेंट की शुद्धता का माप है। प्रयोगों में त्रुटियों के लिए एक सामान्य मॉडल के रूप में इस सामान्य नियम का उपयोग करते हुए, गॉस तैयार करता है जिसे अब गैर-रेखीय न्यूनतम वर्ग | गैर-रैखिक भारित न्यूनतम वर्ग विधि के रूप में जाना जाता है।^[63]

पियरे-साइमन लाप्लास ने 1810 में आंकड़ों में सामान्य वितरण के महत्व को मजबूत करते हुए केंद्रीय सीमा प्रमेय को सिद्ध किया।

चूंकि गॉस सामान्य वितरण नियम का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे, पियरे साइमन डी लाप्लास ने महत्वपूर्ण योगदान दिया।^{[note 4]} यह लाप्लास था जिसने पहली बार 1774 में कई अवलोकनों को एकत्रित करने की समस्या पेश की थी,^[64] चूंकि उनके अपने समाधान ने लाप्लासियन वितरण को जन्म दिया। यह लाप्लास था जिसने सबसे पहले गॉसियन समाकलन | समाकलन के मान की गणना की थी ∫ e^−t² dt = √ $π$ 1782 में, सामान्य वितरण के लिए सामान्यीकरण स्टेबल ांक प्रदान करना।^[65] अंत में, यह लाप्लास था जिसने 1810 में मौलिक केंद्रीय सीमा प्रमेय को साबित किया और अकादमी को प्रस्तुत किया, जिसने सामान्य वितरण के सैद्धांतिक महत्व पर जोर दिया।^[66]

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि 1809 में एक आयरिश-अमेरिकी गणितज्ञ रॉबर्ट एड्रेन ने गॉस से एक साथ और स्वतंत्र रूप से सामान्य प्रायिकता नियम के दो व्यावहारिक लेकिन त्रुटिपूर्ण अवकलज प्रकाशित किए।^[67] वैज्ञानिक समुदाय द्वारा उनके फलन पर बहुत हद तक ध्यान नहीं दिया गया, जब तक कि 1871 में क्लीवलैंड एब्बे द्वारा उन्हें खोदकर नहीं निकाला गया।^[68] 19वीं शताब्दी के मध्य में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने प्रदर्शित किया कि सामान्य वितरण न केवल एक सुविधाजनक गणितीय उपकरण है, बल्कि प्राकृतिक घटनाओं में भी हो सकता है:^[69] कणों की संख्या जिसका वेग, एक निश्चित दिशा में हल किया जाता है, x और x+dx के बीच होता है

\operatorname {N} {\frac {1}{\alpha \;{\sqrt {\pi }}}}\;e^{-{\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}}\,dx

नामकरण

आज, अवधारणा को सामान्यतः अंग्रेजी में सामान्य वितरण या गाऊसी वितरण के रूप में जाना जाता है। अन्य कम सामान्य नामों में गॉस वितरण , लाप्लास-गॉस वितरण , त्रुटि का नियम, त्रुटियों की सुविधा का नियम, लाप्लास का दूसरा नियम, गॉसियन नियम सम्मलित हैं।

गॉस ने स्पष्ट रूप से इस शब्द को इसके अनुप्रयोगों में सम्मलित सामान्य समीकरणों के संदर्भ में गढ़ा था, जिसमें सामान्य के अतिरिक्त सामान्य रूप से ऑर्थोगोनल का तकनीकी अर्थ होता है।^[70] चूंकि , 19 वीं शताब्दी के अंत तक कुछ लेखक^{[note 5]} सामान्य वितरण नाम का उपयोग करना शुरू कर दिया था, जहां सामान्य शब्द को विशेषण के रूप में इस्तेमाल किया गया था - इस शब्द को अब इस तथ्य के प्रतिबिंब के रूप में देखा जा रहा है कि इस वितरण को विशिष्ट, सामान्य - और इस प्रकार सामान्य के रूप में देखा गया था। चार्ल्स सैंडर्स पियर्स (उन लेखकों में से एक) ने एक बार सामान्य को इस प्रकार परिभाषित किया था: ... 'सामान्य' वास्तव में क्या होता है इसका औसत (या किसी अन्य प्रकार का मतलब) नहीं है, लेकिन लंबे समय में, क्या होता है कुछ परिस्थितियों।^[71] 20वीं शताब्दी के अंत में कार्ल पियर्सन ने इस वितरण के लिए एक पदनाम के रूप में सामान्य शब्द को लोकप्रिय बनाया।^[72]

Many years ago I called the Laplace–Gaussian curve the normal curve, which name, while it avoids an international question of priority, has the disadvantage of leading people to believe that all other distributions of frequency are in one sense or another 'abnormal'.
— Pearson (1920)

साथ ही, यह पियर्सन ही थे जिन्होंने सबसे पहले वितरण को आधुनिक संकेतन के रूप में मानक विचलन σ के रूप में लिखा था। इसके तुरंत बाद, वर्ष 1915 में, रोनाल्ड फिशर ने सामान्य वितरण के सूत्र में स्थान पैरामीटर जोड़ा, इसे आजकल लिखे गए तरीके से व्यक्त करते हुए:

df={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ^{2}\pi }}}e^{-(x-m)^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dx.

मानक सामान्य शब्द, जो शून्य माध्य और इकाई भिन्नता के साथ सामान्य वितरण को दर्शाता है, 1950 के दशक के आसपास सामान्य उपयोग में आया, जो पी. जी. होएल (1947) द्वारा गणितीय आंकड़ों का परिचय और ए. एम. मूड (1950) द्वारा लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में दिखाई देता है। ) सांख्यिकी के सिद्धांत का परिचय .^[73]

यह भी देखें

बेट्स वितरण - इरविन-हॉल वितरण के समान, लेकिन 0 से 1 श्रेणी में वापस आ गया
बेहरेंस-फिशर समस्या - परीमोमेंट की लंबे समय से चली आ रही समस्या है कि क्या भिन्न -भिन्न प्रसरण वाले दो सामान्य नमूनों का एक ही मतलब है;
भट्टाचार्य दूरी - सामान्य वितरण के मिश्रण को भिन्न करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि
एर्डोस-केएसी प्रमेय - संख्या सिद्धांत में सामान्य वितरण की घटना पर
अधिकतम अर्ध पर पूरी चौड़ाई
गौस्सियन धुंधलापन - कनवल्शन, जो कर्नेल के रूप में सामान्य वितरण का उपयोग करता है
संशोधित आधा सामान्य वितरण ^[74] पीडीएफ के साथ $(0,\infty )$ के रूप में दिया जाता है $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$ , जहाँ $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)$ फॉक्स-राइट साई फलन को दर्शाता है।
सामान्य रूप से वितरित और असंबद्ध का अर्थ स्वतंत्र नहीं है
अनुपात सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन
पारस्परिक सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन
मानक सामान्य तालिका
स्टीन की लेम्मा
उप-गाऊसी डिस्ट्रीब्यूशन
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग
ट्वीडी वितरण - सामान्य वितरण ट्वीडी एक्सपोनेंशियल फैलाव मॉडल के फॅमिली का सदस्य है।
रैप्ड नॉर्मल वितरण - सर्कुलर डोमेन पर प्रयुक्त नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन
जेड परीमोमेंट - सामान्य वितरण का उपयोग करना

↑ For example, this algorithm is given in the article Bc programming language.
↑ De Moivre first published his findings in 1733, in a pamphlet "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b) n$ in Seriem Expansi" that was designated for private circulation only. But it was not until the year 1738 that he made his results publicly available. The original pamphlet was reprinted several times, see for example Walker (1985).
↑ "It has been customary certainly to regard as an axiom the hypothesis that if any quantity has been determined by several direct observations, made under the same circumstances and with equal care, the arithmetical mean of the observed values affords the most probable value, if not rigorously, yet very nearly at least, so that it is always most safe to adhere to it." — Gauss (1809, section 177)
↑ "My custom of terming the curve the Gauss–Laplacian or normal curve saves us from proportioning the merit of discovery between the two great astronomer mathematicians." quote from Pearson (1905, p. 189)
↑ Besides those specifically referenced here, such use is encountered in the works of Peirce, Galton (Galton (1889, chapter V)) and Lexis (Lexis (1878), Rohrbasser & Véron (2003)) c. 1875.^{[citation needed]}

संदर्भ

उद्धरण

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बाहरी संबंध

"Normal distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Normal distribution calculator

[58] For example, this algorithm is given in the article Bc programming language.

[61] De Moivre first published his findings in 1733, in a pamphlet "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b) n$ in Seriem Expansi" that was designated for private circulation only. But it was not until the year 1738 that he made his results publicly available. The original pamphlet was reprinted several times, see for example Walker (1985).

[64] "It has been customary certainly to regard as an axiom the hypothesis that if any quantity has been determined by several direct observations, made under the same circumstances and with equal care, the arithmetical mean of the observed values affords the most probable value, if not rigorously, yet very nearly at least, so that it is always most safe to adhere to it." — Gauss (1809, section 177)

[67] "My custom of terming the curve the Gauss–Laplacian or normal curve saves us from proportioning the merit of discovery between the two great astronomer mathematicians." quote from Pearson (1905, p. 189)

[75] Besides those specifically referenced here, such use is encountered in the works of Peirce, Galton (Galton (1889, chapter V)) and Lexis (Lexis (1878), Rohrbasser & Véron (2003)) c. 1875.^{[citation needed]}

[1] Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology

[2] Casella & Berger (2001, p. 102)

[3] Lyon, A. (2014). Why are Normal Distributions Normal?, The British Journal for the Philosophy of Science.

[:1-4] 4.0 ^4.1 "Normal Distribution". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-15.

[5] Stigler (1982)

[6] Halperin, Hartley & Hoel (1965, item 7)

[7] McPherson (1990, p. 110)

[8] Bernardo & Smith (2000, p. 121)

[9] Scott, Clayton; Nowak, Robert (August 7, 2003). "The Q-function". Connexions.

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[17] Lukacs, Eugene, No label or title -- debug: Q55897617, Wikidata Q55897617

[PR2.1.4-18] 18.0 ^18.1 ^18.2 Patel & Read (1996, [2.1.4])

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[22] Bryc (1995, p. 23)

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[56] Monahan (1985, section 2)

[57] Wallace (1996)

[59] Johnson, Kotz & Balakrishnan (1994, p. 85)

[60] Le Cam & Lo Yang (2000, p. 74)

[62] De Moivre, Abraham (1733), Corollary I – see Walker (1985, p. 77)

[63] Stigler (1986, p. 76)

[65] Gauss (1809, section 177)

[66] Gauss (1809, section 179)

[68] Laplace (1774, Problem III)

[69] Pearson (1905, p. 189)

[70] Stigler (1986, p. 144)

[71] Stigler (1978, p. 243)

[72] Stigler (1978, p. 244)

[73] Maxwell (1860, p. 23)

[74] Jaynes, Edwin J.; Probability Theory: The Logic of Science, Ch. 7.

[76] Peirce, Charles S. (c. 1909 MS), Collected Papers v. 6, paragraph 327.

[77] Kruskal & Stigler (1997).

[78] "Earliest uses... (entry STANDARD NORMAL CURVE)".

[Sun,_Kong_and_Pal-79] Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 June 2021). "The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme". Communications in Statistics - Theory and Methods: 1–23. doi:10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN 0361-0926. S2CID 237919587.

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Probability density function The red curve is the standard normal distribution
Cumulative distribution function
Notation	${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$
Parameters	$\mu \in \mathbb {R}$ = mean (location) $\sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}$ = variance (squared scale)
Support	$x\in \mathbb {R}$
PDF	Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/\|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ई" found.in 1:44"): {\displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} ई^{-\frac{1}{2}\बाएं(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}}

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