परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण

गणित में, परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण समूह सिद्धांत का एक परिणाम है जिसमें कहा गया है कि परिमित सरल समूहों की प्रत्येक सूची या तो चक्रीय समूह है, या वैकल्पिक समूह है, या यह एक व्यापक अनंत वर्ग से संबंधित है जिसे झूठ प्रकार के समूह कहा जाता है, या अन्य यह छब्बीस या सत्ताईस अपवादों में से एक है, जिसे छिटपुट समूह कहा जाता है। इस प्रमाण में लगभग 100 लेखकों द्वारा लिखे गए कई सौ जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ शामिल हैं, जो ज्यादातर 1955 और 2004 के बीच प्रकाशित हुए थे।

सरल समूहों को सभी परिमित समूहों के बुनियादी निर्माण खंडों के रूप में देखा जा सकता है, जिस तरह से अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के मूल निर्माण खंड हैं। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय परिमित समूहों के बारे में इस तथ्य को बताने का एक अधिक सटीक तरीका है। हालाँकि, पूर्णांक गुणनखंड से एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि ऐसे बिल्डिंग ब्लॉक्स एक अद्वितीय समूह को आवश्यक रूप से निर्धारित नहीं करते हैं, क्योंकि एक ही रचना श्रृंखला के साथ कई गैर-समरूपी समूह हो सकते हैं या दूसरे तरीके से कहें तो समूह विस्तार # विस्तार समस्या नहीं है एक अनूठा समाधान है।

डेनियल गोरेंस्टीन (d.1992), रिचर्ड ल्योंस (गणितज्ञ), और रोनाल्ड सोलोमन धीरे-धीरे प्रमाण का एक सरलीकृत और संशोधित संस्करण प्रकाशित कर रहे हैं।

वर्गीकरण प्रमेय का कथन

Main article: List of finite simple groups

Theorem — Every finite simple group is isomorphic to one of the following groups:

• a member of one of three infinite classes of such, namely:
  • the cyclic groups of prime order,
  • the alternating groups of degree at least 5,
  • the groups of Lie type
• one of 26 groups called the "sporadic groups"
• the Tits group (which is sometimes considered a 27th sporadic group).

परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण

वर्गीकरण प्रमेय में गणित की कई शाखाओं में अनुप्रयोग हैं, क्योंकि परिमित समूहों की संरचना (और अन्य गणितीय वस्तुओं पर उनकी क्रिया) के बारे में प्रश्नों को कभी-कभी परिमित सरल समूहों के प्रश्नों के रूप में कम किया जा सकता है। वर्गीकरण प्रमेय के लिए धन्यवाद, कभी-कभी साधारण समूहों के प्रत्येक परिवार और प्रत्येक छिटपुट समूह की जाँच करके ऐसे प्रश्नों का उत्तर दिया जा सकता है।

डैनियल गोरेंस्टीन ने 1983 में घोषणा की कि परिमित सरल समूहों को सभी वर्गीकृत किया गया था, लेकिन यह समय से पहले था क्योंकि उन्हें क्वासिथिन समूहों के वर्गीकरण के प्रमाण के बारे में गलत जानकारी दी गई थी। वर्गीकरण का पूर्ण प्रमाण किसके द्वारा घोषित किया गया था Aschbacher (2004) एशबैकर और स्मिथ द्वारा लापता क्वासिथिन मामले के लिए 1221-पृष्ठ का प्रमाण प्रकाशित करने के बाद।

वर्गीकरण प्रमेय के प्रमाण का अवलोकन

Gorenstein (1982, 1983) ने सबूत के निम्न रैंक और अजीब विशेषता भाग को रेखांकित करते हुए दो खंड लिखे, और Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) शेष विशेषता 2 मामले को कवर करते हुए एक तीसरा खंड लिखा। सबूत को कई प्रमुख टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है:

=== छोटे 2-रैंक === के समूह एक समूह के निम्न रैंक के सरल समूह # सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएं | 2-रैंक ज्यादातर अजीब विशेषता के क्षेत्रों पर झूठ प्रकार के छोटे रैंक के समूह होते हैं, साथ में पांच वैकल्पिक और सात विशेषता 2 प्रकार और नौ छिटपुट समूह होते हैं।

छोटे 2-रैंक के साधारण समूहों में शामिल हैं:

• 2-रैंक 0 के समूह, दूसरे शब्दों में विषम क्रम के समूह, जो सभी फीट-थॉम्पसन प्रमेय द्वारा हल करने योग्य समूह हैं।
• 2-रैंक 1 के समूह। साइलो 2-उपसमूह या तो चक्रीय होते हैं, जिन्हें ट्रांसफर मैप का उपयोग करके संभालना आसान होता है, या सामान्यीकृत चतुष्कोण, जिन्हें ब्राउर-सुजुकी प्रमेय के साथ नियंत्रित किया जाता है: विशेष रूप से 2 के कोई सरल समूह नहीं हैं क्रम दो के चक्रीय समूह को छोड़कर -रैंक 1।
• 2-रैंक 2 के समूह। एल्पेरिन ने दिखाया कि सिलो उपसमूह को डायहेड्रल, क्वासिडहेड्रल, पुष्पांजलि, या यू का एक सिलो 2-उपसमूह होना चाहिए₃(4)। पहला मामला गोरेंस्टीन-वाल्टर प्रमेय द्वारा किया गया था जिसमें दिखाया गया था कि केवल सरल समूह एल के लिए आइसोमोर्फिक हैं₂(क्यू) क्यू विषम या ए के लिए₇, दूसरा और तीसरा मामला एल्परिन-ब्रुएर-गोरेंस्टीन प्रमेय द्वारा किया गया था, जिसका अर्थ है कि केवल सरल समूह एल के लिए आइसोमोर्फिक हैं₃(क्यू) या यू₃(क्यू) क्यू विषम या एम के लिए₁₁, और आखिरी मामला ल्योंस द्वारा किया गया था जिसने दिखाया कि यू₃(4) एकमात्र सरल संभावना है।
• अधिकतम 4 पर अनुभागीय 2-रैंक के समूह, गोरेंस्टीन-हरदा प्रमेय द्वारा वर्गीकृत।

छोटे 2-रैंक के समूहों का वर्गीकरण, विशेष रूप से अधिकतम 2 रैंक, साधारण और मॉड्यूलर चरित्र सिद्धांत का भारी उपयोग करता है, जो वर्गीकरण में कहीं और सीधे उपयोग नहीं किया जाता है।

छोटे 2 रैंक के नहीं सभी समूहों को दो प्रमुख वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: घटक प्रकार के समूह और विशेषता 2 प्रकार के समूह। इसका कारण यह है कि यदि किसी समूह में अनुभागीय 2-रैंक कम से कम 5 है तो मैकविलियम्स ने दिखाया है कि इसके साइलो 2-उपसमूह जुड़े हुए हैं, और संतुलन प्रमेय का अर्थ है कि जुड़ा हुआ सिलो 2-उपसमूह वाला कोई भी सरल समूह या तो घटक प्रकार या विशेषता 2 प्रकार का है . (निम्न 2-रैंक के समूहों के लिए इसका प्रमाण टूट जाता है, क्योंकि प्रमेय जैसे संकेतक functor प्रमेय केवल उन समूहों के लिए काम करते हैं जिनके रैंक के प्राथमिक एबेलियन उपसमूह कम से कम 3 हैं।)

घटक प्रकार के समूह

एक समूह को घटक प्रकार का कहा जाता है यदि किसी अंतर्वलन के कुछ केंद्रक C के लिए, C/O(C) में एक घटक होता है (जहाँ O(C) C का मूल है, विषम क्रम का अधिकतम सामान्य उपसमूह)। ये कमोबेश कुछ छिटपुट समूहों के साथ बड़े रैंक की अजीब विशेषता के झूठ प्रकार के समूह और वैकल्पिक समूह हैं। इस मामले में एक प्रमुख कदम एक समावेशन के मूल की बाधा को खत्म करना है। यह बी-प्रमेय द्वारा पूरा किया गया है, जिसमें कहा गया है कि C/O(C) का प्रत्येक घटक C के एक घटक की छवि है।

विचार यह है कि इन समूहों के पास एक घटक के साथ एक समावेशन का केंद्रीकरण होता है जो कि एक छोटा अर्ध-सरल समूह होता है, जिसे पहले से ही प्रेरण द्वारा जाना जा सकता है। तो इन समूहों को वर्गीकृत करने के लिए प्रत्येक ज्ञात परिमित सरल समूह के प्रत्येक केंद्रीय विस्तार को लेता है, और सभी सरल समूहों को एक घटक के रूप में शामिल करने के केंद्रीकरण के साथ पाता है। यह जांच करने के लिए अलग-अलग मामलों की एक बड़ी संख्या देता है: न केवल 26 छिटपुट समूह और झूठ प्रकार के समूहों के 16 परिवार और वैकल्पिक समूह हैं, बल्कि छोटे रैंक या छोटे क्षेत्रों के कई समूह सामान्य से अलग व्यवहार करते हैं मामले और अलग से व्यवहार किया जाना है, और सम और विषम विशेषताओं के झूठ प्रकार के समूह भी काफी भिन्न हैं।

=== विशेषता 2 प्रकार === के समूह

प्रत्येक 2-स्थानीय उपसमूह Y का सामान्यीकृत फिटिंग उपसमूह F*(Y) एक 2-समूह है, तो एक समूह विशेषता 2 प्रकार का है। जैसा कि नाम से पता चलता है कि ये मोटे तौर पर विशेषता 2 के क्षेत्रों में झूठ प्रकार के समूह हैं, साथ ही कुछ मुट्ठी भर अन्य जो वैकल्पिक या छिटपुट या विषम विशेषता वाले हैं। उनके वर्गीकरण को छोटे और बड़े रैंक के मामलों में विभाजित किया गया है, जहां रैंक विषम एबेलियन उपसमूह का सबसे बड़ा रैंक है, जो एक गैर-तुच्छ 2-उपसमूह को सामान्य करता है, जो अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) कार्टन सबलजेब्रा के रैंक के समान होता है जब समूह लाई प्रकार का एक समूह है जिसकी विशेषता 2 है।

रैंक 1 समूह पतले समूह हैं, जिन्हें एशबैकर द्वारा वर्गीकृत किया गया है, और रैंक 2 वाले कुख्यात क्वासिथिन समूह हैं, जिन्हें एशबैकर और स्मिथ द्वारा वर्गीकृत किया गया है। ये मोटे तौर पर लाई प्रकार के रैंक 1 या 2 के समूह के अनुरूप होते हैं जो विशेषता 2 के क्षेत्रों में होते हैं।

रैंक के कम से कम 3 के समूह को ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा 3 वर्गों में विभाजित किया गया है, रैंक 3 के लिए एशबैकर द्वारा और कम से कम 4 रैंक के लिए गोरेनस्टीन और लियोन द्वारा सिद्ध किया गया है। तीन वर्ग जीएफ (2) प्रकार के समूह हैं (मुख्य रूप से टिम्सफेल्ड द्वारा वर्गीकृत), कुछ विषम प्राइम के लिए मानक प्रकार के समूह (गिलमैन-ग्रिस प्रमेय द्वारा वर्गीकृत और कई अन्य लोगों द्वारा काम), और विशिष्टता प्रकार के समूह, जहां एक परिणाम एशबैकर का तात्पर्य है कि कोई सरल समूह नहीं हैं। सामान्य उच्च रैंक के मामले में कम से कम 3 या 4 रैंक के विशेषता 2 के क्षेत्रों में ज्यादातर झूठ प्रकार के समूह होते हैं।

सरल समूहों का अस्तित्व और विशिष्टता

वर्गीकरण का मुख्य भाग प्रत्येक सरल समूह का लक्षण वर्णन करता है। इसके बाद यह जांचना आवश्यक है कि प्रत्येक लक्षण वर्णन के लिए एक सरल समूह मौजूद है और यह अद्वितीय है। यह बड़ी संख्या में अलग-अलग समस्याएं देता है; उदाहरण के लिए, राक्षस समूह के अस्तित्व और विशिष्टता के मूल प्रमाण कुल मिलाकर लगभग 200 पृष्ठ थे, और थॉम्पसन और बॉम्बिएरी द्वारा री समूहों की पहचान वर्गीकरण के सबसे कठिन भागों में से एक था। कई अस्तित्व प्रमाण और छिटपुट समूहों के लिए कुछ विशिष्ट प्रमाण मूल रूप से कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करते थे, जिनमें से अधिकांश को छोटे हस्त प्रमाणों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

प्रमाण का इतिहास

गोरेंस्टीन का कार्यक्रम

1972 में Gorenstein (1979, Appendix) ने निम्नलिखित 16 चरणों वाले परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को पूरा करने के लिए एक कार्यक्रम की घोषणा की:

1. निम्न 2-रैंक के समूह। यह अनिवार्य रूप से गोरेंस्टीन और हराडा द्वारा किया गया था, जिन्होंने समूहों को अनुभागीय 2-रैंक के साथ अधिकतम 4 में वर्गीकृत किया था। गोरेनस्टीन ने अपने कार्यक्रम की घोषणा के समय तक 2-रैंक के अधिकांश मामले 2 किए गए थे।
2. 2-परतों की अर्धसरलता। समस्या यह साबित करने के लिए है कि एक साधारण समूह में शामिल होने के केंद्रक की 2-परत अर्धसरल है।
3. विषम विशेषता में मानक रूप। यदि किसी समूह में 2-घटक के साथ एक अंतर्वलन है जो कि झूठ प्रकार की विषम विशेषता का एक समूह है, तो लक्ष्य यह दिखाना है कि इसमें मानक रूप में शामिल होने का एक केंद्रक है जिसका अर्थ है कि समावेशन के एक केंद्रक में एक घटक है जो झूठ का है विषम विशेषता में टाइप करें और 2-रैंक 1 का केंद्रक भी है।
4. विषम प्रकार के समूहों का वर्गीकरण। समस्या यह दिखाने के लिए है कि यदि किसी समूह में मानक रूप में शामिल होने का एक केंद्रक है तो यह लाई प्रकार की विषम विशेषता का समूह है। यह एशबैकर के शास्त्रीय समावेशन प्रमेय द्वारा हल किया गया था।
5. अर्ध-मानक रूप
6. केंद्रीय निवेश
7. वैकल्पिक समूहों का वर्गीकरण।
8. कुछ छिटपुट समूह
9. पतले समूह। साधारण पतले परिमित समूह, जिनके पास विषम अभाज्य p के लिए अधिकतम 1 पर 2-स्थानीय p-रैंक है, को 1978 में Aschbacher द्वारा वर्गीकृत किया गया था।
10. पी विषम के लिए एक मजबूत पी-एम्बेडेड उपसमूह के साथ समूह
11. विषम अभाज्य संख्याओं के लिए सिग्नलाइज़र फ़ंक्टर विधि। मुख्य समस्या गैर-सॉल्वेबल सिग्नललाइज़र फ़ैक्टरों के लिए सिग्नलाइज़र फ़ंक्टर प्रमेय साबित करना है। इसे 1982 में मैकब्राइड द्वारा हल किया गया था।
12. विशेषता पी प्रकार के समूह। यह उन समूहों की समस्या है जिनमें p-एम्बेडेड 2-स्थानीय उपसमूह p विषम के साथ है, जिसे Aschbacher द्वारा नियंत्रित किया गया था।
13. क्वासिथिन समूह। एक क्वासिथिन समूह वह है जिसके 2-स्थानीय उपसमूहों में सभी विषम अभाज्य p के लिए अधिकतम 2 p-रैंक है, और समस्या 2 प्रकार की विशेषता वाले सरल लोगों को वर्गीकृत करना है। यह 2004 में एशबैकर और स्मिथ द्वारा पूरा किया गया था।
14. निम्न 2-स्थानीय 3-रैंक के समूह। यह ई (जी) = 3 वाले समूहों के लिए एशबैकर के ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा अनिवार्य रूप से हल किया गया था। मुख्य परिवर्तन यह है कि 2-लोकल 3-रैंक को ऑड प्राइम्स के लिए 2-लोकल पी-रैंक से बदल दिया गया है।
15. मानक रूप में 3-तत्वों के केंद्र। यह अनिवार्य रूप से ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा किया गया था।
16. विशेषता 2 प्रकार के सरल समूहों का वर्गीकरण। यह गिल्मन-ग्रिस प्रमेय द्वारा नियंत्रित किया गया था, जिसमें 3-तत्वों को विषम प्राइम्स के लिए पी-तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।

प्रमाण की समयरेखा

नीचे दी गई सूची में से कई मदों से लिया जाता है Solomon (2001). दी गई तिथि आमतौर पर एक परिणाम के पूर्ण प्रमाण की प्रकाशन तिथि होती है, जो कभी-कभी प्रमाण या परिणाम की पहली घोषणा के कई साल बाद होती है, इसलिए कुछ आइटम गलत क्रम में दिखाई देते हैं।

Date of publication
1832	Galois introduces normal subgroups and finds the simple groups An (n ≥ 5) and PSL2(Fp) (p ≥ 5)
1854	Cayley defines abstract groups
1861	Mathieu describes the first two Mathieu groups M11, M12, the first sporadic simple groups, and announces the existence of M24.
1870	Jordan lists some simple groups: the alternating and projective special linear ones, and emphasizes the importance of the simple groups.
1872	Sylow proves the Sylow theorems
1873	Mathieu introduces three more Mathieu groups M22, M23, M24.
1892	Hölder proves that the order of any nonabelian finite simple group must be a product of at least four (not necessarily distinct) primes, and asks for a classification of finite simple groups.
1893	Cole classifies simple groups of order up to 660
1896	Frobenius and Burnside begin the study of character theory of finite groups.
1899	Burnside classifies the simple groups such that the centralizer of every involution is a non-trivial elementary abelian 2-group.
1901	Frobenius proves that a Frobenius group has a Frobenius kernel, so in particular is not simple.
1901	Dickson defines classical groups over arbitrary finite fields, and exceptional groups of type G2 over fields of odd characteristic.
1901	Dickson introduces the exceptional finite simple groups of type E6.
1904	Burnside uses character theory to prove Burnside's theorem that the order of any non-abelian finite simple group must be divisible by at least 3 distinct primes.
1905	Dickson introduces simple groups of type G2 over fields of even characteristic
1911	Burnside conjectures that every non-abelian finite simple group has even order
1928	Hall proves the existence of Hall subgroups of solvable groups
1933	Hall begins his study of p-groups
1935	Brauer begins the study of modular characters.
1936	Zassenhaus classifies finite sharply 3-transitive permutation groups
1938	Fitting introduces the Fitting subgroup and proves Fitting's theorem that for solvable groups the Fitting subgroup contains its centralizer.
1942	Brauer describes the modular characters of a group divisible by a prime to the first power.
1954	Brauer classifies simple groups with GL2(Fq) as the centralizer of an involution.
1955	The Brauer–Fowler theorem implies that the number of finite simple groups with given centralizer of involution is finite, suggesting an attack on the classification using centralizers of involutions.
1955	Chevalley introduces the Chevalley groups, in particular introducing exceptional simple groups of types F4, E7, and E8.
1956	The Hall–Higman theorem describes the possibilities for the minimal polynomial of an element of prime power order for a representation of a p-solvable group.
1957	Suzuki shows that all finite simple CA groups of odd order are cyclic.
1958	The Brauer–Suzuki–Wall theorem characterizes the projective special linear groups of rank 1, and classifies the simple CA groups.
1959	Steinberg introduces the Steinberg groups, giving some new finite simple groups, of types 3D4 and 2E6 (the latter were independently found at about the same time by Tits).
1959	The Brauer–Suzuki theorem about groups with generalized quaternion Sylow 2-subgroups shows in particular that none of them are simple.
1960	Thompson proves that a group with a fixed-point-free automorphism of prime order is nilpotent.
1960	Feit, Marshall Hall, and Thompson show that all finite simple CN groups of odd order are cyclic.
1960	Suzuki introduces the Suzuki groups, with types 2B2.
1961	Ree introduces the Ree groups, with types 2F4 and 2G2.
1963	Feit and Thompson prove the odd order theorem.
1964	Tits introduces BN pairs for groups of Lie type and finds the Tits group
1965	The Gorenstein–Walter theorem classifies groups with a dihedral Sylow 2-subgroup.
1966	Glauberman proves the Z* theorem
1966	Janko introduces the Janko group J1, the first new sporadic group for about a century.
1968	Glauberman proves the ZJ theorem
1968	Higman and Sims introduce the Higman–Sims group
1968	Conway introduces the Conway groups
1969	Walter's theorem classifies groups with abelian Sylow 2-subgroups
1969	Introduction of the Suzuki sporadic group, the Janko group J2, the Janko group J3, the McLaughlin group, and the Held group.
1969	Gorenstein introduces signalizer functors based on Thompson's ideas.
1970	MacWilliams shows that the 2-groups with no normal abelian subgroup of rank 3 have sectional 2-rank at most 4. (The simple groups with Sylow subgroups satisfying the latter condition were later classified by Gorenstein and Harada.)
1970	Bender introduced the generalized Fitting subgroup
1970	The Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifies groups with quasi-dihedral or wreathed Sylow 2-subgroups, completing the classification of the simple groups of 2-rank at most 2
1971	Fischer introduces the three Fischer groups
1971	Thompson classifies quadratic pairs
1971	Bender classifies group with a strongly embedded subgroup
1972	Gorenstein proposes a 16-step program for classifying finite simple groups; the final classification follows his outline quite closely.
1972	Lyons introduces the Lyons group
1973	Rudvalis introduces the Rudvalis group
1973	Fischer discovers the baby monster group (unpublished), which Fischer and Griess use to discover the monster group, which in turn leads Thompson to the Thompson sporadic group and Norton to the Harada–Norton group (also found in a different way by Harada).
1974	Thompson classifies N-groups, groups all of whose local subgroups are solvable.
1974	The Gorenstein–Harada theorem classifies the simple groups of sectional 2-rank at most 4, dividing the remaining finite simple groups into those of component type and those of characteristic 2 type.
1974	Tits shows that groups with BN pairs of rank at least 3 are groups of Lie type
1974	Aschbacher classifies the groups with a proper 2-generated core
1975	Gorenstein and Walter prove the L-balance theorem
1976	Glauberman proves the solvable signalizer functor theorem
1976	Aschbacher proves the component theorem, showing roughly that groups of odd type satisfying some conditions have a component in standard form. The groups with a component of standard form were classified in a large collection of papers by many authors.
1976	O'Nan introduces the O'Nan group
1976	Janko introduces the Janko group J4, the last sporadic group to be discovered
1977	Aschbacher characterizes the groups of Lie type of odd characteristic in his classical involution theorem. After this theorem, which in some sense deals with "most" of the simple groups, it was generally felt that the end of the classification was in sight.
1978	Timmesfeld proves the O2 extraspecial theorem, breaking the classification of groups of GF(2)-type into several smaller problems.
1978	Aschbacher classifies the thin finite groups, which are mostly rank 1 groups of Lie type over fields of even characteristic.
1981	Bombieri uses elimination theory to complete Thompson's work on the characterization of Ree groups, one of the hardest steps of the classification.
1982	McBride proves the signalizer functor theorem for all finite groups.
1982	Griess constructs the monster group by hand
1983	The Gilman–Griess theorem classifies groups of characteristic 2 type and rank at least 4 with standard components, one of the three cases of the trichotomy theorem.
1983	Aschbacher proves that no finite group satisfies the hypothesis of the uniqueness case, one of the three cases given by the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type.
1983	Gorenstein and Lyons prove the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type and rank at least 4, while Aschbacher does the case of rank 3. This divides these groups into 3 subcases: the uniqueness case, groups of GF(2) type, and groups with a standard component.
1983	Gorenstein announces the proof of the classification is complete, somewhat prematurely as the proof of the quasithin case was incomplete.
1994	Gorenstein, Lyons, and Solomon begin publication of the revised classification
2004	Aschbacher and Smith publish their work on quasithin groups (which are mostly groups of Lie type of rank at most 2 over fields of even characteristic), filling the last gap in the classification known at that time.
2008	Harada and Solomon fill a minor gap in the classification by describing groups with a standard component that is a cover of the Mathieu group M22, a case that was accidentally omitted from the proof of the classification due to an error in the calculation of the Schur multiplier of M22.
2012	Gonthier and collaborators announce a computer-checked version of the Feit–Thompson theorem using the Coq proof assistant.

दूसरी पीढ़ी का वर्गीकरण

प्रमेय का प्रमाण, जैसा कि यह 1985 या उसके आसपास था, को पहली पीढ़ी कहा जा सकता है। पहली पीढ़ी के प्रमाण की अत्यधिक लंबाई के कारण, एक सरल प्रमाण खोजने के लिए काफी प्रयास किया गया है, जिसे 'दूसरी पीढ़ी का वर्गीकरण प्रमाण' कहा जाता है। यह प्रयास, जिसे संशोधनवाद कहा जाता है, मूल रूप से डैनियल गोरेंस्टीन के नेतृत्व में था।

As of 2021, दूसरी पीढ़ी के प्रमाण के नौ खंड प्रकाशित किए गए हैं (गोरेंस्टीन, लियोन और सोलोमन 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021)। 2012 में सोलोमन ने अनुमान लगाया था कि परियोजना को और 5 संस्करणों की आवश्यकता होगी, लेकिन कहा कि उन पर प्रगति धीमी थी। ऐसा अनुमान है कि नया प्रमाण अंततः लगभग 5,000 पृष्ठों को भरेगा। (यह लंबाई आंशिक रूप से दूसरी पीढ़ी के प्रमाण से अधिक आराम की शैली में लिखी जा रही है।) हालांकि, जीएलएस श्रृंखला के खंड 9 के प्रकाशन के साथ, और एशबैकर-स्मिथ योगदान सहित, यह अनुमान पहले से ही कई और के साथ पहुंच गया था वॉल्यूम अभी भी तैयारी में हैं (शेष जो मूल रूप से वॉल्यूम 9 के लिए अभिप्रेत था, साथ ही अनुमानित वॉल्यूम 10 और 11)। एशबैकर और स्मिथ ने अपने दो खंड क्वासिथिन केस को समर्पित इस तरह से लिखे कि वे खंड दूसरी पीढ़ी के प्रमाण का हिस्सा हो सकते हैं।

गोरेंस्टीन और उनके सहयोगियों ने कई कारण बताए हैं कि एक सरल उपपत्ति क्यों संभव है।

• सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब प्रमेय का सही, अंतिम कथन ज्ञात हो गया है। सरल तकनीकें लागू की जा सकती हैं जो उन समूहों के लिए पर्याप्त मानी जाती हैं जिन्हें हम जानते हैं कि वे परिमित सरल हैं। इसके विपरीत, पहली पीढ़ी के प्रमाण पर काम करने वालों को यह नहीं पता था कि कितने छिटपुट समूह थे, और वास्तव में वर्गीकरण प्रमेय के अन्य मामलों को साबित करते हुए कुछ छिटपुट समूहों (जैसे, जांको समूह) की खोज की गई थी। नतीजतन, प्रमेय के कई टुकड़े उन तकनीकों का उपयोग करके साबित हुए जो अत्यधिक सामान्य थे।
• चूंकि निष्कर्ष अज्ञात था, पहली पीढ़ी के प्रमाण में कई स्टैंड-अलोन प्रमेय शामिल हैं, जो महत्वपूर्ण विशेष मामलों से निपटते हैं। इन प्रमेयों को सिद्ध करने का अधिकांश कार्य अनेक विशेष मामलों के विश्लेषण के लिए समर्पित था। एक बड़े, ऑर्केस्ट्रेटेड सबूत को देखते हुए, इनमें से कई विशेष मामलों से निपटना तब तक के लिए स्थगित किया जा सकता है जब तक कि सबसे शक्तिशाली मान्यताओं को लागू नहीं किया जा सकता। इस संशोधित रणनीति के तहत भुगतान की गई कीमत यह है कि इन पहली पीढ़ी के प्रमेयों के पास तुलनात्मक रूप से कम प्रमाण नहीं हैं, बल्कि पूर्ण वर्गीकरण पर निर्भर हैं।
• कई पहली पीढ़ी के प्रमेय ओवरलैप करते हैं, और इसलिए संभावित मामलों को अकुशल तरीकों से विभाजित करते हैं। परिणामस्वरूप, परिमित सरल समूहों के परिवारों और उप-परिवारों की कई बार पहचान की गई। संशोधित सबूत मामलों के एक अलग उपखंड पर भरोसा करके इन अतिरेक को समाप्त करता है।
• परिमित समूह सिद्धांतकारों के पास इस प्रकार के व्यायाम का अधिक अनुभव है, और उनके निपटान में नई तकनीकें हैं।

Aschbacher (2004) ने अलरिच मीयरफैंकेंफेल्ड, बर्न्ड स्टेलमाकर, गर्नोट स्ट्रॉथ और कुछ अन्य लोगों द्वारा वर्गीकरण समस्या पर काम को तीसरी पीढ़ी का कार्यक्रम कहा है। इसका एक लक्ष्य अमलगम विधि का उपयोग करके सभी समूहों को विशेषता 2 में समान रूप से व्यवहार करना है।

सबूत की लंबाई

गोरेंस्टीन ने कुछ कारणों पर चर्चा की है कि कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण के समान वर्गीकरण का संक्षिप्त प्रमाण क्यों नहीं हो सकता है।

• सबसे स्पष्ट कारण यह है कि सरल समूहों की सूची काफी जटिल है: 26 छिटपुट समूहों के साथ कई विशेष मामले होने की संभावना है जिन्हें किसी प्रमाण में माना जाना है। अभी तक किसी को भी डायनकिन आरेखों द्वारा कॉम्पैक्ट लाई समूहों के पैरामीटरकरण के समान परिमित सरल समूहों का एक स्वच्छ वर्दी विवरण नहीं मिला है।
• अतियाह और अन्य लोगों ने सुझाव दिया है कि कुछ ज्यामितीय वस्तु का निर्माण करके वर्गीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए, जिस पर समूह कार्य करते हैं और फिर इन ज्यामितीय संरचनाओं को वर्गीकृत करते हैं। समस्या यह है कि कोई भी एक साधारण समूह से जुड़ी ऐसी ज्यामितीय संरचना को खोजने का आसान तरीका सुझाने में सक्षम नहीं है। कुछ अर्थों में, वर्गीकरण बीएन-जोड़े जैसे ज्यामितीय संरचनाओं को खोजने के द्वारा काम करता है, लेकिन यह केवल एक परिमित सरल समूह की संरचना के बहुत लंबे और कठिन विश्लेषण के अंत में आता है।
• उपपत्ति को सरल बनाने के लिए एक अन्य सुझाव प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अधिक से अधिक उपयोग करना है। यहाँ समस्या यह है कि प्रतिनिधित्व सिद्धांत को अच्छी तरह से काम करने के लिए एक समूह के उपसमूहों पर बहुत सख्त नियंत्रण की आवश्यकता होती है। छोटे रैंक के समूहों के लिए, इस तरह का नियंत्रण और प्रतिनिधित्व सिद्धांत बहुत अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन बड़े रैंक के समूहों के लिए वर्गीकरण को सरल बनाने के लिए कोई भी इसका उपयोग करने में सफल नहीं हुआ है। वर्गीकरण के शुरुआती दिनों में, प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करने के लिए काफी प्रयास किए गए थे, लेकिन इससे उच्च पद के मामले में ज्यादा सफलता नहीं मिली।

वर्गीकरण के परिणाम

यह खंड कुछ परिणामों को सूचीबद्ध करता है जिन्हें परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।

• श्रेयर अनुमान
• संकेतक समारोह सिद्धांत
• बी अनुमान
• सभी समूहों के लिए शूर-ज़सेनहॉस प्रमेय (हालांकि यह केवल फीट-थॉम्पसन प्रमेय का उपयोग करता है)।
• 1 से अधिक तत्व वाले परिमित सेट पर एक सकर्मक क्रमचय समूह में प्राइम पावर ऑर्डर का एक निश्चित-बिंदु-मुक्त तत्व होता है।
• बहु संक्रामकता का वर्गीकरण|2-सकर्मक क्रमचय समूह।
• रैंक 3 क्रमचय समूहों का वर्गीकरण।
• सिम्स अनुमान
• फ्रोबेनियस की प्रमेय (समूह सिद्धांत) | के समाधान की संख्या पर फ्रोबेनियस का अनुमान xⁿ = 1.

यह भी देखें

• ओ'नान-स्कॉट प्रमेय

संदर्भ

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• Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4189-0
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• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
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बाहरी संबंध

• ATLAS of Finite Group Representations. Searchable database of representations and other data for many finite simple groups.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Archived 2005-04-04 at the Wayback Machine Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 10¹⁰.
• In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?
• Ornes, Stephen (2015). "Researchers Race to Rescue the Enormous Theorem before Its Giant Proof Vanishes". Scientific American (in English). 313 (1): 68–75. doi:10.1038/scientificamerican0715-68. PMID 26204718.
• "Where are the second- (and third-)generation proofs of the classification of finite simple groups up to?". MathOverflow (in English). (Last updated on March 2023)